小学英语复习模拟试题

小学英语复习模拟试题（精选8篇）

小学英语复习模拟试题 篇1

出卷单位：

出卷人：

Listening Part I Listen and choose(听音，选择你听到的内容)10（）1.A RIY

B IRY

C LRY（）2.A 124809

B 412908

C 142089（）3.A skate

B skirt

C shirt（）4.A read newspapers

B empty the trash

C sweep the floor（）5.A washed clothes

B watched TV

C took pictures（）6.A potato

B tomato

C carrot（）7.A elephant

B squirrel

C strawberry（）8.A doctor

B driver

C nurse（）9.A dictionary

B engineer

C accountant（）10.A purple

B paper

C picture II Listen and choose(听问句，选答句)10（）1.A She is a teacher.B She is thirty-nine.（）2.A They are listening to the music.B They go the park in the morning.（）3.A Yes, it is.B Yes, there is.（）4.A We have English class.B We have four classes.（）5.A Fifteen English books.B Yes, I have fifteen English books.（）6.A The green one is mine.B Yes, it’s mine.（）7.A She is a driver.B He’s an office worker.（）8.A They are from England.B They are in America.（）9.A We have an English class at eleven fifteen.B We have an Chinese class at ten forty-five.（）10.A Our school is near the bus station.B The Bank of China is near a school.III Listen and choose.(听对话，选择正确答案)10（）1.What does your father do?

A

Doctor.B Teacher.C Policeman.（）2.When is your birthday?

A

May 13rd.B July 17th.C August 13rd.（）3.What did you do last weekend?

A

Took pictures.B Went swimming

C Rowed a boat.（）4.What is your Uncle like?

A

Old.B Strong.C Young.（）5.What are you going to be?

A

An actor.B A cleaner.C An engineer.IV Listen and judge.(听音判断)10（）1.The twins go to school from Monday to Friday.（）2.Dick has supper at 6:30.（）3.Dick and Nick are classmates.（）4.Near home, there is a supermarket.（）5.Father sent Nick a computer and Dick a soccer for their birthday.Written Part V选择正确答案.15（）

1、-----_______is the weather like today?-----It’s rainy.A What B How C When D Why()2 Jenny _________homework now.A do B does C is doing D did()3 He is very old ,_______he works like a young man.A so B or C but D and()4-----Is this ruler __________?-----Yes, it’s _________.A yours;my B your;my C your;mine D yours;mine()5 It’s raining outside.Please give me__________umbrella.A.a B.an C.two D.both()6-----Is there ________tea in the cup?------Yes, there is_________.()7 When did you ______to school yesterday? A go B want C went D going()8.Last Saturday________went to the park.A.Danny and my B Danny and I C I and Danny Dmy and Danny()9 It’s time ___________

A play ping pong B.to go to bed C for have lunch Dflying kites()10 some birds ___________the tree.A is in B are on C is on D are in()11 There is _____“h”in the word “ hand ”.A some women B some womans Csome women Dsome womens()12 What did you do yesterday? I ______to the zoo.A go B going C am going D went()13Tomorrow Wang Hong and I_________fly kites in the park.A going to B are going to C am going to D is going to()14 I go to bed ____ten_____Saturday evenings.A at, in B.at, on C on, in D in, on()15 I am________.You are _________than my sister.A tall , taller B taller ,tall VI Rearrange the words.(句子排序)10 1．where

on

you

go

your

holiday

did

__________________________________________________? 2.matter

with

you

what’s

the

___________________________________________________? 3.the

do

you

what

on

weekend

do

usually

____________________________________________________? 4.you

much

am

than

I

taller

_____________________________________________________.5.visit

I’m

tomorrow

my

going grandparents

to

______________________________________________________.VII.将句子补充完整。15 1 There are three ___________ in the library.(woman)2 In winter , the weather is ___________here.(snow)3 Can you __________this English song?(sing)4 The ___________day, we went to the palace museum.(one)5 Peter___________chess with his father yesterday.(play)6 Mary always___________her bedroom on Saturdays.(clean)7-----What is Jenny ___________?(do)-----She is playing the piano.8 Let’s go ____________.(shop)He is _____ _____ ______football tomorrow.(play)10 she likes ___________Tv.(watch)11 Bob always_______(do)homework in the evening.12 I like to_________(swim).But now I am_______(run)13 What __________(be)your father __________(do)? 14 Can you teach me how__________(skate)? 15 __________(be)everybody here today? VIII、按要求变换下列单词10

1、swim(现在分词)____________

2、leaf(复数)__________

3、go（过去式）_____________ 4 funny(比较级)___________ 5 can not(缩写)_____________ 6 twenty(序数词)__________ 7 we(物主代词)____________ 8 they(宾语)_____________ 9 read(过去式)___________ 10 no(同音词)_____________ VIIII.Reading Comprehension.(阅读理解)10

This is Billy and his sister’s bedroom.It’s not very big, but it is very clean.There are two beds in the room.There is a desk between the beds.There are some books on the desk.。Some are English books.Some are Chinese books.There is a phone on the desk, too.There are two chairs deside the desk.One is for Billy, and the other is for his sister.There is a map of America on the wall.There is a map of the world on the wall, too.Billy and his sister like their bedroom very much.1.Read and tick or cross.（根据短文，判断句子正误）（）1.The bedroom is small, and it’s clean.（）2.There are two desks in the bedroom.（）3.There are some Chinese books on the desk.（）4.There are two maps on the wall.（）5.The chairs are for Billy and his brother.听力材料

一.1．A 2.C 3.B 4.C 5.A 6.B 7.C 8.A 9.B 10.C 二.1.What doas she do? 2.what are they doing? 3.Is there a book? 4.How mang chasses do you have? 5.Do you have fifteen English books? 6.Which is yours? 7.What does he do? 8.Where are they from? 9.When do you have English class?

小学英语复习模拟试题 篇2

关键词：英语教学,复习课,高效课堂,试题评讲,ICIC,任务阅读

当前, 不少英语教师仍旧片面重视语言知识、却忽视了学生运用语言能力的培养。特别是在试题讲评课上, 教师一言堂、满堂灌的现象屡禁不止;学生笔耕不辍, 疲于应付, 苦不堪言, 而教师所强调的重点、难点并没有为学生所理解、所掌握。为此, 如何在高考复习讲评课中找到一条高效课堂模式, 提高学生的语言运用能力, 成了迫切需要研究解决的课题。

一、ICIC教学模式

就高效课堂来说, 一般注重先学后教, 先练后讲, 以练促讲, 讲学生最需要讲的内容。这就要求教师首先要让学生根据已有知识和认知水平来感悟所学语言点的用法, 然后对学习过程中存在的问题给予指导, 最后, 配以一定的练习巩固所学的知识。在整个教学过程中, 学生都处于思考的状态, 都在积极主动地内化新知识, 这与传统的讲授式教学法相比, 更有利于培养学生的自主学习能力和提高课堂教学效率。经过高三英语试题讲评课一年的实践探索, 把这种教学模式称之为ICIC模式。具体地说, 就是通过 “ 质疑 (Inquiry) ———合作 (Cooperation) ——讲解 (Instruction) ———巩固 (Consolidation) ”模式来打造高效试题讲评课堂。下面以任务型阅读为例加以说明。

二、ICIC教学模式实践的过程与步骤

1. 课前质疑 (Inquiry)

高考英语复习中的任务型阅读, 考查的不仅仅是阅读能力, 还涉及在研读内容基础上用具体的词进行准确填空的能力。此项讲解, 不能仅仅停留在幻灯片直接打出答案来对照, 还应该引导学生以导学案为抓手, 学会领悟新课标精神及高考考点, 学会课前质疑。课前引导学生质疑的问题设计如下: (1) 结合教师的批阅, 反思自己本次十空对了几空, 错了几空。 (2) 反思错的那几空涉及考查能力的哪些方面, 哪些直接来自文章内容, 哪些是需要转变的信息, 哪些考查对主题句的识别和主旨概括能力。 (3) 未核对答案之前, 在分析错误原因归类的基础上, 结合文章中篇章信息, 得出合适的答案。

2. 小组合作 (Cooperation)

在学生个体质疑及二次做题基础上, 开展基于学习共同体的学生小组合作探讨和质疑。这可以满足学生求知及探究的欲望, 给他们一个平台分享探究的思维体验, 而且学情反馈可以激励先进, 突出问题, 方便教师的针对性讲解。在此部分设计的引导问题如下: (1) 小组长负责统计, 确认共性问题是什么, 哪些问题通过二次校正基本解决了, 哪些问题仅仅是个性问题, 哪些问题出于难度太大的题。 (2) 对于个性问题, 课堂可以暂不讨论;对于难度太大的题, 也可不必讨论。重点关注共性问题, 思考共性问题重点考查哪些方面的能力。 (3) 小组讨论后, 小组需要求助的题目还剩下哪些, 能否帮助其他组解答其他的题目。

3. 课中讲解 (Instruction)

上课之前, 教师需要研读试题, 吃透试卷内容, 了解命题特点, 并统计学生答题情况, 找出属于共性的典型错误, 分析错误原因。根据试卷特点和学生答题情况, 确定讲评目标和重点内容, 形成针对性的点拨并准备充分的变异训练, 多方位训练学生能力。但教师预设并不能完全取代生成, 要针对学生做题及思维探索中存在的共性问题加以引导, 深度探究, 师生归纳。对于直接能够从文章中找到的信息没必要过多指导与训练;而对于改变词形, 则需要重点分类进行指导。另外, 对于总结概括能力也得具体指导。

4. 课后巩固 (Consolidation)

课后巩固练习, 一般分为三种:常规练习、生成练习、反思练习。常规练习所设计的题目要有代表性, 完全根据高考考纲对于任务型阅读的要求, 全面考查学生查找能力、推理判断、转换信息能力以及总结概括等能力, 并考核所填十空中每个单词的词性及形式变化。这能让学生领悟答题技巧, 学了一道题, 会了一类题。课堂中预设外生成的知识, 选择相关的配套题目, 进行变式再训练。通过变式训练, 使一题多用, 多题重组, 给人以新鲜感, 唤起学生天生的求知欲, 提高解题能力。最后, 学生需要有一些反思练习。反思练习, 建立在学生理解消化所学、整理错题本的基础上。对于出错率较高的题目, 教师要充分发挥学生主体作用, 引导学生深入探究解题要领, 从题目立意、干扰、变式、思路等方面进行研究, 从一般试题中总结出规律, 力求学生能够举一反三。

三、结束语

经过一学期的实践探索, 深感基于ICIC模式的英语试题评讲课, 课堂上有了明显的显性变化。学生质疑和合作的时间有了明显增加, 而教师讲解的时间却有了相应减少。更为欣喜的是, 学生在课堂上不再消极听讲、疲于应付, 转而在课堂上积极参与、自主思考、合作探究、勤学好问、善于总结, 综合能力得到明显提高。

参考文献

[1]高晓菊.探索任务型教学在英语阅读课中的实践[J].哈尔滨职业技术学院学报, 2007 (01) .

小学英语复习模拟试题 篇3

【关键词】中考英语 试题特点 答题技巧

中考虽然不如高考一般决定学生的命运，但在我国应试教育的制度下仍然对学生的学习生涯有着重要的意义。近年来随着新课改的推进，我国的中考英语也在一定的程度上进行了必要的改革，本文结合2014年江苏盐城的中考英语试卷来分析一下，近年来中考英语试题的特点以及复习的方法。

一、2014年江苏盐城中考英语试题解读

1.2014年盐城中考英语试题结构。从2014年江苏盐城的英语中考试卷来看，随着新课改的推行中考英语的听力部分被取消了。整套试卷被分成两部分，总分120分；第一部分为选择题部分，共有45题，包括单项选择题、完形填空和阅读理解，占据60分；第二部分为非选择题部分，共有40题，包括任务型阅读、词汇、翻译句子以及写作，占据60分。总体来说中考英语的分值被降低了，但是任务量仍然是比较充足的。

2.2014年盐城中考英语试题体现的特点。2014年江苏盐城的中考英语试题着重考察了学生对于英语的综合性以及基础性的运用能力。2014年江苏盐城英语中考试题取消了英语听力的考察，在一定程度上降低了学生的英语难度，但是二卷的分值占据了总分值的一半，可见中考英语更加的注重对于英语应用性的考察。江苏盐城2014年的中考英语试卷的难易比较适中，并且设计的结构也比较的严谨，试题内容贴近学生的生活现实，侧重语境的创设，总之2014年江苏盐城的中考英语试题的设计结构还是比较合理的。

二、针对2014年江苏盐城的中考英语试题提出的几点建议

1.选择题部分

（1）选择填空题。选择填空题考查的是学生对于英语的单词、词组以及语法等基础知识的考察。选择填空题的试题设计具有情境性，因此在做这类题目的时候，我们一定要把握好试题情境中的“有效”信息。例如，2014年江苏盐城的中考英语中有这样一道题。

——does Nancy help the old lady with her housework ？

-About twice a week .

A.How often B .How long C.How much

针对这道题我们在解题的时要仔细的分析语境，有利于我们找到做题的切入点。这道题的关键的一点便是题目的答：About twice a week .明显是对于频率的回答，因此不难知道该题的答案就应该是A .How often 因此对于选择题我们在进行答题的时候一定要分析语境，提取有效信息，找出问题的切入点，这样对于做题就更加的容易了。

因此在我们进行英语填空题方面的复习时一定要注重把握填空题的语句结构以及注意填空题中的有效信息，当然我们的时态以及固定短语等语法方面的问题一定要清晰明确，只有这样我们才能够不惧怕中考。

（2）完形填空。纵观近几年江苏盐城的中考英语试题我们很容易看到，完形填空题在选材上一般比较的接近生活，短文短小精悍，逻辑性强，并且加强了对于语感、虚词的考察。例如，2014年江苏盐城的中考英语试题的完形填空则是选择了一个趣味性的小故事讲述辩证法这个哲理性的问题，这样既将抽象的哲理问题形象化，同时故事结构的严谨性、逻辑性也比较的适合完形填空。我们在复习完形填空题的时候，要锻炼自己根据上下文分析语境，找出对于选择有提醒作用的词，有时候是近义词，有时候是词组的固定搭配，当然我们也要根据文章的逻辑进行选择。

2.非选择题部分。非选择题部分主要考查的是学生对于英语的应用能力以及灵活应变的能力。这部分内容具有开放性，答案并不是固定的，因此对于学生应变能力的要求比较高，这部分与现实结合比较密切，具有很强的实用性，是对于学生应用力的真正考察。

例如，2014年江苏盐城中考英语试题的任务阅读，主要通过指定任务然后对于同一段材料从不同的角度进行总结归纳，对于学生思维的灵活性进行了考察；翻译部分，2014年江苏盐城中考英语试题中的翻译内容与学生的生活密切相关，同时翻译真正的具有现实实用性，是对学生应与运用能力的一种综合考察。

对于非选择题这部分的复习策略是，首先，我们在平时的做题中锻炼自己的审题能力以及读题能力，并且要丰富自己的词汇，尤其是一些比较常见的词汇，并且我们一定要能够熟练的应用。其次，我们要进行基本语法训练，尤其是我们语言要符合英语的习惯，避免漢语式的英语，这样有助于在我们考试的过程中提升印象分。我们在平时的复习中要加强自己的好词好句的积累，掌握答题的技巧。就像我们在翻译句子时不要直译，不要空洞，要有内容，意思要明确，并且要没有明显的语法错误，这就要求我们在平时的复习中多练习，多积累。

最后，我们在平时的英语复习中要养成检查的习惯，检查的内容包括：答题内容是不是完整、拼写是不是有误，时态、词组的搭配是不是恰当等等。中考命题总体来说有着一定的命题规律，因此对于中考学子来说，一定要解读中考试题，从而知己知彼。当然不同的学生有着不同的答题策略、技巧，因此我们在平时的复习中要根据自己的实际情况采用最科学最恰当的复习策略。

参考文献：

[1]黎可.初中英语词汇教学基本方法[J].现代交际.2013（08）.

小学六年级语文复习试题 篇4

(一)、看拼音，写词语，并画出整体认读音节。

y?ny“t?ngxi?zh?ny?ngm?ilu?f?icu?

()()()

()()

f?nsh?oj„j?nd?nsh…ngz‰x‟ntu?

ti…

()()()

()()

(二)、读一读，给带点字画出正确的读音。

苍劲(j?nj?ng)铁镣(li?oli?o)谋生(m?m?u)不可计数(sh“sh”)

直奔(b…nb?n)老叟(s?ush?u)为(w?iw?i)是其智弗若与(y‟y“)

(三)、按字的音、形、义组词

藉()妨()ch?i()不安全()

籍()防()差ch?()危

高()

措()访()c‰()指人快要死了()

(四)、按要求写成语(每类至少四个)

⒈与“胆小如鼠”构词特点相似的成语⒉与“左顾右盼”构词特点相似的成语⒊出自历史故事的成语⒋表示人物品质的成语

二、句 子

(一)按要求改写句子：

⑴妈妈对小红说：“你这么小，一个人出门我不放心？”(改成第三人称转述)

⑵听到“神舟五号”发射成功的消息，全国人民都非常激动。(改成用问号表示的句子)⑶这个地方很小，不能踢足球。(改写成夸张句)

⑷“非典”疫情被控制住了。(扩句，至少扩两处)

(二)语句积累

⑴表达王安石思乡之情的名句：

⑵告诫人们要节约的文言警句：

⑶表现于谦高尚情操的诗句：

⑷赞颂伟大母爱的名句：

⑸告诫人们要读生活这部书的名言警句：

⑹关于历史人物的歇后语：

⑺农谚：

(三)乱句重组

()从一个有趣的统计数字里可以看出来：一只猫头鹰一年能捉五百多只田鼠，因此为人

类保护了一吨多粮食。

()它能够从天空中直冲田鼠的身上，用尖利的爪子一下把田鼠从地上抓起来。

()人们赞美猫头鹰，因为它是捕鼠的能手，尽职的“英雄”。

()其次，猫头鹰为保护粮食立下了大功。

()首先，猫头鹰捉田鼠的技能十分高强。

(四)修改病句

1、我们要互相开展自我批评活动，避免以后不再发生这样的错误。

2、两个六年级的同学异曲同工地回答了老师的问题。

三、阅读理解

(一)按课文内容填空：

1、通过本学期的学习，我们认识了的凡卡，的周总理，的邱少云，的叙利奥，的孔子，的外祖父……

3、《学弈》这篇课文主要写了事，告诉我们的道理。

(二)阅读短文，完成练习

早晨，我到洗手间去洗脸，发现昨晚放在这儿的空盆里竟盛满了水。这是怎么回事呢？“嘀

嗒，嘀嗒”的水声，使我一下子明白了，原来我没能把水龙头关紧，水滴到盆里，时间长了，无数的小水滴就汇成了满满一盆水。

看着这盆水，我想起了一件事：

周总理小时候学习很努力，他的作文写得又快又好。每次作文，总是在其他同学刚写了一半

时，他就早早交了卷，到阅览室看书去了。在一次作文课上，他像往常一样，又早早交了卷

去看书。同学们忍不住问老师这是什么原因，老师没有回答，从他的书包里拿出一个本子交

给同学们看。大家翻开本子，都吃了一惊，本子里每一页都工工整整地写满了字，是他写的读书笔记和摘抄的好词好句。同学们看了都赞不绝口地说，周恩来是个会学习的有心人。这

时，老师语重心长地说：“知识在于积累。周恩来做得很好，我希望你们像他那样，一点一

滴地积累知识，将来成为一个有真才实学的人。”

