一道中考题的教学启示（精选8篇）
台州市中考数学第23题是一道动态探究题，是一道考查过程与方法的好题，本题源于平时的习题，是该习题探究的延续，
二、试题分析
此题综合性强，考察的知识点多，有三角形、特殊三角形、全等三角形;有勾股定理、相似三角形判定、解直角三角形;有旋转、有翻折.考察的思想方法有变换思想、化归思想、分类讨论思想、方程思想、特殊到一般的思想.本题能较好地反映学生的数学学习水平，有利于学生学习方式的转变，同时也促使教师教学方式的改进与教学理念的更新，
该题前三个填空，考查了从特殊到一般的思想，体现了动态探究题解题基本思路，接下来着重探讨第三小题的解法：
三、教学启示
虽然中考并不是衡量教育教学的唯一标准，但作为“指挥棒”之一，我们无法回避它，况且中考试题凝聚着命题专家的集体智慧，体现了新课标的要求与理念，所以一道好的中考题，不仅要有好的选拔功能，而且要有好的教学导向，由此引发对课本、课堂、评价的新认识和再思考，形成了一些教学启示.
1.教学要回归课本
中考试题往往是课本中典型例、习题的变式、延伸、推广或综合.它往往源于课本，却高于课本，既考查双基，更侧重能力的考查，是对课本例、习题的再创造.挖掘中考试题的来龙去脉，有助于学生回归课本，让学生再一次感受知识的生成过程、理顺知识脉络，避免单调低效的题海战术.
2.课堂教学要注意渗透数学思想方法
传统教学强调“双基”教学，新课程继承“双基”的教学优势，还增加了“基本数学活动经验”，“基本数学思想方法”.数学活动经验是学生在参与数学活动中所积累的经验或感悟，数学方法是解决数学问题的方式与手段，数学思想是对数学方法的`概括与提炼，这些都要在数学活动中学生自身感悟形成的.由此可见，基本数学活动经验，基本数学思想方法的教学不能靠几节课，做一批题突击出来的，它应渗透在平时每一节课的教学中.所以教师在教授学生知识的同时，关注思想方法的渗透.譬如通过一题多解、一题多变、多题一解等方式让学生领悟这些方法背后隐藏着的数学思想方法，如上述解法一中将△CDK先关于直线DF对称得到AC，DK，然后△C’DK关于直线DE对称得到对称三角形，就相当于解法二中将△CDK绕点D逆时针旋转1200到△ADC’.进一步归纳：如果把变换看做运算，那么旋转变换可以看做是对称轴相交的两次轴对称的积，平移变换可以看做是对称轴平行的两次轴对称的积.从而让学生感悟到对称变换、旋转变换、平移变换，它们都具有将分散条件集中起来的作用，我们把它称为变换思想.
3.教学要重视过程评价
传统教学重结果、轻过程，极大地阻碍了学生的可持续发展.新课程强调过程教学，让学生亲身经历知识的发生、发展过程，教师要引导学生主动观察、实验、验证、推理与交流等数学活动.并且把“过程与方法”作为三维目标之一，可见过程的重要性.虽然过程评价操作难度较大，但是中考命题朝着这个方向努力着，例如第23题的设计就体现了过程评价的特点，该题前三空以开放题的形式分步设计，向学生展示了知识的发生、发展过程，揭示了从特殊到一般的认知规律，让学生经历了观察、实验、验证、推理的过程.既降低了难度，又有利于学生思维的发展，
一、试题呈现
“如图1, Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE, DF分别交线段AC于点M, K.
(1）观察： (1) 如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK＿＿＿＿＿＿＿MK（填“>”、“<”或“=”）．
(2) 如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK＿＿＿MK（只填“>”或“<”）．
(2）猜想：如图1，当0°<∠CDF<60°时，AM+CK＿＿＿＿＿＿＿MK，证明你所得到的结论．
(3）如果MK2+CK2=AM2，请直接写出∠CDF的度数和的值．”
二、试题分析
此题综合性强，考察的知识点多，有三角形、特殊三角形、全等三角形；有勾股定理、相似三角形判定、解直角三角形；有旋转、有翻折.考察的思想方法有变换思想、化归思想、分类讨论思想、方程思想、特殊到一般的思想.本题能较好地反映学生的数学学习水平，有利于学生学习方式的转变，同时也促使教师教学方式的改进与教学理念的更新.
该题前三个填空，考查了从特殊到一般的思想，体现了动态探究题解题基本思路.接下来着重探讨第三小题的解法：
解法一:对称变换法
证明:如图5, 作点C关于FD的对称点C′, 连结C′K, C′M, C′D, 则CD=C′D, C′K=CK, ∠C′DK=∠CDK,
∵D是AB的中点，∴AD=CD=C′D．∵∠A=30°，∴∠CDA=120°，∵∠EDF=60°，∴∠C′DM+∠C′DK=60°，∠ADM+∠CDK=60°．∴∠ADM=∠C′DM，∵DM=DM，∴△ADM≌△C′DM，∴C′M=AM．又∵MK2+CK2=AM2，∴MK2+C′K2=C′M2，∴∠C′KM=90°，∴∠C′KC=90°.由对称性知∠C′KF=∠CKF=45°，∴∠CDK=15°，在Rt△MC′K中，
解法二：旋转变换法
如图6，将△CDK绕点D逆时针旋转120°到△ADC′.连结C′M, 则KD=C′D, C′A=CK, ∠C′DA=∠CDK, ∵∠ADM+∠CDK=60°, ∴∠ADM+∠C′DA=60°, 即∠C′DM=∠MDK=60°, 从而△KDM≌△C′DM, ∴C′M=KM.又∵MK2+CK2=AM2, ∴C′M2+C′A2=AM2, ∴∠AC′M=90°, 又∵∠DAC′=∠DAM=30°, ∴∠AM-C′=30°,
解法三：解直角三角形与相似变换法
如图7，求∠CDK的度数，往往把它放到直角三角形中，于是作KQ⊥CD, DN⊥CA垂足分别是Q, N，在Rt△CDN中，设CD=a, 则如果NK也能用a的代数式表示，那么∠DKN的度数可求，则∠CDK的度数也可求出.由于AM, MK, CK在一直线上，可通过代数运算，因此设，则.设MN=y，则，再把它们代入MK2+CK2=AM2，得到.再由
Rt△MDN∽Rt△KDQ，得到，两者
相等得出方程，解得，所以，因此，所以∠DKN=45°，得出∠CDK=15°.当∠CDK=15°时，∠ADM=∠DKN=45°，∠CDM=∠CMD=75°，此时，△AMD∽△ADK，所以AD2=AM·AK，又因为AD=CD=CM，所以CM2=AM·AK，化简得AM=2CK，再把它代入MK2+CK2=AM2，得到.
