多元函数微分学复习

多元函数微分学复习（共6篇）

多元函数微分学复习 篇1

6.1 多元函数的基本概念 一、二元函数的极限

定义 f(P)= f(x，y)的定义域为D, oP0(x0,y0)是D的聚点.对常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点P(x，y)∈D U(P0,)，即

0|P0P|

(xx0)(yy0)22

时，都有

|f(P)–A|=|f(x，y)–A|<



成立，那么就称常数A为函数f(x，y)当(x，y)→(x0，(x,y)(x0,y0)y0)时的极限，记作

y0)), lim f(x,y)A或f(x，y)→A((x，y)→(x0,也记作

PP0limf(P)A

或

f(P)→A(P→P0)为了区别于一元函数的极限，上述二元函数的极限也称做二重极限.二、二元函数的连续性

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)f

(x0,y0)，(x,y)(0,0)limz0

如果函数f(x , y)在D的每一点都连续，那么就称函数f(x , y)在D上连续，或者称f(x , y)是D上的连续函数.如果函数f(x , y)在点P0(x0,y0)不连续，则称P0(x0,y0)为函数f(x , y)的间断点.多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.多元初等函数的极限值就是函数在该点的函数值，即

pp0limf(P)f(P0).有界性与最大值最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必取复介于最大值和最小值之间的任何值。

三、例题 例1 设f(x,y)xyg(xy)，已知f(x,0)xf(x,0)xg(x)x222，求

f(x,y)的表达式。

2解 由题设，有g(x)xx2，于是

。f(x,y)xy[(xy)(xy)]，即 f(x,y)(xy)2y例2 证明极限limxyxy623不存在。

x0y0 证 当(x,y)沿三次抛物线ykx

3趋于(0,0)时，有

limxyxyxyxy。

623623x0y0limxkx62336x0y0xkxlimk1k2

x0y0其值随k去不同值而取不同值。故极限lim不存在。

x0y0 例3 求极限limxy11xy2222x0y0 解

原式limxy2222x0y0xy1xy11zx2212limxx0y022y22xy0

6.2 偏导数与高阶导数 6.2.1 偏导数

一、概念

说明对x求导视zf(x,y)，ylimf(xx,y)f(x,y)x

x0为常数，几何意义也说明了这个问题

二元函数z=f(x , y)在点M0(偏导数数

x0,y0)的偏导数有下述几何意义.0fx(x0,y0)，就是曲面zf(x,y)与平面yy0的交线在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜率.同样，偏导fy(x0,y0)的几何意义是曲面zf(x,y)与平面x=x0的交线在点M 2 基于如上理由，求

处的切线M0Ty对y轴的斜率.zx(x0,y0)时，（因此可能简化函数）再对xy0可先代入，求导

例 f(x,y)xarctany(xarctany(xarctany))，求fx(1,0)。

n重 解 f(x,0)x，fx(x,0)1，fx(1,0)1

二、可微，偏导数存在，连续的关系

偏导数存在可微连续

三、高阶偏导数

设函数z=f(x , y)在区域D内具有偏导数，偏导数连续可微，fxy和

fyx都连续，则

fxy=

fyx;

zx2fx(x,y),zyfy(x,y)，则这两个函数的偏导数称为函数z=f(x , y)的二阶

2偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：

zzzzf(x,y),fxy(x,y),xx2xxxyxxyzxyzf(x,y),yxyyx2zyzfyy(x,y).2y2

四、偏导数，微分运算公式 1．z 2．dz f(x,y)，uu(x,y)，vv(x,y)

zxfuuxfvvx

zyfuuyfvvy

fudufvdvfu(udxuydy)fv(vdxvydy)xx(fuufvv)dx(fuuyfvvy)dyxx

d(uv)dudvd(uv)udvvduzx2

uvduudvd2vv

3．F(x,y,z)0 确定zz(x,y)，FxFz；

zy2FyFz6.2.2 求偏导数算例 例1（1）zarctanxy1xy，求

zx，zy，zx22，zxy。

解 zx1xy11xy11y221(1xy)(xy)(y)(1xy)11x2

由对称性 zy2，zx2222x(1x)，求

22；

2zxy220；（2）ulnxyz2ux22uy2uz2。

解ux122x222xyzxxyz22，2 ux由对称性 222xyzx2x(xyz)22222222222xyz2222222222(xyz)22

uy222xyz222，uz1222(xyz)uy22xyz2(xyz)2

故 ux2uz22xyz222。

（3）xy22f(x,y)xy0x022xy0，求

fx(0,0)，fy(0,0)

xy022 解 fx(0,0)limx0x0x220，同理fy(0,0)0；

ux，例2 uyf(xy,xy)，求

uxy2。

解 ux22yf12xf2y2xyf1yf2

uxy

(2y)f12x2yf2y2f21(2y)f22x 2xf12xyf1122x2yf122yf22y3f21xy2f22 2xf14xyf11

例3

zyzf(xy,)g，求

xyxxy2

解

yyf1yf22g2xxx2z

11y1xf12f1yf11ffxf2222221xyxxxxy1yy12f23f222gf12ff1xyf11xxxxxy)，求du。例4 uf(xy,xy,x解（1）z1xx2gg

