分式方程的解法（通用14篇）
本节课是北师大版数学八年级下册第三章《分式》的第四节“分式方程”的第二课时，本节课作为分式方程的第二节课，是在学生掌握了一元一次方程的解法及分式四则混合运算的基础上展开的，既是对前一节内容的深化，又为以后学习“分式方程的应用”打下了良好的基础，因而在教材中具有承上启下的作用。
课程标准要求：会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的 分式不超过两个）。根据新课标、教师用书及学生的学习情况，将本节课的学习目标细化为：
1、通过自学课本88-89页例1，例2，会归纳出解分式方程的基本思路及方法,并会模仿例题解简单的分式方程。
2、通过合作交流，会归纳出解分式方程的一般步骤。
3、通过自学课本89页议一议及90页，知道增根产生的原因及验根的必要性，并会归纳出验根的方法。
4、会熟练解分式方程，并会检验根的合理性
解分式方程的基本思路是－－把分式方程转化为整式方程，方法是去掉分式方程的分母，即方程两边同乘以最简公分母，这是分式方程求解的关键。因此确定本节课的学习重点为
1、解分式方程的基本思路及方法
2、会熟练解分式方程 解分式方程学生容易出错，关键不能理解在方程变形的过程中产生增根的原因，可以结合实例让学生了解方程两边同乘的是整式，整式可能为零不能满足方程同解变换的原则，因此本节课的学习难点为
1、增根产生的原因及验根的必要性
2、验根的方法
本节课前，学生已熟悉等式的性质，并能熟练地解一元一次方程，能理解去分母、去括号、移项、系数化为1的依据。所以，在上一节课学习分式方程概念的基础上，本节课运用观察、类比的方法，探索解分式方程的方法及各步骤的依据。因此，本节课主要采用问题设计的模式，通过观察、类比、讨论、交流的形式展开教学，特别注重 “精讲多练 ”，真正体现以学生为主体。课堂上主要采用了启发、引导式并针对学生的回答所出现的一些问题给出及时的纠正。在上课做练习时，除了让尽可能多的学生板演外，自己还在下面及时的发现其他学生所出现的问题，比较典型的则全班讲评，个别小问题，个别解决。
在学习过程中，首先复习找最简公分母的方法，为新课中去分母做铺垫，进而引导学生类比解一元一次方程的一般步骤解分式方程，既引出了本节课题，又使学生能积极投入到新知探究环节。
在新知探究过程中，我设置了四个探究环节。通过预习，独立完成探究
（一）提出的问题，让学生明确解分式方程的基本思路及方法，并能模仿例题完成体验练习（其中练习2要让学生注意解分式方程去分母时，方程的各项都要乘以最简公分母。）。在探究
（二）归纳出解分式方程的一般步骤后，引得学生观察方程
3x13xx1，思考求得的x值是方程的解吗？学生在完成体验练习和归纳出解分式方程的一般步骤时，会觉得只要解方程时细心，计算不出错，检验没必要，因此，我设计这道思考题，让学生发现求得的x值代入原方程左右两边均无意义，引发学生思考求得的x值是不是方程的解,从而引出增根。进而思考：增根是什么？是如何产生的？如何检验？带着这些问题，自然进入探究
（三）。增根是本节的难点，学生通过看课本很难深入理解，因此我在探究
（三）中设计了3个问题分散这个难点，让学生通过预习、合作交流完成，理解增根产生的原因和体会验根的必要性，从而会检验根的合理性，顺利突破难点。在探究
（三）完成后，为巩固检验增根的方法，也为再次强化解分式方程的一般步骤，又设计了一道巩固练习。学生正确完成后引导学生观察这几道练习，思考“你发现分式方程有哪些验根的方法？各有何特点？（即探究四）”让学生通过合作交流，归纳出分式方程验根的方法。最后通过一组巩固训练强化本节所学知识。至此，本节课通过由浅入深的练习和诱导，使学生在不知不觉中强化了重点，突破了难点。
1、通过探究
（一）及体验练习，检测目标1的达成--达成度98%。
2、通过探究
（二），检测目标2的达成达成度100%。
3、通过探究
（三）及巩固练习，检测目标3的达成--达成度95%。
4、通过探究
（四）及巩固训练，检测目标4的达成--达成度95%。为了帮助学生从整体上理解本节课所学的知识，构建知识结构，对所学知识及融于其中的思想和方法进行小结，设计了第三个环节 “谈谈你的收获”。学生可以谈本节课的收获，也可以谈在本节课中的疑惑,或对本节课提出意见或建议，给予学生充分的鼓励和正确的评价。
为了检测本节课学生掌握知识的程度，设计了两道检测题，既检验了解分式方程的能力，又巩固了验根的方法，同时检测了目标的达成度。
本节设计了必做和选做两项作业，把作业分为必做题和选做题两种，这样做既可以使学生掌握基础知识，又可以使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的。
本节课的设计力求体现：
培养学生观察、交流、分析、归纳的能力 让学生充分经历知识形成的全过程
undefined
去分母, 整理得: (a+b) [c2+c (a+b) +ab]=0.
∴ (a+b) (c+a) (c+b) =0.
∴a+b=0或a+c=0或b+c=0.
由以上可知, 如果三个数的倒数和等于这三个数的和的倒数, 那么这三个数中必有两个互为相反数。根据这一原理, 可使形如undefined的方程得到巧妙解答。
例1 解方程undefined
解:∵ (x-2) + (2x-1) + (3x+2) =6x-1,
∴原方程等价于 (x-2) + (2x-1) =0,
或 (x-2) + (3x+2) =0,
或 (2x-1) + (3x+2) =0.
