高中数学推理知识点总结（精选13篇）
1、归纳推理：顾名思义，一个归纳的过程。比如，一个篮子里有苹果梨葡萄草莓等等，那么你发现苹果是水果、梨是水果、葡萄是水果、草莓是水果，然后你猜想：篮子里装的是水果。这个推理是由特殊推到一般的过程，可能正确也可能不正确，如果篮子里确实都是水果，那么你就猜对了;如果篮子里有一根胡萝卜，那你就猜错了。所以才会有证明。
2、类比推理：同样顾名思义，一个类比的过程。例如，你知道苹果水分多又甜、梨水分多又甜、葡萄水分多又甜，所以你推理出同样作为水果，香蕉水分多又甜，那这个结论显然是不对的，香蕉并没有什么水分。但如果你推导出荔枝水分多又甜，这就是正确的。(这个例子中指的都是正常水果)显然，这个推理方式是一个由特殊推特殊的过程，也不一定正确。
3、演绎推理：一般推特殊，一定对。例如，f(x)=1，那么f(1)=1
《高中数学新课程标准》中对合情推理与演绎推理给出了明确区分, 合情推理是根据已有的事实和正确的结论 (包括定义、公理、定理等) 、实验和实践的结果, 以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程;而演绎推理是根据已有的事实和正确的结论 (包括定义、公理、定理等) , 按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.由此可见, 在解决实际问题的过程中, 合情推理更有利于培养学生的创新意识, 因此本文主要谈论高中数学“合情推理”的教学.新课标明确要求将“培养学生合情推理能力”作为高中数学教学的重要目标, 可见新课程改革已经将“合情推理”置于了如此重要的地位.但是, 高中一线数学教师对此却很畏惧, 因为无论在理论上还是在实践方面他们都缺乏经验.根据新课程标准的要求, 我们从以下几个方面来对“合情推理”教学进行深入思考.
1.合情推理来源于生活, 情境创设应从数学和生活同时入手
合情推理来源于生活, 但是, 并不是生活中所有的例子都适合拿来创设“合情推理”的教学情境.我们来看一个例子:一位教师在校外借班进行“合情推理 (第一课时) ”教学时, 是这样进行情境导入的.上课开始展示图片:神探狄仁杰探案、考古发掘、医生诊断病人、卫星云图, 同时做简单的解说, 并提出问题.此课堂中呈现出来的情境都来自于生活, 并且看似很陌生, 学生对这里提出的生活情境不一定都有所认识.生活情境要能够激发学生的学习兴趣, 同时也要能够让学生获得感性上的认识.
新课标在“合情推理”教学方面建议:要注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发, 唤起学生的经验, 找到知识的生长点.由此可见, “合情推理”情境创设应从数学和生活实例入手.合情推理的例子在数学中到处可见, 因此, 学生学过的数学实例并不难寻找.但是, 教师在进行“合情推理”教学时不能随便拿一个数学实例就进行情境创设, 这需要教师在平时的教学中多积累、多发现有价值的数学实例.“合情推理”情境创设应该是数学实例和生活实例同时进行, 生活实例虽然也容易寻找, 但是, 生活实例不宜过于复杂, 应是学生熟悉的.例如, “由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电, 猜想一切金属都能导电”可用来作为生活实例, 这一物理知识是学生熟知的, 用来创设情境可加强数学与其他学科之间的联系, 让学生认识到数学中的“合情推理”处处存在.
“问题情境的创设事实上涉及了三种不同的内容:情境内容、学生经验内容、数学内容.”因此, “合情推理”教学的情境创设应当考虑学生的学习和生活经验, 教学设计要具体情况具体分析, 这对任课教师在校外借班上课是一个极大的挑战.“合情推理”情境创设也要注意孔子提出的“因材施教”.
2.合情推理是基本的数学方法, 教学过程应遵循数学方法的教学原理
数学科学的现代发展表明, “数学不应简单地被等同于数学知识的汇集, 而应被看成是由理论、方法、问题和符号语言等多种成分所组成的一个复合体.”这表明方法是数学活动的重要组成成分, 是学生数学学习的重要内容, 因此, 数学教学离不开数学方法的教学.众所周知, 过去的高中数学甚至整个中学阶段的数学都没有对数学方法进行系统的介绍, 新教材增加“合情推理”这一基本的数学方法, 可见其重要性非同寻常.《合情推理教学模式简介》一文中认为, 教师在进行“合情推理”教学时可参考以下基本操作模式:
但是, 实际操作过程中要灵活转变, 教学并没有固定的模式.
教材中不对数学方法进行系统介绍, 是因为数学方法多种多样, 其教学更难以整体把握.因此, 数学方法都是通过日常的数学学习进行渗透的.那么, “合情推理”教学理应当点点滴滴地渗透给学生, 而不是教师直接告之学生.数学乃至其他学科中能够用合情推理来解决的问题数不胜数, 教师不可能把所有能够用合情推理来解决的问题告诉学生.因此, 这就需要教师在平时的日常教学中积累丰富的案例, 仔细推敲、比较案例之间的区别与联系, 借助最经典的案例将“合情推理”这一数学方法渗透给学生.同时, 教师要引导学生从整体上认识“合情推理”, 勤反思, 多总结, 最好能够举一反三, 这样才有利于学生对“合情推理”进行内化.
由以上的分析可以发现, “合情推理”是一种重要的数学方法, 其教学应该遵循数学方法的教学原理.新课程改革以前, 数学方法的教学都是通过平时的教学点点滴滴渗透给学生的, 新课改新增“合情推理”这一重要数学方法, 只是给教师将平时积累的数学方法集中呈现出来的一个机会, 上好“合情推理”一课不容易, 对教师更是一个挑战.
3.合情推理教学在于应用
学习数学方法的最终目的是用方法来解决问题, 因此, 学生学习了“合情推理”之后, 要善于将其用来解决问题.如何才能更好地将“合情推理”赋之运用呢?新课标中指出:在教学中不仅要重视对方法的特点进行静态分析, 更要重视方法被抽象出来的过程, 通过对数学活动过程的分析来认识它们的特点和作用 (即对它们做动态的考察) .这表明, 教师在对“合情推理”进行应用时, 要注意动静结合, 结果是静止不变的, 也是无法改变的, 而过程的动态呈现就需要充分发挥教师和学生的智慧.
《普通高中课程标准实验教科书·选修1-2·数学》中有一道有关正整数平方和公式的推导案例赏析, 案例中给出了两种详细的推导思路, 分别是归纳的思路和演绎的思路.教师如何向学生呈现动态的推导过程?笔者认为, 第一, 教师要明确, 归纳和演绎是两种完全不同的思考方式, 归纳属于合情推理, 演绎即演绎推理, 动态过程有明显区别.第二, 运用合情推理解决的最常见的数学问题是数列, 这要求教师对数字比较敏感, 善于将公式进行变形, 寻找规律.这一过程不能完全由教师自导自演, 学生是学习的主体, 教师应充分发挥主导作用, 动态过程由此得到体现.第三, 教师在进行教学时要留给学生充分的思考和回顾时间, 让整个动态过程留在学生脑海中回味, 这样才能快速地得出静态的结果, 并且有利于学生掌握合情推理, 在以后的学习中更好地运用合情推理解决更多的问题.