三、教学启示
虽然中考并不是衡量教育教学的唯一标准，但作为“指挥棒”之一，我们无法回避它.况且中考试题凝聚着命题专家的集体智慧，体现了新课标的要求与理念.所以一道好的中考题，不仅要有好的选拔功能，而且要有好的教学导向.由此引发对课本、课堂、评价的新认识和再思考，形成了一些教学启示.
1. 教学要回归课本
中考试题往往是课本中典型例、习题的变式、延伸、推广或综合.它往往源于课本，却高于课本，既考查双基，更侧重能力的考查，是对课本例、习题的再创造.挖掘中考试题的来龙去脉，有助于学生回归课本，让学生再一次感受知识的生成过程、理顺知识脉络，避免单调低效的题海战术.
题目：如图8，点R, Q是正方形ABCD边BC, AB上异与顶点的动点，且保持∠RDQ=45°，求证：RQ=CR+AQ.
变式一：如图9，其他条件不变，连结AC交DR, DQ于点K, M，求证：以线段AM, MK, CK为边的三角形是直角三角形.
变式二：如图10，若图9用虚线补成两个等腰直角三角形，CD是斜边上的中线，另一个等腰直角三角形绕点D旋转交线段AC于点M, K，求证：MK2+CK2=KM2.
变式三：把图10中的两个等腰直角三角形改成30°的直角三角形，且∠E=∠CAB1=30°，如果MK2+CK2=AM2，请直接写出∠CDF的度数和的值，这就是中考第23题.
延伸与推广：把原题的30°直角三角形改为任意的直角三角形，其余条件不变，设∠A=∠E=α，当0°<α<45°，且∠CDK=45°-α时，则MK2+CK2=AM2, .当α=45°时，则MA2+CK2=KM2.当45°<α<90°时，MA2+CK2<KM2.
2. 课堂教学要注意渗透数学思想方法
传统教学强调“双基”教学，新课程继承“双基”的教学优势，还增加了“基本数学活动经验”，“基本数学思想方法”.数学活动经验是学生在参与数学活动中所积累的经验或感悟.数学方法是解决数学问题的方式与手段，数学思想是对数学方法的概括与提炼，这些都要在数学活动中学生自身感悟形成的.由此可见，基本数学活动经验，基本数学思想方法的教学不能靠几节课，做一批题突击出来的，它应渗透在平时每一节课的教学中.所以教师在教授学生知识的同时，关注思想方法的渗透.譬如通过一题多解、一题多变、多题一解等方式让学生领悟这些方法背后隐藏着的数学思想方法，如上述解法一中将△CDK先关于直线DF对称得到△C′DK，然后△C′DK关于直线DE对称得到对称三角形，就相当于解法二中将△CDK绕点D逆时针旋转120°到△ADC′.进一步归纳：如果把变换看做运算，那么旋转变换可以看做是对称轴相交的两次轴对称的积，平移变换可以看做是对称轴平行的两次轴对称的积.从而让学生感悟到对称变换、旋转变换、平移变换，它们都具有将分散条件集中起来的作用，我们把它称为变换思想.
3. 教学要重视过程评价
传统教学重结果、轻过程，极大地阻碍了学生的可持续发展.新课程强调过程教学，让学生亲身经历知识的发生、发展过程，教师要引导学生主动观察、实验、验证、推理与交流等数学活动.并且把“过程与方法”作为三维目标之一，可见过程的重要性.虽然过程评价操作难度较大，但是中考命题朝着这个方向努力着.例如第23题的设计就体现了过程评价的特点.该题前三空以开放题的形式分步设计，向学生展示了知识的发生、发展过程，揭示了从特殊到一般的认知规律，让学生经历了观察、实验、验证、推理的过程.既降低了难度，又有利于学生思维的发展.
1． 高考题的解析与评述
［天津•理科•21］ 已知函数f(x)=xe-x（x∈R）.
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；
(Ⅱ) 已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)
(Ⅲ) 如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2＞2
【解析】（Ⅰ） 解：f′(x)=(1-x)e-x，令f′(x)=0,解得x=1
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x(-∞,1)1(1+∞)
f′(x)+0-
f(x)极大值
所以f(x)在(-∞,1)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数.
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1e
（Ⅱ） 证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex-2
令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe-x+(x-2)ex-2
于是F′(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x
当x>1时，2x-2>0,从而e2x-2-1＞0,又e-x＞0,所以F′(x)>0,从而函数F（x）在［1,+∞)是增函数.又F(1)=e-1-e-1=0,所以x＞1时，F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
（Ⅲ) 证明：（1）
若(x1-1)(x2-1)=0,由(Ⅰ)及f(x1)=f(x2),则x1=x2=1.与x1≠x2矛盾.