由 (x-2) + (2x-1) =0得:x=1,
由 (x-2) + (3x+2) =0得:x=0,
由 (2x-1) + (3x+2) =0得:undefined
经检验, 原方程的根是:undefined
例2 解方程undefined
解:原方程可变形为:
undefined
∴原方程价于 (2x+3) + (5-3x) =0,
或 (2x+3) + (-x-2) =0,
或 (5-3x) + (-x-2) =0.
由 (2x+3) + (5-3x) =0得:x=8,
由 (2x+3) + (-x-2) =0得:x=-1,
由 (5-3x) + (-x-2) =0得:undefined
经检验, 原方程的根是:undefined
例3 解方程undefined
解:原方程可变形为:
undefined
∴原方程等价undefined,
或undefined,
或undefined
由undefined得:undefined,
由undefined得:undefined,
由undefined得:x=0.
从卷面来看，分值控制在3%~8%左右，所占的比值不大，有些老师就疏忽大意了。其实，我们老师如果对此引起足够的重视，基本上前80%的学生能得到满分。我在复习过程中，发现我的学生在分式和分式方程这版块的内容掌握的不好。有很多同学连增根是什么也不知道，更别说是分式方程根的检验，这让我很吃惊。我马上翻阅了浙教版《数学》七年级下册的教材，发现分式方程只在两、三课时，学习时间不长，致使遗忘比较快。下面，就我从教学中出现的一些状况，以及中考中要引起重视的地方粗步的概括了一下：
1.分式的取值范围
例1使分式 有意义的自变量x的取值范围。
分析：学生易与二次根式√x-1的取值范围相混淆，不过能意识到分母不能为零，会出现x＞1的错误结果。
2.注意分式的隐含条件
例2若分式 的值为0，则x的值等于。
分析：若要使分式的值为零，必须要从分子、分母两方面考虑，即分子为零而分母不为零。于是解方程x2-x-2=0，得x1=2,x2=-1。但很多学生会很快把答案写上去，忘记把其中一个使分母为零的根舍去。
3.分式的化简求值
例3
分析：分式的化简基本上出现两种错误：一种是在解题中把分母变没了；还有一种是误认为公分母是（x-1）（１-x），使得计算过程复杂化，从而导致出错。
先将代数式 ÷ 化简，再从-３＜x＜３的范围内选取一个合适的整数x代入求值。
解：原式＝== =x-1
当x=2时，原式=1。
分析：对于复杂的分式运算，要弄清楚运算顺序，用好运算法则，注意运算符号。若有括号的，应先算出括号中的结果，再进行分式的乘除运算。此题在选具体的数值时还需注意隐含条件，其中±1不能选学生知道，但还有一个0会误选，其实合适的整数x只能是２或-２。
4.分式方程的解
例4已知关于x 的方程 的解是正数，则m的取值范围为。
分析：本题将分式方程与一元一次不等式结合在一起考查。去分母，得2x+m=3（x-2），解得x=m+6。因为x为正数，所以m+6＞０，得m＞-6。很多学生就直接把答案写上去，而忽略了当m=-4时，x=2，此时分式方程无解，从而把m≠-4漏掉。故正确应填m＞-６且m≠-4。
若关于x的分式方程 -=1无解，则a= 。
分析：本题主要考查分式方程的增根，增根对于学生来说比较陌生，所以要加强这方面的练习。去分母，得x（x-a）-3（x-1）=x(x-1)，注意每一项都要乘，不要漏乘。化简得，（a+2）x=3。若x=0或x=1时，则是增根，应舍去，此分式方程无解。因此，当x=0时，a不存在；当x=1时，a=1。故正确填a=1。
总之，在分式的解题过程中，注意分式的运算顺序和里面的隐含条件，不能随便去掉分母；在分式方程的计算中，去分母时应把各项都乘遍，验根是必不可少的步骤。
教学目标
知识目标：经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程，体验分式方程模型的思想，会用分式方程解决简单的实际问题。能力目标：
1、经历“实际问题情境——提出问题——解决问题”，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识。
2、通过分式方程的实际应用，提高学生的思维水平和应用意识。
情感目标：
1、通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱，进行节约用水、用电、环保和森林防火等方面的教育。并对学生进行“心系灾区，大爱无疆”的情感教育。
2、在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的方法的能力，体会数学的应用价值.教学重点：
1、列分式方程解决实际问题
2、列分式方程解应用题的步骤，教学难点：根据实际问题找相等关系正确列分式方程，教法和学法：启发引导，提出问题，自主探索与解决问题，合作交流 课前准备：投影仪、多媒体课件.教学过程
一、创设情境，领悟规律
观看火灾视频，创设情景，让学生在实际问题中提出问题及解决问题的能力。（以及火灾导出的森林保护法）
二、实际应用，建立模型
1、实际问题与应用
今年，我国云南普林因为一支香烟头引发了特大森林火灾，火势平均达到5.0亩/分钟，立即报119，消防队接到消息立即出发到12千米的普林灭火，消防车装载着所需材料先出发10分钟后，组织人员乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达普林，已知吉普车速度是消防车速度的1.5倍，最终经过6小时扑灭大火。
2、老师提出问题：
（1）因为一支香烟头引发了特大森林火灾，你们会想到什么后果吗？（2）同学们！根据我们所学的数学知识，结合上述情景，你能解决哪些问题？
3、学习森林保护法（出示）
4、学生提出问题（未知）
5、根据学习提出的问题来解决（板书）