总之, 教师在进行“合情推理”教学时, 要将推理的动态过程展示给学生.另外, 运用“合情推理”解决问题的方法不是统一的, 教师要让学生思考、反思推理过程的特点, 在变化多端的动态问题中寻找不变, 这也是动静结合的一种体现.
参考文献
[1]G·波利亚.数学与猜想[M].李心灿, 等译.北京:科学出版社, 1984.
[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准 (实验稿) [S].北京:北京师范大学出版社, 2003.
[3]江建国, 郭楚明.“合情推理 (第一课时) ”教学过程简录及反思[J].中国数学教育, 2011 (1-2) .
[4]吴晓红, 刘洁, 谢明初, 袁玲玲, 乔健.现状、反思与构建:数学新课导入情境化[J].湖南教育, 2009 (4) .
[5]郑毓信.数学教育哲学[M].成都:四川教育出版社, 2001.
[6]唐志华, 郁建辉.合情推理教学模式简介[J].数学教育学报, 1998 (5) .
【关键词】高中数学 排列组合 教学思考
排列组合在高中数学中占有重要位置，也是高考的考点之一，用以了解学生的分析能力，阅读能力以及数学建模能力。因此，学好排列组合对于学生们掌握好高中知识，顺利通过高考，进入梦想大学显得至关重要。排列组合思想灵活多变，新颖独特，要想准确掌握好这种思想，需要学生们具有良好的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力。学生们学习时往往会钻入死胡同，这个时候，老师的指点和帮助显得尤为重要。下面将对排列组合作简要介绍分析。
一、排列组合学习中的基础知识
1.排列组合的基本定义
（1）排列的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n，m与n均为自然数）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，当m=n时，叫做n个不同元素的一个全排列。
（2）组合的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
（3）排列与组合的区别：排列问题与元素之间的顺序有紧密关系，然而组合问题与元素之间的顺序无任何关系。
2.排列组合中的两个重要原理
（1）加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
（2）分步计数法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 种不同的方法。
二、排列组合中的一般方法策略
在高考试卷中，考查排列组合问题的形式一般是选择和填空。此类问题题型多变，往往紧密联系实际。题目不多，但是也占有一定的比例。为了迅速解题，掌握一定的解题技巧是必需的。本文将简单介绍一下适合运用在排列组合求解时的一些常用方法策略。
1.分部法
对于一些比较复杂的以及比较抽象的排列组合问题，可以采用分部法进行求解。运用分部处理法就是将复杂问题进行简化，划分为简单的小问题分部进行求解。
2.捆绑法
对于排列组合问题中相邻问题的解决，最合适的方法就是捆绑法。此类问题要求某几个问题必须相邻，处理这种问题时，将需要相邻的元素捆绑在一起，看成一个大元素，然后再进行排列组合，此时需要注意的是，组成大元素的小元素之间也可以进行排序。
3.插空法
插空法处理的问题与捆绑法处理的问题情况正好相反，处理的是某几个元素必须不相邻的问题。插空法思想是先将除了那几个需要不相邻处理的其他元素排列好，然后再将那些需要不相邻的元素插入到其他元素之间或者两端。
4.排除法
在排列组合问题的解决过程中，常常会遇到一些这样的问题，从正面直接解决的话，会有很大的困难，但从它的反面解决往往简单得多，此时可以先求出此类问题的反面，然后从整体中排除，即得出需要解决问题的答案。
5.等价转化法
在排列组合问题的解决过程中，有时候会遇到一些非常规的问题，这个时候直接解决的话，难度很大，但是如果将其等价转化为常见排列组合问题时，解决会变得很容易。因此，等价转化法常常作为解决非常规问题的最佳途径。
以上简单介绍了几种排列组合中的一般方法，介绍时虽然是分开介绍，但是遇到实际问题时，往往需要几种方法共同使用，才能解决。因此，上面各个方法不是相互独立的，是相辅相成的。遇到问题时要综合各种方法，灵活运用。
三、典型例题分析
排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
解析：（1）先排歌唱节目有5×4×3×2×1种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有6×5×4×3中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：（5×4×3×2×1）×（6×5×4×3）=43200种方法。
（2）先排舞蹈节目有4×3×2×1中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：（4×3×2×1）×（5×4×3×2×1）=2880种方法。
说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。
四、结论
排列组合作为高中数学的一部分，频繁出现在高考题目中，并且还作为高等数学有关分支的准备知识，因此学习好这部分内容显得十分重要。解决排列组合问题的解决方法灵活多变，新颖独特，常用方法有转化法、捆绑法、插空法、排除法等。要想准确掌握排列组合解决方法，需要学生们具有良好的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力，同时也需要老师们的热心指导和无私帮助。
【参考文献】
[1] 北京师范学院数学系编写组. 中学数学辞典[M]. 南昌：江西教育出版社，2007：58.
[2] 弗赖臀塔尔. 数学教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，2009：72.
[3] 数学课程标准研制组. 普通高中数学课程标准（实验）解读[M]. 南京：江苏教育出版社，2004：20.