（2） 若（x1-1）(x2-1)＞0,由(Ⅰ)及f(x1)=f(x2),得x1=x2.与x1≠x2矛盾.
根据（1）（2）得（x1-1）(x2-1)＜0,不妨设x1＜1,x2＞1.
由（Ⅱ）可知，f(x2)>g(x2),则g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)>f(2-x2),从而f(x1)>f(2-x2).因为x2＞1，所以2-x2＜1，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以x1>2-x2,即x1+x2>2.
评述：这道题整体上呈现一定的梯度，第（Ⅰ）问处理方法常规学生都能应对，第（Ⅱ）问承上启下才是整个问题的核心.（Ⅱ）中对解析式的证明，对学生而言有一定的难度，思维方法比较常规，它要求对函数概念，尤其是函数自变量的理解必须深刻地领悟其本质，这是解题的关键.(Ⅲ)中的证明学生往往感到难以下手，把x1,x2直接代入解析式无法构造出x1+x2的形式，这对学生的能力要求较高，看不出第二问为第三问打下了伏笔，体现了知识迁移能力，对高校选拔人才尤其是高端人才有很好的作用.
如果我们用分析法只需证明x1＞2-x2，那么就需要和函数联系到一起，要考虑到函数单调的单调性，就是比较的大小，就是比较f(x2)与f(2-x2)的大小，利用f(x)与g(x)的草图，需要运用（Ⅱ）中的结论来处理即可.
2． 对教学启示
2．1关注课程改革，开发创新题型
随着新课程改革的不断深入，高考命题必然会结合新课程的指导思想进行命制.而新课程对学生的自主学习、探究学习提出了较高的要求，为了检验学生的自主学习能力，防止试题出现新的“模式化”倾向和落入新的“题海”，肯定会创设出一大批情景新颖、立意深刻、设问精巧但又贴近课本、遵循课标能力型试题，以考查学生对中学数学知识联系间的深层理解，以及对这些知识的领悟和在新情景下的应用能力.如江苏2010年高考数学的第12题就体现了专家的精心设计.因此，我们在教学中应当在创新题上做好分析、收集、编制工作，不时地穿插、进行有目的渗透，以逐步提高学生在这方面的分析和解决能力.
2．2 深化教材研究，贴紧命题方向
教材是数学知识和数学思想方法的载体，也是我们教学的依据，自然就成了高考命题的源头.近年所有自主命题的省市和全国卷都特别注重发挥教材的功能，每年都有部分试题就是以课本题为蓝本，通过变形、延伸、拓展来命制的.如我们所讨论这道题，就是在深化函数概念的基础上，突出对函数图象的深刻理解，真正领悟对称性神髓，而不能仅仅是对称性的形式.这就要求我们，要加强对概念、定义、定理的发生、发现过程的教学，尽量创造问题呈现的情景，让学生真正地参与到自主探究的学习中来；要加强对等价概念、相关概念的研究，体味概念所涉及的数学思想和解题方法的应用，特别要加强数形结合思想的领悟；要加强对典型例题所涉及的方法、结论、变式与引申的深刻理解，特别要加强对参数的引入、分类讨论和转化归纳、数形结合等数学思想的把握.
2．3 注重策略指导，提高应变能力
pdf文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。
术论坛
一道数列极限证明题的应用与推广
《嚣汪褥蔻蹇等专学校
赵建红 云鬻嚣泼
８７毒ｌ ＯＯ》
摘要：参政文献【Ｉ】的一道教列极限证明题！鳃√吖＋吼“＋„＋％”一ｍａｘ｛口ｌ，口２，„％｝引入。将她命题推广到函数极限上，用其结论将玩牛拳
一些名援乃熏奎蛋寿夔考研名麓轻松辫决，井ｌｌ八了ｌ；‘下庀令令惹；
’
（１’璺豫积’Ｏ）＋磊’Ｏ）＋„＋无。Ｏ）芦＊ｍ缸｛口ｌ，吩，„，靠。；
（２）！臻ｐ∞Ｏ）＋∥∞Ｏ）十„＋厶’似Ｏ谚丽；ｍ戕｛口ｌ，口２，„，‟）。井婶即型的极限计算以麓慰：＠Ｏ）＋＾Ｏ）＋„＋厶Ｏ沙南印
酗（。＋∞＋„＋ｍ乒型秘城艰哥薯馋了擐译。
关键词：数列极限 考拼 应用
中图分类号ｊ０２４２
文献标识码｝Ａ
文章编謦。１６７４一０９８ｘ（２００８）０３（ｅ）一０１３２一０２
１艨题垂现：（《数学分斩》（牮东师大第兰舨）ｐ３４）
溉厅ｉ丽＝一｛口１，咚，„‟｝。
２轻松解题
命题一：设ｄ１，口２，口３，„„，口。是ｍ个正数，证明：
解：南命题二有：熙瓣。｛２：：：：要ｊ芝鬈：：
穰５、竣函数，Ｏ）＝鞋瓣叠＋｜∥，„„„„２００５年全阑繇摇高 ’７㈣’’’
数
一、数＝ ３．２辩推广到函数裔以下结论：