“知识在于积累”今天的这件事，使我对这句话有了进一步理解。我想：如果我们能有小水滴的精神，我们的知识一定会更加丰富。

⒈把第一自然段中“一下子明白了”换成一个成语是

⒉用“”画出文中的过渡句。

2、写出你最喜欢的描写大榕树静态美的句子：

⒊文中“今天的这件事”指⒋小水滴的精神指的是⒌给短文加上题目：

⒍读了这篇短文，你一定有许多收获，请写一写。

四、习作

小学六年级毕业复习作文试题 篇5

1、小学就要毕业了，回想小学阶段的经历，一定有你感到最快乐的人、事，或者给你留下最美好的一天……请你以《令我最快乐的——》为题，写一篇作文，字数在500字左右，写出你的真情实感。

2、《如果我有钱了》为题，展开想象，写一篇文章。

3、以《——的感觉真好》为题，选择自己感受最深的一件事，写一篇记叙文。

4、《和——聊聊天》

5、《——真让我着迷》

6、生活中你可能是被呵护者，也可能是呵护者；生活中呵护可能带来温情友爱，也可能带来不尽的烦恼。请结合自己的生活经历，以《——呵护》或《呵护——》写一篇500字以上的记叙文。

7、《2010看的我》为题，写一篇想象作文。

8、根据提供的词语，展开想象，写一篇记叙文，题目自拟。游戏光盘创口贴月光

9、同学们，我们生活的这个世界美丽而精彩，如果你是一个会发现的孩子，一定能够发现自己身边那许多美的东西。请你自拟题目，写一篇记叙文，写你心中美丽的景，美丽的物，美丽的人……

10、《给未来学校老师的一封信》

11、《我是一个——的孩子》

12、“把握生命里的每一分钟，全力以赴我们心中的梦，不经历风雨，怎么见彩虹，没有人能随随便便成功……”这是大家熟悉的旋律《真心英雄》中的歌词，当你唱起这首歌时，你会想起什么？以此为内容，写一篇500字左右的记叙文。

13、《在我的记忆深处》

15、《让我——的一个人》

16、《我在生活中学语文》

17、《信任》

18、《我眼中的——》

19、《我拥有——》，你拥有很多，也许是爸妈的关爱，老师的教诲，同学的互助，生日礼物，一件新衣……

20、快乐是一种心境，快乐是一种体验，记下你的一件快乐的事，让大家与你一同分享。

21、《我渴望——》

22、请你以电视为话题，写一篇作文，如《唉，电视》、《感谢电视》、《别了，电视》、《我与电视有个约定》、《电视，让我欢喜让我忧》……

23、请选择一个话题写一段文字，抒发自己的真情实感：亡羊补牢、桂林山水、“神州五号”或“神州六号”、镜子

24、在日常生活中，你一定有过与人合作（老师、同学、朋友等）的经历，如一起学习，一起开展活动，一起做一项任务。认真回忆一下，这样的经历哪一闪给你留下的印象比较深刻，请将它写下来，注意写清你们是怎样做的，要表达出自己的真切的体验。

25、同学们，当你遇到困难，别人向你伸出援助之手时，你一定十分感谢他，体会到“爱心”的力量，当别人遇到困难，你向他伸出援助之手时，他一定十分感激你，你也会体会到爱心的分量。在生活中，关爱他人，或他人关爱自己，这会经常碰到，请围绕“爱心”写一篇习作。

26、快毕业了，给老师或同学写一封信。

28、《盼》

29、《我不再——》

30、《——是我的优点》

31、《合作》

32、哪顿饭让你最难忘？为什么？发生了什么？

33、《感动》

35题目：________留在我的记忆深处

36、在小学生活中，面对困难你选择了“信念”吗？面对失败、痛苦，你选择了“坚强”吗？面对诱惑你选择了“拒绝”吗？请以“选择_________________________”为题,写一篇不少于400字以内的习作。要求：（1）.横线上填上合适的词，如：“勇气、信念、诚实、坚强、善良……等。（2）.事情要写具体，能表达出你的真情实感。

37、热爱工作，热爱学习，也就是热爱祖国的一种表现。在你的周围，谁最热爱工作，谁最热爱学习呢？请你通过一两件具体的事例写下来，做到重点突出，内容具体，语句通顺，用词恰当，书写工整，题目自拟。

38、题目：在课堂上

文章的开头情节：在上语文课的时候，学生李刚把一只刚出生几天的小狗带进教室，放在抽屉里，小狗汪汪的叫声，引起了老师的注意……

要求：根据材料展开合理想象，写一篇完整的记叙文，不少于400字。语句要通顺不写错别字。

39题目：老师，辛苦啦！

初一下册英语考试复习试题 篇6

1. Be ___! We‘re late.

a. hurry b. fast c. quick d. slow

2. How ___ boxes of ice cream ___ there on the table?

a. many...are b. many...is c. much...is d. much...are

3. They need ___.

a. more two watchs b. two more breads

c. more two chairs d. two more chairs

4. Whose parents ___ Miss Green talking ___?

a. are…to b. is…/ c. is…to d. are…/

5. This is a picture ___ our classroom.

a. in b. of c. at d. on

6. There ____ some water in the glass.

a. is b. are c. has d. have

7. Can you see a cat in ___ tree?

a. / b. a c. an d. the

8. Happy birthday to you, Beibei!

a. That’s all right. b. You‘re welcome. c. Thank you. d. Not at all.

9. Hello, may I speak to April? ___

a. Yes, I am. b. Just a minute, please. c. Who are you? d. Certainly.

10.Isn’t it ___ nice weather?

a. a b. an c. / d. any

11.There ___ orange juice in the bottle.

a. are some b. is many c. is much d. isn‘t much

12.There are six ___ students in her school.

a. hundreds and sixty-two b. hundred and sixty-two

小学英语复习模拟试题 篇7

一、选择题

1.已知M⊆{1, 2, 3, 4}, 且M∩{1, 2}={1, 2}, 则集合M的个数是 ( ) .

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

2.设集合P={3, log2a}, Q={a, b}, 若P∩Q={0}, 则P∪Q= ( ) .

(A) {3, 0} (B) {3, 0, 1}

(C) {3, 0, 2} (D) {3, 0, 1, 2}

3.设M={x|x<4}, N={x|x2<4}, 则 ( ) .

(A) M⊆N (B) N⊆M

(C) M⊆∁RN (D) N⊆∁RM

4.已知集合A={y|y=x2-1, x∈R}, B={x|y=lg (1-x) }, 则A∩B= ( ) .

(A) [-1, 1] (B) [-1, 1)

(C) (-1, 1) (D) (-∞, +∞)

5.已知E, F, G, H是空间四点, 命题甲:E, F, G, H四点不共面, 命题乙:直线EF和GH不相交, 则甲是乙的 ( ) .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件

6.已知全集U=R, 集合$A=\left\{1,2,3,4,5\right\},B=\{x\in \mathbf{R}|x\ge 2\}$, 则图1中阴影部分所表示的集合为 ( ) .

(A) {1} (B) {0, 1}

(C) {1, 2} (D) {0, 1, 2}

7.已知条件p:x≤1, 条件q:$\frac{1}{x}\le 1$, 则q是¬p成立的 ( ) .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既非充分也非必要条件

8.以下有关命题的说法错误的是 ( ) .

(A) 命题“若x2-3x+2=0, 则x=1”的逆否命题为“若x≠1, 则x2-3x+2≠0”

(B) “x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件

(C) 若p∧q为假命题, 则p, q均为假命题

(D) 对于命题p:∃x∈R, 使得x2+x+1<0, 则p:∀x∈R, 则x2+x+1≥0

9.a, b为非零向量, “函数f (x) = (ax+b) 2 为偶函数”是“a⊥b”的 ( ) .

(A) 充分但不必要条件

(B) 必要但不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件

10.已知全集U=R, 集合$A=\{x|2{}^x>1\}‚B=\{x|\frac{1}{x-1}>0\}$, 则A∩ (∁UB) = ( ) .

(A) {x|x>1} (B) {x|0<x<1}

(C) {x|0<x≤1} (D) {x|x≤1}

11.命题“函数y=f (x) (x∈M) 是偶函数”的否定是 ( ) .

(A) ∀x∈M, f (-x) ≠f (x)

(B) ∃x∈M, f (-x) ≠f (x)

(C) ∀x∈M, f (-x) =f (x)

(D) ∃x∈M, f (-x) =f (x)

12.已知集合${\rm M}=\{(x,y)|x{}^2+y{}^2=1,x\in \mathbf{{\rm Z}},y\in \mathbf{{\rm Z}}\}‚{\rm N}=\{(x,y)|(x-1){}^2+y{}^2=1\}$, 则M∩N的元素个数为 ( ) .

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4

13.集合A={ (x, y) |y=a}, 集合B={ (x, y) |y=bx+1, b>0, b≠1}, 若集合A∩B=∅, 则实数a的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})(-\infty ,1)(\text{B})\left(-\infty ,1\right]\\ (\text{C})(1,+\infty )(\text{D})\mathbf{R}\end{array}$

14.设P, Q为两个非空实数集合, 定义集合P+Q={a+b|a∈P, b∈Q}, 若P={0, 2, 5}, Q={1, 2, 6}, 则P+Q中元素的个数为 ( ) .

(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

15.已知N是自然数集, 常数a, b都是自然数, 集合M={x|2x-a≤0}, 集合P={x|3x-b>0}, 如果M∩P∩N={2, 3, 4}, 那么以 (a, b) 为坐标的点一共有 ( ) .

(A) 1个 (B) 6个 (C) 10个 (D) 12个

16.对于集合M, N, 定义M-N={x|x∈M且$x\notin {\rm N}\}‚{\rm M}\oplus {\rm N}=\left({\rm M}-{\rm N}\right){\displaystyle \cup \left({\rm N}-{\rm M}\right)}$.设$A=\{y|y=3{}^x,x\in \mathbf{R}\}‚B=\{y|y=-\left(x-1\right){}^2+2,x\in \mathbf{R}\}$, 则

$\begin{array}{l}A\oplus B=().\\ (\text{A})[0,2)(\text{B})(0,2]\\ (\text{C})(-\infty ,0]{\displaystyle \cup \left(2,+\infty \right)}(\text{D})\left(-\infty ,0\right){\displaystyle \cup [}2,+\infty )\end{array}$

17.在△ABC中, “sinA>sinB”是“cosA<cosB”的 ( ) .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件

二、填空题

18.已知命题p:∃x∈R, x2+2ax+a≤0, 则命题p的否定是;若命题p为假命题, 则实数a的取值范围是.

19.已知全集$U=\left\{-2,-1,0,1,2\right\}$, 集合$A=\left\{x|x=\frac{2}{n-1},x‚n\in \mathbf{{\rm Z}}\right\}$, 则∁UA=.

20.若x∈A, 且$\frac{1}{x}\in A$, 则称A是“伙伴关系集合”.在集合${\rm M}=\{\frac{1}{2},1,2,3\}$的所有非空子集中任选一个集合, 则该集合是“伙伴关系集合”的概率为.

21.给出下列命题:

①A=1是幂函数;

②函数f (x) =2x-log2x的零点有2个;

$③\sqrt{x-1}(x-2)\ge 0$的解集为$\left[2,+\infty \right)$;

④“x<1”是“x<2”的充分不必要条件;

⑤函数y=x3在点O (0, 0) 处的切线是x轴.

其中真命题的序号是 (写出所有正确命题的编号) .

22.当一个非空数集F满足条件“如果a, b∈F, 则a+b, a-b, a·b∈F, 并且当b≠0时, $\frac{a}{b}\in F$”时, 我们就称F为一个数域.以下四个关于数域的命题:①0是任何数域的元素;②若数域F中有非零元素, 则2011∈F;③集合${\rm P}=\left\{x|x=3k,k\in \mathbf{{\rm Z}}\right\}$是一个数域;④有理数集是一个数域.其中正确命题的序号为.

23.在实数集R中定义一种运算“*”, 具有性质:

①对任意a, b∈R, a*b=b*a;

②对任意a∈R, a*0=a;

③对任意a, b, c∈R, (a*b) *c=c* (ab) + (a*c) + (b*c) -2c.

则0*2=, 函数$f(x)=x*\frac{1}{x}(x＞0)$的最小值是.

三、解答题

24.设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0, 其中a<0, q:实数x满足x2+2x-8>0, 且¬p是¬q的必要不充分条件, 求a的取值范围.

25.设$U=\mathbf{R}‚f\left(x\right)=x{}^2+3x+2‚g\left(x\right)=x{}^2+(m+1)x+m,m\in \mathbf{R}.$

(1) 设集合$A=\left\{x|f\left(x\right)=0\right\}‚B=\left\{x|g\left(x\right)=0\right\}$.若 (∁UA) ∩B=∅, 求m的值.

(2) 设集合${\rm P}=\left\{y|y=f\left(x\right)\right\},Q=\left\{m|g\left(x\right)\text{在}\text{区}\text{间}\left[-1‚+\infty \right)\text{上}\text{是}\text{增}\text{函}\text{数}\right\}$, 求P∩Q.

26.已知集合A={-2, 0, 2}, B={-1, 1}.

(1) 若M={ (x, y) |x∈A, y∈B}, 用列举法表示集合M;

(2) 在 (1) 中集合M内随机取出一个元素 (x, y) , 求以 (x, y) 为坐标的点位于区域

内的概率.

27.设命题p:函数f (x) =x3-ax-1在区间[-1, 1]上单调递减;命题q:函数y=ln (x2+ax+1) 的值域是R.如果命题p或q为真命题, p且q为假命题, 求a的取值范围.

参考答案

1.D.由题意可得1, 2∈M, 有M={1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}, 共4个.

2.B.由题意知, log2a=0, ∴a=1, 从而

4.B.A={y|y≥-1}, B={x|x<1}, ∴A∩B=[-1, 1) .

5.A.若E, F, G, H四点不共面, 则该四点组成一个三棱锥, ∴直线EF和GH不相交, 反之, 若直线EF和GH不相交, 当EF//GH时, E, F, G, H四点共面.

6.A.阴影部分为A的元素除去A∩B={2, 3, 4, 5}中的元素, 即$\left\{1\right\}.$

7.B.¬p:x>1, q:$\frac{1}{x}<1\iff x<0$或x>1, 故q是¬p成立的必要不充分条件.

8.C.“若p, 则q”的逆否命题为“若¬q, 则¬p”, ∴A正确.“x=1”⇒“x2-3x+2=0” (即x=1或x=2) , 而“x2-3x+2=0” /⇒“x=1”, ∴B正确.若p∧q为假命题, 说明p, q中至少有一个为假命题, ∴C错.命题“∃x, 使p”的否定为“∀x, 使¬p”, ∴D正确.

9.C.f (x) =a2x2+2a·bx+b2, 若f (x) 为偶函数, 则a·b=0⇒a⊥b, 反之也成立.

10.C.由2x>1=20, 得A={x|x>0}.由$\frac{1}{x-1}>0$, 得x-1>0, 即B={x|x>1}, ∁UB={x|x≤1}, 即A∩ (∁UB) ={x|0<x≤1}.

11.B.原命题为“∀x∈M, f (-x) =f (x) ”, 其否定为“∃x∈M, f (-x) ≠f (x) ”.

12.A.M={ (0, 1) , (0, -1) , (1, 0) , (-1, 0) }, M∩N=∅.

13.B.由A∩B=∅知, 函数y=bx+1的图象与直线y=a没有交点, ∴a≤1.

14.B.当a=0时, b=1, 2, 6, a+b=1, 2, 6;当a=2时, b=1, 2, 6, a+b=3, 4, 8;当a=5时,

, 由M∩P∩N={2, 3, 4}, 得

$\{\begin{array}{l}1\le \frac{b}{3}<2‚\\ 4\le \frac{a}{2}<5‚\end{array}\therefore \{\begin{array}{l}3\le b<6‚\\ 8\le a<10.\end{array}$

又a, b∈N, 当a=8时, b=3, 4, 5, 当a=9时, b=3, 4, 5, 共6组.

$\begin{array}{l}16.\text{C}.A=\{y|y>0\}‚B=\{y|y\le 2\}‚A-B=\{y|x>2\}‚B-A=\{x|x\le 0\}‚\\ \therefore A\oplus B=\{y|x>2\}{\displaystyle \cup \{}x|x\le 0\}=(-\infty ,0]{\displaystyle \cup (}2,+\infty ).\end{array}$

17.C.由$\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{b}{\text{s}\text{i}\text{n}B}$, 得sinA>sinB⇔a>b.

由$\cos A=\frac{b{}^2+c{}^2-a{}^2}{2bc}‚\cos B=\frac{a{}^2+c{}^2-b{}^2}{2ac}$,

$\begin{array}{l}\text{得}\cos A<\cos B\\ \iff \frac{b{}^2+c{}^2-a{}^2}{2bc}<\frac{a{}^2+c{}^2-b{}^2}{2ac}\\ \iff ab{}^2+ac{}^2-a{}^3<ba{}^2+bc{}^2-b{}^3\\ \iff a{}^3-b{}^3+ba{}^2+bc{}^2-ab{}^2-ac{}^2>0\\ \iff (a-b)(a+b-c)(a+b+c)>0\iff a>b.\end{array}$

于是sinA>sinB⇔cosA<cosB.

18.∀x∈R, x2+2ax+a>0, (0, 1) .

由p为假命题知, ¬p为真命题,

则Δ= (2a) 2-4a<0, ∴0<a<1.

19.{0}.由x, n∈Z, 得n-1=-2, -1, 1, 2, 即

的非空子集有24-1=15个, 其中“伙伴关系集合”有:$\{1\}‚\left\{\frac{1}{2},2\right\},\left\{\frac{1}{2},1,2\right\}$, 共3个, 所求的概率为$\frac{3}{15}=\frac{1}{5}.$

21.④⑤.A不能写成y=xα (x≠0) 的形式, ①假.y=2x与y=x2的图象有3个交点, 得函数f (x) =2x-x2的零点有3个, ②假.③的解集应为$\{x|x\ge 2$或x=1}.x<1⇒x<2, 但x<2⇒x<1, ④真.$y^{\prime }=3x{}^2‚y^{\prime }|{}_{x=0}=0$, 切线为y=0, ⑤真.

22.①②④.设a∈F, 则a-a=0∈F;若数域F中有非零元素a, 则$\frac{a}{a}=1\in F‚1+1=2\in F‚\cdots ‚2010+1=2011\in F$;3, 6∈F, 但$\frac{6}{3}=2\ne 3k$, 即2∉F;有理数加、减、乘、除还是有理数, 故有理数集是一个数域.

$\begin{array}{l}23.2,3.0*2=2*0=2.\\ f(x)=x*\frac{1}{x}=(x*\frac{1}{x})*0=0*(x\cdot \frac{1}{x})+(x*0)+(\frac{1}{x}*0)-2\times 0=0*1+x+\frac{1}{x}=1*0+x+\frac{1}{x}=1+x+\frac{1}{x}\ge 3.\end{array}$

$\begin{array}{l}24.\text{解}:\text{设}A=\left\{x|x{}^2-4ax+3a{}^2<0,a<0\right\}\\ =\left\{x|3a<x<a,a<0\right\}‚B=\left\{x|x{}^2+2x-8>0\right\}\\ =\left\{x|x<-4\text{或}x>2\right\}‚\end{array}$

∵¬p是¬q的必要不充分条件,

∴q是p的必要不充分条件,

∴A⊂≠B, 于是a≤-4或3a≥2,

即a≤-4或$a\ge \frac{2}{3}.$

又a<0, ∴a的取值范围是 (-∞, -4].

25.解: (Ⅰ) 由题意知, $A=\left\{-1,-2\right\}$.当m=1时, $B=\left\{-1\right\}$, 此时 (∁UA) ∩B=∅, ∴m=1适合;当m≠1时, $B=\left\{-1,-m\right\}$, 又 (∁UA) ∩B=∅, ∴m=2.综上, m=1或2.