（作者单位：江苏省滨海县八滩中学）
【内容摘要】排列组合分为两部分，即排列和组合。排列指从已知的元素中取出部分元素进行排列，组合是指将取出的部分元素进行组合。排列组合与概率论关系密切，进行排列组合问题分析时，往往运用概率论的知识。排列组合是高中数学的一部分，对于学生们来说，也是学习比较难的一部分。为了帮助学生掌握好排列组合的学习，老师们要研究出适合学生学习的教学方案，让学生们少走弯路。
【关键词】高中数学 排列组合 教学思考
排列组合在高中数学中占有重要位置，也是高考的考点之一，用以了解学生的分析能力，阅读能力以及数学建模能力。因此，学好排列组合对于学生们掌握好高中知识，顺利通过高考，进入梦想大学显得至关重要。排列组合思想灵活多变，新颖独特，要想准确掌握好这种思想，需要学生们具有良好的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力。学生们学习时往往会钻入死胡同，这个时候，老师的指点和帮助显得尤为重要。下面将对排列组合作简要介绍分析。
一、排列组合学习中的基础知识
1.排列组合的基本定义
（1）排列的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n，m与n均为自然数）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，当m=n时，叫做n个不同元素的一个全排列。
（2）组合的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
（3）排列与组合的区别：排列问题与元素之间的顺序有紧密关系，然而组合问题与元素之间的顺序无任何关系。
2.排列组合中的两个重要原理
（1）加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
（2）分步计数法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 种不同的方法。
二、排列组合中的一般方法策略
在高考试卷中，考查排列组合问题的形式一般是选择和填空。此类问题题型多变，往往紧密联系实际。题目不多，但是也占有一定的比例。为了迅速解题，掌握一定的解题技巧是必需的。本文将简单介绍一下适合运用在排列组合求解时的一些常用方法策略。
1.分部法
对于一些比较复杂的以及比较抽象的排列组合问题，可以采用分部法进行求解。运用分部处理法就是将复杂问题进行简化，划分为简单的小问题分部进行求解。
2.捆绑法
对于排列组合问题中相邻问题的解决，最合适的方法就是捆绑法。此类问题要求某几个问题必须相邻，处理这种问题时，将需要相邻的元素捆绑在一起，看成一个大元素，然后再进行排列组合，此时需要注意的是，组成大元素的小元素之间也可以进行排序。
3.插空法
插空法处理的问题与捆绑法处理的问题情况正好相反，处理的是某几个元素必须不相邻的问题。插空法思想是先将除了那几个需要不相邻处理的其他元素排列好，然后再将那些需要不相邻的元素插入到其他元素之间或者两端。
4.排除法
在排列组合问题的解决过程中，常常会遇到一些这样的问题，从正面直接解决的话，会有很大的困难，但从它的反面解决往往简单得多，此时可以先求出此类问题的反面，然后从整体中排除，即得出需要解决问题的答案。
5.等价转化法
在排列组合问题的解决过程中，有时候会遇到一些非常规的问题，这个时候直接解决的话，难度很大，但是如果将其等价转化为常见排列组合问题时，解决会变得很容易。因此，等价转化法常常作为解决非常规问题的最佳途径。
以上简单介绍了几种排列组合中的一般方法，介绍时虽然是分开介绍，但是遇到实际问题时，往往需要几种方法共同使用，才能解决。因此，上面各个方法不是相互独立的，是相辅相成的。遇到问题时要综合各种方法，灵活运用。
三、典型例题分析
排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
解析：（1）先排歌唱节目有5×4×3×2×1种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有6×5×4×3中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：（5×4×3×2×1）×（6×5×4×3）=43200种方法。
（2）先排舞蹈节目有4×3×2×1中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：（4×3×2×1）×（5×4×3×2×1）=2880种方法。
说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。
四、结论
排列组合作为高中数学的一部分，频繁出现在高考题目中，并且还作为高等数学有关分支的准备知识，因此学习好这部分内容显得十分重要。解决排列组合问题的解决方法灵活多变，新颖独特，常用方法有转化法、捆绑法、插空法、排除法等。要想准确掌握排列组合解决方法，需要学生们具有良好的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力，同时也需要老师们的热心指导和无私帮助。
【参考文献】
[1] 北京师范学院数学系编写组. 中学数学辞典[M]. 南昌：江西教育出版社，2007：58.
[2] 弗赖臀塔尔. 数学教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，2009：72.
[3] 数学课程标准研制组. 普通高中数学课程标准（实验）解读[M]. 南京：江苏教育出版社，2004：20.
（作者单位：江苏省滨海县八滩中学）
【内容摘要】排列组合分为两部分，即排列和组合。排列指从已知的元素中取出部分元素进行排列，组合是指将取出的部分元素进行组合。排列组合与概率论关系密切，进行排列组合问题分析时，往往运用概率论的知识。排列组合是高中数学的一部分，对于学生们来说，也是学习比较难的一部分。为了帮助学生掌握好排列组合的学习，老师们要研究出适合学生学习的教学方案，让学生们少走弯路。
【关键词】高中数学 排列组合 教学思考
排列组合在高中数学中占有重要位置，也是高考的考点之一，用以了解学生的分析能力，阅读能力以及数学建模能力。因此，学好排列组合对于学生们掌握好高中知识，顺利通过高考，进入梦想大学显得至关重要。排列组合思想灵活多变，新颖独特，要想准确掌握好这种思想，需要学生们具有良好的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力。学生们学习时往往会钻入死胡同，这个时候，老师的指点和帮助显得尤为重要。下面将对排列组合作简要介绍分析。
一、排列组合学习中的基础知识
1.排列组合的基本定义
（1）排列的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n，m与n均为自然数）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，当m=n时，叫做n个不同元素的一个全排列。
（2）组合的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
（3）排列与组合的区别：排列问题与元素之间的顺序有紧密关系，然而组合问题与元素之间的顺序无任何关系。
2.排列组合中的两个重要原理
（1）加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
（2）分步计数法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 种不同的方法。
二、排列组合中的一般方法策略
在高考试卷中，考查排列组合问题的形式一般是选择和填空。此类问题题型多变，往往紧密联系实际。题目不多，但是也占有一定的比例。为了迅速解题，掌握一定的解题技巧是必需的。本文将简单介绍一下适合运用在排列组合求解时的一些常用方法策略。
1.分部法
对于一些比较复杂的以及比较抽象的排列组合问题，可以采用分部法进行求解。运用分部处理法就是将复杂问题进行简化，划分为简单的小问题分部进行求解。
2.捆绑法
对于排列组合问题中相邻问题的解决，最合适的方法就是捆绑法。此类问题要求某几个问题必须相邻，处理这种问题时，将需要相邻的元素捆绑在一起，看成一个大元素，然后再进行排列组合，此时需要注意的是，组成大元素的小元素之间也可以进行排序。
3.插空法
插空法处理的问题与捆绑法处理的问题情况正好相反，处理的是某几个元素必须不相邻的问题。插空法思想是先将除了那几个需要不相邻处理的其他元素排列好，然后再将那些需要不相邻的元素插入到其他元素之间或者两端。
4.排除法
在排列组合问题的解决过程中，常常会遇到一些这样的问题，从正面直接解决的话，会有很大的困难，但从它的反面解决往往简单得多，此时可以先求出此类问题的反面，然后从整体中排除，即得出需要解决问题的答案。
5.等价转化法
在排列组合问题的解决过程中，有时候会遇到一些非常规的问题，这个时候直接解决的话，难度很大，但是如果将其等价转化为常见排列组合问题时，解决会变得很容易。因此，等价转化法常常作为解决非常规问题的最佳途径。
以上简单介绍了几种排列组合中的一般方法，介绍时虽然是分开介绍，但是遇到实际问题时，往往需要几种方法共同使用，才能解决。因此，上面各个方法不是相互独立的，是相辅相成的。遇到问题时要综合各种方法，灵活运用。
三、典型例题分析
排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
解析：（1）先排歌唱节目有5×4×3×2×1种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有6×5×4×3中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：（5×4×3×2×1）×（6×5×4×3）=43200种方法。
（2）先排舞蹈节目有4×3×2×1中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：（4×3×2×1）×（5×4×3×2×1）=2880种方法。
说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。
四、结论
排列组合作为高中数学的一部分，频繁出现在高考题目中，并且还作为高等数学有关分支的准备知识，因此学习好这部分内容显得十分重要。解决排列组合问题的解决方法灵活多变，新颖独特，常用方法有转化法、捆绑法、插空法、排除法等。要想准确掌握排列组合解决方法，需要学生们具有良好的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力，同时也需要老师们的热心指导和无私帮助。
【参考文献】
[1] 北京师范学院数学系编写组. 中学数学辞典[M]. 南昌：江西教育出版社，2007：58.
[2] 弗赖臀塔尔. 数学教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，2009：72.
[3] 数学课程标准研制组. 普通高中数学课程标准（实验）解读[M]. 南京：江苏教育出版社，2004：20.