yx2g1x

y3 duuxdxuydy

u1yuf1f2(1)f3f1f2f32；xxxy

故

y1duf1f22f3dxf1f2f3dy xxxdyydxd(xy)f2d(xy)f3解（2）duf12x

f1(dxdy)f2(dxdy)f3[f1f2yx2xdyydxx1x2

f3]dx[f1f2f3]dy

例5 设zz(x,y)由方程F(xzy,yzx)0，确定，F有连续一阶偏导数，求

zx，zy。

解（1）方程两边对x求导

zzxz0 F11xF2x2yxzyzF12F2xyF1F2zxx11xxF1yF2F1F2yx；

方程两边对y求导

zyz1zyFF11220 yxyzxzFFFxyF2122zyy 11yxF1yF2F1F2yxzy)F2d(yzx2；

解（2）方程两边取微分 F1d(x)0)F2(dyzy2F1(dxydzzdyyzx2xdzzdxx2)0

(F1

F2)dx(1yF11xF1F2)dy dzF2xyF1yzF2； 则 zxF11yF1zx12F2F2xyF1yzxxF1yF2F2；

zxxxF1yF2dydxx 例6 设yf(x,t)，tt(x,y)由F(x,y,t)0确定F,f可微，求。

解（1）对方程取微分

(1)dyfxdxftdtFxdxFydyFtdt0(2)dyfxdxft0

由（1）解得dt代入（2）得 FxdxFydyFt

则 FxFtfx/ftFxftFtfxdydxdxFtFfFytFyft解（2）

dy，即

dxFxftFtfxFyftF

yf(x,t(x,y))

dyttdyfxftdxxydx

dydxfxft1ftt 而xtyxtxFxFt；

tyux22FyFt，则

dydxFxftFtfxFyftF2

y， 例7 证明：当y时，方程x22xyuxy2y2uy20可化成标准形式

u220，其中uu(x,y)二阶偏导数连续。

证明：将u看成由u(,)，而yx，y复合成x,y的函数，uu((x,y),(y))

则 ux2ux2uuu1uuyu2；

xyyyx22yu1u22；

2xyxxx

ux222uyuy2223xxu21u

u22221u1uu1u1

222yxxx2则 xux222xyuxy2y2u22y2u220u220

小结

① 显函数（复合）二阶混合偏导数

② 隐函数求偏导，会用微分法，用复合法习题 1．zf(u)，u由方程u(u)

xyp(t)dt确定的x,y的函数，f,可微，P,连续，(u)1，求P(y)zxP(x)zy

（答案：0）（蔡 P146）

22．zz(x,y)由zexyz确定，求

zxy；

23．F(xy,yz)1确定了隐函数zz(x,y)，Fyy(x),zz(x)是由方程zxf(xy)和

具有连续二阶偏导数求

zyx

4．设5．t6．zF(x,y,z)0确定，f,F有连续偏导数，求

dzdx。

0，f可微且满足

kf(tx,ty,tz)tf(x,y,z)，证明 xfxyfyzfzkf。

。f(x,y)于(1,1)点可微，且f(1,1)1，fx(1,1)23x1。，fy(1,1)3。(x)f(x,f(x,x))求ddx[(x)]ux2y7．设变换vxay8．设可把方程6zx22zxy2zyx220化简为

zuvzx22202，求常数a的值。（a＝3）。

f(u)u有连续二阶导数，而uzf(esiny)满足

zy2ez2x，求

f(u)。（f(u)c1ec2e）

6.2 偏导数应用

偏导数应用注意四个方面：空间曲面曲线切平面、法线、切线、法平面；方向导数；梯度、散度、旋度；极值与条件极值。

6.3.1 内容小结

1． 空间曲线切线与法平面

xx(t)1）yy(t)

zz(t)切向量v(xt,yt,zt)

切线方程：

xx0xtyy0ytzz0zt

(x法平面方程：xtx0)yt(yy0)zt(zz0)0

xxyy(x)yy(x)2）zz(x)zz(x)切线方程：

v(1,y,z)类似的

xx01yy0yzz0z

法平面方程：xx0y(yy0)z(zz0)0

Fzz0F(x,z,y)0xxFxFyy3）v(1,y,z)xxG(x,y,z)0GxGyyxGzzx02． 空间曲面切平面与法线

1）F(x,y,z)0,n(Fx,Fy,Fz)|P0切平面：Fx|p0法线：

(xx0)Fy|p0(yy0)Fz|p0(zz0)0xx0Fx|p0yy0Fy|p0zz0Fz|p0

2）zf(x,y)Ff(x,y)zn(fx,fy,1)