$(\mathrm{Ⅱ}){\rm P}=\left[-\frac{1}{4},+\infty \right)‚g\left(x\right)=x{}^2+(m+1)x+m=(x+\frac{m+1}{2}){}^2-\frac{(m+1){}^2}{4}+m$,

由题意知, $-\frac{m+1}{2}\le -1$, 即

$\begin{array}{l}m\ge 1‚\\ \therefore Q=\left[1,+\infty \right)‚\\ \therefore {\rm P}{\displaystyle \cap Q}=\left[1,+\infty \right).\end{array}$

26.解: (Ⅰ) 由题意知, M={ (-2, -1) , (-2, 1) , (0, -1) , (0, 1) , (2, -1) , (2, 1) }.

(Ⅱ) 区域D如图所示, 在集合M内随机取出一个元素 (x, y) , 共有 (-2, -1) , (-2, 1) , (0, -1) , (0, 1) , (2, -1) , (2, 1) , 共6种, 而位于区域D内的点有 (-2, -1) , (0, -1) , (0, 1) , (2, -1) , 共4种, ∴所求的概率$p=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$

27.解:当命题p为真时, f ′ (x) =3x2-a≤0在[-1, 1]上恒成立,

∴a≥3x2, 又当x∈[-1, 1]时, (3x2) max=3,

于是a≤3.

当命题q为真时, 由函数y=ln (x2+ax+1) 的值域为R知, x2+ax+1能取到任何的正实数, 即函数y=x2+ax+1的图象至少与x轴有1个交点,

∴Δ=a2-4≥0, 解之, 得a≤-2或a≥2.

由p或q为真命题, p且q为假命题, 得p, q必一真一假.

当p真q假时, 无解;

当p假q真时,

$\{\begin{array}{l}a<3,\\ a\le -2\text{或}a\ge 2‚\end{array}$

解之, 得a≤-2或2≤a<3.

∴a的取值范围是 (-∞, -2]∪[2, 3) .

二、函数与微积分部分 (1)

一、选择题

1.函数$y=\sqrt{2-x}+gx$的定义域是 ( ) .

(A) (0, 2] (B) (0, 2)

(C) [0, 2] (D) [1, 2]

2.已知两个函数f (x) 和g (x) 的定义域和值域都是集合$\left\{a,b,c\right\}$, 其定义如下表:

则g[f (a) ]的值为 ( ) .

(A) a (B) b

(C) c (D) 以上都不对

3.已知函数$f(x)=(\frac{1}{2})-x{}^{\frac{1}{3}}$, 那么在下列区间中含有函数f (x) 零点的是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})(0,\frac{1}{3})(\text{B})(\frac{1}{3},\frac{1}{2})\\ (\text{C})(\frac{1}{2},\frac{2}{3})(\text{D})(\frac{2}{3},1)\end{array}$

4.已知定义在 (-1, 1) 上的函数f (x) =x-sinx, 若f (a-2) +f (4-a2) <0, 则a的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})(-\infty ,-1){\displaystyle \cup (}2,+\infty )\\ (\text{B})(\sqrt{3},\sqrt{5})\\ (\text{C})(2,\sqrt{5})\\ (\text{D})(0,2)\end{array}$

5.已知函数若f (2-x2) >f (x) , 则实数x的取值范围是 ( ) .

(A) (-∞, -1) ∪ (2, +∞)

(B) (-∞, -2) ∪ (1, +∞)

(C) (-1, 2)

(D) (-2, 1)

6.在同一个坐标系中画出函数y=ax, y=sinax的部分图象, 其中a>0且a≠1, 则下列所给图象中可能正确的是 ( ) .

7.为了得到函数$y=\log {}_2\frac{x+3}{2}$的图象, 只需把函数y=log2x的图象上所有的点 ( ) .

(A) 向左平移3个单位长度, 再向上平移1个长度单位

(B) 向右平移3个单位长度, 再向上平移1个长度单位

(C) 向左平移3个单位长度, 再向下平移1个长度单位

(D) 向右平移3个单位长度, 再向下平移1个长度单位

8.已知函数f (x) =ax+x-b的零点x0∈ (k, k+1) (k∈Z) , 且常数a, b分别满足2a=3, 3b=2, 则k= ( ) .

(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

9.已知图象不间断的函数f (x) 是区间[a, b]上的单调函数, 且在区间 (a, b) 上存在零点.图1是用二分法求方程f (x) =0近似解的程序框图, 判断框内可以填写的内容有如下四个选择:

①f (a) f (m) <0; ②f (a) f (m) >0;

③f (b) f (m) <0; ④f (b) f (m) >0.

其中正确的选择是 ( ) .

(A) ①② (B) ②③

(C) ①④ (D) ③④

10.已知函数f (x+1) 是定义在R上的奇函数, 若对于任意给定的不等实数x1, x2, 不等式 (x1-x2) [f (x1) -f (x2) ]<0恒成立, 则不等式f (1-x) <0的解集为 ( ) .

(A) (1, +∞) (B) (0, +∞)

(C) (-∞, 0) (D) (-∞, 1)

11.定义一种运算:已知函数f (x) =2x⨂ (3-x) , 那么函数y=f (x+1) 的大致图象是 ( ) .

12.已知f (x) 在R上是奇函数, 且满足f (x+3) =-f (x) , 当x∈ (-3, 0) 时, f (x) =2x2, 则f (2011) 等于 ( ) .

(A) -2 (B) 2 (C) -98 (D) 98

13.当x∈[0, 2]时, 函数f (x) =ax2+4 (a-1) x-3在x=2时取得最大值, 则a的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})[-\frac{1}{2},+\infty )(\text{B})[0,+\infty )\\ (\text{C})[1,+\infty )(\text{D})[\frac{2}{3},+\infty )\end{array}$

14.右图所示的是某一容器的三视图, 现向容器中匀速注水, 容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是 ( ) .

15.已知是 (-∞, +∞) 上的增函数, 那么a的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})(1‚+\infty )(\text{B})(0‚3)\\ (\text{C})(1‚3)(\text{D})[\frac{3}{2}‚3)\end{array}$

16.已知集合M={1, 2, 3, m}, N={4, 7, n4, n2+3n}, m, n∈N, 映射f:y→3x+1是从M到N的一个函数, 则m-n的值为 ( ) .

(A) 2 (B) 3

(C) 4 (D) 5

17.若一系列函数的解析式相同, 值域相同但定义域不同, 则称这些函数为“孪生函数”.那么函数解析式为y=2x2+1, 值域为$\left\{3,19\right\}$的“孪生函数”共有 ( ) .

(A) 15个 (B) 12个

(C) 9个 (D) 8个

18.若函数f (x) = (k-1) ax-a-x (a>0, a≠1) 在R上既是奇函数, 又是减函数, 则g (x) =loga (x+k) 的图象是 ( ) .

19.已知函数f (x) =x2-2x, g (x) =ax+2 (a>0) , 若∀x1∈[-1, 2], ∃x2∈[-1, 2], 使得f (x1) = g (x2) , 则实数a的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})(0,\frac{1}{2}](\text{B})[\frac{1}{2},3]\\ (\text{C})(0,3](\text{D})[3,+\infty )\end{array}$

20.设a (0<a<1) 是给定的常数, f (x) 是R上的奇函数, 且在 (0, +∞) 上是增函数, 若$f(\frac{1}{2})=0‚f(\log {}_{a}t)＞0$, 则t的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})(0,\sqrt{a})(\text{B})(1,\frac{1}{\sqrt{a}})\\ (\text{C})(0,\frac{1}{\sqrt{a}})(\text{D})(1,\frac{1}{\sqrt{a}}){\displaystyle \cup (}0,\sqrt{a})\end{array}$

21.已知$f(x)=\ln (x{}^2+1),g(x)=(\frac{1}{2}){}^x-m$, 若∀x1∈[0, 3], ∃x2∈[1, 2], 使得f (x1) ≥g (x2) , 则实数m的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})[\frac{1}{4}‚+\infty )(\text{B})(-\infty ‚\frac{1}{4}]\\ (\text{C})[\frac{1}{2}‚+\infty )(\text{D})(-\infty ‚-\frac{1}{2}]\end{array}$

22.定义在R上的函数f (x) 满足则f (2011) 的值为 ( ) .

(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

23.已知函数f (x) 满足:①∀x, y∈R, f (x+y) =f (x) +f (y) , ②∀x>0, f (x) >0, 则 ( ) .

(A) f (x) 是偶函数且在 (0, +∞) 上单调递减

(B) f (x) 是偶函数且在 (0, +∞) 上单调递增

(C) f (x) 是奇函数且单调递减

(D) f (x) 是奇函数且单调递增

二、填空题:

24.已知函数为奇函数, 则a+b=.

25.已知定义在R上的函数f (x) 满足:f (x) ·f (x+2) =13, 若f (1) =2, 则f (2011) =.

26.已知奇函数f (x) 在 (-∞, 0) 为减函数, 且f (2) =0, 则不等式 (x-1) ·f (x-1) <0的解集为.

27.已知函数f (x) 对任意的x∈R都有f (1+x) =f (1-x) , 函数$f(x+\frac{1}{2})$是奇函数, 当0≤x≤1时, f (x) =2x-1, 则方程$f(x)=-\frac{1}{3}$在[-3, 4]内的所有根之和等于.

三、解答题

28.已知函数f (x) =|x|· (a-x) , a∈R.

(Ⅰ) 当a=4时, 画出函数f (x) 的大致图象, 并写出其单调递增区间;

(Ⅱ) 若函数f (x) 在x∈[0, 2]上是单调递减函数, 求实数a的取值范围;

(Ⅲ) 若不等式|x|· (a-x) ≤6对x∈[0, 2]恒成立, 求实数a的取值范围.

29.已知函数$f(x)=\ln \frac{x+1}{x-1}.$

(Ⅰ) 求函数的定义域, 并证明$f(x)=\ln \frac{x+1}{x-1}$在定义域上是奇函数;

(Ⅱ) 对于$x\in [2,6]‚f(x)=\ln \frac{x+1}{x-1}>\ln \frac{m}{(x-1)(7-x)}$恒成立, 求实数m的取值范围.

30.某销售商销售某品牌手机, 该品牌手机进价为每部1580元, 零售价为每部1880元.为促进销售, 拟采用买一部手机赠送一定数量礼物的方法, 且赠送礼物的价值不超过180元.统计表明:在促销期间, 礼物价值每增加15元 (礼物的价值都是15元的整数倍, 如礼物价值为30元, 可视为两次增加15元, 其余类推) , 销售量都增加11%.

(Ⅰ) 当赠送礼物的价值为30元时, 销售的总利润变为原来不赠送礼物时的多少倍?

(Ⅱ) 试问赠送礼物的价值为多少元时, 商家可获得最大利润?

31.已知函数$f(x)=\log {}_a\frac{2m-1-mx}{x+1}(a＞0,a\ne 1)$是奇函数, 定义域为区间D.

(Ⅰ) 求实数m的值, 并写出区间D;

(Ⅱ) 当a>1时, 试判断函数y=f (x) 在定义域D内的单调性, 并说明理由;

(Ⅲ) 当x∈A=[a, b]⫋D (a是底数) 时, 函数值组成的集合为[1, +∞) , 求实数a, b的值.

32.某地区的农产品A第x天$\left(1\le x\le 20\right)$的销售价格$p=50-\left|x-6\right|$ (元∕百斤) , 一农户在第x天$\left(1\le x\le 20\right)$农产品A的销售量$q=40+\left|x-8\right|$ (百斤) .

(Ⅰ) 求该农户在第7天销售农产品A的收入;

(Ⅱ) 问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大?

33.某企业投入81万元经销某产品, 经销时间共60个月, 市场调研表明, 该企业在经销这个产品期间第x个月的利润 (单位:万元) .

为了获得更多的利润, 企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第x个月的利润率为$g(x)=\frac{\text{第}x\text{个}\text{月}\text{的}\text{利}\text{润}}{\text{第}x\text{个}\text{月}\text{前}\text{的}\text{资}\text{金}\text{总}\text{和}}$, 例如, $g(3)=\frac{f(3)}{81+f(1)+f(2)}.$

(Ⅰ) 求g (10) ;

(Ⅱ) 求第x个月的当月利润率;

(Ⅲ) 求该企业经销此产品期间, 哪一个月的当月利润率最大, 并求出该月的当月利润率.

参考答案

1.B.由得0<x<2.

2.C.由题中表格可知, g[f (a) ]=g (b) =c.

3.B.观察知f (x) 单调递增, $f(0)=1>0‚f(\frac{1}{2})=\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}=\sqrt[6]{\frac{1}{8}}-\sqrt[6]{\frac{1}{4}}<0$, 零点在$(0,\frac{1}{2})$内, 又$f(\frac{1}{3})=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}-\sqrt[3]{\frac{1}{3}}>0$, 故零点在$(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$内.

4.C.f (x) 在 (-1, 1) 上为奇函数, f′ (x) =1-cosx≥0, 当且仅当x=0时取等号, 于是f (x) 在 (-1, 1) 上单调递增, 由f (a-2) +f (4-a2) <0, 得

$\begin{array}{l}f(a-2)<-f(4-a{}^2)=f(a{}^2-4)‚\\ \therefore \{\begin{array}{l}-1<a-2‚\\ a{}^2-4<1‚\\ a-2<a{}^2-4‚\end{array}\text{解}\text{之}‚\text{得}2<a<\sqrt{5}.\end{array}$

5.D.f (x) 在 (-∞, 0]上递增, 在 (0, +∞) 也递增, 且在x=0处连续, ∴f (x) 在 (-∞, +∞) 上递增, 由f (2-x2) >f (x) , 得2-x2>x, 解之, 得-2<x<1.

6.D.由A, C中的图象得a>1, 则y=sinax周期${\rm T}=\frac{2\text{π}}{a}<2\text{π}‚\therefore \text{A},\text{C}$均错, 由B, D的图象得0<a<1, 则y=sinax周期${\rm T}=\frac{2\text{π}}{a}>2\text{π}‚\therefore \text{B}$错, 故选D.

$7.\text{C}.\because y=\log {}_2\frac{x+3}{2}=\log {}_2(x+3)-1‚\therefore$将y=log2x的图象向左平移3个单位, 再向下平移1个单位即可.

8.A.由2a=3, 3b=2, 得a>1, 0<b<1, 且a=log23, b=log32, ab=1, f (x) =ax+x-b单调递增, f (0) =1-b>0, f (-1) =a-1-1-b=-1<0,

∴x0∈ (-1, 0) , 即k=-1.

9.C.由题图所给的框图知, 当零点在 (a, m) 时, 输出的a, 零点在 (m, b) 时, 输出的a=m, 于是可填f (a) f (m) <0或f (b) f (m) >0.

10.C.由题意知, f (x) 关于点 (1, 0) 对称, 由 (x1-x2) [f (x1) -f (x2) ]<0知, x1-x2与f (x1) -f (x2) 异号, 即f (x) 为减函数, 且f (1) =0, 而f (1-x) <0=f (1) , ∴1-x>1, 即x<0.

11.B.由所给的定义得又函数g (x) =2x+x-3单调递增, 且f (1) =0, 所以当x<1时, g (x) <0, 即2x<3-x, 当x≥1时, g (x) ≥0, 即把其图象向左平移1个单位得f (x+1) 的图象.

12.A.由f (x+6) =-f (x+3) =-[-f (x) ]=f (x) , f (x) 是以6为周期的周期函数, f (2011) =f (335×6+1) =f (1) =-f (1) =-2.

13.D.当a=0时, f (x) =-4x-3在[0, 2]上递减, 不能在x=2处取得最大值;当a>0时, 二次函数f (x) 的开口方向向上, 对称轴为$x=-\frac{4(a-1)}{2a}=-2+\frac{2}{a}$, 要在x=2处取得最大值, 则$-2+\frac{2}{a}\le 1$, 解之, 得$a\ge \frac{2}{3}$;当a<0时, $x=-2+\frac{2}{a}<0$不能在x=2处取得最值, $\therefore a\ge \frac{2}{3}.$

14.B.由三视图知该容器为开口向上的圆锥, 则水面的高度h随时间t的增加, h的升高的速度越来越慢, 只有B正确.

15.D.由f (x) 在R上单调递增知, 解之, 得$\frac{3}{2}\le a<3.$

16.B.由题意可得或又m, n∈N, 解之, 得

17.C.由3=2x2+1, 得x=±1, 由19=2x2+1, 得x=±3, 要得到值域为$\left\{3,19\right\}$, 则定义域可能为{-1, -3}, {-1, 3}, {1, -3}, {1, 3}, {-1, 1, -3}, {-1, 1, 3}, {-1, -3, 3}, {1, -3, 3}, {-1, 1, -3, 3}.

18.A.由f (x) 是R上的奇函数, 则f (0) =0,

∴ (k-1) -1=0, 即k=2.

又$f(x)=a{}^x-a{}^{-x}=a{}^x-\frac{1}{a{}^x}$为减函数, ∴0<a<1, 则g (x) =loga (x+2) 的图象由y=logax的图象向左平移2个单位得到, 故选A.

19.D.当x∈[-1, 2]时, f (x) = (x-1) 2-1∈[-1, 3], 又a>0, g (x) =ax+2递增,

∴当x∈[-1, 2]时, g (x) ∈[-a+2, 2a+2].

$\begin{array}{l}\text{由}\text{题}\text{意}\text{知},[-1,3]\subseteq [-a+2,2a+2]‚\\ \therefore \{\begin{array}{l}-a+2\le -1,\\ 2a+2\ge 3,\end{array}\text{即}a\ge 3.\end{array}$

20.D.由题意可得f (x) 的图象如图所示, 由f (logat) <0, 得$-\frac{1}{2}<\log {}_{a}t<0$或$\log {}_{a}t>\frac{1}{2}$.由$-\frac{1}{2}<\log {}_{a}t<0$, 得$\log {}_a\frac{1}{\sqrt{a}}<\log {}_{a}t<\log {}_{a}1$, 而$0<a<1,\therefore 1<t<\frac{1}{\sqrt{a}}$;由$\log {}_{a}t>\frac{1}{2}$, 得$\log {}_{a}t>\log {}_a\sqrt{a}$, 则

21.A.当x∈[0, 3]时, f (x) ∈[0, ln10], 当x∈[1, 2]时, $g(x)\in [\frac{1}{4}-m,\frac{1}{2}-m]$, 由于∀x1∈[0, 3], ∃x2∈[1, 2], 使得f (x1) ≥g (x2) , 则$f(x){}_{\min }\ge g(x){}_{\min },\therefore \frac{1}{4}-m\le 0$, 即$m\ge \frac{1}{4}.$

22.由题意可得f (-1) =1, f (0) =0, f (1) =f (0) -f (-1) =-1, f (2) =f (1) -f (0) =-1, 于是f (1) , f (2) , f (3) , …依次为-1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, …其周期为6, 而2011=6×335+1, 有f (2011) =f (1) =-1.

23.D.令x=y=0, 有f (0) =f (0) +f (0) , 则f (0) =0.令y=-x, 有f (0) =f (x) +f (-x) , 即f (-x) =-f (x) , ∴f (x) 为奇函数.

设0<x1<x2, 令x2=x1+t, t>0, 则f (t) >0, 有f (x2) -f (x1) =f (x1+t) -f (x1) =f (x1) +f (t) -f (x1) =f (t) >0, ∴f (x2) >f (x1) , 即f (x) 在 (0, +∞) 上单调递增.

又f (x) 为奇函数, 且在x=0处连续不断, 故f (x) 在R上为增函数.

24.0.当x<0时, 则-x>0, ∴f (x) =x2+x, f (-x) =ax2-bx, 而

$\begin{array}{l}f(-x)=-f(x),\therefore -x{}^2-x=ax{}^2-bx,\therefore a=-1,b=1.\therefore a+b=0.\\ 25.\frac{13}{2}.f(x+4)=\frac{13}{f(x+2)}=\frac{13}{\frac{13}{f(x)}}=f(x).\\ \therefore f(2011)=f(4\times 502+3)=f(3)=\frac{13}{f(1)}=\frac{13}{2}.\end{array}$

26. (-∞, -1) ∪ (3, +∞) .由题意知, f (x) 的大致图象如图所示.