方法总结：方程应用题的解决关键是确定等量关系，两个等量关系中牵扯的未知量可以作为提问的问题，解决分式方程应用题的步骤：审、找、设、列、解、验、答）
三、拓展知识，灵活应用
（结合“节能环保”的主题引出今天的问题情景）
(2009中考题)我县为了治理污水，需要铺设一条全长550米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的功效比原计划增加10℅，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？
（学生先独立思考，后小组交流分析寻找解决应用题的关键：找出等量关系，再独立设出未知数列方程解决）
四、课堂练习，巩固新知
【练习】根据我国的绿化要求，某甲、乙两村参加退耕还林植树活动，已知甲村每天比乙村多植树100棵，甲村植1000棵树所用的天数与乙村植800棵所用的天数相等，试求甲、乙两村每天各植树多少颗？
五、学习小结，提高认识
列分式方程解应用题的一般步骤；
1.审:分析题意，找出问题中的数量及数量关系； 2.设:选择恰当的未知量设未知数（注意单位）； 3.列:根据数量和相等关系，正确列出分式方程； 4.解:解分式方程；
5.验:检验（是否是分式方程的根，是否符合题意）； 6.答:注意单位和语言完整。
2．分式方程 的解为
3．分式方程 的解为
4．若分式 的值为，则y＝
5．当x＝ 时，分式 与另一个分式 的倒数相等。6．当x＝ 时，分式 与 的值相等。7．若分式 与 的和为1，则x的值为
8．在x克水中加入a克盐，则盐水的浓度为
9．某公司去年产值为50万元，计划今年产值达到x万元，使去年的产值仅为去年与今年两年产值和的20%，依题意可列方程
10．AB两港之间的海上行程仅为s km，一艘轮船从A港出发顺水航行，以a km／h的速度到达B港，已知水流的速度为x km／h，则这艘轮船返回到A港所用的时间为 h。11．分式方程 的解为（）A． B． C． D．
12．对于分式方程 ,有以下说法:①最简公分母为(x－3)2；②转化为整式方程x＝2＋3，解得x＝5；③原方程的解为x＝3；④原方程无解，其中，正确说法的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1 13．对于公式，已知F，求。则公式变形的结果为（）A． B． C． D．
14．一个数与6的和的倒数，与这个数的倒数互为相反数，设这个数为x，列方程得（）A． B． C． D．
15．甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x个零件，列方程得（）A． B． C． D．
16．某面粉厂现在平均每小时比原计划多生产面粉330kg，已知现在生产面粉33000kg所需的时间和原计划生产23100kg面粉的时间相同，若设现在平均每小时生产面粉x kg，则根据题意，可以列出分式方程为（）
A． B．
C． D．
17．解方程。（1）（2）
18．一个工厂接了一个订单，加工生产720 t产品，预计每天生产48 t，就能按期交货，后来，由于市场行情变化，订货方要求提前5天完成，问：工厂应每天生产多少吨？
19．用价值100元的甲种涂料与价值240元的乙种涂料配制成一种新涂料．其每千克售价比甲种涂料每千克售价少3元，比乙种涂料每千克的售价多1元，求这种新涂料每千克的售价是多少元？
20．近几年高速公路建设有较大的发展，有力地促进了经济建设．欲修建的某高速公路要招标．现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成，费用为120万元；若甲单独做20天后剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样所需费用110万元，问：（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少万元？
21．周末某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲、乙两组行进同一路程所用时间之比为2：3．（1）直接写出甲、乙两组行进速度之比．
（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离山顶的路程尚有1．2 km，试求山脚到山顶的路程．
本节课是分式方程的起始课，要求能从实际的生活情境中抽象出分式方程的概念。学生认知的基础是：已掌握简单的整式方程的解法(一元一次方程及二元一次方程组)，学习过分式的四则运算。分式方程概念的学习，为分式方程的解法及运用的学习做了极为必要的铺垫。
二、教学目标及重点、难点
三维教学目标：
1.知识目标：从实际情境中抽象出分式方程的概念;
2.能力目标：通过列分式方程培养学生分析问题、解决问题的能力;
3.情感目标：培养学生的社会责任感及应用数学的意识。
教学重点：列分式方程
教学难点：列分式方程。
三、教育理念及教法依据：
采用建构主义教学模式，运用成功教育及赏识教育理念设计教学。
四、教学程序
1.情境1.
(出示)有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量。
设计发问：(1)你能用自己的语言解释每一个数据的意义吗?
(2)你能尽可能从题目中找到等量关系吗?
答：①两块地的面积相等;
②第一块地的产量为9000kg;
③第二块地的产量为15000kg;
④第一块地的单位面积产量比第二块少3000kg;
(3)你还能找到哪些隐含的数量关系?
答：⑤总产量/总面积=单位面积产量
(4)如何选设未知数?(通常设直接未知数，如建立方程困难则选设间接未知数)
(5)哪些关系可以用来建立代数式?哪一个关系用来建立方程?
(6)如何建立方程?
解：设第一块试验田每公顷产量为xkg，则第二块试验田每公顷的产量是(x+300)kg. 由题意得9000/x=15000/(x+3000).
