科学求导数的方法

科学求导数的方法（精选3篇）

科学求导数的方法 篇1

利用导数求函数的单调性

例 讨论下列函数的单调性：

1．f(x)axax（a0且a1）；

2．f(x)loga(3x25x2)（a0且a1）； 3．f(x)bx(1x1,b0)． 2x1分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f(x)，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内f(x)的符号，来确定函数f(x)在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．

解：

1．函数定义域为R．

f(x)axlnaaxlna(x)lna(axax).当a1时，lna0,axax0,f(x)0.∴函数f(x)在(,)上是增函数． 当0a1时，lna0,aaxx0,f(x)0.∴函数f(x)在(,)上是减函数． 2．函数的定义域是x1或x2.3f(x)logae(6x5)logae2(3x5x2)

3x25x2(3x1)(x2)1时，logae0,6x50,(3x1)(x2)0，3①若a1，则当x∴f(x)0，∴函数f(x)在，上是增函数；

当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是减函数 ②若0a1，则当x131时，f(x)0，3∴函数f(x)在，上是减函数； 13清华园教育网

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当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是增函数 3．函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性

x(x21)x(x21)当0x1时，f(x)b 22(x1)b(x21)

2

(x1)2若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是减函数； 若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是增函数．

又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当b0时，函数f(x)在（－1，1）上是减函数，当b0时，函数f(x)在（－1，1）上是增函数． 说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误判断．

分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力．

利用导数求函数的单调区间

例

求下列函数的单调区间： 1．f(x)x2x3； 2．f(x)2xx2； 3．f(x)x42b(b0).x分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．

4解：1．函数f(x)的定义域为R，f(x)x4x4(x1)(x1)x

令f(x)0，得1x0或x1．

∴函数f(x)的单调递增区间为（－1，0）和(1,)； 令f(x)0，得x1或0x1，清华园教育网

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∴函数f(x)的单调递减区间为(,1)和（0，1）． 2．函数定义域为0x2.f(x)(2xx2)22xx21x2xx2.令f(x)0，得0x1． ∴函数f(x)的递增区间为（0，1）； 令f(x)0，得1x2，∴函数f(x)的单调递减区间为（1，2）． 3．函数定义域为x0,f(x)1b1(xb)(xb).22xx令f(x)0，得xb或xb．

∴函数f(x)的单调递增区间为(,b)和(b,)； 令f(x)0，得bxb且x0，∴函数f(x)的单调递减区间是(b,0)和(0,b)．

说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数f(x)的单调递增区间和递减区间分别写成(1,0)(1,)和(,1)(0,1)的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用．

求解析式并根据单调性确定参数

例

已知f(x)xc，且f[f(x)]f(x1).1．设g(x)f[f(x)]，求g(x)的解析式；

2．设(x)g(x)f(x)，试问：是否存在实数，使(x)在,1内为减函数，且在（－1，0）内是增函数．

分析：根据题设条件可以求出(x)的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定

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存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数(x)是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数的取值范围，使问题获解．

解：1．由题意得f[f(x)]f(x2c)(x2c)2c，f(x21)(x21)2c.f[f(x)]f(x21)，∴(x2c)2c(x21)2c,x2cx21,c1.∴f(x)x21,g(x)f[f(x)]f(x21)(x21)21.2．(x)g(x)f(x)x4(2)x2(2)． 若满足条件的存在，则(x)4x32(2)x.∵函数(x)在,1内是减函数，∴当x1时，(x)0，即4x32(2)x0对于x(,1)恒成立． ∴2(2)4x2,x1,4x24.∴2(2)4，解得4．

又函数(x)在（－1，0）上是增函数，∴当1x0时，(x)0 即4x2(2)x0对于x(1,0)恒成立，∴2(2)4x,1x0,44x0.∴2(2)4，解得4．

故当4时，(x)在,1上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的存在．

说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用f(x)a恒成立[f(x)]maxa和f(x)a恒成立[f(x)]mina，究其原因是对函数的思想方法理解不深．