证明：设Ａ一趟ａ】【｛口１，拉２，„％｝，由于：∥≤ｑ”＋啦”＋„÷‟８≤删”
烫Ｈ知；鎏厅瓦丽＝＿＝ｍ勰‟啦，„口擗｝。
究嫩入学试题。
所以；爿兰承Ｆｉ≧干面ｓ４沥而照瓶＝ｌ，敝由两边夹法
黼一∥盼壁衙骺撩：
命题三：设ＺＯ），正Ｏ），„，六Ｏ）是ｍ个函数，并且满慰条件（１）
．
ｆ倒１ｊ计算极瞬ｉｍ每ｌ＋矿（ａ＞Ｏ）－．„„?１９９８、１９９９年北京大学研
Ｚ冬）≥ｏ，（２）耋氅ＺＯ）＝每≥ｏ，粪《：
热Ｕ。Ｏ）＋五„Ｏ）＋„＋厶’Ｏ骖＝瑚ｘ｛啦，口２，„，％）
ｌ黧ｏ＜牙≤ｌ时；
鬃：虫命题一有：薹口≥ｌ隧：氅《ｌ＋矿＝８
ｌｉｍ∥Ｉ＋矿＝ｌ。Ｈ—瑚
ｌ
淀秘：’？暨ＺＯ）＝吩，所以有对讹，＞ｏ’菊，》ｏ使得当
％一曩ｓｘ≤而＋６，时，有：ｑ—ｅ；《ＺＯ）≤ｑ＋￡，而平Ｏ）≥ｏ，所以： 如一￡，芗≤Ｆ◇）ｓ矗＋￡；ｙ’
【馕２】求下歹｝ｌ极限：爨冬”＋扩＋ｃ“罗◇≥魏６≥ｏ＇ｃ≥ｏ）。„„２０００
第巾辩院试蘧。
Ｉ
解：由命题一有：擞０”＋扩＋矿歹＝㈣｛口，６，ｃ｝? ３鞘俸撵广 ３．＇推广到函数列上有以下结论
取口引ｎ麒｛口Ｉ，吃，鸭，„％｝，则有：∑＠一￡，ｙ≤∑ｚ。Ｏ）≤∑＠＋ｅ，ｙ 融＝蕊霸敦，￡２，￡，„￡。｝，羹《蠢：
０一￡ｙ≤（口ｆ一￡，ｙ ｇ∑Ｚ’Ｏ）曼埘（口＋￡ｙ
命题二：设ＺＯ）＇正Ｏ），„，＾Ｏ）是ｍ个函数，并麒满足条件（１）
Ｚ◇）≥ｅ，《２）熙Ｚ０）＝ｇ≥ｏ，绷：
予麓：０一￡罗茎＠一鬈罗≤∑∥Ｏ）≤癣◇＋￡罗，‘
舰以“Ｏ）＋以４０）＋„＋厶４０殄＝燃如，啦，„，‟）
证盟：设口＝懈溉，吃，„％｝，由于：
矿≤Ｚ６０）＋左”ｅ）＋„＋矗”Ｏ）≤施４，’
因憩，有：Ｑ—ｅ）ｓｆ宝ｚｚｏ汗《ｏ＋￡）搬÷‘
＼扣ｌ，■、ｏ
所以：口兰彤Ｆ石ＦＺ≦西ｉｊ了了丽《口掂，而熙蛎＝ｌ，故由
嚣逑夹法剐知：
此时，当点专％时ｊ就有：口一￡《ｌ∑ｚ１０）１４≤口＋￡，也即；
溉积。Ｏ）＋五’◇）＋．．一歹？Ｏ莎＝越ａｘ如，吼，„，‟｝
艘翌研“Ｏ）＋矗４０）＋„＋五”Ｏ涉刮岫ａｘ如，嘭，„，冁）
例３、计算憋掣ｌ＋，Ｏ芝ｏ）。
„„„„２０００年添南师范大学
命题四：设ＺＯ），以Ｏ），„，厶Ｏ）是ｍ个函数。并且满怒条件（１）
解．自命题二有：照丽＝髋：：愁１．
例４、熙可ｌ＋２”ｓｉｌｌ”善。
„小„„„„内蒙古大学
ｚ◇）≥移，ｆ２）溉ｚ∞。碑猢，ｆ３）溉妒∞＝枷魁
曼娶ｐ∽ｏ）＋∥ｏ’ｏ）＋。＋∥ｏ’（ｘ）户：ｎ嫩舀，口：，„，口卅ｌ’
１ ３２乖≥ｌ主支刨案斤导报Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ ＴｅｃｈｎｏＩｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈ９ｒａＩｄ
万
方数据
学术论纭
一
Ｓｅｉ∞ｃ§∞ｄ下ｅｃ‟ｌｏｇｙ括弧ｏｖ毒瑕嚣甍磊；曩
’
２０鹋∞．∞、Ｉ
证明：‘？溉ｚＯ）。口』，所以有澍Ｖ￡，＞ｏ，３６。》ｏ使得当
南一鑫；ｓ石≤．岛＋鑫，鲢，考：壤一￡，≤Ｚ０）≤碡＋８，蠢争冬）≥８ 所以：（口ｆ一￡。，“’《∥“’Ｏ）ｓ“＋ｅ，“’
取口ｍｍ戡敏，口２，鸭，„％｝，则有｛。
．
例６，求极限ｂｍ厶＋矿Ｆ„„„„„１９９９年四川联合大举 Ｊ—｝撵、▲，麟：耄参邋三，舀、纛骞：
ｂ＋∥Ｔ：：————』～：！熟Ｇ＿Ｉ譬南之
Ｉｉｍ
∑＠一￡。罗“’ｓ∑∥“’Ｏ）≤∑＠＋￡，罗啪
ｌ‘ｌ ＪｏＩ ‘ｏＩ
取￡＝往曲靶Ｉ，￡２，￡，„￡。），则有＃
参考文献
【ｌ】华衰魉大数学系编。数学分辑，（篡三鹱）。Ｍ。褰教猛毽叛，２００，ｐ３４—３６。
Ｑ一￡罗铆ｓ如一￡。罗雌≤∑ｒ社’Ｏ）兰搬０＋￡罗仁’ 手惹；◇一￡罗㈣≤瓴一￡，罗∽≤∑斧鳓冬）≤辨◇＋￡罗ｍ，Ｍ
【２】薛嘉庆．历届考研数举真题解析大垒．东北大举出版社，２００６，ｐｌ—１８．
【３】钱吉橼等生编。数学分耪题艇精糌。豢文书局，２００３，ｐ２６、３３、３７．４０；５７，１０７．
【４】董义琳等．数学分析的范例与习作．瓣南稃技出版我，１９９６，ｐ２５—
７０．
因她有下式：ｏ—ｅ）≤ｆ妻Ｆ∽ｏ费丽≤妇＋ｅ》南
＼酬，１５】薛嘉庆．赢等数学题麾横编。（理工类）。东北大学如版鼓，２００ １． １６】Ｇ。浚籁驻著．数学与猜想《会待援溪模式ｌ。耱攀窭籁茬。１７】范培华，李永．２００６举考研数学全韶．国家行政学院出版社． 【８】２００６年众国研究生入学考试数学考试大纲．教宵部制订．高教社