(教师板书等量关系及所列方程)
设计意图:(1)以问题串的形式形成师生之间的对话，推进学生的思维，突破学习的难点;
(2)呈现列方程的通用方法：分析数据——找等量关系——设未知数——建立相关的代数式——建立方程;
(3)如果学生的回答思维跳跃较大，教师采取追问的方式，将思维的关键步骤凸显出来，使基础薄弱的学生也能积极地跟进;
(4)提醒学生：
①通常设一个未知数至少需要建立一个方程，设两个未知数至少需要建立两个方程;
②等量关系或用来列代数式或用来建立方程，不能重复使用;
③学会用代数式思考问题;
④列方程的思想要“深入人心”。
2.情境2.
(出示)从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480 km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。
组织教学：分成男生、女生两个阵营，就以上问题，一方同学依次发问，另一方依次应答。提问方围绕问题，想问什么就问什么，问清楚问透彻;应答方有问必答。
如，女生问：(1)请解释题中数据的意义?
(2)题中有哪些数量关系?
男生答：路程：普通公路全长600km,高速公路全长480km;
速度关系：客车在高速公路上的.速度比在普通公路上快45km/h;
时间关系：走高速所用时间是走普通公路用时的一半。
行程问题中三个量之间的基本关系：速度×时间=路程路程/速度=时间 路程/时间=速度
女生问：如何设未知数?如何建立代数式?如何建立方程?
男生答：解：设客车由高速公路从甲地到乙地需要xh，则由普通公路从甲地到乙地需要2xh，根据题意，得600/x-480/2x=45.
女生追问：哪些数量关系被用来列代数式?哪些关系被用来建立方程?
男生答(略)
设计意图：(1)变“师生问答”为“男生、女生的问答”，将问题的分析解决变成一个双方斗智的游戏，一个模拟的思维游戏，易激发学生的学习兴趣;
(2)在问答中不同阵营的学生可以追加发问，可以补充回答，通过问题的解决既培养斗智斗勇的竞争意识，又培养团队合作精神;
(3)教师要做一个好的观察者，适当指导，保证学生思维是活跃的，思维方向是正确的;
(4)同时注意控制教学时间。
3.情境3.为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款，已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。求两次捐款人数各是多少。
组织教学：双方阵营互换角色
解：设第一次捐款人数为x人，则第二次捐款人数为(x+20)人，
由题意，得4800/x=5000/(x+20).
4. 形成概念
问(1)以上所列的方程有什么共同特点?
学生归纳形成概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
问(2)“分式方程”与“分式”有何不同?“分式方程”与“整式方程”有何不同?
(3)判断：下列关于x的方程，是分式方程的是?
a.(x-1)/3a=2x;b.(m+n)/x=2+(3+n)/x;c.(2+x)/5=3+(3+x/6;d.x/a-a/b=b/a-x/b.
设计意图：通过新旧概念的比较明确新概念，通过判断强化新概念。
5.(人人过关)
练习1.据联合国《20__年世界投资报告》指出，中国20__年吸收外国投资额达530亿美元，比上一年增加了13%。设20__年我国吸收外国投资额为x亿美元，请你写出x满足的方程。你能写出几个方程?其中哪一个是分式方程?
教学设计：
(1)突破难点：百分数13%是“比谁增加了13%”?
(2)每位学生至少列出三个方程;
(3)学生独立解题，教师板书学生的答案，供大家彼此借鉴，互相学习。
练习2.某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，6h完成了一半任务，后来机械装运和人工装运同时进行，1h完成了后一半任务。如果设单独采用机械装运xh可以完成后一半任务，那么x满足怎样的方程?
教学设计：
(1)本题是工程问题的情境;
(2)学生独立完成，互相交流答案，教师点评。
6.课堂小结：
(1)本节课你有什么收获?还有什么疑问吗?(小组交流，派代表发言)
一、教学目标
1．了解分式方程的概念；2．理解解分式方程产生增根的原因；3．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程；4．会检验整式方程的解是不是原分式方程的解．
二、教学重点
解分式方程的基本思想和方法．
三、教学难点
理解分式方程无解的原因．
四、教学方法
分析对比与小组讨论相结合．
五、教学过程
（一）提出问题，复习旧知
1．解方程：.
(1）解这个一元一次方程的步骤是什么？
(2）解这个一元一次方程应注意什么问题？
2．什么是最简公分母？
3．分析本章引言中的问题，引入新课．
列出方程：，观察这个方程与我们以前学过的方程有什么不同？引出分式方程的概念．板书课题．
（二）探究新知，解分式方程
解方程：．用什么方法解这个方程呢？（1）有分母，通分行吗？移项：，通分化简，当-3x-6=0时，x=-2，分母x(x-3）≠0，所以x=-2是分式方程的解；（2）去分母解得这个方程．哪种方法简单？下面我们利用去分母解分式方程．
（三）分析对比突破难点
解方程：.
方法一：去分母．方程两边都乘以（x-5)(x+5）得解得x+5=10,x=5.
方法二：先移项通分化简得，，由x-5=0解得x=5，这时分母=0，不存在x使方程成立，所以原分式方程无解．
那么这两种方法为什么会出现不同的结果呢？哪一个解得正确？
学生分组讨论后展示．
（四）归纳总结
1．先移项后通分再化简正确；2．去分母解分式方程简单；3．在去分母时，方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程．应该考虑最简公分母是否为0．若最简公分母不为0，则分式方程中的分式有意义，整式方程的解就是分式方程的解；若最简公分母为0，则分式方程中的分式无意义，原分式方程无解；4．解分式方程必须验根．将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，整式方程的解就是分式方程的解；若最简公分母为0，则原分式方程无解；5．解分式方程的步骤：一化、二解、三检验．
（五）典型例题分析
1．解方程：见课本第28页）．
2．解方程：.