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利用导数比较大小

例

已知a、b为实数，且bae，其中e为自然对数的底，求证：ab． 分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明f(x)g(x),x(a,b)，可以等价转化为证明F(x)f(x)g(x)0，如果

baF(x)0，则函数F(x)在(a,b)上是增函数，如果F(a)0，由增函数的定义可知，当x(a,b)时，有F(x)0，即f(x)g(x)．

解：证法一：

bae，∴要证abba，只要证blnaalnb，设f(b)blnaalnb(be)，则f(b)lnaa． bbae，∴lna1，且

a1，∴f(b)0.b∴函数f(b)blnaalnb在(e,)上是增函数． ∴f(b)f(a)alnaalna0，即blnaalnb0，∴blnaalnb,ab.证法二：要证ab，只要证blnaalnb(eab)，即证babalnalnblnx1lnx(xe)，则f(x)0，设f(x)2abxx∴函数f(x)在(e,)上是减函数． 又eab,f(a)f(b)，即

lnalnb,abba.ab说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出f(x)g(x)f(x)g(x)的错误结论．

判断函数在给定区间上的单调性

例

函数ylog1121在区间(0,)上是（）x清华园教育网

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A．增函数，且y0

B．减函数，且y0

C．增函数，且y0

D．减函数，且y0

分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小；二是要判断此函数的单调性． 解：解法一：令u11，且x(0,),u1，x则ylog1u0，排除A、B．

2由复合函数的性质可知，u在(0,)上为减函数．

又ylog1u亦为减函数，故ylog11221排除D，选C． 在(0,)上为增函数，x解法二：利用导数法

y11log1e2log2e0 1xx(1x)21x1（x(0,)），故y在(0,)上是增函数． 由解法一知y0．所以选C．

说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．

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科学求导数的方法 篇2

一、知识回顾——一元复合函数求导法则

定理1 若u=φ (x) 在点x处可导, y=f (u) 在点u=φ (x) 处可导, 则复合函数y=f[φ (x) ]在点x处可导, 且其导数为 (f[φ (x) ]) ′=f′ (u) φ′ (x) =f′ (φ (x) ) φ′ (x) 或undefined

注1 一元复合函数的求导公式称为链式法则.从字面上我们可以理解到, 变量之间的关系可以用一条链子连接起来, 若每段链条表示因变量与自变量之间的导数运算, 则一元复合函数的求导公式由下面的图示可以得到一个形象的描述.

二、多元复合函数求偏导数

对于多元复合函数, 有以下几种复合方式:

(1) 外函数为多元函数, 内函数为一元函数;

(2) 外函数和内函数均为多元函数.

下面我们针对不同的情况, 给出多元复合函数求偏导数的方法.

定理2 如果函数z=f (x, y) 可微, 又设x=φ (t) , y=Ψ (t) 对t的导数存在, 则复合函数z=f (φ (t) , Ψ (t) ) , 对t的导数存在, 且undefined

对于这种外函数为二元函数, 内函数为一元函数的情形, 首先将复合函数中的自变量、中间变量和因变量之间的关系用以下“树图”来描述:

自变量t分别通过中间变量x和y与因变量z建立联系, 在“树图”上体现为有两条链条可以连接因变量z和自变量t, 因此函数z对自变量t的导数应该为两部分的和, 我们称之为“分线相加”;若每段链条表示端点变量间的导数运算, 每条链条由两段构成, 因此每条链条上为两种导数运算相乘, 我们称之为“连线相乘”.综合上述分析, 学生会很容易得到这个复合函数的求导公式.

例1 z=x2-y2, x=sint, y=cost, 求undefined

解 自变量为t, x, y是中间变量, z是因变量.此复合函数中的变量关系可用下列树图来描述:

综合可得undefined

例2 设undefined, 求undefined

解 u为x, y的函数, 而y又是x的函数.此函数中的变量关系可用下列树图来描述:

综合可得undefined

注2 例题2中既有u对x的全导数undefined, 又有u对x的偏导数undefined, 学生很容易混淆.事实上树图中可明确看到:若链条为单链条段, 则链条段表示全导数;若链条段为分支链条段, 则链条段表示偏导数.