切平面：类似地

fx(xx0)fy(yy0)(zz0)0

法线：xx0fxyy0fyzz01

xx(u,v)3）*yy(u,v)

zz(u,v)（参数方程形式）

切线 ,yu,zu),v2(xv,yv,zv)v1(xuixvjyuyvnv1v2xu(y,z)(z,x)(x,y)zu(u,v),(u,v),(u,v)zvk

3． 方向导数

uu(x,y,z)uluxcosuycosuzcosgradul（梯度在l方向投影）

4． 梯度、散度、旋度

，

xyzuuugraduu，xyz

divAAPxQyRz

rotAAixPjyQkzR

6.3.2 例题

例1 求曲线xt,yt,zt223上与平面x2yz4平行的切线方程。

解 切向量2(1,2t,3t)，n(1,2,1)由n，则n0，即，14t3t0t11,t2当t1时 (1,2,3),x11,y11,z11，切线方程为13x11y12z13

当t时 2(1,21111,),x2,y1,z1333927，x切线方程为13y11923z13127

22xy10例2 求空间曲线22xz10在点(3,1,1)处的切线方程和法平面方程。

解 22xy1022xz10确定了

yy(x),zz(x)，对x求导2x2yy02x2zz0x3y13，yzz13

xyxz

于

1法平面方程为x33(y1)3(z1)0，即x3y3z30 例3 求曲面x2M(3,1,1)点：y3,z3,v(1,3,3)切线方程为 yzx的切平面。使之与平面xy22z22垂直，同时也与xyz2垂直。

解 切平面法向量n(2x1,2y,2z)，n1(1,1,12)，n2(1,1,1)，依题意

n1n0

既有2x 12yz0

（1）

（2）n2n0 2x12y12z0

联立（1）（2）和原方程 22x42得解y4z022x42，y4z0

 n012222，0，n02,,0 2222切平面22(x242)22(y24)0

即

xyxy121222

得

22222x(y)0 2424x2y3z222即

例4 求u解 令

在(1,1,1)点沿x2yz3的外法线方向的方向导数。

22222F(x,y,z)xyz3，Fx2x,Fy2y,Fz2z于P(1,1,1)点n(2,2,2)，n(13,13,13)

unuxcosuycosuzcos111122x4y6z|43(1,1,1)3333

例5 设f(x,y)在fL3|p0fx1111p0点可微，L1，,L222227。，fL11,fL20

试确定L3使52fycos11，fL2fxcos2fycos20，则 解 fL1cos1 fxfx12fy121fx12y,f12

1f10y22 设L3(cos3,cos3)

从而fL3fxcos375fxcos375235 即

1245cos3 此时cos12cos345或cos752

cos3sin3，解得cos3或cos33335

34即L3,55例6 或L3243, 552 ulnxyz2，求div2(gradu)。

解 div(gradu)(u)u12ln(xyz)222ux22uy222uz22。

u，2ux22xxyz222222，2222ux22xyzx2x(xyz)xyz222(xyz)

由对称性 uy22xyz222222(xyz)2，uz22xyz222222(xyz)2

从而 div(gradu)1xyz222

例7 设a, b, c为常数，F证明(u,v)有连续一阶偏导数。

证 xayb,)0上任一点切平面都通过某定点。zczc11xayb，FyF2，FFFxF1Fz1222zczc(zc)(zc)F（则切平面方程为 F1取1zc(Xx)F21zc(Yy)1(zc)2F(xa)F2(yb)(zy)0

xa,Yb,Zc，则对任一的(x,y,z)点上式均满足，即过任一点的切平面都过(a,b,c)点。

。(xaz,ybz)0上任一点切平面都通过某定直线平行（F具有连续偏导数）

例8 设a,b为常数，证明曲面F证

FxF1，FyF2，FzaF1bF2，即n(F1,F2,aF1bF2)，取l(a,b,1)，则nl0，nl，曲面平行l，取直线

xx0ayy0bzz01，则曲面上任一点的切平面都与上述直线平行。例9 求二元函数u5方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？u沿那个方向减少得最快，沿哪个方向u的值不变？

解 xxyy22在点M(1,1)沿方向n1(2,1)的方向导数，并指出u在该点沿哪个方向的gradu|(1,1)(2xy,2yx)|(1,1)(3,3)，uM在点M(1,1)沿n方向的方向导数为

un132(gradu)n|M(3,3),555，方向导数取得最大值的方向为梯度方向，其最大值为为求使u变化的变化率为零的方向，令l

gradu|M32，u沿负梯度方向减少最快。

(cos,sin)，则，ululM(gradu|M)l3cos3sin32sin44或令0，得4，故在点(1,1)处沿4和4函数u得值不变化。

例10 一条鲨鱼在发现血腥味时，总是沿血腥味最浓的方向追寻。在海上进行试验表明，如果血源在海平面上，建立坐标系味：坐标原点在血源处，xOy2坐标面为海平面，Oz轴铅直向下，则点(x,224y,z)处血源的浓度C（每百万份水中所含血的份数）的近似值Ce(xy2z)/10。