3．解方程：.
4．解方程：.
（六）布置作业
课本第32页习题16.3的第1题中（1)(2)(3)(4).
六、教学反思
本节课首先复习一元一次方程的解法，并强调解一元一次方程注意的事项；其次利用两种方法解比较简单的分式方程，让学生自主选择解分式方程的方法；最后利用两种方法解分式方程出现的困惑，通过小组讨论，归纳总结解分式方程的步骤，依据分式的值为0的条件，明确了分式方程无解的原因，知道了解分式方程为什么必须检验的原因以及检验的方法．
成功之处：1．利用分式的值为0的条件巧妙地解决了解分式方程为什么要检验，以及如何检验；2．数学思想得到了充分运用．利用转化思想把分式方程转化为整式方程，利用两种解题方法进行对比，使学生产生困惑，分式方程的解法又类比于一元一次方程的解法，使学生对分式方程的解法掌握较好，并且能够步骤齐全．
【教材内容分析】
本节的主要内容是运用分式方程的思想和方法解决有关的实际问题及利用解分式方程把公式变形，通过例题教学让学生掌握利用分式方程解决问题的一般思路和方法。
【教学目标】
1.使学生学会运用分式方程的思想和方法，解决有关实际问题；
2.利用解分式方程把公式变形。
3.进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。
【教学重点】
列分式方程解决实际问题。
【教学难点】
会由实际问题列出分式方程及例4的教学。
【教学过程】
（一）创设情景，引入新课
物体运动时，经过时间t，速度从原来的v0变为v，人们把a=叫做物体在时间 t内运动的平均加速度。请求出下列各题的结果。
（1）过山车在下滑的过程中，经过3秒，速度从原来的4米/秒增大到22米/秒，求过山车这段时间内的平均加速度。
（2）请比较下列各速度的大小：
①若飞机起飞阶段的平均加速度为8米/秒2，求起飞4秒时飞机的速度；
②一只鹰从15米/秒的速度开始加速，在4秒内平均加速度为米/秒2，求加速4秒时这只鹰的飞行速度；
③汽车广告中，一辆汽车从静止开始，经9秒速度达到90千米/时，求该汽车启动后经4秒的速度。
分析：（1）已知平均加速度的公式，很明显把已知量代入即可。
（2）为了比较加速后的速度的大小，必须把它们各自的大小计算出来，给学生足够的时间讨论得到两种方法：解分式方程或公式变形。
由此可知，运用分式方程的思想和方法，可以帮助解决有关的实际问题。
所以今天我们就来学习运用分式方程解决实际问题和利用解分式方程把公式变形。
〖设计说明：本题是课本中课后的探究题，把本题作为引题是为了让学生体会到分式方程可以解决实际问题，引出课题。〗
（二）解释应用，体验成功
例3：工厂生产一种电子配件，每只的成本为2元，毛利率为25%，后来该工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加3.5%，问这种配件每只的成本降低了多少元？（精确到0.01元）
（1）本题等量关系是什么？（毛利率=）
（2）售出价是多少？ （ 2×（1+25%）=2.5（元））
（3）成本是多少？ （原来成本是2元，设这种配件每只降低了x元，则降价后的成本是（2-x）元）
（4）根据等量关系，你能列出方程吗？
解：（略）
解后小结：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题在方法，步骤上基本相同，但解分式方程时必须验根。
〖设计说明：通过本例题的教学主要是为了让学生明白运用方程的思想和方法，可以帮助我们解决有关的实际问题。解题的同时逐步让学生体会到列方程中的数学建模思想，通过设未知数，列方程，解方程等步骤求得问题的解。〗
根据以上的思想和方法，同学们能不能独立地解决实际问题呢？
课内练习：甲、乙两人每时共能做35个电器零件，当甲做了90个零件时，乙做了120个，问甲、乙每时各做多少个电器零件？
〖设计说明：本题的设计让学生及时巩固了列分式方程解应用题的基本步骤及思想方法。〗
下面我们就利用公式变形解决一个问题：
例4，照相机成像应用了一个重要原理，即 = + （V≠f）
其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示明胶片（像）到镜头的距离，如果一架照相机f已固定，那么就要依靠调整U、V来使成像清晰，问在f、v已知的情况下，怎样确定物体到镜头的距离u？
分析：本题就是利用解分式方程把已知公式变形。
把f、v看成已知数，u看成未知数，解关于u的分式方程。
解：（略）
解后小结：公式变形是分式运算和解方程的知识的综合，公式变形的基本思想，在数学和其他学科知识的学习中，以及生产实践中有重要的地位及广泛的应用。
〖设计说明：由于公式变形集知识性和技巧性于一体，所以教师在讲解中要讲清每一步变形的依据。〗
课内练习：下面的公式变形对吗？如果不对，应怎样改正？
将公式x=a （1+ax≠0）变形成已知x，a，求b
解：由x=，得x=-
∴x+ =即b=a+
〖设计说明：本题的设计使学生对于公式变形有了更深层次的理解和掌握。〗
（三）合作交流，拓展延伸
年新生嬰儿数减去年死亡人数的差与年平均人口数的比叫做年人口的自然增长率，如果用p表示年新生婴儿数，q表示死亡人数，s表示年平均人口数，k表示年人口自然增长率，则年人口自然增长率k=.