当x>1时, 有f (x-1) <0, ∴x-1>2, 即x>3;

当x<1时, 有f (x-1) >0,

这时x-1<0, 则x-1<-2, 即x<-1.

$\therefore x<-1\text{或}x>3.$

.由$f(x+\frac{1}{2})$是奇函数, 得$f(-x+\frac{1}{2})=-f(x+\frac{1}{2})$,

以$x-\frac{1}{2}$代x得f (1-x) =-f (x) ,

又f (1+x) =f (1-x) ,

于是f (x+1) =-f (x) , 则f (x+2) =f (x) ,

∴f (x) 是以2为周期的周期函数,

由f (1+x) =f (1-x) 知, f (x) 的图象关于x=1对称.

又0≤x≤1时, f (x) =2x-1, 设点P (x, y) 是f (x) 在[1, 2]上任意一点, 则点P关于x=1的对称点为P′ (2-x, y) , 有y=2 (2-x) -1=-2x+3, 即

$f(x)=\{\begin{array}{l}2x-1,0\le x\le 1,\\ -2x+3,1<x\le 2.\end{array}$

设方程$f(x)=-\frac{1}{3}$在[0, 2]的2个实根为x1, x2, 则x1与x2关于x=1对称, 则x1+x2=2.

设方程$f(x)=-\frac{1}{3}$在[-2, 0]上的2个实根为x3<x4, 在[2, 4]上的2个实根为x5<x6,

则x4+x5=2, x3+x6=2.

设x∈[-3, -2], 则x+4∈[1, 2], 有

f (x) =f (x+4) =-2 (x+4) +3=-2x-5.

令$f(x)=-2x-5=-\frac{1}{3}$, 解之, 得$x=-\frac{7}{3}.$

故所有实根之和为$2\times 3+(-\frac{7}{3})=\frac{11}{3}.$

28.解: (Ⅰ) a=4时, 的图象如图所示,

∴f (x) 的单调递增区间为[0, 2].

(Ⅱ) x∈[0, 2]时, $f(x)=x(a-x)=-x{}^2+ax=-(x-\frac{a}{2}){}^2+\frac{a{}^2}{4}$,

若函数f (x) 在x∈[0, 2]上是单调递减函数, 则$\frac{a}{2}\le 0$, 所以a≤0.

(Ⅲ) 当x=0时, 0≤6成立, 所以a∈R.

当$0＜x\le 2‚a-x\le \frac{6}{x}$, 即$a\le x+\frac{6}{x},$

只要$a\le (x+\frac{6}{x}){}_{\min }$,

设$g(x)=x+\frac{6}{x},g(x)$在$(0,\sqrt{6}]$上递减, 在$[\sqrt{6},+\infty )$上递增,

当0<x≤2时, g (x) min=g (2) =5, 所以a≤5.

综上, |x| (a-x) ≤6对x∈[0, 2]恒成立的实数a的取值范围是 (-∞, 5].

29.解: (Ⅰ) 由$\frac{x+1}{x-1}>0$, 解之, 得x<-1或x>1, 即函数的定义域为 (-∞, -1) ∪ (1, +∞) .

当x∈ (-∞, -1) ∪ (1, +∞) 时,

$\begin{array}{l}f(-x)=\ln \frac{-x+1}{-x-1}=\ln \frac{x-1}{x+1}=\ln (\frac{x+1}{x-1}){}^{-1}\\ =-\ln \frac{x+1}{x-1}=-f(x)‚\\ \therefore f(x)=\ln \frac{x+1}{x-1}\text{在}\text{定}\text{义}\text{域}\text{上}\text{是}\text{奇}\text{函}\text{数}.\end{array}$

(Ⅱ) 由x∈[2, 6]时, $f(x)=\ln \frac{x+1}{x-1}>\ln \frac{m}{(x-1)(7-x)}$恒成立,

$\begin{array}{l}\therefore \frac{x+1}{x-1}>\frac{m}{(x-1)(7-x)}>0.\\ \because x\in [2,6]‚\therefore 0<m<(x+1)(7-x)\text{在}x\in [2,6]\text{恒}\text{成}\text{立}.\end{array}$

令g (x) = (x+1) (7-x) =- (x-3) 2+16, x∈[2, 6], 由二次函数的性质可知,

x∈[2, 3]时函数单调递增, x∈[3, 6]时函数单调递减,

x∈[2, 6]时, g (x) min=g (6) =7,

∴实数m的取值范围 (0, 7) .

30.解:设该品牌手机在不赠送礼物的条件下销售量为m部,

(Ⅰ) 原来利润为 (1880-1580) m=300m元,

当赠送礼物的价值为30元时, 销售的总利润为

$(1880-1580-30)m(1+11\%){}^2=1.2321\times 270m‚$

=1.10889,

答:当赠送礼物的价值为30元时, 销售的总利润变为原来不赠送礼物时的1.1倍.

(Ⅱ) 当赠送礼物的价值为15x元时, 销售的总利润为f (x) 元, 则

f (x) = (1880-1580-15x) ·m· (1+11%) x=15m (20-x) ·1.11x, (x∈N, 且x≤12)

f (x+1) -f (x) =15m (1.09-0.11x) ·1.11x,

令f (x+1) -f (x) ≥0, 得$x\le 9\frac{10}{11}.$

∵x∈N, 且x≤12,

∴当x≤9时, f (x+1) >f (x) ;

当9<x≤12时, f (x+1) <f (x) ,

答:当赠送礼物的价值为150元时, 可以获得最大利润.

31.解: (Ⅰ) ∵y=f (x) 是奇函数,

∴对任意x∈D, 有f (x) +f (-x) =0,

即$\log {}_a\frac{2m-1-mx}{1+x}+\log {}_a\frac{2m-1+mx}{1-x}=0$,

化简此式, 得 (m2-1) x2- (2m-1) 2+1=0.

又方程有无穷多解 (D是区间) ,

$\begin{array}{l}\therefore \{\begin{array}{l}m{}^2-1=0,\\ (2m-1){}^2-1=0.\end{array}\text{解}\text{之}‚\text{得}m=1‚\\ \therefore f(x)=\log {}_a\frac{1-x}{1+x},D=(-1,1).\end{array}$

(Ⅱ) 当a>1时, 函数$f(x)=\log {}_a\frac{1-x}{1+x}$在D= (-1, 1) 上是单调减函数.

理由:令$t=\frac{1-x}{1+x}=-1+\frac{2}{1+x}.$

易知1+x在D= (-1, 1) 上是随x增大而增大, $\frac{2}{1+x}$在D= (-1, 1) 上是随x增大而减小,

故$t=\frac{1-x}{1+x}=-1+\frac{2}{1+x}$在D= (-1, 1) 上是随x增大而减小,

于是, 当a>1时, 函数$f(x)=\log {}_a\frac{1-x}{1+x}$在D= (-1, 1) 上是单调减函数.

(Ⅲ) ∵A=[a, b) ⊂≠D, ∴0<a<1, a<b≤1,

∴依据 (Ⅱ) , 当0<a<1时, 函数$f(x)=\log {}_a\frac{1-x}{1+x}$在A上是增函数, 即$f(a)=1,\log {}_a\frac{1-a}{1+a}=1$, 解之, 得$a=\sqrt{2}-1$ (舍去$a=-\sqrt{2}-1)$, 若b<1, 则f (x) 在A上的函数值组成的集合为$[1,\log {}_a\frac{1-b}{1+b})$, 不满足函数值组成的集合是[1, +∞) 的要求, ∴必有b=1.

因此, 所求实数a, b的值是$a=\sqrt{2}-1‚b=1.$

32.解: (Ⅰ) 由已知第7天的销售价格p=49, 销售量q=41. ∴第7天的销售收入W7=49×41=2009 (元) .

(Ⅱ) 设第x天的销售收入为Wx,

则

$W{}_x=\{\begin{array}{l}(44+x)(48-x)‚1\le x\le 6\\ 2009‚x=7‚\\ (56-x)(32+x)‚8\le x\le 20.\end{array}$

当1≤x≤6时, $W{}_x=(44+x)(48-x)\le [\frac{(44+x)+(48-x)}{2}]{}^2=2116$, 当且仅当x=2时取等号, ∴当x=2时取最大值W2=2116;

当8≤x≤20时, $W{}_x=(56-x)(32+x)\le [\frac{(56-x)+(32+x)}{2}]{}^2=1936$, 当且仅当x=12时取等号, ∴当x=12时取最大值W12=1936,

由于W2>W7>W12,

∴第2天该农户的销售收入最大.

答: (Ⅰ) 第7天的销售收入2009元; (Ⅱ) 第2天该农户的销售收入最大.

$\begin{array}{l}33.\text{解}:(\mathrm{Ⅰ})\text{依}\text{题}\text{意}\text{得}f(1)=f(2)=f(3)=\cdots =f(9)=f(10)=1.\\ \therefore g(10)=\frac{f(10)}{81+f(1)+f(2)+\cdots +f(9)}=\frac{1}{90}.\end{array}$

(Ⅱ) 当x=1时, $g(1)=\frac{1}{81}.$

当1<x≤20时, f (1) =f (2) =…=f (x-1) =f (x) =1.

则$g(x)=\frac{f(x)}{81+f(1)+f(2)+\cdots +f(x-1)}=\frac{1}{x+80}‚x=1$也符合上式.

故当1≤x≤20时, $g(x)=\frac{1}{x+80}$,

$\begin{array}{l}\text{当}21\le x\le 60\text{时}‚g(x)=\\ \frac{f(x)}{81+f(1)+f(2)+\cdots +f(21)+\cdots +f(x-1)}\\ =\frac{\frac{1}{10}x}{81+20+f(21)+\cdots +f(x-1)}\\ =\frac{\frac{1}{10}x}{101+\frac{(x-21)(x+20)}{20}}=\frac{2x}{x{}^2-x+1600},\end{array}$

所以第x个月的当月利润率为

$g(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+80},1\le x\le 20‚\\ \frac{2x}{x{}^2-x+1600},21\le x\le 60.\end{array}$

(Ⅲ) 当1≤x≤20时, $g(x)=\frac{1}{x+80}$是减函数, 此时g (x) 的最大值为$g(1)=\frac{1}{81}$,

当21≤x≤60时, $g(x)=\frac{2x}{x{}^2-x+1600}=\frac{2}{x+\frac{1600}{x-1}}\le \frac{2}{79}$, 当且仅当$x=\frac{1600}{x}$,

即x=40时, g (x) 有最大值$\frac{2}{79}.$

因为$\frac{2}{79}＞\frac{1}{81}$, 所以, 当x=40时,

g (x) 有最大值$\frac{2}{79}.$

答:该企业经销此产品期间, 第40个月的当月利润率最大, 其当月利润率为$\frac{2}{79}.$

三、函数与微积分部分 (2)

一、选择题

1.已知函数f (x) 的导函数为f′ (x) , 且满足f (x) =2xf′ (1) +lnx, 则f′ (1) = ( ) .

(A) -e (B) -1 (C) 1 (D) e

2.直线l为曲线$y=\frac{1}{3}x{}^3-x{}^2+2x+1$的切线, 则l的斜率的取值范围是 ( ) .

(A) (-∞, 1]

(B) [-1, 0]

(C) [0, 1]

(D) [1, +∞)

3.从如图1所示的正方形OABC区域内任取一个点M (x, y) , 则点M取自阴影部分的概率为 ( ) .

$(\text{A})\frac{1}{2}(\text{B})\frac{1}{3}(\text{C})\frac{1}{4}(\text{D})\frac{1}{6}$

4.设函数f (x) 在定义域内可导, y=f (x) 的图象如图2所示, 则导函数y=f′ (x) 的图象可能为 ( ) .

5.下列图象中, 有一个是函数$f(x)=\frac{1}{3}x{}^3+ax{}^2+(a{}^2-1)x+1(a\in \mathbf{R},a\ne 0)$的导数f′ (x) 的图象, 则f (-1) 的值为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\frac{1}{3}(\text{B})-\frac{1}{3}\\ (\text{C})\frac{7}{3}(\text{D})-\frac{1}{3}\text{或}\frac{5}{3}\end{array}$

6.若曲线y=x2+ax+b在点 (0, b) 处的切线方程是x-y+1=0, 则 ( ) .

(A) a=-1, b=1 (B) a=-1, b=-1

(C) a=1, b=-1 (D) a=1, b=1

7.已知函数f (x) =x3+ax与g (x) =2x2+b的图象在x=1处有相同的切线, 则a+b= ( ) .

(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

8.函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\frac{1}{2}(\text{B})1\\ (\text{C})2(\text{D})\frac{3}{2}\end{array}$

9.已知函数f (x) =x2-cosx, 则f (-0.5) , f (0) , f (0.6) 的大小关系是 ( ) .

(A) f (0) <f (-0.5) <f (0.6)

(B) f (-0.5) <f (0.6) <f (0)

(C) f (0) <f (0.6) <f (-0.5)

(D) f (-0.5) <f (0) <f (0.6)

10.若a=∫${}_0^1$xdx, b=∫${}_0^1$$\sqrt{1-x}dx,c=$∫${}_0^1$$\sqrt{1-x{}^2}dx$, 则a, b, c的大小关系是 ( ) .

(A) a<b<c (B) a<c<b

(C) b<a<c (D) c<b<a

11.已知α, β是三次函数$f(x)=\frac{1}{3}x{}^3+\frac{1}{2}ax{}^2+2bx$的两个极值点, 且α∈ (0, 1) , β∈ (1, 2) , 则$\frac{b-2}{a-1}$的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})(\frac{1}{4},1)(\text{B})(\frac{1}{2},1)\\ (\text{C})(-\frac{1}{2},\frac{1}{4})(\text{D})(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\end{array}$

12.定义在R上的函数f (x) 满足f (4) =1, f′ (x) 为f (x) 的导函数, 已知y=f′ (x) 的图象如图2所示, 若两个正数a, b满足f (2a+b) <1, 则$\frac{b+1}{a+1}$的取值范围是 ( ) .

13.函数的零点个数为 ( ) .

(A) 4 (B) 3

(C) 2 (D) 无数个

14.定义在R上的函数f (x) 满足 (x+2) f′ (x) <0 (其中f′ (x) 是函数f (x) 的导数) , 又$a=f(\log {}_{\frac{1}{3}}3),b=f[(\frac{1}{3}){}^{0.1}],c=f(\ln 3)$, 则 ( ) .

(A) a<b<c (B) b<c<a

(C) c<a<b (D) c<b<a

15.已知非零向量a, b满足$|\mathit{a}|=\sqrt{3}|\mathit{b}|$, 若函数$f(x)=\frac{1}{3}x{}^3+|\mathit{a}|x{}^2+2\mathit{a}\cdot \mathit{b}x+1$在R上有极值, 则〈a, b〉的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})[0,\frac{\text{π}}{6}](\text{B})\left(0,\frac{\text{π}}{3}\right]\\ (\text{C})\left(\frac{\text{π}}{6},\frac{\text{π}}{2}\right](\text{D})\left(\frac{\text{π}}{6},\text{π}\right]\end{array}$

二、填空题

16.已知函数f (x) =xex, 则f′ (x) =___, 函数f (x) 图象在点 (0, f (0) ) 处的切线方程为___.

17.曲线y=3-3x2与x轴所围成的图形面积为___.

18.若x∈[0, 2π], 则函数y=sinx-xcosx的单调递增区间是___.

19.已知函数f′ (x) , g′ (x) 分别是二次函数f (x) 和三次函数g (x) 的导函数, 它们在同一坐标系下的图象如图3所示:

①若f (1) =1, 则f (-1) =___;

②设函数h (x) =f (x) -g (x) , 则h (-1) , h (0) , h (1) 的大小关系为___ (用“<”连接) .

三、解答题

20.已知函数f (x) =ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值, 且在x=0处的切线的斜率为-3.

(Ⅰ) 求f (x) 的解析式;

(Ⅱ) 若过点A (2, m) 可作曲线y=f (x) 的三条切线, 求实数m的取值范围.

21.某公司生产陶瓷, 根据历年的情况可知, 生产陶瓷每天的固定成本为14000元, 每生产一件产品, 成本增加210元.已知该产品的日销售量f (x) 与产量x之间的关系式为

$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{625}x{}^2,0\le x\le 400‚\\ 256,x＞400,\end{array}$

每件产品的售价g (x) 与产量x之间的关系式为

$g(x)=\{\begin{array}{l}-\frac{5}{8}x+750,0\le x\le 400‚\\ 500,x＞400.\end{array}$

(Ⅰ) 写出该陶瓷厂的日销售利润Q (x) 与产量x之间的关系式;

(Ⅱ) 若要使得日销售利润最大, 每天该生产多少件产品, 并求出最大利润.

22.设函数f (x) =ex, 其中e为自然对数的底数.

(Ⅰ) 求函数g (x) =f (x) -ex的单调区间;

(Ⅱ) 记曲线y=f (x) 在点P (x0, f (x0) ) (其中x0<0) 处的切线为l, l与x轴, y轴所围成的三角形面积为S, 求S的最大值.

23.已知函数f (x) =ex, 直线l的方程为y=kx+b.

(Ⅰ) 求过函数图象上的任一点P (t, f (t) ) 的切线方程;

(Ⅱ) 若直线l是曲线y=f (x) 的切线, 求证:f (x) ≥kx+b对任意x∈R成立;

(Ⅲ) 若f (x) ≥kx+b对任意x∈[0, +∞) 成立, 求实数k, b应满足的条件.

24.设函数f (x) =lnx+ (x-a) 2, a∈R.

(Ⅰ) 若a=0, 求函数f (x) 在[1, e]上的最小值;

(Ⅱ) 若函数f (x) 在$[\frac{1}{2},2]$上存在单调递增区间, 试求实数a的取值范围;

(Ⅲ) 求函数f (x) 的极值点.

25.已知函数f (x) =-cosx, g (x) =ax-π.

(Ⅰ) 若函数h (x) =g (x) -f (x) 在$x=\frac{\text{π}}{3}$时取得极值, 求h (x) 的单调递减区间;

(Ⅱ) 证明:对任意的x∈R, 都有

$\left|f^{\prime }(x)\right|\le \left|x\right|$;

(Ⅲ) 若a=2, x1∈[0, π], g (xn+1) =f (xn) ,

求证:$\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|+\left|x{}_2-\frac{\text{π}}{2}\right|+\cdots +\left|x{}_{n+1}-\frac{\text{π}}{2}\right|＜\text{π}(n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}).$

26.设函数$f{}_n\left(x\right)=1-x+\frac{x{}^2}{2}-\frac{x{}^3}{3}+\cdots -\frac{x{}^{2n-1}}{2n-1}\left(n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}\right).$

(Ⅰ) 研究函数f2 (x) 的单调性;

(Ⅱ) 判断fn (x) =0的实数解的个数, 并加以证明.

27.已知f (x) =ln (1+ex) -mx (x∈R) .

(Ⅰ) 已知对于给定区间 (a, b) , 存在x0∈ (a, b) 使得$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(x{}_0)$成立, 求证:x0唯一;

(Ⅱ) 若x1, x2∈R, x2≠x2当m=1时, 比较$f\left(\frac{x{}_1+x{}_2}{2}\right)$和$\frac{f(x{}_1)+f(x{}_2)}{2}$大小, 并说明理由;

(Ⅲ) 设A, B, C是函数f (x) =ln (1+ex) -mx (x∈R, m≥1) 图象上三个不同的点, 求证:△ABC是钝角三角形.