出版，２００５．。
北时，当ｊ一穗时，就骞：口一ｅ≤（娄Ｆ∞。习；丽≤口＋￡
即：
毁留∞ｏ）＋歹尹’ｏ）●．．‘＋譬∞０疹ｂ；二
《上揍ｌ ３１页》
。，和落实科学发展魂和藏确的政绩麓。都是 为了解决发展什么和怎样发展得更好的问
解决自身发展审存在的突嬲矛盾和闻籁。一
定要大力弘扬求真务实精神，大兴求真务实之 风，按客观规橼办事，不盲翻攀比，不搞旄架 予，不急功逅禊，笈一切王传经霉起实践豹捡 狻，历史的捻验和群众静徐验。领导予都要
分考虑誊物联系的广滋性，在发展巾注重解决 存在的突出矛盾和悯题，实现城乡、区域，经济巷会．Ａ与自然等不霾方嚣的良牲互 动。同时，妥善处理好各种誊ｌ益关系，充分调 动一切积极因素。特别要高度重视和关心农 民，城市低收入居民和其他困难群众的利 益，楚金捺入民赣蔫熬颡富裕购蠢囊稳步兹 迸。
；
题，都是掇高党的领导水平和执政水平，提蹇全党潮志特爨是备缀领导干部瓣执致
能力静雨簌要求。实践｝正明，一个映乏正
确的政绩观的干部，往往同时也缺笺科学
以自己的示范和带动作用，使科学发展观深入
人心，成为广火干部群众的自觉行动，更好地 毙全面建设小壤社会豹伟大攀韭不断攘巍翦
发展观，瓶违背科学发展现的所谓政绩，只毙建发袋陷入富区秘溪区。当翦瓣立正 确静改绩畿。遥韬需要落实好囊巾央，国 务院提出的带能减排政绩一票否决制，维 护好人民的生存，发展空间。总之，贯彻落实辩学发展现，领搏手部
逡？，不断夺取众瑟建设冬藤社会事鼗的新鞋
刹，早日实现寓强，民主，文明，和谐的社
２．３坚持以人为本 以人为本是科学发展观的本质和核 心，俸境了我们党的执政宗旨。坚持以入
秀本，虢楚要蹙实税、维护稻发襞入民静 根本利箍作为一切■作的出发点和落脚 点，在经济发展的基础上。不断掇高人民群 众的物赁文化生活水平，为充分发挥人的衾主义现代化国家奋斗融标。
楚关键，纛锈导予舒领导拳平豹撵麓又有 赖于加强凳的执政能力建设。在党的“十
七大”召开之后的相当长的时期内，领导 干部树立和落实科学发展观，既是～个重
黎甏考麓镄造良舞豹繇凌，提褰久懿整裕 素质，促进入的全面发展，要保障人民的经济，政治、文化权箍，切实做副发展为了 人民；发展依靠人民、发展成果幽入民共
大懿理论瀑遂，又是一磺艰巨懿实羧任务，既要有紧迫感和责任感，又要看到解决发 展不平衡问题的艰巨憔，复杂性和长期 性。还应当看到，坚持以人为本，努力满足
享，在经济茬会事务管瑾中蓦薰入、关心
入。人的全面发展怒一个长期的渐进的过 程，只有随着社会财富的不断增加和社会
入涎群众黢雳要霸促进入懿垒瑟发瓣，是
一个不断发展和透步静过程，只有随着社 会财富的不断增加和社会文明的持续进
文明的持续进步，才能逐步得以实现。因
筵，我嬲必矮麸办簿翔豹辜猿激越，把以太
步，这个翻标才能愈蕊充分地得剿实现。巍这个过程孛，不毙要求过急，｛委期过褰。
我国入瑟多，底子薄，幅爨广，差异太，在领 导工作中，各地、各部门一定要结禽自己的 实际情况，因地制宜，因时制宜地把科学发 鼹筏豹要求贯穿手各方蕊戆工作，麸办攥刭的 事情骰起，袄追纫需要解决的事请舔鹣，蕾鸯
为本的耩神体现嚣我们的各项置作中去。
树崴正确的政绩ｊ昵。政绩观是发展现 在领导业绩上的具体体现，直接反映领导
手部默政的份值取淘。辩学发鬏缆翻正确 酶致绩躐既耜互医鄹，又密韬联系。褥立
ｊ斡｜壬支创掰导报ｓｃｉｅｎｃｅ
ａｎｄ Ｔ９ｃｈｎｏＩｏｇｙ
ｌｎｎｏｖａｔｉｏｎ
ＨｅｒａＩｄ ｌ ３３
万
方数据
一道数列极限证明题的应用与推广
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 赵建红 丽江师范高等专学校,云南丽江,674100 科技创新导报 SCIENCE AND TECHNOLOGY INNOVATION HERALD 2008，“"(9)1次
在我的记忆中，他经常骑着电动车带我逛公园、上超市、去医院、上幼儿园······直到现在我上小学了，他依然每天接送我上学、放学。无论寒冬酷暑还是刮风下雨，他从不迟到。又是他明知道我会迟出来还是早早地在接送点等候。这承载着他十年来对我的爱。
这几年，福州的城市变大了，风景也变得更美了，他就像一棵四季常绿鳄榕树，成为我心中一道最美的风景。这道美丽的风景就是我心中最敬佩的老外公。