这部分内容说起来容易做起来难，需要掌握几类问题，第一类直线和曲线的位置关系，要掌握它的通法;第二类动点问题;第三类是弦长问题;第四类是对称问题;第五类重点问题，这类题往往觉得有思路却没有一个清晰的答案，但需要要掌握比较好的算法，来提高做题的准确度。
七、压轴题
同学们在最后的备考复习中，还应该把重点放在不等式计算的方法中，难度虽然很大，但是也切忌在试卷中留空白，平时多做些压轴题真题，争取能解题就解题，能思考就思考。
高考数学直线方程知识点：什么是直线方程
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x，y+y)。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a;
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0。0的反向量为0
AB—AC=CB。即“共同起点，指向被减”
a=(x，y)b=(x，y)则a—b=(x—x，y—y)。
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向;
当λ<0时，λa与a反方向;
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa。
数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb。
数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积
定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+—∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x+y·y。
向量的数量积的运算率
a·b=b·a(交换率);
(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
高中数学解题方法与技巧
1、不等式、方程或函数的题型，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2、在研究含有参数的初等函数的时候应该抓住无论参数怎么变化一些性质都不变的特点。如函数过的定点、二次函数的对称轴等。
3、在求零点的函数中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法。
4、恒成立问题中，可以转化成最值问题或者二次函数的恒成立可以利用二次函数的图像性质来解决，灵活使用函数闭区间上的最值，分类讨论的思想(在分类讨论中应注意不重复不遗漏)。
5、选择与填空中出现不等式的题，应优先选特殊值法。
6、在利用距离的几何意义求最值得问题中，应首先考虑两点之间线段最短，常用次结论来求距离和的最小值;三角形的两边之差小于第三边，常用此结论来求距离差的最大值。
7、求参数的取值范围，应该建立关于参数的不等式或者是等式，用函数的值域或定义域或者是解不等式来完成，在对式子变形的过程中，应优先选择分离参数的方法。
8、在解三角形的题目中，已知三个条件一定能求出其他未知的条件，简称“知三求一“。
9、求双曲线或者椭圆的离心率时，建立关于a、b、c之间的关系等式即可。
10、解三角形时，首先确认所求边角所在的三角形及已知边角所在的三角形，从而选择合适的三角形及定理。
11、在数列的五个量中：中，只要知道三个量就可以求出另外两个量，简称“知三求二”。
12、圆锥曲线的题目应优先选择他们的定义完成，而直线与圆锥曲线相交的问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法(使用韦达定理首先要考虑二次函数方程是否有根即：二次函数的判别式)。
13、求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简。
14、在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a、b、c的两个方程或由题目得到的图形中找到a、b、c的关系式，从而求离心率或离心率的取值范围。
15、三角函数求最值、周期或者单调区间，应优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答;与向量联系的题目，注意向量角的范围;解三角形的题目，重视内角和定理的使用。
16、立体几何的第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法做(例如平行应想到平行四边形或三角形的中位线，垂直的应想到勾股定理的逆定理或者等腰三角形等);如果不是，那么可以在第一问就开始建立直角坐标系来解决。
17、利用导数解决存在性的问题需要构造函数，但选取函数的最值不同。注意“恒成立”与“存在”的区别，“在某区间上，存在使f(x)m成立”，即函数f(x)的最大值大于或等于m;“在某区间上，存在x使f(x)m成立”，即函数f(x)的最小值小于或等于m。
18、概率的题目如果出解答题，应该首先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略;如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径。
19、注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，全称与特称命题的否定写法，排列组合中的枚举法，取值范围或是不等式的解得端点能否取到需要单独验证，用点斜式或者斜截式方程的时候要考虑斜率是否存在等。
20、解决参数方程的一个基本思路是将其转化为普通方程，然后在直角坐标系下解决问题。
高中数学必背公式
一、高中数学公式定理记忆口诀不等式
解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。
证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。
直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。
还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。
二、高中数学公式定理记忆口诀数列
等差等比两数列，通项公式N项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。
数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，
取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考：
一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化：
首先验证再假定，从K向着K加1，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。
三、高中数学公式定理记忆口诀立体几何
点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。
垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。
方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。
立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。
异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。
四、高中数学公式定理记忆口诀平面解析几何
有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。
笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者-一来对应，开创几何新途径。
两种思想相辉映，化归思想打前阵;都说待定系数法，实为方程组思想。
三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。
四件工具是法宝，坐标思想参数好;平面几何不能丢，旋转变换复数求。
解析几何是几何，得意忘形学不活。图形直观数入微，数学本是数形学。
五、高中数学公式定理记忆口诀集合与函数
内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。
复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。
指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变故。
函数定义域好求。分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数;
正切函数角不直，余切函数角不平;其余函数实数集，多种情况求交集。
两个互为反函数，单调性质都相同;图象互为轴对称，Y=X是对称轴;
求解非常有规律，反解换元定义域;反函数的定义域，原来函数的值域。
幂函数性质易记，指数化既约分数;函数性质看指数，奇母奇子奇函数，
2、圆的方程
(1)标准方程,圆心,半径为r;
(2)一般方程
当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为
当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形.
(3)求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.
高中数学必修二知识点总结：直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况：
(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;;
(2)过圆外一点的切线：①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.
设圆,
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.
当时两圆外离,此时有公切线四条;
当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;
当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;
当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
当时,两圆内含;当时,为同心圆.
注意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线
4、空间点、直线、平面的位置关系
公理1：如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内.
应用：判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1：
公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号：平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a.
符号语言：
公理2的作用：
①它是判定两个平面相交的方法.
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.
③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据.
公理3：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
推论：一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面.