（1）求鲨鱼从点1,1,1（单位为海里）出发向血源前进的路线2的方程；

（2）若鲨鱼以40海里/小时的速度前进，鲨鱼从1,1,1点出发需要用多少时间才能到达血源处？ 2解（1）鲨鱼追踪最强的血腥味，所以每一瞬时它都将按血液浓度变化最快，即C的梯度方向前进。由梯度的计算公式，得

2224CCC4(xy2z)/10gradC，10e(2x.2y,4z)xyz设曲线的方程为xx(t)，yy(t)，zz(t)，则的切线向量(dx,dy,dz)必与gradC平行，从而有 dx2xdy2ydz4z

解初始值问题

dydx2y2xy|1x1dzdx2x4zz|1x12

得

yx

解初始值问题

得

z12x2，所以所求曲线的方程为

xx，yx，z 12（2）曲线的长度 x2(0x1)s101yzdxxxln(31)2210x2xdx22x2ln(x2x1)

03212ln2（海里）

31)1。ln2（小时）

2因此到达血源处所用的时间为T6.4 多元函数的极值

13ln(402

一、无条件极值 限于二元函数zf(x,y)

1． z0x求驻点z0y驻点P

2． 于驻点P处计算Azx22，Bzxy2，Czy22。B2AC0是极值点，A0可取得极小值，A0可取极大值。

3． 条件极值：minuf(x,y,z)S.t.(x,y,z)0，令

Lf(x,y,z)(x,y,z)求无条件极值。

例1 求内接于椭球面，且棱平行对称轴的体积最大的长方体。

解 设椭球面方程为 xa22yb22zc221，长方体于第一卦限上的点的坐标为(x,y,z)，则

V8xyz，s.t.xa 22yb22zc221，令

2xa222x2yz L8xyz1a2b2c28yzLxL8xzy8xyLz及0(1)0(2)0(3)2yb2zc22xa22yb22zc221

由（1）（2）（3）得xa22b3yb22zc22tc3，代入（3）得t13，从而 xa3，y2，z22，此时V8abc33839abc。

例2 求由方程2x2yz8xzz80所确定的二元函数zf(x,y)的极值。解

方程两边对x,y求偏导数得：

4x2zzx8z8xzxzx0

„（1）

4y2zzy8xzyzy0

„（2）

4x8z016和原方程联立得驻点(2,0)，(,0)0，得x74y0y方程（1）对x,y再求偏导，方程（2）对y求偏导 令z0，z。

zzzzzz42888x0 2z222xxxxxx2zzyx2z22222„（3）

zxy282zy8x2zxy22zxy20

„（4）

zzzz

422z8x0

222yyyy将驻点(2,0)代入（此时z1）

„（5）

42A16AA0

AC415415

2B16BB0

B0

242C16CC0

BAC0，z1是极小值（因A>0）

将驻点8（4）（5）（此时z,0代入（3）

7716），同上过程有

A 415，B0，C415，2BAC0，A0，z87是极大值。

习题： 1 设uF(x,y,z)在条件(x,y,z)0和(x,y,z)0限制下，在P0(x0,y0,z0)处取得极值mFx1Lx20xx

。证明F(x,y,z)m，(x,y,z)0，(x,y,z)0在P0点法线共面。

正：L F(x,y,z)m12LFy120yyy

Fz1Lz20 zzFxxyzx0yzxyz5r2222由于(1,1,2)0，从而原方程有非零解，及系数矩阵为0FyFz，即三法向量共面。

2． 设f(x,y,z)lnxlny3lnz。点

3(x,y,z)在第一卦限球面

3上，①求f(x,y,z)的最大值。②证明 对任意正数a,b,c成立abc

abc275。

习题课

ye例1 设f(xy,lnx)1，求f(x,y)yxxeln(x)解 令xyu，lnxv。

yef(u,v)f(xy,lnx)1yxxeln(x)

xxxyxueveu2vexyxlnx(xy)ee2lnxxylnx

所以

f(x,y)xeyex2y.例2 讨论limxyxy是否存在.x0y0 解

当点 P(x,y)沿直线ykx趋向（0，0）时，limxyxy2ykxx0limxkxxkxx0limkx1kx00

(k1)，当点P(x,y)沿直线yxxlim2xyxy趋向（0，0）时，yxxx0lim2x(xx)x(xx)22lim(x1)1yxxx0x01，所以limxyxy不存在.x0y0 例3 22(xy)sinzf(x,y)0在（0，0）处是否连续？