参考答案

$1.\text{B}.f^{\prime }(x)=2f^{\prime }(1)+\frac{1}{x}$, 令x=1, 得f′ (1) =2f′ (1) +1, ∴f′ (1) =-1.

2.D.y′=x2-2x+2= (x-1) 2+1≥1, 即l的斜率的取值范围是[1, +∞) .

3.B.阴影部分的面积S=∫${}_0^1$

∴所求的概率${\rm P}=\frac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3}.$

本题也可由对特性求出阴影部分的面积

2∫${}_0^1$$(x-x{}^2)=\frac{1}{3}.$

4.D.由y=f (x) 的图象知, 当x<0时, f (x) 单调递增, f′ (x) >0, 导函数y=f′ (x) 的图象在x轴上方, 排除A, C, 当x>0时, f (x) 先递增, 再递减, 后递增, 有两个极值点, 只有D适合.

5.B.f′ (x) =x2+2ax+ (a2-1) =[x+ (a+1) ][x+ (a-1) ], 于是只有第三个图象可能是y=f′ (x) 的图象, 由其图象的对称轴x=-a>0, 小根-a-1=0, 解之, 得

$\begin{array}{l}a=-1‚\\ \therefore f(x)=\frac{1}{3}x{}^3-x{}^2+1‚\text{即}f(-1)=-\frac{1}{3}.\end{array}$

6.D.y′=2x+a, 由题意得$y^{\prime }|{}_{x=0}=a=1$, 而切点 (0, b) 在切线x-y+1=0上, ∴b=1, 即a=1, b=1.

7.C.f′ (x) =3x2+a, g′ (x) =4x, 由题意得f′ (1) =g′ (1) , ∴3+a=4, 即a=1, 于是f (x) =x3+x, f (1) =2, 则切点为 (1, 2) , 它在g (x) =2x2+b上, ∴2=2+b, 得b=0, ∴a+b=1.

8.D.所求的面积S=∫${}_{-1}^0$ (x+1) dx+${\displaystyle \int }{}_0^{\frac{\text{π}}{2}}$

, 当x∈[0, 1) 时, f′ (x) =2x+sinx≥0, 当且仅当x=0时取等号, ∴f (x) 在[0, 1) 上单调递增, 得f (0) <f (0.5) <f (0.6) , 又f (x) 为偶函数, 故只有A正确.

$10.\text{B}.a=(\frac{1}{2}x{}^2)|\begin{array}{l}x=1\\ x=0\end{array}=\frac{1}{2}‚b=[-\frac{3}{2}(1-x){}^{\frac{3}{2}}]|\begin{array}{l}{}^{x=1}\\ x=0\end{array}=\frac{3}{2}$

.令$y=\sqrt{1-x{}^2}$, 则x2+y2=1, 有0≤x≤1, 0≤y≤1, 于是c表示四分之一圆x2+y2=1的面积, 即

, 而α, β是方程f′ (x) =0的两实根, 且α∈ (0, 1) , β∈ (1, 2) ,

其表示的区域如图所示, $\frac{b-2}{a-1}$表示点 (a, b) 与点 (1, 2) 之间的斜率.

在1+a+2b=0中令b=0, 得a=-1, 即B (-1, 0) , 由解之, 得即$A(-3,1)‚k{}_{{\rm P}B}=1‚k{}_{{\rm P}A}=\frac{1}{4}‚\therefore \frac{b-2}{a-1}\in (\frac{1}{4},1).$

12.C.由y=f′ (x) 的图象知, 当x>0时, f′ (x) >0, f (x) 在 (0, +∞) 上递增, 又正数a, b满足f (2a+b) <1=f (4) , 得0<2a+b<4, 画出可行域如图所示, 可得A (2, 0) , B (0, 4) , 而${\rm P}(-1,-1)‚k{}_{{\rm P}A}=\frac{1}{3}‚k{}_{{\rm P}B}=5‚\therefore \frac{b+1}{a+1}\in [\frac{1}{3},5].$

13.B.当x≤0时, f′ (x) =1-sinx≥0, 当且仅当$x=2k\text{π}-\frac{3\text{π}}{2}\left(k\in \mathbf{{\rm Z}},k\le 0\right)$时取等号, 于是f (x) 在 (-∞, 0]上单调递增, 而$f\left(-\frac{\text{π}}{2}\right)=-\frac{\text{π}}{2}＜0‚f(0)=1＞0$, 故f (x) 在 (-∞, 0]上仅有1个零点.当x>0时, f′ (x) =x2-4= (x+2) (x-2) , 令f′ (x) =0得x=2或x=-2 (舍) , 当0<x<2时, f′ (x) <0, f (x) 递减, 当x>2时, f′ (x) >0, f (x) 递增, f (x) 在x=0处连续, $f(2)=\frac{8}{3}-4+1＜0‚f(10)＞0$, 故f (x) 在 (0, 2) , (2, +∞) 上各仅有1个零点, 共3个零点.

14.D.当x>-2时, x+2>0, 由 (x+2) f′ (x) <0, 得f′ (x) <0, f (x) 在 (-2, +∞) 单调递减, 而$\log {}_{\frac{1}{3}}3=-1,0＜(\frac{1}{3}){}^{0.1}＜1,\ln 3＞1$, 有a>b>c.

15.D.三次函数f (x) 在R上有极值, 则必有两个极值, 即方程f′ (x) =0有两个不相等的实根, 又f′ (x) =x2+2|a|x+2a·b, 有$\text{Δ}=(2\left|\mathit{a}\right|){}^2-4\times 2\mathit{a}\cdot \mathit{b}＞0$, 记θ=〈a, b〉, 则$\left|\mathit{a}\right|{}^2＞2\left|\mathit{a}\right|\cdot \left|\mathit{b}\right|\cos \theta$, 而$|\mathit{a}|=\sqrt{3}|\mathit{b}|‚\therefore \cos \theta ＜\frac{\sqrt{3}}{2}$.又θ∈[0, π], 则

, 则f′ (0) =1, 且f (0) =0, 切点为 (0, 0) , 切线方程为y-0=1× (x-0) , 即y=x.

17.4.由3-3x2=0, 得x=±1,

18. (0, π) (开闭均可) .y′= (sinx) ′- (xcosx) ′=cosx- (cosx-xsinx) =xsinx, 又x∈[0, 2π], 令y′>0, 得xsinx>0, 有sinx>0, ∴0<x<π.

19.①1, ②h (0) <h (1) <h (-1) .

由所给的图象得f′ (x) =x, g′ (x) =x2,

于是$f(x)=\frac{1}{2}x{}^2+a‚g(x)=\frac{1}{3}x{}^3+b$,

由f (1) =1, 得$\frac{1}{2}+a=1$, 即

$\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}‚\\ \therefore f(-1)=\frac{1}{2}(-1){}^2+\frac{1}{2}=1‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{而}h(x)=f(x)-g(x)=(\frac{1}{2}x{}^2+\frac{1}{2})-(\frac{1}{3}x{}^3+b)‚\\ h(-1)=\frac{4}{3}-b‚h(0)=\frac{1}{2}-b‚h(1)=\frac{2}{3}-b‚\therefore h(0)＜h(1)＜h(-1).\end{array}$

本题也可由函数及其导数的奇偶性角度考虑.由题图可知, f′ (x) 是奇函数, g′ (x) 是偶函数,

∴f (x) 是偶函数, g (x) 是奇函数,

∴f (-1) =f (1) =1.

又f′ (x) -g′ (x) =h′ (x) , 当x≤0时, h′ (x) <0,

h (x) 递减, 0≤x≤1时, h′ (x) ≥0, h (x) 递增,

∴h (x) min=h (0) .又g′ (x) ≥0, ∴g (x) 递增,

∴h (1) =f (1) -g (1) , h (-1) =f (-1) -

g (-1) =f (1) +g (1) >h (1) ,

∴h (0) <h (1) <h (-1) .

20.解: (Ⅰ) f′ (x) =3ax2+2bx+c, 依题意知,

$\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(1)=3a+2b+c=0,\\ f^{\prime }(-1)=3a-2b+c=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}b=0,\\ 3a+c=0.\end{array}$

又f′ (0) =-3, ∴c=-3, ∴a=1,

∴f (x) =x3-3x.

(Ⅱ) 设切点为 (x0, x${}_0^3$-3x0) .

∵f′ (x) =3x2-3,

∴f′ (x0) =3x${}_0^2$-3.

∴切线方程为y- (x${}_0^3$-3x0) = (3x${}_0^2$-3) (x-x0) , 又切线过点A (2, m) ,

∴m- (x${}_0^3$-3x0) = (3x${}_0^2$-3) (2-x0) ,

∴m=-2x${}_0^3$+6x${}_0^2$-6.

令g (x) =-2x3+6x2-6,

则g′ (x) =-6x2+12x=-6x (x-2) .

由g′ (x) =0, 得x=0或x=2,

g (x) 极小值=g (0) =-6, g (x) 极大值=g (2) =2,

画出草图知, 当-6<m<2时, m=-2x3+6x2-6有三解,

∴m的取值范围是 (-6, 2) .

21.解: (Ⅰ) 由题意知, 总成本为c (x) =14000+210x, 所以日销售利润

$Q(x)=f(x)g(x)-c(x)=\{\begin{array}{l}-\frac{1}{1000}x{}^3+\frac{6}{5}x{}^2-210x-14000,0\le x\le 400‚\\ -210x+114000,x＞400.\end{array}$

(Ⅱ) ①当0≤x≤400时,

$Q^{\prime }(x)=-\frac{3}{1000}x{}^2+\frac{12}{5}x-210.$

令Q′ (x) =0, 解之, 得x=100或x=700 (舍) .

于是Q (x) 在区间[0, 100]上单调递减, 在区间[100, 400]上单调递增, 所以Q (x) 在x=400时取到最大值, 且最大值为30000;

②当x>400时, Q (x) =-210x+114000<30000.

答:若要使得日销售利润最大, 每天该生产400件产品, 其最大利润为30000元.

22.解: (Ⅰ) 由已知g (x) =ex-ex,

∴g′ (x) =ex-e.

由g′ (x) =ex-e=0, 得x=1, 则在区间 (-∞, 1) 上, g′ (x) <0, 函数g (x) 在区间 (-∞, 1) 上单调递减;在区间 (1, +∞) 上, g′ (x) >0, 函数g (x) 在区间 (1, +∞) 上单调递增.

∴函数g (x) 的单调递减区间为 (-∞, 1) , 单调递增区间为 (1, +∞) .

(Ⅱ) 因为f′ (x) =ex, ∴曲线y=f (x) 在点P处切线为l:y-ex0=ex0 (x-x0) .

切线l与x轴的交点为 (x0-1, 0) , 与y轴的交点为 (0, ex0-x0ex0) .

$\begin{array}{l}\text{因}\text{为}x{}_0＜0‚\text{所}\text{以}S=\frac{1}{2}(1-x{}_0)(1-x{}_0)\text{e}{}^{x{}_0}\\ =\frac{1}{2}(1-2x{}_0+x{}_0^2)\text{e}{}^{x{}_0}‚\\ S^{\prime }=\frac{1}{2}\text{e}{}^{x{}_0}(x{}_0^2-1)\end{array}$

, 在区间 (-∞, -1) 上, 函数S (x0) 单调递增, 在区间 (-1, 0) 上, 函数S (x0) 单调递减.∴当x0=-1时, S有最大值, 此时$S=\frac{2}{\text{e}}.$

∴S的最大值为$\frac{2}{\text{e}}.$

23.解: (Ⅰ) ∵f′ (x) =ex, 记切点为T (t, et) ,

记切点为T (t, et) ,

∴切线l的方程为y-et=et (x-t) ,

即y=etx+et (1-t) .

(Ⅱ) 由

$(\mathrm{Ⅰ})\{\begin{array}{l}k=\text{e}{}^t,\\ b=\text{e}{}^t(1-t),\end{array}$

记函数F (x) =f (x) =kx-b, ∴F (x) =ex-etx-et (1-t) ,

∴F′ (x) =ex-et, 于是F (x) 在x∈ (-∞, t) 上单调递减, 在x∈ (t, +∞) 为单调递增,

故F (x) min=F (t) =et-ett-et (1-t) =0,

故F (x) =f (x) -kx-b≥0,

即f (x) 对任意x∈R成立.

(Ⅲ) 设H (x) =f (x) -kx-b=ex-kx-b, x∈[0, +∞) , ∴H′ (x) =ex-k, x∈[0, +∞) .

①当k≤1时, H′ (x) ≥0,

则H (x) 在x∈[0, +∞) 上单调递增,

∴H (x) min=H (0) =1-b≥0,

∴b≤1, 即符合题意.

②当k>1时, H (x) 在x∈[0, lnk) 上单调递减, x∈[lnk, +∞) 上单调递增,

∴H (x) min=H (lnk) =k-klnk-b≥0,

∴b≤k (1-lnk) .

综上所述, 满足题意的条件是

24.解: (Ⅰ) f (x) 的定义域为

$\begin{array}{l}(0,+\infty )‚\\ f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+2x＞0‚\end{array}$

∴f (x) 在[1, e]上是增函数, 当x=1时, f (x) 取得最小值f (1) =1.

∴f (x) 在[1, e]上的最小值为1.

$(\mathrm{Ⅱ})f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+2(x-a)=\frac{2x{}^2-2ax+1}{x}$,

设g (x) =2x2-2ax+1.

依题意, 在区间$[\frac{1}{2},2]$上存在子区间使得不等式g (x) >0成立.

注意到抛物线g (x) =2x2-2ax+1开口向上, 所以只要g (2) >0, 或$g(\frac{1}{2})＞0$即可.

由g (2) >0, 即8-4a+1>0, 得$a＜\frac{9}{4}$,

由$g(\frac{1}{2})＞0$, 即$\frac{1}{2}-a+1＞0$, 得

$\begin{array}{l}a＜\frac{3}{2}.\\ \therefore a＜\frac{9}{4}\end{array}$

, 即实数a的取值范围是

$\begin{array}{l}(-\infty ,\frac{9}{4}).\\ (\mathrm{Ⅲ})\because f^{\prime }(x)=\frac{2x{}^2-2ax+1}{x}‚\end{array}$

令h (x) =2x2-2ax+1.

①显然, 当a≤0时, 在 (0, +∞) 上h (x) >0恒成立, 这时f′ (x) >0, 此时, 函数f (x) 没有极值点.

②当a>0时,

(ⅰ) 当Δ≤0, 即$0＜a\le \sqrt{2}$时, 在 (0, +∞) 上h (x) ≥0恒成立, 这时f′ (x) ≥0, 此时, 函数f (x) 没有极值点.

(ⅱ) 当Δ>0, 即$a＞\sqrt{2}$时,

当$\frac{a-\sqrt{a{}^2-2}}{2}＜x＜\frac{a+\sqrt{a{}^2-2}}{2}$时,

易知h (x) <0, 这时f′ (x) <0;

当$0＜x＜\frac{a-\sqrt{a{}^2-2}}{2}$或$x＞\frac{a+\sqrt{a{}^2-2}}{2}$时, h (x) >0, 这时f′ (x) >0.

∴当$a＞\sqrt{2}$时, $x=\frac{a-\sqrt{a{}^2-2}}{2}$是函数f (x) 的极大值点;

$x=\frac{a+\sqrt{a{}^2-2}}{2}$是函数f (x) 的极小值点.

综上, 当$a\le \sqrt{2}$时, 函数f (x) 没有极值点;当$a＞\sqrt{2}$时, $x=\frac{a-\sqrt{a{}^2-2}}{2}$是函数f (x) 的极大值点, $x=\frac{a+\sqrt{a{}^2-2}}{2}$是函数f (x) 的极小值点.

25.解: (Ⅰ) 由f (x) =-cosx, g (x) =ax-π,

得h (x) =g (x) -f (x) =ax+cosx-π,

∴h′ (x) =a-sinx, 而h (x) 在$x=\frac{\text{π}}{3}$处取得极值, 则$h^{\prime }(\frac{\text{π}}{3})=a-\sin \frac{\text{π}}{3}=0$, 即$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

于是$h^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\sin x$,

由$h^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\sin x＜0$, 得

$\sin x＞\frac{\sqrt{3}}{2}‚2k\text{π}+\frac{\text{π}}{3}＜x＜2k\text{π}+\frac{2\text{π}}{3}‚$

∴h (x) 的单调递减区间为$(2k\text{π}+\frac{\text{π}}{3},2k\text{π}+\frac{2\text{π}}{3}),k\in \mathbf{{\rm Z}}.$

(Ⅱ) 证明:可得f′ (x) =sinx, 令$m(x)=\left|x\right|-\left|\text{s}\text{i}\text{n}x\right|‚x\in \mathbf{R}$, 则m (x) 为偶函数.

①当x≥0时,

若$0\le x\le \frac{\text{π}}{2}‚m(x)=x-\sin x‚m^{\prime }(x)=1-\cos x\ge 0$, 当且仅当x=0时取等号,

∴m (x) 在$[0,\frac{\text{π}}{2}]$上单调递增,

于是m (x) ≥m (0) =0, 即sinx≤x.

若$x＞\frac{\text{π}}{2}‚\left|\text{s}\text{i}\text{n}x\right|\le 1＜\frac{\text{π}}{2}＜x$,

即当x≥0时, $\left|\text{s}\text{i}\text{n}x\right|\le \left|x\right|.$

②当x<0时, 由m (x) 为偶函数, 得m (x) =m (-x) ≥0, 即$\left|\text{s}\text{i}\text{n}x\right|\le \left|x\right|‚$

∴对任意的x∈R, 都有$\left|f^{\prime }(x)\right|\le \left|x\right|.$

(Ⅲ) 证明:∵a=2, g (xn+1) =f (xn) ,

∴2xn+1-π=-cosxn,

即$x{}_{n+1}-\frac{\text{π}}{2}=-\frac{1}{2}\cos x{}_n.$

$\begin{array}{l}\text{由}(\mathrm{Ⅱ})\text{知}‚\left|x{}_{n+1}-\frac{\text{π}}{2}\right|=\frac{1}{2}\left|\text{c}\text{o}\text{s}x{}_n\right|\\ =\frac{1}{2}\left|\sin (x{}_n-\frac{\text{π}}{2})\right|\le \frac{1}{2}\left|x{}_n-\frac{\text{π}}{2}\right|‚\\ \therefore \left|x{}_{n+1}-\frac{\text{π}}{2}\right|\le \frac{1}{2}\left|x{}_n-\frac{\text{π}}{2}\right|\\ \le \frac{1}{2{}^2}\left|x{}_{n-1}-\frac{\text{π}}{2}\right|\le \cdots \le \frac{1}{2{}^n}\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{则}\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|+\left|x{}_2-\frac{\text{π}}{2}\right|+\cdots +\left|x{}_{n+1}-\frac{\text{π}}{2}\right|\le \left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|+\frac{1}{2}\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|+\cdots +\frac{1}{2{}^n}\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|=(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{2{}^n})\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|=\frac{1\times [1-(\frac{1}{2}){}^{n+1}]}{1-\frac{1}{2}}\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|\\ =2[1-(\frac{1}{2}){}^{n+1}]\left|x{}_1-\frac{\pi }{2}\right|＜2\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|.\end{array}$

又x1∈[0, π], 得$x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\in [-\frac{\text{π}}{2},\frac{\text{π}}{2}]$,

$\begin{array}{l}\text{即}\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|\le \frac{\text{π}}{2}‚\text{于}\text{是}2\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|\le \text{π}.\\ \therefore \left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|+\left|x{}_2-\frac{\text{π}}{2}\right|+\cdots +\left|x{}_{n+1}-\frac{\text{π}}{2}\right|＜\text{π}(n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}).\end{array}$

$\begin{array}{l}26.\text{解}:(\mathrm{Ⅰ})f{}_2(x)=1-x+\frac{x{}^2}{2}-\frac{x{}^3}{3},\\ f^{\prime }{}_2(x)=-1+x-x{}^2=(x-\frac{1}{2}){}^2-\frac{3}{4}＜0‚\end{array}$

∴f2 (x) 在 (-∞, +∞) 单调递减.