有一天，我迟出校门，接送的家长都走得差不多了，天空突然下起了大雨，外公见我出来连忙上前结果我的书包，二话不说，脱下身上的雨衣给我穿上。他自己只戴着一顶布的旅游帽，他还问我：“同学都走了吗?班上的事情都做好了吗?”我点了点头说：“我要他们做干净些所以又迟了许多出来。”外公接着说：“你做的对，吃一点没关系，一定要把该做的事情做好，这才是最重要的!”说着他就骑上了车，我看到外公没穿雨衣就说：“您的衣服湿了，会生病的，先躲会雨小点再走吧!”外公笑着说：“你一定也饿了，晚上还要做作业，我们还是先回家，我没关系的，不用担心。”我坐在车后，望着他帽子下露出的白发，摸着他被雨水淋湿的衣衫，我的泪水和雨水夹杂在一起流了下来。
你有没有想过，别人可以做到的我们为什么做不到，别人比自己更聪明?更成熟?不，都不是，只是因为人家比你更努力。
很多学生都曾抱怨自己的学校不够优秀、老师不够优秀，但你有没有问过自己：我是不是考过三流学校的第一名?想必很多人都会回答：“NO”，既然如此，那么你还有什么资格抱怨呢?抱怨只是发泄情绪的一种方式，那么什么是解决问题的方式?就是努力增加自己的竞争力。
青春短暂，每个人都想给自己留下一些值得回忆的事，但机会毕竟是属于少数人的，大多数人可能都算不上出类拔萃，所以也就得不到那只属于胜者的东西。这就说明我们还需要再努力。
有一些人，他们可能是属于弱势群体，没有任何成绩、也没有耀眼的闪光点，实际上他们已经放弃了自己，但没有人生来注定就是失败者，俗话说：“三百六十行，行行出状元。”伟大的比尔·盖茨在1975年辍学，通过不懈的努力，创建了一个属于自己的微软王国，其实，如果我们都付出同等的努力，不一定比他做得差，只不过是时间的问题罢了。小时候是公认的“学神”，可后来呢?他成了使无数人家破人亡 ，直接发动二战的始作俑者，这就是昔日老师、同学眼中的优秀学生。由此看来，刚开始的成绩并不能决定一个人一生的成就。
(2016年淄博市中考17题) 如图1, ⊙O的半径为2, 圆心O到直线l的距离为4, 有一内角为60°的菱形, 当菱形的一边在直线l上, 另有两边所在的直线恰好与⊙O相切, 此时菱形的边长为___.
2 题目特点及学生失误类型分析
从题目出现的位置上看, 本题是试卷填空题最后一题;身负对学生的选拔和区分功能;从题目结构来看, 本题是一道小综合题, 涉及到菱形的判定、圆与直线的位置关系、解直角三角形等第三学段核心知识;从题目的特点来看, 本题是一道体现命题者“匠心独运”的创新题, 题目设计新颖, 考察学生的信息处理、动手操作和创新能力以及学生在自我数学意识的统摄下对待问题解决的态度和心理素质, 从实际效果来看, 本题在考试中给学生带来不小的麻烦, 使学生捉襟见肘、望而生畏, 而不足0.01%的正确率也验证了这一点.考试后回访学生结果显示, 学生的失误主要表现在以下3方面.
2.1 忙中起笔, 囫囵吞枣
部分学生为了能够在两小时内完成整份试卷, 在阅读题干一遍之后便匆匆尝试解题.所采用的方法中直接在试卷图形中画菱形 (草图) , 力求将题干中所给要求转化为条件同时使用以取得立竿见影之效.由于从不同的要求出发可画出的菱形有多个, 而这其中有很多菱形的边长却是一样的, 况且从题干信息“另有两边所在的直线恰好与⊙O相切”不难嗅出, 本题的答案肯定不止一个, 需要进行分类讨论 (分为两临边、两对边所在直线与圆相切) , 这样囫囵吞枣、不分条件主次的作图法缺乏分类讨论标准的眷顾, 致使一部分学生难以想全面、造成顾此失彼, 而另一部分学生则陷入多图重复的桎梏.
2.2 考虑不周, 缺乏质疑
还有部分学生在经过一番思考之后, 洞悉命题者的意图, 知道需要分类讨论, 却“想当然”认为在所有可能出现的情况之中, 只有与l平行的一边与⊙O相切且与l相交所成夹角是60°的一边与⊙O相切的两种图形符合题意, 没有探究当与l相交且所成夹角是60°的平行的两边与⊙O相切的情况是否存在, 便匆忙去求前两种情况中菱形的边长, 也就是没有将“如果存在, 求出结果, 如果不存在, 还需说明理由”的质疑精神充分应用到该问题的解决上.这样的学生只得出3个结果中的其中两个, 距离正确答案一步之遥.
2.3 心理阴影, 计算失误
面对这样的开放型题目, 很多学生在平时练习中就无从下手, 经历过几次失败之后还会留下心理阴影, 继而长时间缺乏克服困难和尝试新鲜的勇气.加之考场中的紧张气氛, 致使很多平时数学成绩不是很突出或者对数学不自信的学生在考试中直接越过该题.还有学生在计算中出现了失误, 有个别同学把圆到直线l的距离当作4, 还有部分学生将锐角三角函数值记错导致计算失误.