1xy22(xy0)，22(xy0),22（1）（2）（3）（4）fx(0,0),fy(0,0)是否存在？

偏导数fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）处是否连续？

f(x,y)在（0，0）处是否可微？

f(x,y)在（0，0）处是否连续，只要看limf(x,y)＝f(0,0)是否成立.因为

x0y0解

（1）函数 limf(x,y)lim(xy)sinx0y0221xy22

x0y0

limsin0210f(0,0).所以

f(x,y)在（0，0）处连续.（2）如同一元函数一样，分段函数在分界点处的偏导数应按定义来求.因为

(x)sinx021(x)x1(x)220 limf(x,0)f(0,0)xlimx0limxsinx00,所以

(3)fx(0,0)0，类似地可求得fy(0,0)0.当(x,y)(0,0)时

fx(x,y)2xsin

1xy1xy2222(xy)cosxxy22221xy221222xx2y23

2xsincos1xy2.因为 limfx(x,y)lim2xsinx0x0y0y01xy22xxy22cos不存在.22xy1所以 fx(x,y)在（0，0）处不连续。同理fy(x,y)在（0，0）处也不连续

（4）由于由fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）处不连续，所以只能按定义判别f(x,y)在（0，0）处是否可微.fx(0,0)0，fy(0,0)0，故

x0y0limz[fx(0,0)xfy(0,0)y](x)(y)222

[(x)(y)]sinlimx0y02221(x)(y)220(x)(y)(x)(y)sin122 lim1(x)(y)22

x0y0limsinx0y00由全微分定义知f(x,y)在（0，0）处可微，且df(0,0)0.f(x,y,z)，zg(x,y)，yh(x,t)，t 例4 设u(x)，求

dudx.解

对于复合函数求导来说，最主要的是搞清变量之间的关系.哪些是自变量，哪些是中间变量，可借助于“树图”来分析.图9－1 由上图可见，u最终是x的函数，y，z，t都是中间变量.所以

dudxfxfxfhhdfgghhdyxtdxzxyxtdxfhyxfhdytdxfgzxfghzyx.fghdzytdx 从最后结论可以看出:若对x求导数(或求偏导数),有几条线通到”树梢”上的x,结果中就应有几项,而每一项又都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简言之,按线相乘,分线相加 例5 z12xfxy1f2，f 可导，求zx.解 zx1f2x.y

例6 已知yetyx，而t是由方程ytx1确定的x，y的函数，求

ty222dydx.解

将两个方程对x求导数，得

ye(tyyt)12yy2tt2x0

解方程可得

2dydxtxye2ty2tyt(yt)e.例7 求曲面x2y3z21平行于平面x4y6z0的切平面方程.解

曲面在点(x,y,z)的法向量为 n ＝(Fx,Fy,Fz)(2x,4y,6z)，2x14y42已知平面的法向量为n1＝(1，4，6),因为切平面与已知平面平行，所以n//n1,从而有

6z6（1）

又因为点在曲面上，应满足曲面方程

x2y3z212

（2）

由（1）、（2）解得切点为(1,2,2)及(1,2,2), 所求切平面方程为：

或(x1)4(y2)6(z2)0(x1)4(y2)6(z2)012,1,1)。

这里特别要指出的是不要将n//n1不经意的写成n=n1,从而得出切点为(例8 在椭球面2x222的错误结论.2222yz1上求一点，使函数f(x,y,z)xyzel在该点沿l＝(1,–1,0)方向的方向导数最大.11,,0，22所以 fl fx12fy12fz20

2(xy)2(xy)在条件2x由题意，要考查函数

2yz1下的最大值，为此构造拉格朗日函数

222F(x,y,z)2(xy)(2x2yz1)，14

Fx24x0,Fy24y0, Fz2z0,2222x2yz1.解得可能取极值的点为 11,,0 22 及

11，0.222，因为所要求的最大值一定存在，比较

fl11,,022fl11，02222知12,1,02为所求的点.例9 求函数zxy222在圆(x22)(y22)9上的最大值与最小值.0,zy0，解得点(0,0).显然z(0,0)=0为最小值.解

先求函数z再求z2xy2在圆内的可能极值点.为此令zxxy在圆上的最大、最小值.为此做拉格朗日函数

22F(x,y)xy[(x2)(y22)9]，2Fx2x2(x2)0,Fy2y2(y2)0,22(x2)(y2)9.，代入（3）解得

(1)(2)(3)由（1）、（2）可知xy xy522，和

xy22，5252z,2225221.z,222)(y25252,22为z25，最小值为z0.比较z(0,0)、z

多元函数微分学复习 篇2

关键词：多元函数,反例,可微,偏导数

在高等数学中, 多元函数的连续性、偏导数的存在性、可微、偏导数的连续性, 有不少学生分不清, 文章针对这几个概念举了相关的反例, 以说明他们之间的关系。

第一, 如果函数z=f (x, y) 在点 (x, y) 可微分, 则该函数在该点的偏导数必存在, 且在该点连续。

为了更清晰, 不妨用图示表示几者间的关系:

注意, 箭头是单向的, 就是说反过来结论不成立, 下面举例说明。

下面详细解答两个例题, 说明偏导数存在不能推出可微, 可微也推不出偏导数连续。

参考文献

[1]同济大学数学系编.高等数学 (第六版·下册) [M].北京:高等教育出版社, 2008

关于多元微分学的论文 篇3

在我们的生活中，很多时候一个事物的变化是由许多其他事物共同作用的结果，反映到数学上，就形。我们在研究这类问题时，需要建立数学模型，来更好的研究变量的性质和它们之间的作用关系等等，这就是为嘛我们要学习多元函数微积分学。

1、多元函数的概念

例、圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间的具有关系 V=πr2h 这里r、h在集合｛（r、h）｜r>0，h>0｝内取定一对值（r，h）时，V的对应值随之确定。

定义 设D是R2的一个非空子集，称映射f：D→R为定义在D上的二元函数，通常记为 z=f（x，y），（x，y）∈D，把定义中的D换成n维空间Rn内的点集D，映射f：D→R就称为定义在D上的n元函数。

多元函数的定义域的求法与一元函数类似，也是先写出其构成部分的各简单函数的定义域的不等式，然后解联立不等式组，得出各变量的依存关系，即定义域。

与一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和定义关系有关，而与用什么字母表示自变量和因变量无关。

2、多元函数的极限

定义 设二元函数f（P）= f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P（x，y）∈D∩U（P0，δ）时，都有｜f（P）-A｜=｜ f（x，y）-A｜<ε成立，那么就称常数A为函数f（x，y）当（x，y）→（x0，y0）时的极限，记作lim f（x，y）=A。

与一元函数极限不同的是：二元函数的极限要求点P（x，y）以任何方式、任何方向、任何路径趋向于P0（x0，y0）时，都有f（x，y）→f（x0，y0）。

3、多元函数的连续性

定义 设二元函数f（P）= f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点，且P0∈D，如果lim f（x，y）=f（x0，y0），则称函数f（x，y）在点P0（x0，y0）连续。

在有界闭区域上连续的函数有这样一些性质①有界性②最大值、最小值③介值。

定义 设函数f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点。如果函数f（x，y）在点P0（x0，y0）不连续，则称P0（x0，y0）为函数f（x，y）的间断点。

4、偏导数的定义

其实就是把一个自变量看成常数再对另一个自变量求导。要注意的就是：对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续，这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数f（P）趋于f（P0），但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f（P）都趋于f（P0）。多元函数对子变量可导与否与函数在某一点是否连续无关。它的几何意义就是：Z在x0，y0处对X的偏导数表示曲面Z= f（x，y）与平行与xoz平面y= y0x交线上过点（x0，y0）的切线斜率。

一般讲求某点处的偏导数是先求偏导函数，然后再求偏导函数在该点处的值。多元函数求偏导问题的实质仍是一元函数的求导问题，故一元函数的求导公式、法则仍可直接应用。求偏导时，关键是要分清对哪个变量求导，把哪个变量暂时当作常量。分段函数在分界点处的偏导数用定义求。

高阶偏导数:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关，同样，二阶以上的高阶混合偏导数在相应高阶偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。

5、全微分的定义 定义 若在点的全增量可以写成，其中A、B与关，、无，则称为 在点

全微分.在点处可微，且称注意，在多元函数中，个偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。即“可微一定可导，可导不一定可微”通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。还有就是对分段函数在分段点处的可微性，应按定义判定。

6、多元复合函数的求导法则

有三种情况，注意全微分形式不变性就行了。

7、隐函数的求导公式

细分的话有三类，就是三个公式，特别注意每个公式等号右边都有个负号。

8、多元函数微分学的几何应用

一个是求空间曲线的切线都和法平面，一个是求曲面的切平面的法线。这里还提到了方向余弦的求法。

9、方向导数与梯度

描述多元函数的在某点处的一般变化率的是梯度，而梯度是一个向量，因此它在某个确定的点处是具有确定的方向的。而在实际应用当中，我们不只是需要知道函数在梯度方向的变化率，也还要求知道其他特定方向的变化率，这种根据特定方向而计算出来的变化率，称为方向导数。

10、多元函数的极值及其求法 定义比较简单。

定理1 设函数z= f（x，y）在点（x0，y0）具有偏导数，且在点（x0，y0）处有极值，则有fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0。

定理2 设函数z= f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，令fxx（x0，y0）=A，fxy（x0，y0）=B，fyy（x0，y0）=C，则f（x，y）在（x0，y0）处是否取得极值的条件如下：

（1）AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；

（2）AC-B2<0时没有极值；

（3）AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，需另讨论。条件极值 拉格朗日

自变量有附加条件的极值称为条件极值。在求解具有等式约束条件的条件极值问题时，一般并不是从约束等式解出一个变量，再代入目标函数，因为从约束等式解出一个变量往往并不简单，反而相当麻烦，因此，我们一般使用所谓的拉格朗日乘数法。