（1）把公式变形成已知k，p，q，求s的公式。
（2）把公式变形成已知k，s，p，求q的公式。
〖设计说明：由于本课时容量比较大，此题可以在课外完成。〗
（四）归纳小结，布置作业
1.运用分式方程的思想和方法，解决有关实际问题。
2.利用解分式方程把已知公式变形。
3.注意公式变形时括号中条件限制的用处。
作业：（1）作业本 （2）自主学习
二、设计思路
（一）本节课的重点是探究分式方程的解法，我首先举一道一元一次方程复习其解法，然后通过解一道分式方程，启发引导学生参照一元一次方程的解法，由学生自己探索、归纳分式方程的解法。学生不是停留在会课本知识层面，而是站在研究者的角度深入其境，使学生的思维得到发挥。
在教学设计上，以探究任务启发引导学生自学自悟的方式，提供了学生自主探究的舞台，营造了锻练思维的空间，在经历知识的发现过程中，培养了学生探究、归纳的能力。在课堂教学中，我时时注意营造思维氛围，让学生在探究中学会思考、表达。
在本课的教学过程中，我认为应从这样的几个方面入手：
1.分式方程和整式方程的区别：分清楚分式分式方程必须满足的两个条件，⑴方程式里必须有分式，⑵分母中含有未知数。这两个条件是判断一个方程是否为分式方程的充要条件。同时，由于分母中含有未知数，所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分式有意义，否则，这个根就是原方程的增根。正是由于分式方程与整式方程的区别，在解分式方程时必须进行检验。
2．分式方程和整式方程的联系：分式方程通过方程两边都乘以最简公分母，约去分母，就可以转化为整式方程来解，教学时应充分体现这种化归思想的教学。
3.解分式方程时，如果分母是多项式时，应先写出将分母进行因式分解的步骤来，从而让学生准确无误地找出最简公分母
4．对分式方程可能产生增根的原因，要启发学生认真思考和讨论。
在教学方法上，我采用类比渗透思想方法进行教学，通过与一元一次方程解法相比较，启发引导学生自主探究、归纳分式方程的解法。运用类比教学法具有以下三方面的优点：
1.通过复习一元一次方程的解法，学生在探究、归纳分式方程解法的同时进行类比，让学生在解分式方程时有法可循，而不会觉得无从下手。
2.把分式方程的解法与一元一次方程的解法进行相比较，让学生既可以温习旧知识，又可以加深对新知识的记忆。
3.通过对一元一次方程和分式方程解法的类比，更能突显分式方程解法中验根的重要性。
分式方程教学反思
（二）教师想方设法为学生设计好的问题情景，同时给学生提供充分的思维空间，学生在参与发现和探索的过程中思维就会创在一个又一个的点上，这样的教学日积月累对于培养学生的创新意识和创新能力是有巨大的作用的。我认为学好数学最好的方法是在发现中学习，在学生的再创造中学习，并引导学生去学习。
教学设计中教师要根据目的要求，内容多少，重点难点，学生的条件，以及教学设备等合理地分配教学时间。其次，要注意节省时间，特别是在讲授新知识时，要抓住重点，不能企图一下讲深讲透。要安排一定的练习时间。通过练习的反馈，再采取必要的讲解或补充练习。()再次，要注意尽量安排全班学生的活动，如操作、练习巩固，解应用题等，避免由少数人代替全班学生的思维活动，使大多数学生成为旁观者。要注意在一节课内提高学生的平均做题率。此外，还要注意选择有效的练习方式和收集反馈信息的方式，以便节约教学时间，并能及时发现问题。
班级的学生有整体的特点，当一定存在个体差异。如果要求每一个教学目标都人人过关，实属不智行为。效率是整体利益的平衡结果，不能因为个别同学目标未达成而牺牲整体的时间利益，这会造成新的教学问题。所以在集体教学时，把握大多数，将整体利益平衡好，这样的集体教学才是有效率可言的。当然教师在教学过程还是要关注每一位学生，关注其是否在听教师的讲解分析，以及自身是否在积极思考问题。千万不可只顾自己按照教案设计去讲，而忽视学生的思维。
分式方程教学反思
（三）本节课作为分式方程的第一节课，是在学生掌握了一元一次方程的解法及分式四则混合运算的基础上展开的，既是前一节的深化，同时解决了解方程的问题，又为以后的教学——“应用”打下了良好的基础，因而在教材中具有不可忽略的地位与作用。
本节的教学重点是探索分式方程概念、会解可化为一元一次方程的分式方程、明确分式方程与整式方程的区别和联系。教学难点是如何将分式方程转化成整式方程。本节教材中的引例分式方程较复杂，学生直接探索它的解法有些困难。我是从简单的整式方程引出分式方程后，再引导学生探究它的解法。这样很轻松地找到新知识的切入点：用等式性质去分母，转化为整式方程再求解。因此，学生学的效果也较好。
我认为比较成功的1、把思考留给学生，课堂教学试一试这个环节中，我把更多的思维空间留给学生。问题不轻易直接告诉学生答案，而由学生通过动手动脑来获得，从而发挥他们的主观能动性。我主要在做题方法上指导，思维方式上点拨。改变那种让学生在自己后面亦步亦趋的习惯，从而成为爱动脑、善动脑的学习者。
2、积极正确的引导，点拨。保证学生掌握正确知识，和清晰的解题思路。由于学生总结的语言有限，我就把本节课的重点内容：解分式方程的思路，步骤，如何检验等都用多媒体形式给学生展示出来。还有在解分式方程过程中容易出现的问题都给学生做了强调。