(Ⅱ) f1 (x) =1-x有唯一实数解x=1,

当n≥2时, 由$f{}_n(x)=1-x+\frac{x{}^2}{2}-\frac{x{}^3}{3}+\cdots -\frac{x{}^{2n-1}}{2n-1},n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}$, 得

f′n (x) =-1+x-x2+…+x2n-3-x2n-2.

(i) 若x=-1, 则

f′n (x) =f′n (-1) =- (2n-1) <0.

(ii) 若x=0, 则f′n (x) =-1<0.

(iii) 若x≠-1且x≠0时,

则$f^{\prime }{}_n(x)=\frac{x{}^{2n-1}+1}{x+1}.$

①当x<-1时, x+1<0, x2n-1+1<0,

f′n (x) <0.

②当x>-1时, x+1>0, x2n-1+1>0,

f′n (x) <0.

综合 (i) , (ii) , (iii) , 得f′n (x) <0, 即fn (x) 在 (-∞, +∞) 单调递减.

$\begin{array}{l}\text{又}f{}_n(0)=1＞0‚\\ f{}_n(2)=(1-2)+(\frac{2{}^2}{2}-\frac{2{}^3}{3})+(\frac{2{}^4}{4}-\frac{2{}^5}{5})+\cdots +(\frac{2{}^{2n-2}}{2n-2}-\frac{2{}^{2n-1}}{2n-1})\\ =-1+(\frac{1}{2}-\frac{2}{3})2{}^2+(\frac{1}{4}-\frac{2}{5})2{}^4+\cdots +\\ (\frac{1}{2n-2}-\frac{2}{2n-1})2{}^{2n-2}\\ =-1-\frac{1}{2\cdot 3}2{}^2-\frac{3}{4\cdot 5}2{}^4-\cdots -\frac{2n-3}{(2n-2)(2n-1)}2{}^{2n-2}＜0‚\end{array}$

所以fn (x) 在 (0, 2) 有唯一实数解, 从而fn (x) 在 (-∞, +∞) 有唯一实数解.

综上, fn (x) =0有唯一实数解.

27.解: (Ⅰ) 证明:假设存在x′0, x0∈ (a, b) , 且x′0≠x0, 使得

$\begin{array}{l}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(x{}_0)‚\\ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(x^{\prime }{}_0)\end{array}$

, 即

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x{}_0)=f^{\prime }(x^{\prime }{}_0).\\ \because f^{\prime }(x)=\frac{\text{e}{}^x}{1+\text{e}{}^x}-m‚\text{记}g(x)=f^{\prime }(x)‚\end{array}$

$\therefore g^{\prime }(x)=\frac{\text{e}{}^x}{(1+\text{e}{}^x){}^2}＞0,$

f′ (x) 是[a, b]上的单调增函数 (也可通过复合函数的单调性说明f′ (x) 的单调性) .

∴x0=x′0, 这与x′0≠x0矛盾,

即x0是唯一的.

$(\mathrm{Ⅱ})f(\frac{x{}_1+x{}_2}{2})＜\frac{f(x{}_1)+f(x{}_2)}{2}.$

原因如下:

设$F(x)=f(\frac{x+x{}_2}{2})-\frac{f(x)+f(x{}_2)}{2}$, 则

$F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{f}^{\prime }(\frac{x+x{}_2}{2})-\frac{f^{\prime }(x)}{2}.$

由 (Ⅰ) 知, f′ (x) 单调递增,

所以当x>x2, 即$\frac{x+x{}_2}{2}＜x$时,

有$F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{f}^{\prime }(\frac{x+x{}_2}{2})-\frac{f^{\prime }(x)}{2}＜0$,

所以x>x2时, F (x) 单调递减;

当x<x2, 即$\frac{x+x{}_2}{2}＞x$时,

有$F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{f}^{\prime }(\frac{x+x{}_2}{2})-\frac{f^{\prime }(x)}{2}＞0$,

所以x<x2时, F (x) 单调递增.

所以F (x) <F (x2) =0,

所以$f(\frac{x{}_1+x{}_2}{2})＜\frac{f(x{}_1)+f(x{}_2)}{2}.$

(Ⅲ) 证明:设A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) , 且

$\begin{array}{l}x{}_1＜x{}_2＜x{}_3‚\because m\ge 1‚\\ f^{\prime }(x)=\frac{\text{e}{}^x}{1+\text{e}{}^x}-m=1-m-\frac{1}{\text{e}{}^x+1}＜0‚\end{array}$

∴f (x) 是x∈R上的单调递减函数,

$\begin{array}{l}\therefore f(x{}_1)＞f(x{}_2)＞f(x{}_3).\\ \because \overrightarrow{BA}=\left(x{}_1-x{}_2,f(x{}_1)-f(x{}_2)\right),\\ \overrightarrow{BC}=\left(x{}_3-x{}_2,f(x{}_3)-f(x{}_2)\right),\\ \therefore \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=(x{}_1-x{}_2)(x{}_3-x{}_2)+[f(x{}_1)-f(x{}_2)][f(x{}_3)-f(x{}_2)].\\ \because x{}_1-x{}_2＜0,x{}_3-x{}_2＞0,\\ f(x{}_1)-f(x{}_2)＞0,\\ f(x{}_3)-f(x{}_2)＜0.\end{array}$

$\therefore \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}＜0,\therefore \cos B＜0,\angle B$为钝角.

故△ABC为钝角三角形.

四、三角函数与解三角形部分

一、选择题

1.下列各选项中, 与sin2011°最接近的数是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})-\frac{1}{2}(\text{B})\frac{1}{2}\\ (\text{C})\frac{\sqrt{2}}{2}(\text{D})-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

2.已知$\sin \theta =\frac{3}{4}$, 且θ在第二象限, 那么2θ在 ( ) .

(A) 第一象限 (B) 第二象限

(C) 第三象限 (D) 第四象限

3.已知$\tan \alpha =\frac{1}{4},\tan (\alpha -\beta )=\frac{1}{3}$, 则

$\begin{array}{l}\tan \beta =().\\ (\text{A})\frac{7}{11}(\text{B})-\frac{11}{7}(\text{C})-\frac{1}{13}(\text{D})\frac{1}{13}\end{array}$

4.函数$y=\cos {}^2(x+\frac{\text{π}}{4})-\sin {}^2(x+\frac{\text{π}}{4})$的最小正周期为 ( ) .

$(\text{A})\frac{\text{π}}{4}(\text{B})\frac{\text{π}}{2}(\text{C})\text{π}(\text{D})2\text{π}$

5.若把函数y=f (x) 的图象沿x轴向左平移$\frac{\text{π}}{4}$个单位, 沿y轴向下平移1个单位, 然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标保持不变) , 得到函数y=sinx的图象, 则y=f (x) 的解析式为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\text{y}=\sin \left(2x-\frac{\text{π}}{4}\right)+1\\ (\text{B})\text{y}=\sin \left(2x-\frac{\text{π}}{2}\right)+1\\ (\text{C})\text{y}=\sin \left(\frac{1}{2}x+\frac{\text{π}}{4}\right)-1\\ (\text{D})\text{y}=\sin \left(\frac{1}{2}x+\frac{\text{π}}{2}\right)-1\end{array}$

6.在△ABC中, 已知a, b, c分别为∠A, ∠B, ∠C所对的边, 且$a=4‚b=4\sqrt[]{3}‚\angle A=30°$, 则∠B等于 ( ) .

(A) 30° (B) 30°或150°

(C) 60° (D) 60°或120°

7.如图1, 某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数:y=Asin (ωx+φ) +B, 则中午12点时最接近的温度为 ( ) .

(A) 26℃ (B) 27℃

(C) 28℃ (D) 29℃

8.已知α为锐角, 且$\cos (\alpha +\frac{\text{π}}{6})=\frac{4}{5}$, 则cosα的值为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\frac{4-3\sqrt[]{3}}{10}(\text{B})\frac{4+3\sqrt[]{3}}{10}\\ (\text{C})\frac{4\sqrt[]{3}-3}{10}(\text{D})\frac{4\sqrt[]{3}+3}{10}\end{array}$

9.函数y=sin (πx+φ) (φ>0) 的部分图象如图2所示, 设P是图象的最高点, A, B是图象与x轴的交点, 则tanAPB= ( ) .

$\begin{array}{l}[{\rm T}S(]\text{图}2[{\rm T}S)](\text{A})10(\text{B})8\\ (\text{C})\frac{8}{7}(\text{D})\frac{4}{7}\end{array}$

10.△ABC的外接圆半径R和△ABC的面积都等于1, 则

$\begin{array}{l}\sin A\sin B\sin C=().\\ (\text{A})\frac{1}{4}(\text{B})\frac{\sqrt{3}}{2}(\text{C})\frac{\sqrt{3}}{4}(\text{D})\frac{1}{2}\end{array}$

11.已知函数$f(x)=\sin x-\frac{1}{3}x,x\in [0,\text{π}]$, 且$\cos x{}_0=\frac{1}{3}‚x{}_0\in [0,\text{π}]$.那么下列命题中真命题的序号是 ( ) .

①f (x) 的最大值为f (x0) ;

②f (x) 的最小值为f (x0) ;

③f (x) 在[0, x0]上是减函数;

④f (x) 在[x0, π]上是减函数.

(A) ①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④

12.设函数$f(x)=\sin \left(2x+\frac{\text{π}}{3}\right)$, 则下列结论正确的是 ( ) .

(A) f (x) 的图象关于直线$x=\frac{\text{π}}{3}$对称

(B) f (x) 的图象关于点$\left(\frac{\text{π}}{4},0\right)$对称

(C) 把f (x) 的图象向左平移$\frac{\text{π}}{12}$个单位, 得到一个偶函数的图象

(D) f (x) 的最小正周期为π, 且在$\left[0,\frac{\text{π}}{6}\right]$上为增函数

二、填空题

13.如图3所示, 在平面直角坐标系xOy中,

角α的终边与单位圆交于点A, 点A的纵坐标为$\frac{4}{5}$, 则cosα=______.

14.若$\cos \alpha =\frac{1}{3}$, 则$\frac{\cos (2\text{π}-\alpha )\cdot \sin (\text{π}+\alpha )}{\sin (\frac{\text{π}}{2}+\alpha )\cdot \tan (3\text{π}-\alpha )}$的值为______.

15.如图4, 一艘船上午8:00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,

之后它继续沿正北方向匀速航行, 上午8:30到达B处, 此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处, 且与它相距$4\sqrt[]{2}n$mile, 则此船的航行速度是______n mile/h.

16.已知a, b, c分别是△ABC的三个内角A, B, C所对的边, 若$\frac{\text{c}\text{o}\text{s}B}{\text{c}\text{o}\text{s}C}=-\frac{b}{2a+c}$, 则B=______.

17.设定义在区间$\left(0,\frac{\text{π}}{2}\right)$上的函数y=4tanx的图象与y=6sinx的图象交于点P, 过点P作x轴的垂线, 垂足为P1, 直线PP1与函数y=cosx的图象交于点P2, 则线段P1P2的长为______.

18.已$0<\alpha <\frac{\text{π}}{2},-\frac{\text{π}}{2}<\beta <0,\cos (\alpha -\beta )=\frac{3}{5}$, 且$\tan \alpha =\frac{3}{4}$, 则sinβ=______.

19.如图5, 线段DE把边长为2a的等边△ABC分成面积相等的两部分, D在AB上, E在AC上, 则线段DE长度的最小值为______.

20.若函数$f(x)=\cos (\frac{x}{3}+\phi )(0<\phi <2\text{π})$在区间 (-π, π) 上是单调递增函数, 则实数φ的取值范围为______.

三、解答题

21.已知函数$f(x)=2\sin x\cdot \sin (\frac{\text{π}}{2}+x)-2\sin {}^{2}x+1(x\in \mathbf{R}).$

(Ⅰ) 求函数f (x) 的最小正周期及函数f (x) 的单调递增区间;

(Ⅱ) 若$f\left(\frac{x{}_0}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{3}‚x{}_0\in \left(-\frac{\text{π}}{4},\frac{\text{π}}{4}\right)$, 求cos2x0的值.

22.在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 已知$\tan B=\frac{1}{2}‚\tan C=\frac{1}{3}$, 且c=1.

(Ⅰ) 求tanA;

(Ⅱ) 求△ABC的面积.

23.在△ABC中, 已知$A=45°‚\cos B=\frac{4}{5}.$

(Ⅰ) 求cosC的值;

(Ⅱ) 若BC=10, D为AB的中点, 求CD的长.

24.在△ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且满足$\frac{2c-b}{a}=\frac{\text{c}\text{o}\text{s}B}{\text{c}\text{o}\text{s}A}.$

(Ⅰ) 求角A的大小;

(Ⅱ) 若$a=2\sqrt[]{5}$, 求△ABC面积的最大值.

25.在△ABC中, 角A, B, C所对应的边分别为a, b, c, 且$4\sin {}^2\frac{A+B}{2}-\cos 2C=\frac{7}{2}.$

(Ⅰ) 求角C的大小;

(Ⅱ) 求sinA+sinB的最大值.

26.如图6, 正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的渔政船乙, 同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号, 此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70km的C处, 渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处, 两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援, 渔政船乙仍留在B处执行任务, 渔政船甲航行30km到达D处时, 收到新的指令另有重要任务必须执行, 于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙 (渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙) , 此时B, D两处相距42km, 问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救?

27.已知$-\frac{\text{π}}{4}$和$\frac{\text{π}}{4}$是函数f (x) =sin (ωx+φ) (ω>0, 0<φ<π) 的相邻的两个零点.

(Ⅰ) 求f (x) 的解析式;

(Ⅱ) 在△ABC中, 若sinBsinCcosA=sin2A, 求函数f (A) 的值域.

28.如图7, 在△ABC中, $\sin \frac{\angle ABC}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, AB=2, 点D在线段AC上, 且$AD=2DC‚BD=\frac{4\sqrt[]{3}}{3}.$

(Ⅰ) 求BC的长;

(Ⅱ) 求△BCD的面积.

参考答案

1.A.sin2011°=sin (5×360°+180°+31°) ≈-sin30°=.

本题的常规解法:θ为第二象限角,

9.B.作PQ⊥x轴于点Q, 由

11., 由f′ (x) >0, 得0≤x<x0, f (x) 单调递增, 由f′ (x) <0, 得x0<x≤π, f (x) 单调递减, ∴只有 (1) (4) 正确.

15.16.∠S=45°, BS=, 由正弦定理得

16.由正弦定理得2cos BsinA+cos BsinC=-sinBcosC, 则2cos BsinA+ (cos BsinC+sinBcosC) =0, 有2cos BsinA+sin (C+B) =0, 即2cos BsinA+sinA=0.又sinA>0, 故

17..设P (x0, y0) , 则P1 (x0, 0) , P2 (x0, cosx0) , |P1P2|=cosx0, 由4tanx0=6sinx0, 得

本题的常规解法:的单调递增区间是-3π-3φ≤x≤6kπ-3φ.∵φ∈ (0, 2π) , ∴要使f (x) 在 (-π, π) 上单调递增, 此时令k=1, 即3π-3φ≤x≤6π-3φ, ∴3π-3φ≤-π, π≤6π-3φ,

(Ⅱ) 由已知得

两边平方, 得, 所以sin2x0=.

因为x0∈ () , 所以2x0∈ () .

因为A=180°-B-C,

所以tanA=tan[180°- (B+C) ]=-tan (B+C) =-1.

(Ⅱ) 因为0°<A<180°, 由 (Ⅰ) 中结论知, A=135°.

因为

所以0°<C<B<90°.

所以

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可得

解之, 得AB=14.

在△BCD中, BD=7,

所以

24.解: (Ⅰ) 因为, 所以 (2c-b) ·cos A=a·cos B.

由正弦定理, 得 (2sinC-sinB) ·cos A=sinA·cos B.

整理得2sinC·cos A=sin (A+B) =sinC.在△ABC中, sinC≠0, 所以

(Ⅱ) 由余弦定理知,

所以b2+c2-20=bc≥2bc-20,

所以bc≤20, 当且仅当b=c时取等号.

所以三角形的面积

所以三角形面积的最大值为

25.解: (Ⅰ) ∵A, B, C为三角形的内角, ∴A+B+C=π.

26.解:设∠ABD=α, 在△ABD中, AD=30, BD=42, ∠BAD=60°.

由正弦定理得

在△BDC中, 由余弦定理得

BC2=DC2+BD2-2 DC·BDcos BDC=402+422-80×42cos (60°+α) =3844, ∴BC=62 (km) .

答:渔政船乙要航行62km才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救.

27.解: (Ⅰ) 依题意知, 函数f (x) 的周期T=

(Ⅱ) ∵sinBsinCcos A=sin2 A,

由正弦定理和余弦定理知,

28.解: (Ⅰ) 因为

所以

在△ABC中, 设BC=a, AC=3b, 由余弦定理可得

在△ABD和△DBC中, 由余弦定理可得

因为cos ADB=-cos BDC, 所以有

所以3b2-a2=-6. (2)

由 (1) (2) 可得a=3, b=1, 即BC=3.

另解:在△ABD和△ABC中,

∴3b2=a2-b. (2) 下同, 余略.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知,

∴△ABC的面积为所以△DBC的面积为

五、平面向量部分

一、选择题

1.已知a= (1, 2) , b= (-2, m) , 若a//b, 则|2a+3b|等于 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\sqrt{70}(\text{B})4\sqrt[]{5}\\ (\text{C})3\sqrt[]{5}(\text{D})2\sqrt[]{5}\end{array}$

2.已知P={a|a= (1, 0) +m (0, 1) , m∈R}, Q={b|b= (1, 1) +n (-1, 1) , n∈R}是两个向量集合, 则P∩Q= ( ) .

(A) { (1, 1) } (B) { (-1, 1) }

(C) { (1, 0) } (D) { (0, 1) }

3.在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=3, 则

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=().\\ (\text{A})-9(\text{B})9(\text{C})-16(\text{D})16\end{array}$

4.已知平面上不重合的四点P, A, B, C满足$\overrightarrow{{\rm P}A}+\overrightarrow{{\rm P}B}+\overrightarrow{{\rm P}C}=0$, 且$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{A{\rm P}}$, 那么实数m的值为 ( ) .

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

5.直线l:y=k (x-2) +2将圆C:x2+y2-2x-2y=0平分, 则直线l的一个方向向量是 ( ) .

(A) (2, -2) (B) (2, 2)

(C) (-3, 2) (D) (2, 1)

6.已知方程ax2+bx+c=0, 其中a, b, c是非零向量, 且a, b不共线, 则该方程 ( ) .