公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据
关键词：类比推理,高中数学,教学应用
“授之以鱼不如授之以渔”。类比推理作为一种抽象思维的认知方法, 在帮助学生获取新知识的过程当中起到了“渔”的功效。尽管类比推理在各地高中数学教学过程当中都有意无意地得到了一些应用, 但是从目前来看, 类比推理在当前的高中数学教学应用过程当中没有真正发挥出其应有的功效。
一、类比推理教学法在高中数学教学中的应用现状
1. 对类比推理教学法的重视程度不够
尽管数学新课程标准当中强调了要培养学生归纳、演绎和类比推理能力, 但是从当前的应用情况来看, 各地教师和学校对于类比推理提升学生创造性探究思维能力方面重视程度显然不够。高中教师很少在教研例会当中提及类比推理教学法, 甚至对于类比推理意识较为模糊, 很难给出肯定答案。
2. 缺乏系统的类比推理教学模式
由于对于类比推理教学模式没有足够的认识, 导致学校没有完善的激励体系来引导教师开创系统化的类比推理教学模式, 类比推理教学停滞不前。在实际应用过程当中, 即使用到类比推理教学, 当中也存在很大的随机性和任意性。
3. 高中数学教学轻授法重解题
虽然素质教育和新课改不断深入, 学生的综合能力有所提升。但是在高考大棒下, 各地学校难免还存在着应试教育的阴影, 教学过程当中特别是数学教学依然偏重于解题, 从实际效果来看实在是差强人意。如果不能在适当的时候将类比推理法引入新课教学当中, 学生的新知识掌握能力就不牢固, 不能形成完整的知识结构体系。在高中数学教学当中, 解析几何、立体几何以及数列等知识点都非常适宜类比推理法的应用。它能让学生更快地通过结构相同、性质类似的旧知识回顾, 来增强对新知识的结构和性质的理解, 既加深了理解同时还能将新知识更充分吸收, 更好地应用于解题当中。
4. 类比推理能力逐级提升
调查发现, 学生的类比推理能力还随着年级的升高而提升。从这点也能看出, 类比推理能力和学生的训练强度以及掌握知识多少有着密切关系。随着年级的升高, 学生所接触的数学知识和题目类型也越来越多, 特别是高考班的高训练强度让他们经验更加丰富, 推理的重要依据就是从之前的经验当中寻找共通点, 进而寻求正确答案。
二、类比推理在高中数学课堂上的应用原则
1. 目标导向性
类比推理受到高中各年级的数学教学内容和目标的差异性的制约, 教师应当从学生的实际出发, 结合教学内容和教学目标制定可行的教学方案。要在有限的时间里向学生灌输更多的新知识就必须注重目标导向性原则, 让学生能精力集中进行快速思维。这就要求教师应当具备良好的课堂驾驭能力和引导能力, 在充足准备的基础上能对各知识点信手拈来, 对适合应用类比推理的内容展开有效教学。注重类比情境的构建, 辅之以复习提纲, 让班级中的大部分学生都能通过知识类比迁移来获得新知识。
2. 注重过程性
教师应当在类比推理的应用当中, 强调思维过程的展现。在新知识的讲解过程当中, 合理地引导学生回忆自己的知识体系, 从所掌握的旧知识当中找寻与其相关的理论、概念等, 进而对新知识的性质和公式进行猜测和探索。教师再通过板演或多媒体教学等形式来证明学生猜想的正确性, 从这个过程当中能很好地体现出新旧知识的差异。
3. 注重参与性
教师在应用类比推理教学当中要特别强调出学生的主体地位, 鼓励学生的创造性思维, 激发学生探索的积极性。类比推理的过程需要师生间的不断互动, 把课堂还给学生, 教师只需要扮演好组织者和引导者的角色即可。善于引导学生进行类比推理, 控制好教学的节奏, 让学生能在适当的广度和深度当中探寻新旧知识的类似性, 寻找到突破点, 实现知识类比迁移。
三、类比推理在高中数学课堂上的实施策略
1. 结构相似性
在高中数学教学当中, 概念上的结构相似较为常见。就拿等差数列和等比数列来说, 通过引导学生来观察等比数列和等差数列的一字之差, 来发散思维探索等比数列的概念, 再通过代入论证其正确性, 加深对等比数列概念的理解。
公式上的类似性也可以应用到类比推理教学当中, 特别是几何教学。以柱体体积为例, 以往立体体积的公式都是在学生具备充分立体感和立体知识的基础上才给出, 新课改更提倡学生通过直观感受来得出公式。在回顾长方体体积计算公式的基础上, 可以将报纸或书籍裁成圆形和三角形分别摞起相同的高度, 使之呈现出两个几何体, 再通过长方体体积计算公式类比的方法来得出一般柱体的体积计算公式。
2. 性质相似性
性质相似性能让学生触类旁通并举一反三。还是以等差数列和等比数列为例, 让学生在两者结构相似性的基础上, 将等差数列的性质迁移到等比数列的性质中, 再通过教师的适时引导和纠错来增强学生的记忆效果。学生通过类比对象之间的异同点加深对细节的把握, 强化了后期的整理记忆, 学习更加灵活、知识体系构建更加完整。此外还有研究方法的相似性, 在类比推理教学当中应用也比较多。如对数函数的教学当中就可以利用指数函数的性质和图像来进行类比推理教学。
数学这门学科知识体系庞大, 学生学习当中或多或少存在一些困难。在高中阶段应用类比推理教学方法, 一定程度上降低了学生学习的难度, 提高了数学学习的主动性和积极性, 培养了学生自主探究能力和创新能力。类比推理教学方法还需要继续完善, 教师应当提高其重视程度, 让其在高中数学教学当中发挥出真正的功效。
参考文献
[1]靳宏伟.浅谈高中数学中类比推理的应用[J].开封教育学院学报, 2012, (02) .
类比推理高中数学教学应用“授之以鱼不如授之以渔”。类比推理作为一种抽象思维的认知方法，在帮助学生获取新知识的过程当中起到了“渔”的功效。尽管类比推理在各地高中数学教学过程当中都有意无意地得到了一些应用，但是从目前来看，類比推理在当前的高中数学教学应用过程当中没有真正发挥出其应有的功效。
一、类比推理教学法在高中数学教学中的应用现状
1.对类比推理教学法的重视程度不够
尽管数学新课程标准当中强调了要培养学生归纳、演绎和类比推理能力，但是从当前的应用情况来看，各地教师和学校对于类比推理提升学生创造性探究思维能力方面重视程度显然不够。高中教师很少在教研例会当中提及类比推理教学法，甚至对于类比推理意识较为模糊，很难给出肯定答案。
2.缺乏系统的类比推理教学模式
由于对于类比推理教学模式没有足够的认识，导致学校没有完善的激励体系来引导教师开创系统化的类比推理教学模式，类比推理教学停滞不前。在实际应用过程当中，即使用到类比推理教学，当中也存在很大的随机性和任意性。
3.高中数学教学轻授法重解题
虽然素质教育和新课改不断深入，学生的综合能力有所提升。但是在高考大棒下，各地学校难免还存在着应试教育的阴影，教学过程当中特别是数学教学依然偏重于解题，从实际效果来看实在是差强人意。如果不能在适当的时候将类比推理法引入新课教学当中，学生的新知识掌握能力就不牢固，不能形成完整的知识结构体系。在高中数学教学当中，解析几何、立体几何以及数列等知识点都非常适宜类比推理法的应用。它能让学生更快地通过结构相同、性质类似的旧知识回顾，来增强对新知识的结构和性质的理解，既加深了理解同时还能将新知识更充分吸收，更好地应用于解题当中。
4.类比推理能力逐级提升
调查发现，学生的类比推理能力还随着年级的升高而提升。从这点也能看出，类比推理能力和学生的训练强度以及掌握知识多少有着密切关系。随着年级的升高，学生所接触的数学知识和题目类型也越来越多，特别是高考班的高训练强度让他们经验更加丰富，推理的重要依据就是从之前的经验当中寻找共通点，进而寻求正确答案。
二、类比推理在高中数学课堂上的应用原则
1.目标导向性
类比推理受到高中各年级的数学教学内容和目标的差异性的制约，教师应当从学生的实际出发，结合教学内容和教学目标制定可行的教学方案。要在有限的时间里向学生灌输更多的新知识就必须注重目标导向性原则，让学生能精力集中进行快速思维。这就要求教师应当具备良好的课堂驾驭能力和引导能力，在充足准备的基础上能对各知识点信手拈来，对适合应用类比推理的内容展开有效教学。注重类比情境的构建，辅之以复习提纲，让班级中的大部分学生都能通过知识类比迁移来获得新知识。
2.注重过程性
教师应当在类比推理的应用当中，强调思维过程的展现。在新知识的讲解过程当中，合理地引导学生回忆自己的知识体系，从所掌握的旧知识当中找寻与其相关的理论、概念等，进而对新知识的性质和公式进行猜测和探索。教师再通过板演或多媒体教学等形式来证明学生猜想的正确性，从这个过程当中能很好地体现出新旧知识的差异。
3.注重参与性
教师在应用类比推理教学当中要特别强调出学生的主体地位，鼓励学生的创造性思维，激发学生探索的积极性。类比推理的过程需要师生间的不断互动，把课堂还给学生，教师只需要扮演好组织者和引导者的角色即可。善于引导学生进行类比推理，控制好教学的节奏，让学生能在适当的广度和深度当中探寻新旧知识的类似性，寻找到突破点，实现知识类比迁移。
三、类比推理在高中数学课堂上的实施策略
1.结构相似性
在高中数学教学当中，概念上的结构相似较为常见。就拿等差数列和等比数列来说，通过引导学生来观察等比数列和等差数列的一字之差，来发散思维探索等比数列的概念，再通过代入论证其正确性，加深对等比数列概念的理解。