3、及时检查纠正，保证学生认识到自己的错误并在第一时间内更正。学生在做题过程中我就在教室巡视，及时发现学生的错误，及时纠正。对于困难的学生也做个别辅导。
知识与技能
理解分式的基本性质。
运用分式的基本性质进行分式变形。
过程与方法
通过类比分数的基本性质，探索分式的基本性质，体会类比的思想方法；利用数形结合的思想验证分式的基本性质。
情感态度与价值观
在研究解决问题的过程中，树立合作交流意识与探究精神。
重点
理解并掌握分式的基本性质。
难点
运用分式的基本性质进行分式变形。
教学流程
活动1 复习分数的基本性质
活动2 类比探究得到分式的基本性质
从分数的变形着手，为类比学习新知做铺垫。
猜想得到分式的基本性质。
学习例1和例2，掌握分式的基本性质的应用。
通过一组练习题，巩固并拓展知识，培养学生的运算能力。
归纳、梳理本节的知识和方法。
问题情境
师生行为
设计意图
【问题情境】
（1）如果将一个面积为1的圆对折，每一份面积是多少？（ ）
（2）你还能举出与 相等的分数吗？
（3）刚才分数变形过程的依据是什么？
教师提出问题
学生思考交流，回答问题
在活动中教师要关注：
学生对学过的知识是否掌握得较好；学生对新知识的探究是否有浓厚的兴趣。
通过具体例子，引导学生回忆前面学段学过的分数的基本性质，再用类比的方法猜想出分式的基本性质。在这个活动中，首先激活了学生原有的知识，体现了学生的学习是在原有知识上自己生成的过程。
【探究与思考一】
问题
如何用语言和式子表示分式的基本性质？
应用分式的基本性质时需要注意什么？
教师提问
学生思考、议论后在全班交流。
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。这特别质叫做分式的基本性质。用式子表示为：
其中A，B，C是整式。
学生归纳以下要点：
①分子、分母应同时做乘、除法中的同一种变换；
②所乘（或除以）的必须是同一个整式；
③所乘（或除以）的整式应该不等于零。
在活动中教师要关注：
能否用数学语言表述新知识；
学生对“性质”的运用注意事项是否理解。
教师引导学生用语言和式子表示分式的基本性质，这是学生运用类比的方法可以做到的。在这一活动中，学生的知识不是从老师那里直接复制或灌输到头脑中来，而是让学生自己去类比发现、过程让学生自己去感受、结论让学生自己去总结，实现了学生主动参与、探究新知的目的。
活动3初步应用分式的基本性质
例2填空：
教师提出问题。
学生先独立思考问题，然后分小组讨论。
教师参与并知道学生的数学活动，鼓励学生勇于探索、实践，灵活运用分式基本性质进行分式的恒等变形。让学生总结出解题经验：
对于第（1）题，看分母如何变化，想分子如何变化；对于第（2）题，看分子如何变化，想分母如何变化。
在活动中教师要关注：
学生能否紧扣“性质”进行分析思考；
学生能否逐步领会分式的恒等变形依据
学生是否能认真听取他人的意见。
例2是分式基本性质的运用，让学生研究每一题的特点，紧扣“性质”进行分析，以期达到理解并掌握性质的目的。
活动4练习巩固拓展知识
利用分式的基本性质，将下列各式化为更简单的形式：
①
②
不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号：
① ②
③ ④
你能从中发现规律吗？
教师出示问题训练单。
学生先独立思考，并安排三名同学板演。
教师巡视，注意对学习有困难的学生进行个别辅导
对问题（2），学生思考、归纳后，在小组进行交流，并综合各小组中同学的不同见解得出结论。
在活动中教师要关注：
大部分学生能否准确、熟练地完成任务；
学生能否用数学语言表述发现的规律；
学生在运算中表现出来的情感与态度是否积极。
通过思考问题，鼓励学生在独立思考的`基础上，积极地参与到对数学问题的讨论中来，勇于发表自己的观点，善于理解他人的见解，在交流中获益。第二个问题实际上指明了分式的变号法则。这一法则在分式的变形中经常用到，学生对此又极易出现错误，所以要予以足够重视，进行有针对性地讲解。
活动5小结评价布置作业
问题
分式的基本性质是什么？
运用分式基本性质时的注意事项；
经历分式基本性质得出的过程，从中学到了什么方法？受到什么启发？
布置课后作业：
第11页第4题、第12页第12题。
教师提出问题。
学生在教师的引导下整理知识、理顺思维。
在活动中教师要关注：
学生对本节课的学习内容是否理解；
学生能否从获取新知的中领悟到其中的数学方法。
学生对学习情况进行反思，主要包括：对自己的思考过程进行反思；对学习活动涉及的思想方法进行反思；对解题思路、过程和语言表述进行反思；等等。帮助学生获得成功的体验和失败的感受，积累学习经验。
类比联想以旧引新世界
师生互动探究新知
练习反馈巩固应用
引导小结
布置作业
优点：
学情分析明确，教学目标设计合理，重难点适当。
缺点：
上传的教学活动例题不明确。
例1 解方程：-=.
错解：方程的两边同乘以最简公分母（x+1）（x-1），得6-3（x+1）=2（x-1）.解这个方程，得x=1.所以原方程的根是x=1.