(A) 至多有一个解 (B) 至少有一个解

(C) 至多有两个解 (D) 可能有无数个解

7.在△ABC中, “$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}>0$”是“△ABC为钝角三角形”的 ( ) .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分又不必要条件

8.△ABC的外接圆的圆心为O, 半径为1, 若$\overrightarrow{{\rm O}A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{{\rm O}C}=0$, 且$|\overrightarrow{{\rm O}A}|=|\overrightarrow{AB}|$, 则$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}$等于 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\frac{3}{2}(\text{B})\sqrt{3}\\ (\text{C})3(\text{D})2\sqrt[]{3}\end{array}$

9.设M={平面内的点 (a, b) }, N={f (x) |f (x) =acos2x+bsin2x}, 给出M到N的映射f: (a, b) →f (x) =acos2x+bsin2x, 若点$(1,\sqrt{3})$的像f (x) 的图象可以由曲线y=2sin2x按向量m平移得到, 则向量m的坐标为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})(\frac{\text{π}}{6},0)(\text{B})(-\frac{\text{π}}{6},0)\\ (\text{C})(-\frac{\text{π}}{12},0)(D)(\frac{\text{π}}{12},0)\end{array}$

10.设D, E, F分别是△ABC的三边BC, CA, AB上的点, 且$\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{BD}‚\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{EA}‚\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$, 则$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}$与$\overrightarrow{BC}().$

(A) 同向平行 (B) 反向平行

(C) 互相垂直 (D) 既不平行也不垂直

11.已知A, B, C是圆O:x2+y2=1上的三点,

$\begin{array}{l}\overrightarrow{{\rm O}A}+\overrightarrow{{\rm O}B}=\overrightarrow{{\rm O}C}‚\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{{\rm O}A}=().\\ (\text{A})\frac{3}{2}(\text{B})-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ (\text{C})-\frac{3}{2}(\text{D})\frac{1}{2}\end{array}$

12.如图1, 在△ABC中, $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{ED}$, 若$\overrightarrow{AB}=\mathit{a},\overrightarrow{AC}=\mathit{b}$, 则$\overrightarrow{BE}=().$

13.设向量a, b, c均为单位向量, 且a·b=0, 则 (a-c) · (b-c) 的最小值为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})-2(\text{B})\sqrt{2}-3\\ (\text{C})-1(\text{D})1-\sqrt{2}\end{array}$

14.在平面向量中有如下定理:设点O, P, Q, R为同一平面内的点, 则P, Q, R三点共线的充要条件是:存在实数t, 使$\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}=(1-t)\overrightarrow{{\rm O}Q}+t\overrightarrow{{\rm O}R}$.如图2, 在△ABC中, 点E为AB边的中点, 点F在AC边上, 且CF=2FA, BF交CE于点M, 设$\overrightarrow{A{\rm M}}=x\overrightarrow{AE}+y\overrightarrow{AF}$, 则 ( ) .

二、填空题

15.已知向量a= (x-1, 2) , b= (4, y) .若a⊥b, 则16x+4y的最小值为______.

16.若|a|=2, |b|=4, 且 (a+b) ⊥a, 则a与b的夹角是______.

17.以O为起点作向量a, b, 终点分别为A, B.

已知|a|=2, |b|=5, a·b=-6, 则△AOB的面积等于______.

18.如图3, 在平面直角坐标系中, 正方形OABC的边长为1, E为AB的中点, 若F为正方形内 (含边界) 任意一点, 则$\overrightarrow{{\rm O}E}\cdot \overrightarrow{{\rm O}F}$的最大值为______.

19.如图4, 过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+ (y-1) 2=1于点A, B, C, D, 则$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}$的值是______.

20.已知Sn是{an}的前n项和, 向量a= (an-1, -2) , b= (4, Sn) 满足a⊥b, 则$\frac{S{}_4}{S{}_2}=$______.

21.在平面直角坐标系中, O是坐标原点, 已知点$A(3,\sqrt{3})$, 点P (x, y) 的坐标满足

$\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y\le 0‚\\ x-\sqrt{3}y+2\ge 0‚\\ y\ge 0‚\end{array}$

设z为$\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}$在$\overrightarrow{{\rm O}A}$上的投影, 则z的取值范围是______.

三、解答题

22.已知向量$\mathit{a}=(\sin x‚1)‚\mathit{b}=(\cos x‚-\frac{1}{2}).$

(Ⅰ) 当a⊥b时, 求x的取值集合;

(Ⅱ) 求函数f (x) =a· (b-a) 的单调递增区间.

23.设集合A={1, 2}, B={1, 2, 3}, 分别从集合A和B中随机取一个数a和b.

(Ⅰ) 若向量m= (a, b) , n= (1, -1) , 求向量m与n的夹角为锐角的概率;

(Ⅱ) 记点P (a, b) , 则点P (a, b) 落在直线x+y=n上为事件Cn (2≤n≤5, n∈N) , 求使事件Cn的概率最大的n.

24.设锐角△ABC的三内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 向量$\mathit{m}=(1‚\sin A+\sqrt{3}\cos A)‚\mathit{n}=(\sin A‚\frac{3}{2})$, 且m与n共线.

(Ⅰ) 求角A的大小;

(Ⅱ) 若$a=2‚c=4\sqrt[]{3}\sin B$, 且△ABC的面积小于$\sqrt{3}$, 求角B的取值范围.

25.已知函数$f(x)=\sqrt{3}\sin \text{π}x+\cos \text{π}x‚x\in \mathbf{R}.$

(Ⅰ) 求函数f (x) 的最大值和最小值;

(Ⅱ) 设函数f (x) 在[-1, 1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M, N, 图象的最高点为P, 求$\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}$与$\overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}$的夹角的余弦值.

26.已知向量a= (sinx, cosx) , b= (sinx, sinx) , c= (-1, 0) .

(Ⅰ) 若$x=\frac{\text{π}}{3}$, 求向量a, c的夹角θ;

(Ⅱ) 若$x\in \left[-\frac{3\text{π}}{8}‚\frac{\text{π}}{4}\right]$, 函数f (x) =λa·b的最大值为$\frac{1}{2}$, 求实数λ的值.

27.已知A, B, C分别为△ABC的三边a, b, c所对的角, 向量m= (sinA, sinB) , n= (cosB, cosA) , 且m·n=sin2C.

(Ⅰ) 求角C的大小;

(Ⅱ) 若sinA, sinC, sinB成等差数列, 且$\overrightarrow{CA}\cdot (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=18$, 求c的值.

28.已知两点M (-1, 0) , N (1, 0) , 且点P使$\overrightarrow{{\rm M}{\rm P}}\cdot \overrightarrow{{\rm M}{\rm N}}‚\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}\cdot \overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}‚\overrightarrow{{\rm N}{\rm M}}\cdot \overrightarrow{{\rm N}{\rm P}}$成公差小于零的等差数列.

(Ⅰ) 点P的轨迹是什么曲线?

(Ⅱ) 若点P坐标为 (x0, y0) , θ为$\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}‚\overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}$的夹角, 求θ的取值范围.

参考答案

∴m=-4, 2a+3b= (-4, -8) ,

$\begin{array}{l}\text{则}|2\mathit{a}+3\mathit{b}|=4\sqrt[]{5}.\\ 2.\text{A}.\mathit{a}=(1‚m)‚\mathit{b}=(1-n‚1+n)\end{array}$

, 由a=b, 得

$\{\begin{array}{l}1=1-n‚\\ m=1+n‚\end{array}$

解之, 得

$\{\begin{array}{l}n=0‚\\ m=1‚\end{array}$

即

$\begin{array}{l}{\rm P}{\displaystyle \cap Q}=\{(1‚1)\}.\\ 3.\text{B}.\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AC}|{}^2=9\end{array}$

, 或$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cos A=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}=|\overrightarrow{AC}|{}^2=9.$

4.B.由$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{A{\rm P}}$, 得$(\overrightarrow{{\rm P}B}+\overrightarrow{A{\rm P}})+(\overrightarrow{{\rm P}C}+\overrightarrow{A{\rm P}})=m\overrightarrow{A{\rm P}}$, 即$(2-m)\overrightarrow{A{\rm P}}+\overrightarrow{{\rm P}B}+\overrightarrow{{\rm P}C}=0$, 又$\overrightarrow{{\rm P}A}+\overrightarrow{{\rm P}B}+\overrightarrow{{\rm P}C}=0‚\therefore 2-m=-1$, 即m=3.

另解:$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A{\rm P}}+\overrightarrow{{\rm P}B}‚\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A{\rm P}}+\overrightarrow{{\rm P}C}‚\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{A{\rm P}}+\overrightarrow{{\rm P}B}+\overrightarrow{{\rm P}C}=2\overrightarrow{A{\rm P}}-\overrightarrow{{\rm P}A}=3\overrightarrow{A{\rm P}}‚\therefore m=3.$

5.B.由题知直线l过所给圆的圆心 (1, 1) , ∴1=k (1-2) +2, 即k=1, 直线l的方向向量为 (1, k) = (1, 1) , 向量 (2, 2) 与 (1, 1) 同向, 故选B.

6.A.由于a, b不共线, 所以c=ma+nb, m, n∈R, 且m, n是唯一的,

则

$\{\begin{array}{l}x{}^2=-m‚\\ x=-n‚\end{array}$

故该方程至多有一个解, 选A.

$7.\text{A}.\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}>0\iff |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|\cos (\text{π}-B)>0\iff \cos B<0\iff B$为钝角, 但△ABC为钝角三角形 /⇒B为钝角.

8.C.如图, 由已知得$\overrightarrow{{\rm O}A}+\overrightarrow{{\rm O}C}=-\overrightarrow{AB}$, 以$\overrightarrow{{\rm O}A}‚\overrightarrow{{\rm O}C}$为邻边作平行四边形AOCM, 则$\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}}=-\overrightarrow{AB}$, 得四边形ABOM平行四边形, 于是点O在BC上, 即△ABC为直角三角形, 又$|\overrightarrow{{\rm O}A}|=|\overrightarrow{AB}|$, 故△ABO为等边三角形, 且圆O的半径为1, 则$|AB|=1‚|BC|=2‚|AC|=\sqrt{3}$,

$\begin{array}{l}\therefore \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=\sqrt{3}\times 2\times \cos 30°=3.\\ 9.\text{C}.f(x)=\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=2\sin (2x+\frac{\text{π}}{6})=2\sin [2(x+\frac{\text{π}}{12})]\end{array}$

, 将y=2sin2x的图象向左平移$\frac{\text{π}}{12}$个单位即得f (x) 的图象, 故

$\begin{array}{l}\mathit{m}=(-\frac{\text{π}}{12}‚0).\\ 10.\text{B}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE})+(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF})=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}‚\text{故}\text{选}\text{B}.\end{array}$

11.C.由题意知, 四边形OACB是边长为1的菱形, 可得$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3}‚|\overrightarrow{{\rm O}A}|=1$, 则

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{{\rm O}A}=\sqrt{3}\times 1\times \cos (180°-30°)=-\frac{3}{2}.\\ 12.B.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\mathit{b}-\mathit{a}‚\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\mathit{b}-\frac{1}{3}\mathit{a}‚\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\mathit{a}+\frac{1}{3}\mathit{b}‚\overrightarrow{AE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\mathit{a}+\frac{1}{4}\mathit{b}‚\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\mathit{a}+\frac{1}{4}\mathit{b}-\mathit{a}=-\frac{1}{2}\mathit{a}+\frac{1}{4}\mathit{b}.\end{array}$

13.D.由a, b, c均为单位向量, 且a·b=0, 得 (a-c) · (b-c) =a·b- (a+b) ·c+c2=- (a·c+b·c) +1.设a与c的夹角为θ, b与c的夹角为φ.由a⊥b, 得$\phi =\frac{\text{π}}{2}-\theta$或$\theta -\frac{\text{π}}{2}$或$\theta +\frac{\text{π}}{2}$, 对于前两者有$-(\mathit{a}\cdot \mathit{c}+\mathit{b}\cdot \mathit{c})+1=-(\cos \theta +\sin \theta )+1=-\sqrt{2}\sin (\theta +\frac{\text{π}}{4})+1\ge 1-\sqrt{2}$, 对于后者也有$-(\mathit{a}\cdot \mathit{c}+\mathit{b}\cdot \mathit{c})+1=-(\cos \theta -\sin \theta )+1=\sqrt{2}\sin (\theta -\frac{\text{π}}{4})+1\ge 1-\sqrt{2}.$

14.A.因为点B, M, F三点共线, 则存在实数t, 使$\overrightarrow{A{\rm M}}=(1-t)\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AF}.$

又$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AE}‚\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$,

则$\overrightarrow{A{\rm M}}=2(1-t)\overrightarrow{AE}+\frac{t}{3}\overrightarrow{AC}.$

因为点C, M, E三点共线,

则$2(1-t)+\frac{t}{3}=1$, 所以$t=\frac{3}{5}.$

故$x=\frac{4}{5}‚y=\frac{3}{5}.$

15.8.由a⊥b知, 4 (x-1) +2y=0, 于是

$\begin{array}{l}2x+y=2‚\\ \therefore 16{}^x+4{}^y=4{}^{2x}+4{}^y\ge 2\sqrt{4{}^{2x+y}}=2\sqrt{4{}^2}=8.\\ 16.\frac{2\text{π}}{3}\end{array}$

.由 (a+b) ⊥a, 得 (a+b) ·a=0,

则a2=-a·b, 又|a|=2, |b|=4,

∴4=-2×4cosθ, 得$\cos \theta =-\frac{1}{2}$,

而θ∈[0, π], 于是$\theta =\frac{2\text{π}}{3}.$

17.4.由题意知, 2×5×cosθ=-6, 得

$\begin{array}{l}\cos \theta =-\frac{3}{5}‚\text{则}\sin \theta =\frac{4}{5}‚\\ \therefore S{}_{△A{\rm O}B}=\frac{1}{2}|\mathit{a}||\mathit{b}|\sin \theta =4.\end{array}$

$18.\frac{3}{2}$.可得$\overrightarrow{{\rm O}E}=(1‚\frac{1}{2})$, 设F (x, y) , 则$\overrightarrow{{\rm O}F}=(x‚y)‚0\le x\le 1‚0\le y\le 1$, 而$\overrightarrow{{\rm O}E}\cdot \overrightarrow{{\rm O}F}=x+\frac{1}{2}y$, 当x=1, y=1时, $(x+\frac{1}{2}y){}_{\max }=\frac{3}{2}$, 即$\overrightarrow{{\rm O}E}\cdot \overrightarrow{{\rm O}F}$的最大值为$\frac{3}{2}.$

19.1.设A (x1, y1) , D (x2, y2) , 由抛物线的定义知, $|\overrightarrow{AB}|=y{}_1,|\overrightarrow{CD}|=y{}_2$.设直线的方程为y=kx+1, 与抛物线联立, 消去x, 整理得

y2- (2+4k2) y+1=0, 则$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=y{}_{1}y{}_2=1.$

20.5.由a⊥b, 得4 (an-1) -2Sn=0, 即Sn=2 (an-1) , 当n=1时, S1=a1=2 (a1-1) , 则a1=2, 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=2 (an-1) -2 (an-1-1) , 则an=2an-1, 故{an}是以2为首项, 公比为2的等比数列,

$\begin{array}{l}\therefore \frac{S{}_4}{S{}_2}=\frac{\frac{2(1-2{}^4)}{1-2}}{\frac{2(1-2{}^2)}{1-2}}=5.\\ 21.[-\sqrt{3}‚\sqrt{3}].z=|\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}|\cos \theta =|\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}|\frac{\overrightarrow{{\rm O}A}\cdot \overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}}{|\overrightarrow{{\rm O}A}|\cdot |\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}|}=\frac{\overrightarrow{{\rm O}A}\cdot \overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}}{|\overrightarrow{{\rm O}A}|}=\frac{3x+\sqrt{3}y}{2\sqrt[]{3}}=\frac{\sqrt{3}x+y}{2}\end{array}$

, 即$y=-\sqrt{3}x+2z$, 画出可行域

$\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y\le 0‚\\ x-\sqrt{3}y+2\ge 0‚\\ y\ge 0‚\end{array}$

, 当直线$y=-\sqrt{3}x+2z$经过点$(1‚\sqrt{3})$时, 2z有最大值, 即$\sqrt{3}=-\sqrt{3}\times 1+2z{}_{\max }$, 有$z{}_{\max }=\sqrt{3}$, 当直线$y=-\sqrt{3}x+2z$经过点 (-2, 0) 时, 2z有最小值, 即$0=-\sqrt{3}\times (-2)+2z{}_{\min }$, 有$z{}_{\min }=-\sqrt{3}$, 即$z\in [-\sqrt{3}‚\sqrt{3}].$

22.解:$(\mathrm{Ⅰ})\because \mathit{a}=(\sin x‚1)‚\mathit{b}=(\cos x‚-\frac{1}{2})‚\mathit{a}\perp \mathit{b}‚\therefore \sin x\cos x-\frac{1}{2}=0$, 则sin2x=1,

故$2x=2k\text{π}+\frac{\text{π}}{2}$, 即$x=k\text{π}+\frac{\text{π}}{4}‚$

$\begin{array}{l}\therefore x\text{的}\text{取}\text{值}\text{集}\text{合}\text{为}\left\{x|x=k\text{π}+\frac{\text{π}}{4}‚k\in \mathbf{{\rm Z}}\right\}.\\ (\mathrm{Ⅱ})f(x)=\mathit{a}\cdot (\mathit{b}-\mathit{a})\\ =\sin x(\cos x-\sin x)-\frac{3}{2}\\ =\sin x\cos x-\sin {}^{2}x-\frac{3}{2}\\ =\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1-\cos 2x}{2}-\frac{3}{2}\\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\sin (2x+\frac{\pi }{4})-2‚\end{array}$

当$2k\text{π}-\frac{\text{π}}{2}\le 2x+\frac{\text{π}}{4}\le 2k\text{π}+\frac{\text{π}}{2}$,

即$k\text{π}-\frac{3\text{π}}{8}\le k\text{π}+\frac{\text{π}}{8}$时, 函数f (x) 单调递增,

∴f (x) 的单调递增区间为$[k\text{π}-\frac{3\pi }{8}‚k\text{π}+\frac{\text{π}}{8}](k\in \mathbf{{\rm Z}}).$

23.解: (Ⅰ) 设向量m与n的夹角为θ.

因为θ为锐角, $\therefore \cos \theta =\frac{\mathit{m}\cdot \mathit{n}}{|\mathit{m}||\mathit{n}|}>0$, 且向量m与n不共线, 因为a>0, b>0, n= (1, -1) , 显然m与n不共线, 所以, m·n=a-b>0, a>b,

分别从集合A和B中随机取一个数a和b的基本事件有: (1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3) , 共6种, 其中满足a>b只有 (2, 1) ,

∴向量m与n的夹角为锐角的概率${\rm P}=\frac{1}{6}.$

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知,

当n=2时, 满足条件的概率${\rm P}{}_2=\frac{1}{6}$,

当n=3时, 满足条件的概率${\rm P}{}_3=\frac{1}{3}$,

当n=4时, 满足条件的概率${\rm P}{}_4=\frac{1}{3}$,

当n=5时, 满足条件的概率${\rm P}{}_5=\frac{1}{6}‚$

∴使事件Cn的概率最大的n为3或4.

24.解: (Ⅰ) ∵m//n, 则$\sin A(\sin A+\sqrt{3}\cos A)=\frac{3}{2}$, 即

$\begin{array}{l}\sin {}^{2}A+\sqrt{3}\sin A\cos A=\frac{3}{2}‚\\ \therefore \frac{1-\cos 2A}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2A=\frac{3}{2}‚\end{array}$

即$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2A-\frac{1}{2}\cos 2A=1‚\therefore \sin (2A-\frac{\text{π}}{6})=1.$

∵A是锐角, $\therefore 2A-\frac{\text{π}}{6}=\frac{\text{π}}{2}$, 故$A=\frac{\text{π}}{3}.$

(Ⅱ) 因为$a=2‚c=4\sqrt[]{3}\text{s}\text{i}\text{n}B$, 则

$\begin{array}{l}S{}_{△ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\times 2\times 4\sqrt[]{3}\sin {}^{2}B\\ =4\sqrt[]{3}\sin {}^{2}B\\ =4\sqrt[]{3}\times \frac{1-\cos 2B}{2}=2\sqrt[]{3}-2\sqrt[]{3}\cos 2B‚\\ \therefore 2\sqrt[]{3}-2\sqrt[]{3}\cos 2B<\sqrt{3}‚\text{即}\cos 2B>\frac{1}{2}.\end{array}$

因为B是锐角, 所以$0<2B<\frac{\text{π}}{3}$,

即$0<B<\frac{\text{π}}{6}$, 故角B的取值范围是$(0‚\frac{\text{π}}{6}).$

$\begin{array}{l}25.\text{解}:(\mathrm{Ⅰ})\because f(x)=\sqrt{3}\sin \text{π}x+\cos \text{π}x\\ =2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \text{π}x+\frac{1}{2}\cos \text{π}x)\\ =2\sin (\text{π}x+\frac{\text{π}}{6})‚x\in \mathbf{R}‚\therefore -1\le \sin (\text{π}x+\frac{\text{π}}{6})\le 1‚\end{array}$

∴函数f (x) 的最大值和最小值分别为2, -2.