公式上的类似性也可以应用到类比推理教学当中，特别是几何教学。以柱体体积为例，以往立体体积的公式都是在学生具备充分立体感和立体知识的基础上才给出，新课改更提倡学生通过直观感受来得出公式。在回顾长方体体积计算公式的基础上，可以将报纸或书籍裁成圆形和三角形分别摞起相同的高度，使之呈现出两个几何体，再通过长方体体积计算公式类比的方法来得出一般柱体的体积计算公式。
2.性质相似性
性质相似性能让学生触类旁通并举一反三。还是以等差数列和等比数列为例，让学生在两者结构相似性的基础上，将等差数列的性质迁移到等比数列的性质中，再通过教师的适时引导和纠错来增强学生的记忆效果。学生通过类比对象之间的异同点加深对细节的把握，强化了后期的整理记忆，学习更加灵活、知识体系构建更加完整。此外还有研究方法的相似性，在类比推理教学当中应用也比较多。如对数函数的教学当中就可以利用指数函数的性质和图像来进行类比推理教学。
数学这门学科知识体系庞大，学生学习当中或多或少存在一些困难。在高中阶段应用类比推理教学方法，一定程度上降低了学生学习的难度，提高了数学学习的主动性和积极性，培养了学生自主探究能力和创新能力。类比推理教学方法还需要继续完善，教师应当提高其重视程度，让其在高中数学教学当中发挥出真正的功效。
参考文献：
＼[1＼]靳宏伟.浅谈高中数学中类比推理的应用＼[J＼].开封教育学院学报，2012，（02）.
一．导数概念的引入
数学选修2-2知识点总结
1.导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是
limf(x0x)f(x0)x，x0我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx，即
0f(x0)=limf(x0x)f(x0)xx0
例1． 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系
h(t)4.9t6.5t10
运动员在t=2s时的瞬时速度是多少？
解：根据定义
vh(2)limh(2x)h(2)xx013.1
即该运动员在t=2s是13.1m/s,符号说明方向向下
2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点Pn趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0)xnx0，当点Pn趋近于P时，函数yf(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即
klimf(xn)f(x0)xnx0f(x0)
x03.导函数：当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数.yf(x)的导函数有时也记作y,即
f(x)limf(xx)f(x)xx0
二.导数的计算
1.函数yf(x)c的导数 2.函数yf(x)x的导数 3.函数yf(x)x的导数 24.函数yf(x)1x的导数
基本初等函数的导数公式: 1若f(x)c(c为常数)，则f(x)0； 2 若f(x)x,则f(x)x1;3 若f(x)sinx,则f(x)cosx 4 若f(x)cosx,则f(x)sinx;5 若f(x)ax,则f(x)axlna 6 若f(x)ex,则f(x)ex
x7 若f(x)loga,则f(x)1xlna1x 若f(x)lnx,则f(x)导数的运算法则
1.[f(x)g(x)]f(x)g(x)
2.[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)
f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)[g(x)]23.[]
复合函数求导
yf(u)和ug(x),称则y可以表示成为x的函数,即yf(g(x))为一个复合函数 yf(g(x))g(x)
三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
在某个区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递增； 如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数yf(x)的极值的方法是:(1)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值;4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.求函数yf(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤（1）求函数yf(x)在(a,b)内的极值；
（2）将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题
利用导数的知识，求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
第二章 推理与证明
考点一 合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法
1.它是一个递推的数学论证方法.2.步骤:A.命题在n=1（或n0）时成立，这是递推的基础；
B.假设在n=k时命题成立
C.证明n=k+1时命题也成立, 完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=n0,且nN)结论都成立。考点三 证明 1.反证法: 2.分析法: 3.综合法:
第一章 数系的扩充和复数的概念 考点一:复数的概念
(1)复数:形如abi(aR,bR)的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部.(2)分类:复数abi(aR,bR)中,当b0,就是实数;b0,叫做虚数;当a0,b0时,叫做纯虚数.(3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6)两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
考点二：复数的运算
1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)则
z1z2(ac)(bd)i z1z2(acbd)(adbc)i
z1z2(acbd)(adbc)icd22(z20)
2,几个重要的结论
2222(1)|z1z2||z1z2|2(|z1||z2|)
(2)zz|z|2|z|2(3)若z为虚数,则|z|z 3.运算律
(1)zmznzmn;(2)(z)zmnmnnnn;(3)(z1z2)z1z2(m,nR)224.关于虚数单位i的一些固定结论：
（1）i1（2）ii
（3）i1
1.知识技能
(1)了解幂函数的概念;
(2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用。
(3)学会研究函数图象和性质的一般方法。
2.过程与方法
类比研究指数函数、对数函数学习过程，掌握幂函数的图象和性质。
3.情感、态度、价值观
(1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法;
(2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，感受数学美。
二、幂函数——教学重难点：
1、重点：幂函数的概念和性质;
2、难点：函数指数的推广及性质的归纳。
三、幂函数——教学辅助工具：
PPT课件，几何画板。
四、幂函数——教学过程：
(一)创设情景
前面我们学习了函数的定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数。函数这个大家庭有很多成员，今天，我们利用学习指数函数、对数函数的方法，再来认识一位新成员。
1、如果正方形的边长为，那么正方形的面积是= ，是的函数。
2、如果正方体的边长为，那么正方体的体积是 = ，是的函数。
3、如果正方形场地的面积为，那么正方形的边长= ，是的函数。
4、如果某人s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度= km/s，是的函数。
思考：上述函数解析式有什么共同特征?
答：(1)都是函数;
(2)均是以自变量为底的幂;
(3)指数均为常数;
(4)自变量前的系数为1。
(二)新课导入
1、幂函数的定义：
一般地, 叫做幂函数,其中是自变量,是常数。
2、幂函数与我们之前学过的哪种函数在形式上接近?
3、幂函数与指数函数有什么区别?
答：判断一个函数是幂函数还是指数函数的切入点是看未知数x是做底数还是做指数，若是做底数则是幂函数;若是做指数则是指数函数。
设计意图：引导学生分析掌握幂函数的结构，三要素，区分幂函数与指数函数的异同点。
(三)小试牛刀
1、下列函数中，哪几个函数是幂函数?
① ② ③
④ ⑤ ⑥
2、已知函数是幂函数，则实数的值等于_____.