拉格朗日乘数法 要找条件极值，先做拉格朗日函数，其中k为参数，求其对x与y的一阶偏导数后可得由这方程组解出x，y及k，这样得到的（x，y）就是函数f（x，y）在附加条件下的可能极值点。

举例

一个限制条件求极值的题——

1、试求底边平行于椭圆x23y212的长轴的内接等腰三角形面积的最大值。

解：将椭圆化成标准方程，有

x2y21 124如图所示三角顶点为A(0,2)，另外两顶点B(x,y)和C(x,y)，此处x0,y0。

图

于是ABC的面积为

S122y2x(2y)x 限制条件为

x23y2120

令F(2y)x(x23y212)，则由

Fx(2y)2x0Fyx6y0 x23y2120解出

x3,y1

(3,-1)是惟一驻点，也是S最大值点，最大值为 Smax(2y)x(3,1)9

一个多元函数微分学几何应用的题——

2、求曲线:2yxx2z，在点P0(1,1,1)处的切线方程。

解：选x为参数，把写成

xxyx zx2于是，切向量为

1T1，2x 2x在给定点P0(1,1,1)处

1T1，2

2所求切线方程为

多元函数微分学复习 篇4

学员 刘童鞋，四级分数：643

四级备考其实并没有那么难，如果可以和身边小伙伴们结伴互相督促，复习效率会大大提高噢!下面谈谈我的四级备考经验，希望我的经验分享能给师弟师妹一些参考，科学备考，取得理想的成绩。

从高中开始接触网络教学并且沿用至今，在四六级考前我足够的重视，付出了较多精力和时间，加上自己的英语基础不错，从以往的新东方在线课程和配套资料中逐渐积累了比较系统的学习和复习方法，所以取得了比较理想的成绩。

一.早开始,重基础

刚入大学，我就开始了对英语四级的准备。买好了新东方绿皮乱序版词汇书、四级的常考词组必备以及听力、阅读、写作特训系列丛书，并准备了四级真题试卷。在大一前的暑假和学期前半段就对词汇进行了第一轮学习，在寒假期间对四级的必备词组进行了复习，并在第二学习开学后隔两三周，利用每天晨读和周末的时间定期对四级单词、词组进行巩固。

二.认真听课，整理做题方法，做好强化练习

大一一年自己在社团工作上付出了比较多精力，所以只能每天回到宿舍用空闲时间上网学习，我习惯于反复听单项讲解视频，哪里不懂一定不要放过，可以记下时间点方便快进。并且根据老师的讲授做好笔记，提前整理出各个单项(写作，阅读，翻译，听力，口语)的出题特点、做题方法和技巧，同时做好自己接下来的复习规划。

三.我的复习计划

(一)10月份到考前三个月

1、周一到周五

(1)周一到周五的早上一般六点半起床，背一个小时单词(单词永远是重点);上不太重要的课时，把单词书放在桌上，有时间就看几眼，重复单词!不太熟悉的就标记出来。这样每天花在单词上的时间就是早上起床的一个小时和上课前的重复单词。写作和翻译部分在平时也要作好积累，积累一些比较好的写作模板(有助于自己写作逻辑和结构的清晰)，连接词和好词好句，自己反复的记忆(有助于对篇章连贯性和文章)在去上课和下课的路上泛听英语听力(四级真题听力)，培养语感。

(2)专业课提前进行预习，作业争取按照老师的要求和时间限制在白天没课的时候做完，晚自习(7点-9点)用来复习四级阅读和听力，用的就是新东方的阅读和听力的资料。

每次复习都要按照规划进行专项练习，而在练习之前都会把课堂上老师教授的题型设置特征和解题方法和技巧拿出来温习一遍。按照规定时间做完(拿手表进行严格计时)，在做题时也要按照整理出来的解题方法进行，并注意规避易错的，会仔细对答案。阅读部分会把提干中、选项中和对应原文中的不会的词标记并背下来，这些地方的句子也对照中文翻译理解。大阅读部分我都会把文章对照中文翻译重新看一遍，快速阅读就不必了(一来长又难，二来没那么多时间)。听力部分我会在第一遍听完并选好答案对完答案后，再听第二遍，有正确答案的地方停下来反复听，并对照中文翻译，直到听懂了为止。把原文中正确选项的部分中没听到或没听懂的单词句型标记并记住。

(3)下了晚自习后，弄完一些杂事(大学里还蛮多的)，10点到11点用来听新东方在线课程。听的时候会按暂停，做笔记，没听懂的地方会重复的听一遍，对各类题型的出题特征及解题方法进行补充并对自己做题时没有落实好的进行标注提醒，有助于加深对方法和技巧的理解，在下一次做题时更好地落实。每天定好闹钟第二天的晨读，在12点半前就睡觉(学校其实不少同学有熬夜的习惯)。