3 建议解题方法与步骤
任何数学问题的解决, 都离不开对问题终极要求的分析、对已知条件的梳理和思考, 以及学生将自身技能、经验与分析所得信息特征的匹配.在本题的解决上, 分析问题终极要求可知欲求菱形边长首先要找全、找对图形.分析题干信息可知所找菱形需满足3个要求:第一, 菱形一内角为60°;第二, 菱形一边在直线l上;第三, 菱形两边 (所在直线) 与圆相切.所以, 画图确定菱形时, 首先要将对菱形的要求转化为条件, 然后选择一个合理的满足条件的顺序在图1中逐一添加菱形的各边, 并在实际操作中产生分类讨论的标准.分类讨论的标准不是机械的思维负担, 而是在分析问题和解决问题过程中自然衍生的合理逻辑通道.
3.1 简单入手, 创新联想
首先“菱形的一边在直线l上”这个要求最容易满足, 故选择把它作为画图的起点, 而确立以此为突破口之后, 第2个最容易实现的要求便是构造60°的内角.需要注意的是在画图时还要保证所画菱形一个角为60°的精准性, 否则所画的不标准图形不但影响后面的作图、判断 (存在与否) , 还会影响后期辅助线 (解题灵感) 的寻找以及计算的准确性, 不可草率.稍加联想不难得到借助三角板即可实现精确画出60°角, 而且根据题目最后的要求菱形有两边 (所在直线, 下不重复) 与圆相切可分为两邻边与两对边分别与圆相切, 索性首先控制要画出的第2边与圆相切 (控制变量, 避免重复图形) , 其作法是让三角板的最短边与l重合, 然后平移三角板, 直至三角板的斜边与⊙O相切, 用铅笔沿斜边划线, 记为AB, A为所画直线与l的交点, B为直线AM与⊙O的切点, 如图2.
3.2 尺规作图, 亦步亦趋
将三角板移去, 再思考如何让菱形满足另一边与圆相切的条件, 自然分为两种情况:第1种构造与直线l平行的一边与⊙O相切;第2种与直线AB平行的一边与⊙O相切.这两种情况又都可以借助手中的直尺和三角板得到准确的图形.而且借助三角板将直线l平移直至与⊙O相切, 又可分为两种情况, 平移后的直线在⊙O上方和平移之后的图形在⊙O下方.
若在圆上方, 设平移后的直线与直线AM交于E, 以A为圆心, AE为半径画弧, 交直线l于C点, 过C作CF∥AE, 交平移直线于F, 则菱形ACFE即为所求, 如图3.
当直线在圆的下方, 重复上述操作可得菱形AGHP, 如图4.
对于满足与直线AB平行的一边与⊙O相切时的图形, 可将60°三角板的最短边与l重合并平移, 直至斜边再次与⊙O相切于Q, 记切线为TQ, T为切线与直线l交点, 以A为圆心, AT为半径画弧, 交AM于N, 过N作直线l的平行线, 交TQ于P, 则菱形AT-PN即为所求, 如图5.
3.3 抓住特征, 逐一击破
从整个过程开看, 解法的产生采用控制变量法 (首先控制AM与⊙O相切) 借助尺规作图 (虽然不够严格, 但是考虑应试中各种现实条件和以及解题需求, 这样操作已足够) 画全图形, 有理有据, 亦步亦趋, 答案最终浮出水面.
4 两点补救措施
4.1 将课堂探究活动真正还给学生
中考中一道“优”题预设解题过程是齐肩于学生平时学习活动中的探究过程的.造成学生失误率升高的原因之一是学生过度追求高分紧张而脱离一般解题的心理和行为取向;二是一些年轻教师为代表的课堂中总是害怕时间不够用, 对于知识的探究和一些具有积极意义的数学活动总是不等学生身临其境就草草了事, 将课堂牢牢束缚在无休止的题海战术中.岂不知这样的做法恰恰戕害了学生的自主权和节奏感, 致使很多中下游学生未经历战场, 就开始欢呼胜利.没有了以探究为背景的知识主动建构, 再多的题目训练相对于学生能力的提高也只能是隔靴搔痒, 一些学生即使能够从课堂习题中有所收获, 但也只是就题论题, 面对新题型时, 便捉襟见肘, 学生对上面这道题目的解答情况便是最好的证明.所以, 基于学生发现的慢教育才是课堂的真正内涵, 作为组织者、引导者和合作者的教师, 要通过问题暗示、价值引导、及时干预、必要讲解和适时评价等手段引导学生参与, 让学生经历实质性的思维过程, 在体验中逐渐明晰本质, 才能真正锻炼学生的数学思维能力形成核心素养, 又能够在一定程度上帮助学生建立解题的乐趣和意志.