(Ⅱ) 令$f(x)=2\sin (\text{π}x+\frac{\text{π}}{6})=0$, 得

$\begin{array}{l}\text{π}x+\frac{\text{π}}{6}=k\text{π}‚k\in \mathbf{{\rm Z}}.\\ \because x\in [-1‚1]‚\therefore x=-\frac{1}{6}\text{或}\frac{5}{6}‚\end{array}$

$\therefore {\rm M}(-\frac{1}{6}‚0)‚{\rm N}(\frac{5}{6}‚0)$,

由$\sin (\text{π}x+\frac{\text{π}}{6})=1$, 且x∈[-1, 1], 得

$\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}‚\therefore {\rm P}(\frac{1}{3}‚2)‚\\ \therefore \overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}=(-\frac{1}{2}‚-2)‚\overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}=(\frac{1}{2}‚-2),\end{array}$

从而$\cos \langle \overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}‚\overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}\rangle =\frac{\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}\cdot \overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}}{|\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}|\cdot |\overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}|}=\frac{15}{17}.$

26.解: (Ⅰ) 当$x=\frac{\text{π}}{3}$时, $\mathit{a}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}‚\frac{1}{2}\right)$, 则

$\begin{array}{l}\cos \theta =\frac{\mathit{a}\cdot \mathit{c}}{|\mathit{a}|\cdot |\mathit{c}|}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1\times 1}=-\frac{\sqrt{3}}{2}‚\therefore \theta =\frac{5\text{π}}{6}.\\ (\mathrm{Ⅱ})f(x)=\lambda (\sin {}^{2}x+\sin x\cos x)\\ =\frac{\lambda }{2}(1-\cos 2x+\sin 2x)‚\\ f(x)=\frac{\lambda }{2}\left[1+\sqrt{2}\sin (2x-\frac{\text{π}}{4})\right].\end{array}$

因为$x\in \left[-\frac{3\text{π}}{8}‚\frac{\text{π}}{4}\right]$,

所以$2x-\frac{\text{π}}{4}\in \left[-\text{π}‚\frac{\text{π}}{4}\right]$,

当λ>0时, $f{}_{\max }(x)=\frac{\lambda }{2}(1+1)=\frac{1}{2}$,

即$\lambda =\frac{1}{2}$,

当λ<0时, $f{}_{\max }(x)=\frac{\lambda }{2}(1-\sqrt{2})=\frac{1}{2}$,

即$\lambda =-1-\sqrt{2}$,

所以$\lambda =\frac{1}{2}$或$\lambda =-1-\sqrt{2}.$

27.解: (Ⅰ) m·n=sinAcosB+sinBocsA

=sin (A+B) =sin (π-C) =sinC,

又∵m·n=sin2C,

∴sinC=sin2C, sinC=2sinCcosC,

而sinC≠0, 则$\cos C=\frac{1}{2}$,

由0<C<π, 得$C=\frac{\text{π}}{3}.$

(Ⅱ) 由sinA, sinC, sinB成等差数列, 得

2sinC=sinA+sinB.

$\begin{array}{l}\text{由}\text{正}\text{弦}\text{定}\text{理}\text{得}2c=a+b.\\ \because \overrightarrow{CA}\cdot (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=18‚\\ \therefore \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=18‚\text{即}ab\cos C=18‚\end{array}$

由 (Ⅰ) 知, $\cos C=\frac{1}{2}$, 得ab=36,

由余弦定理得

c2=a2+b2-2abcosC= (a+b) 2-3ab,

∴c2=4c2-3×36, 则c2=36, ∴c=6.

28.解: (Ⅰ) 设P (x, y) , 则

$\begin{array}{l}\overrightarrow{{\rm M}{\rm P}}=(x+1‚y)‚\overrightarrow{{\rm M}{\rm N}}=(2‚0)‚\overrightarrow{{\rm N}{\rm M}}=(-2‚0)‚\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}=(-1-x‚-y)‚\overrightarrow{{\rm N}{\rm P}}=(x-1‚y)‚\overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}=(1-x‚-y)‚\\ \therefore \overrightarrow{{\rm M}{\rm P}}\cdot \overrightarrow{{\rm M}{\rm N}}=2x+2‚\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}\cdot \overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}=x{}^2+y{}^2-1‚\overrightarrow{{\rm N}{\rm M}}\cdot \overrightarrow{{\rm N}{\rm P}}=-2x+2‚\end{array}$

由$\overrightarrow{{\rm M}{\rm P}}\cdot \overrightarrow{{\rm M}{\rm N}}‚\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}\cdot \overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}‚\overrightarrow{{\rm N}{\rm M}}\cdot \overrightarrow{{\rm N}{\rm P}}$成公差小于零的等差数列, 得

2 (x2+y2-1) = (2x+2) + (-2x+2) ,

即x2+y2=3.

又$\overrightarrow{{\rm M}{\rm P}}\cdot \overrightarrow{{\rm M}{\rm N}}>\overrightarrow{{\rm N}{\rm M}}\cdot \overrightarrow{{\rm N}{\rm P}}$,

则2x+2>-2x+2, 有x>0,

∴P的轨迹方程是x2+y2=3 (x>0) .

故点P的轨迹是以原点为圆心, $\sqrt{3}$为半径的右半圆.

$\begin{array}{l}(\mathrm{Ⅱ})\text{由}\text{题}\text{意}\text{知}‚\cos \theta =\frac{\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}\cdot \overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}}{|\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}|\cdot |\overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}|}\\ =\frac{x{}_0^2+y{}_0^2-1}{\sqrt{(x{}_0+1){}^2+y{}_0^2\cdot \sqrt{(x{}_0-1){}^2+y{}_0^2}}}.\end{array}$

由 (Ⅰ) 知, x${}_0^2$+y${}_0^2$=3, 则$\cos \theta =\frac{1}{4-x{}_0^2}$,

而$0<x{}_0\le \sqrt{3}$, 得$\cos \theta \in (\frac{1}{2}‚1]‚\therefore \theta \in [0‚\frac{\text{π}}{3})‚$

∴θ的取值范围是$[0‚\frac{\text{π}}{3}).$

高考区域地理试题的复习策略 篇8

一、构建“心理地图” 准确区域定位

【试题重现】

例1：（2013年海南卷1～3题）

图为某半岛地形图。读图，完成1～3题。

1.该半岛火山活动频繁，是因为受到（ ）

A.太平洋板块张裂的影响

B.印度洋板块张裂的影响

C.印度洋板块挤压的影响

D.太平洋板块挤压的影响

2.当地居民稳定的用电来源于（ ）

A.地热能 B.风能C.水能D.太阳能

3.7月份该半岛可能出现（ ）

A.冰川与岩浆相映 B.极昼

C.成群的企鹅 D.台风

【试题分析】 本题根据经纬网、陆地轮廓和海陆位置进行区域定位。确定该区域位于纬度较高的太平洋西岸的俄罗斯勘察加半岛，是亚欧板块与太平洋板块碰撞挤压的消亡边界。消亡边界处地壳运动活跃，多火山地震，地热能丰富。因为该区域所处纬度位置较高，所以气候寒冷，夏季气温较低，会出现冰川与岩浆相映的景象。从纬度位置来看，该地不在北极圈以内地区故没有极昼现象。而且此处纬度高不受台风影响。

【试题重现】

例2：（2012年四川卷第39（1）题）

发展农业需因地制宜，亦需科技创新。阅读材料回答问题。

材料一：我国某区域耕地分布图。

（1）分别归纳图中甲、乙两地形区种植业地域分布特点，并分析各自特点形成的自然环境原因。

【试题分析】 本题主要考查考生区域定位能力及区域特征对农业地域分布的影响的理解。根据经纬网、河流湖泊形状以及山脉走向进行区域定位。甲地位于塔里木盆地，种植业主要分布于盆地周围的山麓地带；乙地位于青藏高原，种植业主要分布于藏南河谷地区。

浙江省高考《考试说明》中提出的地理考核目标与要求之一：获取和解读地理信息。从上述几道高考试题中不难发现，区域定位是信息解读、试题解答必经的一道坎。如果我们连最基本的区域位置都无法确定，接下去一系列问题解答可能就无从下手。所以，在复习区域地理时，我们首先要指导学生跨过区域位置这道坎，在此基础上再分析、推理地理特征和成因。

那么如何根据区域地图进行准确定位呢？

【复习策略】

首先，帮助学生构建“心理地图”，做到“手中无图，心中有图”。具体可从以下几方面着手进行构建。

（一）引导学生熟悉重要经纬线经过的区域

通过经线和纬线进行区域定位是最为准确的定位方法。所以，在复习区域地理知识的过程中，让学生记住一些特殊经纬线经过的区域是关键。

（1）纬线：0°，南北回归线，30°N，40°N，南、北极圈等。

（2）经线：0°，30°E，60°E，90°E，120°E，120°W，90°W，60°W等。

（3）经纬线交汇点：（30°N，30°E）尼罗河入海口，埃及开罗附近；（60°N，60°E）大洲分界，乌拉尔山脉；（30°N，120°E）长江入海口附近；（30°N，90°W）密西西比河入海口附近；等等。

（二）熟悉重要地理事物的轮廓、形状和走向

国家、地区、海峡、岛屿、半岛、三角洲都有自己的轮廓，河流、湖泊有自己的形状，山脉、河流、铁路也有自己的走向。例如，意大利半岛像长筒高跟靴、伊拉克国家像芭蕉扇、黄河则像个“几”字形等。因此，熟悉这些在地理位置上具有重要意义的地理事物的轮廓、形状和走向，可以帮助我们确定小尺度范围的区域图。

（三）让学生记住重要地理界线的位置

（1）世界地理：七大洲与四大洋的分界线、六大板块分界线、各大洲主要地形区的大致分界线。例如，乌拉尔山脉是亚洲和欧洲的大洲分界线，是东欧平原与西西伯利亚平原的地形区分界线。

（2）中国地理：三大自然区分界线、地势三级阶梯分界线、主要地形区分界线、气候分界线等。例如，秦岭—淮河一线是北方与南方地区的分界线，是温带季风气候和亚热带季风气候的分界线，是半湿润地区和湿润地区的分界线，是旱地与水田的分界线等。所以，熟悉这些重要地理界线的位置，也可以帮助我们大致判断一个区域的地理位置。

二、运用综合比较 描述区域特征

【试题重现】

例3：（2014年上海卷第44题）

中南半岛自然环境得天独厚，勤劳的人民在这片土地上劳作、生息、繁衍、发展。读图，阐述中南半岛自然地理环境特征，分析这些特征对该区域水稻主产区、人口和城市分布的有利影响。

【试题分析】 根据中南半岛所处纬度与海陆位置，判读该地气候类型及其特征。根据河流中下游地区，得出土壤特征。结合自然环境特征，水稻的习性特征，可以得出水稻生产区的分布——气候暖湿，地形平坦。这些地区通常适合农业生产，所以人口与城市多在此分布，特别是河口三角洲。

例4：（2013年天津卷第13（2）题）

结合图文材料，回答问题。

a、b两城市均属于热带草原气候。a城市降水特点与b城市相比，有何不同（两气候统计图中，左为a城市，右为b城市）？为什么？请据图探究并说明。

【试题分析】 本题考查气候特征中的降水特征差异，一般可以从降水总量和降水的季节变化等方面进行比较。降水差异的原因可从影响气候的因素入手：大气环流和下垫面是影响气候的两大主要因素。a地接近30°S，受副热带高气压带影响明显，b位于南纬10°～20°之间，受赤道低压影响大。endprint

解答2014年上海卷第44题，学生必须掌握中南半岛的自然地理特征和人文地理特征；而要解答2013年天津卷第13（2）题，考生则须对两个不同区域的地理特征（降水特征）进行分析、比较。此类高考题出题的意图，旨在要求考生能够对某一区域地理要素或事物的特征进行准确的描述。因此，描述区域的自然地理特征、人文地理特征成了区域地理复习的重点。

如何准确把握区域特征？笔者觉得可以从以下三个复习策略入手。

【复习策略】

（一）构建知识模式，描述区域特征

一般情况下，区域的自然地理特征，可以从地理位置、地形、气候、水文、植被、土壤、自然资源等方面进行分析；区域的人文地理特征，可以从经济特点、农业、工业、人口、城市、交通等方面进行分析。

（二）“定桩、扯线、结网”，综合分析区域各要素间的联系

区域地理环境具有整体性的特征，区域各地理要素之间相互影响、相互制约、相互联系。因此，在实际复习过程中，我们可以先抓住区域最突出的特征，然后采用“定桩、扯线、结网”的方法进行记忆，有事半功倍的效果。

例如，对日本主要地理特征的分析，可抓住“岛国”这一主要地理特征，进行具体展开。如图所示。

（三）运用列表的方法，比较区域特征

课程标准要求“以两个不同区域为例，比较自然环境、人类活动的差异”“以某区域为例，比较不同发展阶段地理环境对人类生产和生活方式的影响”。为了更加深入地理解区域的地理特征，我们可以运用列表比较的方法对区域特征进行分析，既可以横向比较不同区域地理特征异同点，也可以纵向比较同一区域不同发展阶段的地理特征。

例如，横向比较东亚东、西部的自然和人文地理特征（地理位置、地形、气候、经济特征等）；纵向比较美国东北部工业区不同发展阶段的特征（以传统农业为主体的发展阶段、工业化阶段、高效益综合发展阶段）。

三、建立问题模型 分析事物成因

【试题重现】

例5：（2013年北京卷第36题）

读图，回答下列问题。

（1）简述新西兰对外联系的交通运输方式及其原因。

（2）分析南岛降水量西多东少的原因。

（3）与南岛相比，说出北岛经济发展的地理条件优势。

（4）新西兰多火山地震，分析其成因，并概述火山旅游活动的主要内容。

【试题分析】 本题是以新西兰区域为载体，从知识点角度来看，是考查“生产活动中地域联系的重要性和主要方式”“水循环的过程和主要环节”“不同区域自然环境、人类活动的差异”“板块构造学说，说出世界著名山系及火山、地震分布”和“旅游资源的多样性”。从能力角度来看，是考查“获取和解读地理信息”“调动和运用系统地理知识”“描述和阐释地理基本原理、规律和成因”的能力。（1）解：读图可知新西兰为岛国，远离世界大多数国家，调动知识可知新西兰经济发达，进出口贸易量大，根据图中国际机场和主要海港的分布可知新西兰对外运输中货运依靠水运，客运依靠航空。（2）解：根据经纬度可知新西兰南岛为典型的温带海洋性气候，西坡位于盛行西风迎风坡，降水量较大，东侧为背风坡降水量少。（3）解：从人文、自然两个角度对比南北二岛，机场、海港、陆路交通线均是北岛较多，北岛平原地形比例较大、纬度低热量充足，城市较为密集。（4）解：读图可知新西兰位于太平洋板块和印度洋板块的交界带，属于环太平洋火山地震带，火山附近地貌景观独特，地热资源丰富，温泉较多，是度假疗养的好地方。

【复习策略】

由以上分析可以看出，我们在复习区域地理时，除了让学生熟悉区域位置、把握区域特征，更重要的是如何让学生调动和运用系统地理知识阐释地理现象的成因，阐释地理特征、现象的成因。笔者认为，建立问题分析模型是一种高效的复习方法。

以分析沼泽形成的原因为例，可建立如下问题分析模型。

依据地理基本原理和基本规律，我们可以建立各类问题分析模型，高效地分析解决地理问题。一般来说，地理现象和地理问题的原因分析包括自然原因和人为原因两个方面。

（1）自然原因：纬度位置、海陆位置、地形、地势、气候、水文（河流和湖泊）、植被、土壤、矿产、洋流、海陆轮廓、板块运动等方面。

（2）人为原因：历史条件、人口、工农业、城市、交通、工程建设、市场、政策、科技、军事、宗教等方面。

分析时应注意把握主要原因：①影响太阳辐射强度的因素：纬度位置（太阳高度）、天气状况和气候、昼夜长短、地势（空气密度）、坡向等；②影响气温的因素：纬度位置（太阳高度、昼夜长度）、地形地势（阴坡/阳坡、海拔高度）、海陆位置、洋流、天气状况、下垫面、人类活动（热岛效应、温室效应）等；③影响降水量的因素：海陆位置、气候类型、天气系统、地形、洋流、植被和水文、人类活动等；④影响河流流量的因素：降水量、蒸发量、支流、下渗等；⑤影响盐场形成的因素：地理位置、海岸地形及特征、天气和气候特征等。

分析解决地理问题的前提是要具备扎实的区域地理知识和系统地理知识。系统地理与区域地理是高中地理知识的两大板块，任何系统地理知识只有落实到一定的地理区域才变得具体而生动。同样，只有具备扎实的区域地理知识，才能更好地运用系统地理的基本原理和基本规律来描述地理事物的特征、阐释各种地理现象发生的过程和成因。

四、分析区域问题 关注区域发展

【试题重现】

例6：（2014年海南卷第26题）

图中示意的我国农业区是新疆重要的农业生产基地之一。1990年至2010年，该农业区耕地面积不断扩大。

分析该农业区耕地面积扩大带来的环境问题，并提出应对措施。

【试题分析】 本题以我国新疆某一局部区域图为载体，考查区域环境问题及其应对措施。根据新疆干旱的区域特征，思考耕地面积扩大可能带来的环境问题主要有：加剧水资源短缺（耕地面积扩大，会加大用水量）、湖泊萎缩，调蓄能力减弱（入湖水量减少）、土壤次生盐碱化加重（大水漫灌，只灌不排）等。应对措施，从合理用水、节约用水、发展节水农业、改进灌溉方式、跨流域调水等方面来叙述即可。

【复习策略】

区域发展中常见的问题有：区域生态环境问题、区域自然资源综合开发利用、人口和城市化问题等，而不同区域情况千差万别，问题的解决措施又截然不同。那么如何才能在区域复习过程中更好地把握这一类知识呢？笔者认为，可以从以下两个方面着手。

（一）运用思维导图，综合评价区域问题

以区域生态环境问题为例，可以构建如下的思维导图。

（二）与时俱进，注重时事，关注热点区域

时事和热点问题，是地理高考命题的主旋律。因此，在对区域地理进行复习的同时，必须加强对相关热点区域的关注，并分析焦点区域问题和区域经济发展的方向。例如：①神舟系列载人飞船成功发射升空及降落——关注区域：甘肃酒泉及周围区域、内蒙古地区；②香格里拉古城被烧毁——关注区域：川、滇、藏地区；③西气东输二线贯通——关注区域：西气东输一线、二线、三线工程沿线地区；④蓝色国土，维护主权——关注区域：钓鱼岛及周围海域；⑤“雪龙”号被困后成功脱困——关注区域：南极地区；⑥“蛟龙”号载人潜水器在马里亚纳海沟试验海区创造了中国载人深潜最新纪录——关注区域：西北太平洋；等等。

学习区域地理知识，分析区域特征，目的是为人类的生产、生活提供服务。因此，我们要引导学生从区域的自然地理特征和人文地理特征两个角度，全面地分析该区域所具有的资源优势和劣势，得出区域存在的主要问题，并针对区域问题提出治理措施和开发对策，从中寻找出区域可持续发展的道路。