定理3 设函数u=u (x, y) , v=v (x, y) , 在点 (x, y) 处具有偏导数, 而函数z=f (u, v) 在相应的点 (u, v) 处具有一阶连续偏导数, 则复合函数z=f[u (x, y) , v (x, y) ]在点 (x, y) 处的两个偏导数存在, 且有

undefined

对这种多元函数和多元函数复合的函数, 复合函数中的各种变量可用如下树图来描述:

根据“分线相加, 连线相乘”的原则, 复合函数的偏导数公式容易得到.

例3 求z= (x2+y2) xy的偏导数.

解

引进中间变量u=x2+y2, v=xy, 则z=uv, z是x, y的复合函数.复合函数中的变量关系可用以上树图描述.因此

undefined

推论 设函数u=u (x, y) , v=v (x, y) , w=w (x, y) 都在点 (x, y) 处存在偏导数, 而函数z=f (u, v, w) 在相应的点 (u, v, w) 处具有连续偏导数, 则复合函数z=f (u (x, y) , v (x, y) , w (x, y) ) 在点 (x, y) 的两个偏导数都存在, 且可用下列公式计算:

undefined

复合函数中的变量关系用树图表示为:

例4 设u=f (x, xy+yz+zx, xyz) , 求undefined

解 引入中间变量:ξ=x, η=xy+yz+zx, ζ=xyz, 则u=f (ξ, η, ζ) .变量之间的关系可用树图描述为:

记undefined, 则有

undefined

对于多元复合函数求高阶偏导数, 树图法同样具有其优越性.

例5 设z=f (xy, x2+y2) , 其中f具有二阶连续偏导数, 求undefined

解 设y=xy, v=x2+y2, 则z=f (u, v) .变量之间的关系可用树图描述为:

undefined

因为undefined和undefined仍是u, v的函数, 而u, v又都是x, y的函数, 所以undefined和undefined都是以u, v为中间变量的x, y的函数, 从而它们仍是x, y的函数.变量之间的关系可用树图描述为:

undefined

同理可得

undefined

记undefined, 则

undefined

三、总 结

通过上面的一些例题, 我们可以看到, 多元复合函数的复合关系是多种多样的, 我们不可能也没有必要把所有的公式都记下来.树图法及“分线相加, 连线相乘”的八字原则总结了多元复合函数求导的规律.

参考文献

[1]王莉萍, 刘红卫.多元复合函数求导的变式问题[M].湖北广播电视大学学报, 2007, 27 (9) :151-153.

[2]四川大学数学系高等数学教研室编.高等数学 (第二册) [M].北京:高等教育出版社, 1996.

科学求导数的方法 篇3

点评:(1)在函数定义域内讨论单调性;(2)图像并非导函数的图像,而是找出决定导函数符号的部分,作图讨论;(3)二次函数优先考虑因式分解,如不能因式分解,则重点关注抛物线的开口方向、与x轴的交点个数(判别式)、对称轴、纵截距;(4)重点关注图像与x轴的交点(零点),x轴上方的图像表示导函数大于0,原函数单调递增,x轴下方的图像表示导函数小于0,原函数单调递减.

【例2】(2013·全国卷Ⅱ,21)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).

(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;

(2)略.

∴f(x)在区间(-1,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增.

由图3可知:

当x∈(-1,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;

当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.

函数的单调性是导数的核心内容,而函数单调性的讨论往往又离不开含参不等式,学生基本上是遇到参数就无从下手,此时若能结合图像讨论,则能突破难点.数形结合思想的特点就是直观性,可让学生一目了然,心里有底.故利用导数和数形结合思想求函数的单调性,是行之有效的方法.

摘要：导数的热点问题有最值、极值、恒成立、不等式证明等,而解决这些问题的关键是讨论函数的单调性,故函数的单调性是导数的核心内容.又因函数的单调性绕不开含参不等式,而含参不等式问题是学生学习的薄弱环节,若能结合图像讨论导函数的符号,则能让学生易于接受.文章通过介绍高中阶段几种常见的函数类型,谈谈如何利用导数和数形结合思想求函数的单调性.