3、已知幂函数的图象过点，则
(四)自主探究
1、请在同一坐标系内画出幂函数，，，，的图象。
2、观察图象，讨论归纳幂函数;;;;的性质。
定义域
值 域
奇偶性
单调性
定 点
(五)合作探究
归纳幂函数的性质：
(1)幂函数图象过定点 。
(2)函数、、是奇函数，函数是偶函数
(3)幂函数,在第 象限都有图象。我们就先来研究幂函数在第 象限上的性质，函数的奇偶性能够帮助我们完成其他象限的图象。
在区间上，函数、、和是增函数，函数是减函数。
推广：当>0时，函数在第一象限是增函数，当<0时，函数在第一象限是减函数.
(4)在第一象限，函数的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近
设计意图：引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对数函数等过程中的思想方法研究幂函数;让学生通过观察上述图象，自己尝试归纳五个幂函数的基本性质，然后完成表格;进而归纳幂函数的性质。
(六)反馈演练
例1、证明幂函数上是增函数
证：任取<则
=
=
因<0，>0
所以，即上是增函数.
例2、比较下列各组中两个值的大小：
(1)与 ;(2)与;(3)与
(4)与.
例3、已知幂函数在上是减函数，求m的取值.
例题的设计意图：
例题1复习函数单调性的证明步骤，例题2复习利用指数函数的图象与性质来比较大小的同时学会用幂函数的方法来比较大小，体会一题多解.例题3学会利用幂函数的性质来解题.
(七)总结提炼
1、谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系?
[关键词]高中数学 类比推理 教学
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2016）02-0008
类比推理是高中数学教学中常被教师采用的教学方法，其本身具有发现问题、探索问题的作用，对提高学生的思维能力和创新能力尤为重要，如何运用类比推理？本文从类比推理在高中数学教学中的应用等方面进行论述.
一、类比推理的概念及作用
1.类比推理的概念
类比推理是高中数学学习中常用的一种推理方法，类比推理主要是通过相似对象之间的共有特征，对其他的相似特征进行推断，从而更好地把握数学研究的对象、找出解决问题的思路和方法.高中数学教学中采用类比推理的思维方法可以最大限度地扩展学生的思路、提高学生的思维能力，对激发学生的学习兴趣、提高课堂效率有显著的效果.
2.类比推理的作用
第一，激发学生的学习动机.类比推理在教学的过程中不仅可以构建起真实生动的教学情境，提高学生的学习兴趣、打造活跃的课堂氛围，还可以促进学生迅速发现问题、解决问题，从而更加准确地掌握数学知识.由于在授课的过程中教师将所要解决的问题通过知识迁移与学生熟知的对象进行对比分析，这有助于降低学生的理解难度，拓展学生的思路，有助于学生快速吸收知识.
第二，提高学生学习的积极性.众所周知，在学习数学知识的过程中，任何一个新知识点的引入总是和旧的知识点有千丝万缕的联系，新的知识点总是从原有的知识点中衍生而来.在高中数学教学中，教师借助于原有的知识内容类比推理出新的学习对象，降低了学生的理解难度.有了原有知识内容的铺垫，学生在消化吸收新的知识点时没有了排斥感，变被动灌输为主动接受，学习的积极性大大提高，课堂效率也显著提高.
第三，培养学生正确的思维方式.在高中数学课堂教学中，类比推理的关键作用是将原有抽象的、难以理解的概念和问题具体化，将学生易于混淆的知识点进行对比分析，发现类比对象之间的差异，从而更好地消化吸收数学知识.类比推理的教学手段不仅能够帮助学生迅速掌握研究对象，提升解决问题的能力，还可以拓展思路，帮助学生培养科学合理的思维方式，对其今后的学习产生积极的作用。
二、类比推理在高中数学教学中的应用
1.利用结构相似进行数学运算的类比推理教学
高中阶段，许多数学运算规律和运算法则都存在着相似性，在教学过程中教师可以利用他们之间的相似性进行教学，求同存异，带领学生发现学习对象之间的不同点，从而帮助学生准确理解学习对象，降低在计算过程中的失误率.例如，在讲授概率的关系与运算时，可以采用教师提问、学生思考的形式引入本节课的主要知识点，然后再引导学生用韦恩图来研究集合之间关系的方法来类比研究事件之间的关系，若学生通过类比发现其中的相似点，可以继续引导提问.比如：假若将这种并集的运算类比到事件中来，我们又该如何理解？以此类推，如果交集运算类比到事件中来，你又是如何理解的？
2.利用研究方法相似进行类比推理教学
作为一门基础学科，数学的许多定义和知识点的研究方法都具有相似性，运用研究方法的相似性进行类比教学可以帮助学生迅速吸收新的学习内容.本节主要以数函数和对数函数作为研究对象进行类比教学应用.由于学生学习指数函数在前、对数函数在后.因此，可以以指数函数作为蓝本引导，先引导学生对指数函数的相关知识点进行回顾，使学生明白在学习指数函数时主要是通过研究函数的两域三性进行学习的，在研究某一函数时要根据其图像进行推倒证明.再采用提问的形式引导学生将对数函数与指数函数进行类比，借助指数函数的研究方法来探索发现对数函数的性质.
3.利用性质相似进行类比推理教学
一、类比推理的概念及作用
1.类比推理的概念
类比推理是高中数学学习中常用的一种推理方法, 类比推理主要是通过相似对象之间的共有特征, 对其他的相似特征进行推断, 从而更好地把握数学研究的对象、找出解决问题的思路和方法.高中数学教学中采用类比推理的思维方法可以最大限度地扩展学生的思路、提高学生的思维能力, 对激发学生的学习兴趣、提高课堂效率有显著的效果.
2.类比推理的作用
第一, 激发学生的学习动机.类比推理在教学的过程中不仅可以构建起真实生动的教学情境, 提高学生的学习兴趣、打造活跃的课堂氛围, 还可以促进学生迅速发现问题、解决问题, 从而更加准确地掌握数学知识.由于在授课的过程中教师将所要解决的问题通过知识迁移与学生熟知的对象进行对比分析, 这有助于降低学生的理解难度, 拓展学生的思路, 有助于学生快速吸收知识.
第二, 提高学生学习的积极性.众所周知, 在学习数学知识的过程中, 任何一个新知识点的引入总是和旧的知识点有千丝万缕的联系, 新的知识点总是从原有的知识点中衍生而来.在高中数学教学中, 教师借助于原有的知识内容类比推理出新的学习对象, 降低了学生的理解难度.有了原有知识内容的铺垫, 学生在消化吸收新的知识点时没有了排斥感, 变被动灌输为主动接受, 学习的积极性大大提高, 课堂效率也显著提高.
第三, 培养学生正确的思维方式.在高中数学课堂教学中, 类比推理的关键作用是将原有抽象的、难以理解的概念和问题具体化, 将学生易于混淆的知识点进行对比分析, 发现类比对象之间的差异, 从而更好地消化吸收数学知识.类比推理的教学手段不仅能够帮助学生迅速掌握研究对象, 提升解决问题的能力, 还可以拓展思路, 帮助学生培养科学合理的思维方式, 对其今后的学习产生积极的作用.