4.2 坚持培养学生的解题立意
如图所示，8个相同的水瓶中灌入不同高度的水，敲击它们，可以发出“1、2、3、4、5、6、7、i”的声音来。这些声音产生的原因和决定音调的因素分别是：
A．水振动，水的高度。
B．水振动，瓶内空气柱的高度。
C．瓶内空气振动，水的高度。
D．瓶内空气振动，瓶内空气柱的高度。
原评卷参考答案为：D。
这道中考题源于课本，关于这道题的解法，《少年素质教育报》（理化周刊）（CN13-0065）2006年1月2日 第二版《从2005年中考声现象题目看命题的变化》一文中进行了如下评析：
解析 本题是对发声体的考查，由以前的竞赛题变化而来，有一定的难度，加强了和音乐、生活的联系。声音产生的原因是瓶内空气的振动．决定音调的因素是瓶内空气柱的高度，瓶内水越多，空气柱的长度越短，音调越高。类似的题目是：在向水瓶中充开水时，随著水位的升高，水的音调越高。答案为D。
答案果真如此吗？
只要我们亲手做过这个探究实验，并经过认真思考，本题是可以获得正确答案的，为了找出本题中声音产生的原因和决定音调的因素，我们设计并进行了如下科学探究实验。
科学探究实验一：
声音产生的原因是不是瓶内空气振动？
在两个一样的啤酒瓶中分别灌装入同样高度的水和泥沙，用筷子分别敲击两个啤酒瓶，实验结果是：两个瓶子发出声音的音调明显不同，灌装入水的瓶发出的声音音调较高，灌装入泥沙的瓶发出的声音音调较低。
对上述实验现象，可以进行如下分析：
两个瓶中空气柱的长度是一样的，如果声音产生的原因是空气柱的振动，那么，用筷子分别敲击两个啤酒瓶时，它们发出声音的音调应该大致相同，现在它们发出声音的音调明显不同，这说明刚才实验中我们听到的声音不是瓶中空气柱发出的，而是另有发声物体，是别的发声体在发出不同音调的声音。
另一方面，当改变实验做法，不使用筷子敲击啤酒瓶发声，而是改用嘴分别对着两个瓶口吹气发声，实验结果是：两个瓶子发出声音的音调大致相同。
对上述实验现象，分析如下：
用嘴分别对着瓶口吹气，这种情况下的发声体应该是瓶中空气柱，两个瓶中空气柱的长度是一样的，两个瓶子发出声音的音调大致相同。
分析上述探究实验的结果，我们可以得出如下结论：
当用筷子敲击啤酒瓶时，声音产生的原因不是瓶内空气振动。
科学探究实验二：
声音产生的原因是不是瓶内水振动？
在啤酒瓶中灌装入水，比较用筷子敲击啤酒瓶发出的声音和用手摇晃啤酒瓶发出的声音的实验结果是：用手摇晃酒瓶时瓶中水振动厉害，但发出的声音的音色一点不象用筷子敲击啤酒瓶发出的声音，很明显这两次发声来源于不同的发声体。
另一方面，进行如下比较实验,用筷子敲击空啤酒瓶发出的声音和用筷子敲击装有水的啤酒瓶发出的声音，发出的声音的音色大体相同，只是音调明显不同，具体情况是空啤酒瓶发出的声音音调较高，装入水的啤酒瓶发出的声音音调较低。
分析上述探究实验的结果，我们可以得出如下结论：
当用筷子敲击啤酒瓶时，声音产生的原因不是瓶内水振动,应该是瓶子的振动。
综合上述探究实验的分析结果，可以得出如下总结论：当用筷子敲击啤酒瓶时，声音产生的原因不是瓶内空气振动,也不是瓶内水振动,应该是瓶子的振动。
那么, 当用筷子敲击瓶子时,决定音调的因素是什么呢?
科学探究实验三：
当用筷子敲击瓶子时,产生声音不同的音调的因素是什么?
在两个一样的啤酒瓶中分别灌装入同样高度的水和泥沙，用筷子分别敲击两个啤酒瓶，实验现象是：灌装入水的瓶发出的声音音调较高，灌装入泥沙的瓶发出的声音音调较低。
在两个啤酒瓶中灌装入不同高度的水，用筷子分别敲击两个啤酒瓶，实验现象是：灌装水较少的瓶发出的声音音调较高，灌装水较多的瓶发出的声音音调较低。
根据前面探究实验的结论，当用筷子敲击瓶子时，声音产生的原因是瓶子的振动，在两个一样的啤酒瓶中分别灌装入同样高度的水和泥沙，水的质量小于泥沙的质量，用筷子敲击瓶子时，水与瓶子的挤压作用相对泥沙与瓶子的挤压作用而言，水与瓶子的挤压作用较小，因而装水的瓶子较易振动，振动较快，振动频率高，瓶子的振动发出声音的音调较高；反之，装泥沙的瓶子泥沙对瓶子的挤压作用较大，瓶子较难振动，振动较慢，振动频率低，瓶子的振动发出声音的音调较低。
同理，在两个啤酒瓶中灌装入不同高度的水，用筷子敲击瓶子时，少水瓶子的水质量小，瓶子水对瓶子的挤压作用较小，瓶子较易振动，振动较快，振动频率高，瓶子的振动发出声音的音调较高。
反之，多水瓶子的水质量大，装水多的瓶子水对瓶子的挤压作用较大，瓶子较难振动，振动较慢，振动频率低，瓶子的振动发出声音的音调较低。
根据前面的三个科学探究实验分析结论可知，这一道中考声学题出题有问题，四个选项都是错误的，没有选项可供选择，试题中的所配的插图也是错误的，发出“1、2、3、4、5、6、7、i”的声音的八个瓶子，装水最多的瓶子敲击时发出声音的音调应该最低，装水最少的的瓶子敲击时发出声音的音调应该最高，插图中八个瓶子装水的情况刚好弄相反了。
人民教育出版出版的现行教材中，义务教育课程标准实验教科书《物理》（八年级 上册）也存在这个错误，教材中的所配的插图也是错误的，发出“1、2、 3、4、5、6、7、i”的声音的八个瓶子，插图中八个瓶子装水的情况也是刚好弄相反了，教材编著者和这道中考声学题出题者犯着同样的错误。
【一道中考题的教学启示】推荐阅读：
中考作文一道最亮丽的风景12-04
最美的一道风景线600字中考优秀作文11-09
一道论证题11-10
微笑是一道美丽风景11-28
我就是一道风景作文11-30
你就是一道风景答案01-10
我心中那一道阳光04-01
你也是一道风景作文06-07
一道风景线写景作文10-17
好一道风景作文400字12-13