剖析：分式方程是通过转化为整式方程来求解的，解题过程中有可能产生增根，所以求出的根必须检验.
正解：方程的两边同乘以最简公分母（x+1）（x-1），得6-3（x+1）=2（x-1）.解这个方程，得x=1.
检验：当x=1时，最简公分母（x+1）（x-1）=0，所以x=1是增根，从而原方程无解.
二、方程两边同除以含未知数的整式，造成失根
例2 解方程：=.
错解：方程的两边同除以x-1（或者认为：分式的分子相等，则分母也相等），得=，故x+2=x-2.所以原方程无解.
剖析：方程的两边同除以x-1，等于默认了x-1的值不为0，而事实上x=1正是原方程的一个根，上述变形造成了失根.
正解：去分母，得（x-1）（x-2）=（x-1）（x+2）,即x2-3x+2=x2+x-2.解之，得x=1.
经检验，x=1是原方程的根.
三、去分母时，漏乘某些项
例3 解方程：+=1.
错解：方程的两边同乘以x-2，有3-x=1，得x=2.
检验：当x=2时，x-2=0，所以原方程无解.
剖析：造成错解的原因是去分母时漏乘了“不含分母”的项.因此，所得方程与原方程不同解.
正解：方程的两边同乘以x-2，得3-x=x-2.解之，得x=.
如:分式方程有增根,则增根为 .
分式方程x/x-1-1 =m/(x-1)(x+2)有增根,增根为_______.
按照上面思路,很容易得到分式方程的增根为1和-2,但老师却说答案错了.
老师帮我分析当增根x=-2时,m=0,经检验,当m=0时,x/x-1-1=0. x=x-1,方程无解,不存在增根.反思发现自己对增根理解错了,分式方程的增根应该满足两个条件:(1)解分式方程先要去分母,所以增根必须是去分母后整式方程的根;(2)使分母为0的未知数的值.
同样我在做无解这类题时也会考虑不全.
如:若关于x的方程无解则a的值是_______.
把方程去分母得到一个整式方程,把方程的增根x=2代入即可求得a的值为2.
若关于x的分式方程无解,则m的值为_______.
同样的思路将分式方程转化为整式方程(2m+1)x=-6,代入增根得到m=-3/2.
老师说我又做错了. 他告诉我分式方程无解则是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等. 它包含两种情形:(1) 原方程化去分母后的整式方程无解;(2)原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0. 所以遗漏当2m+1=0时,整式方程无解的情况.
一、工程问题
1.现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。求原来每天装配的机器数.2.打字员甲的工作效率比乙高25%，甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟，求甲乙二人每分钟各打多少字？
3.一项工程，如果甲、乙两队合做，12天可以完成。现在，先由甲队独做5天，接着由甲、乙两队合做4天，结果只完成了全部工程的一半。问：如果让甲、乙两队单独做，要完成这项工程各需多少天？
4.有一工程需在规定日期内完成，如果甲单独工作，刚好能够按期完成；如果乙单独工作，就要超过规定日期3天.现在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙单独完成，刚好在规定日期完成，求规定日期是几天？
二、路程问题
1.某人骑自行车比步行每小时多走8千米，已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等，求这个人步行每小时走多少千米？
2.供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度.三、水流问题
1.轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知水流速度每小时3千米，求轮船在静水中的速度
2.一船自甲地顺流航行至乙地，用2.5小时，再由乙地返航至距甲地尚差2千米处，已用了3小时，若水流速度每小时2千米，求船在静水中的速度.四、数字问题：
1.一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数.2.一个两位数，它的十位数比个位数小5。如果把个位数与十位数对调后所得的两位数作为分母，原两位数作为分子，所得分数的值是3。求原两位数。
8五.其他：
1.总价9元的甲种糖果和总价是9元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种糖果便宜1元，比乙种糖果贵0.5元，求甲、乙两种糖果每千克各多少元？
六、提升
1.“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
2.某机械加工车间共有26名工人,现要加工2100个A零件,1200个B零件,已知每人每天加工A零件30个或B 零 件20个,问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务（每人只能加工一种零件）？ 求详解
3.东营市某学校2015年在某商场购买甲、乙两种不同足球,购买甲种足球共花费2 000元,购买乙种足球共花费1 400元,购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍.且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元;(2)2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召,这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的售价进行调整,甲种足球售价比第一次购买时提高了10%,乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2 900元,那么这所学校最多可购买多少个乙种足球?
4.在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的 1（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？ 3 1（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是
a，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？
5.烟台享有“苹果之乡”的美誉．甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果．甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小苹果以高于进价10%销售．乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价．若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元（其它成本不计）．问：（1）苹果进价为每千克多少元？
(2) = (a,h常数)
[分析]强调解分式方程的三个步骤：一去分母;二解整式方程;三验根。
解：(1)去分母，方程两边同时乘以x(x+3000)，得9000(x+3000)=15000x
解这个整式方程，得x=4500
检验：把x=4500代入x(x+3000)≠0.
所以原方程的根为4500
(2) = (a,h是常数且都大于零)
去分母，方程两边同乘以2x(a-x)，得
h(a-x)=2ax
解整式方程，得x= (2a+h≠0)
检验：把x= 代入原方程中，最简公分母2x(a-x)≠0,所以原方程的根为
x= .
Ⅳ。课时小结
[师]同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小。
[生]我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可。
[生]我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根。
[生]我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”,必须经过检验，反思“转化”过程。
……
Ⅴ。课后作业
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