二、类比推理在高中数学教学中的应用
1.利用结构相似进行数学运算的类比推理教学
高中阶段, 许多数学运算规律和运算法则都存在着相似性, 在教学过程中教师可以利用他们之间的相似性进行教学, 求同存异, 带领学生发现学习对象之间的不同点, 从而帮助学生准确理解学习对象, 降低在计算过程中的失误率.例如, 在讲授概率的关系与运算时, 可以采用教师提问、学生思考的形式引入本节课的主要知识点, 然后再引导学生用韦恩图来研究集合之间关系的方法来类比研究事件之间的关系, 若学生通过类比发现其中的相似点, 可以继续引导提问.比如:假若将这种并集的运算类比到事件中来, 我们又该如何理解?以此类推, 如果交集运算类比到事件中来, 你又是如何理解的?
2.利用研究方法相似进行类比推理教学
作为一门基础学科, 数学的许多定义和知识点的研究方法都具有相似性, 运用研究方法的相似性进行类比教学可以帮助学生迅速吸收新的学习内容.本节主要以数函数和对数函数作为研究对象进行类比教学应用.由于学生学习指数函数在前、对数函数在后.因此, 可以以指数函数作为蓝本引导, 先引导学生对指数函数的相关知识点进行回顾, 使学生明白在学习指数函数时主要是通过研究函数的两域三性进行学习的, 在研究某一函数时要根据其图像进行推倒证明.再采用提问的形式引导学生将对数函数与指数函数进行类比, 借助指数函数的研究方法来探索发现对数函数的性质.
3.利用性质相似进行类比推理教学
第一章集合与函数概念
【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念
把某些特定的对象集在一起就叫做集合.（2）常用数集及其记法
表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.（3）集合与元素间的关系
对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
（或
A中的任一元素都属于B
(1)AA
(2)
(3)若且，则
(4)若且，则
或
真子集
AB
（或BA），且B中至少有一元素不属于A
（1）（A为非空子集）
(2)若且，则
集合相等
A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A
(1)AB
(2)BA
（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
名称
记号
意义
性质
示意图
交集
且
（1）
（2）
（3）
⑷
Α⊆B⟺A∩B=A
并集
或
（1）
（2）
（3）
⑷A⊆B⟺A∪B=B
补集
∁uA
⑴
（∁uA）∩A=∅,⑵
∁uA∪A=U,⑶
∁u∁uA=A,⑷
∁uA∩B=∁uA∪∁uB,⑸
∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB)
⑼
集合的运算律：
交换律：
结合律:
分配律:
0-1律：
等幂律：
求补律：A∩∁uA=∅
A∪CuA=U
∁uU=∅∁u∅=U
反演律：∁u(A∩B)=(∁uA)∪(∁uB)
∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB)
第二章函数
§1函数的概念及其表示
一、映射
1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B中都有
元素和它对应，这样的对应叫做
到的映射，记作
.2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。
二、函数
1．定义：设A、B是，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的，记作
.2．函数的三要素为、、，两个函数当且仅当
分别相同时，二者才能称为同一函数。
3．函数的表示法有、、。
§2函数的定义域和值域
一、定义域：
1．函数的定义域就是使函数式的集合.2．常见的三种题型确定定义域：
①
已知函数的解析式，就是
.②
复合函数f
[g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的域是外函数f
(x)的域.③实际应用问题的定义域，就是要使得
有意义的自变量的取值集合.二、值域：
1．函数y＝f
(x)中，与自变量x的值的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑，取决于，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为
法和
法）
例如：①
形如y＝，可采用
法；②
y＝，可采用
法或
法；③
y＝a[f
(x)]2＋bf
(x)＋c，可采用
法；④
y＝x－，可采用
法；⑤
y＝x－，可采用
法；⑥
y＝可采用
法等.§3函数的单调性
一、单调性
1．定义：如果函数y＝f
(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、 (x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个 ；②都有，则称f (x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 .若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为 .2．判断单调性的方法： (1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .(2) 导数法，若函数y＝f (x)在定义域内的某个区间上可导，①若，则f (x)在这个区间上是增函数；②若，则f (x)在这个区间上是减函数.二、单调性的有关结论 1．若f (x),g(x)均为增(减)函数，则f (x)＋g(x) 函数； 2．若f (x)为增(减)函数，则－f (x)为； 3．互为反函数的两个函数有的单调性； 4．复合函数y＝f [g(x)]是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f [g(x)]为，若f (x),g(x)的单调性相反，则f [g(x)]为 .5．奇函数在其对称区间上的单调性，偶函数在其对称区间上的单调性 .§4函数的奇偶性 1．奇偶性： ① 定义：如果对于函数f (x)定义域内的任意x都有，则称f (x)为奇函数；若，则称f (x)为偶函数.如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x)不具有 .如果函数同时具有上述两条性质，则f (x) .② 简单性质： 1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.2） 函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称.2．与函数周期有关的结论： ①已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为； ②的图象关于点中心对称或的图象关于直线 轴对称，均可以得到周期 第三章 指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质 1．正整数指数函数 函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作________指数函数；形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂 (1)分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的次幂，记作b＝； (2)正分数指数幂写成根式形式：＝(a>0)； (3)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝__________________(a>0，m、n∈N＋，且n>1)； (4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)aman＝________(a>0)； (2)(am)n＝________(a>0)； (3)(ab)n＝________(a>0，b>0)． §3 指数函数(一) 1．指数函数的概念 一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____． 2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质 a>1 0 图像 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性 质 过定点 过点______，即x＝____时，y＝____ 函数值的变化 当x>0时，______； 当x<0时，________ 当x>0时，________； 当x<0时，________ 单调性 是R上的________ 是R上的________ §4 对数(二) 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则： (1)loga(MN)＝________________； (2)loga＝________； (3)logaMn＝__________(n∈R)． 2．对数换底公式 logbN＝(a，b>0，a，b≠1，N>0)； 特别地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)． §5 对数函数(一) 1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．________为常用对数函数；y＝________为自然对数函数.2．对数函数的图像与性质 定义 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0 图像 定义域 ______ 值域 ______ 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图像过点______，即loga1＝0 函数值 特点 x∈(0,1)时，y∈______； x∈[1，＋∞)时，y∈______.x∈(0,1)时，y∈______； x∈[1，＋∞)时，y∈______.对称性 函数y＝logax与y＝x的图像关于______对称 3.反函数 对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数． 第四章 函数应用 §1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定方程解的存在2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标． 3．方程f(x)＝0有实数根 ⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________ ⇔函数y＝f(x)有________． 4．函数零点的存在性的判定方法 如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)____0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解． 1.2 利用二分法求方程的近似解 1．二分法的概念 每次取区间的中点，将区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来_________________________________________________________________． 2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε) (1)确定区间[a，b]，使____________． (2)求区间(a，b)的中点，x1＝__________.(3)计算f(x1)． ①若f(x1)＝0，则________________； ②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))； ③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))． 【高中数学推理知识点总结】推荐阅读： 高中数学推理与证明测试题09-21 高中数学必修知识总结02-25 高中数学全知识点04-24 高中数学函数知识点04-24 高中数学选修4知识点07-19 高中数学选修1-2知识点归纳09-06 初高中数学断节知识07-14 高中数学期末高中总结12-21 高中数学期中总结07-27 高中数学教育总结09-09