2、周末

周六白天做专业课的作业，晚上有时会进行班级、社团活动或者在寝室看电影。周日用来复习四级。大概8点起床，上午3个小时，9点-11点20，进行翻译的练习和写作的积累。每周按照正式考试的时间，做四级真题卷，包括作文，严格按照各部分的时间分配，比如快速阅读只能花15分钟，时间一到就不再做了。下午2点到5点用来复习这一周以来背过的单词，没记住的再认真的背记(不要求会拼，但要做到看英文能会中文)。晚自习对上午做卷子的答案。

(二)考前两个月特别是最后一周的复习

四级考试在这么学期第16周周六举行，这一周有不少课已经完成了，而且专业课考试可以突击。所以一周时间重点用来复习四级。早上7点起床，背一个小时四级核心单词，9点-11点20做真题。下午2点开始对真题答案。下面是我对四个版块的详细复习介绍。

1、写作部分，对照着写作的范文把作文重新写一遍，可以看整理的写作笔记(上面有积累的好词好句)，不会的单词也可以查。对比两篇作文的差距，就是自己应该提高的地方(看看自己是否切题，结构语法是否有问题，是否因为长时间没复习无法调用比较复杂的单词词组，是否出现为求辞藻句型复杂而忽视了构造语篇应遵循的规律等)。另外，应该复习不同类型的作文应该怎么写(议论文的解释型、观点对立型，常见的图表类作文等等)，力争在看题后就快速理清楚自己的思路，清楚自己应该怎么谋篇布局。

2、阅读部分，先看题目找出关键词，对应原文中的部分，看懂原文后作答。(快速阅读题干的关键词一般与原文中的一致，仔细阅读则有词性变化，或者同义替代词)快速阅读把提干，选项和正确选项对应的原文内容(根据题干的关键词判断是哪一类题，并根据阅读的方法和细节题，段落大意或篇章理解题，熟词僻义或生词理解题，推断题的解题方法进行阅读、解题)的单词弄懂，句子看懂。仔细阅读和完型部分还应要求把原文看懂，对照中文翻译来看。(完型要求第一句多看几遍，大致理解文章讲的内容和作者情感态度)慢慢的积累，你会发现你每张卷子不会的单词就那么些，而且差不多是同样的。有时候自己在词汇书上 记住了的单词在文章里的意思理解不准确，通过看原文可以深刻的掌握单词在语境中的意思。(重要的是看懂题干对应原文的句子从而会做题，而不奢望像中文那样流利的翻译出来，一来考试过程中没那么多时间，二来也不现实)。

3、听力方面，短对话的要注意听清楚关键词(即一出现该词，就能肯定是什么场景)和说话者的口气(有时候不需要听懂每个单词，只需要能抓住说话者当时的心情及其语气就能确定答案)。至于独白的题，当你一听到有表示因果、比较、时间等关系的词语就要对该句话一起注意了，因为很可能就会在这些地方出题。另外，自己也要注意听力模拟训练和考的心态，在解题前要看题，如果在做题过程中出现没有挺清楚的一定要学会放弃(在改正时就要针对这些地方查看原文并反复听)。

4、翻译的话，上四级语法课就重点要求掌握了虚拟语气，倒装，固定句型等常考语法点，对答案后可以再复习这些点。先标记单词词性，再进行全篇翻译。四级翻译是我自己做得不太好的地方，在练习的同时没有进行一定的总结，也很少看分类的训练，大家可以多看老师的讲解并总结出需要注意的翻译技巧，多进行积累。

5、晚上是查漏补缺时间。我的听力不太好，所以每晚首先花一定时间做听;然后复习作文部分，自己总结好词好的句型，分析不同题目的文章该怎么写，最后写一篇有代表性的文章。余下的时间，用来听新东方的在线课程。

四、在听课和复习中要注意的地方

第一，听课之前要规划好听的计划，不能到快考试了还有很多没听，最好在听之前就先自学各项训练的命题方向、能力考察及做题方法，在听课的过程中做到有的放矢、查缺补漏;第二，不能只听不练，听课比自己训练轻松许多，但更重要的是自己要做好规划、进行大量的配套训练。要花时间和精力自己练习，牢牢的掌握。第三，需要做题，需要总结，需要脚踏实地的背记;第四，在线课程优势明显，但自己需要自控力。不能听着听着就聊QQ玩网游去了;第五，复习和备考要戒骄戒躁，做好规划并持之以恒地去执行，在练习和复习的过程中做到注意力集中同时要强化自己的时间观念;最后，考前一定要进行磨刀，加强套题的练习和错题改正和方法的回顾。

五、重视基础，积累量变才可质变

配合新东方在线的分项特训书籍，网络课及其配套练习给我带来很大帮助。特别是考前的信息通知，提醒我观看点题和冲刺视频带给我很大帮助。此次四级的有效备考也激励我，要在备考六级过程中继续努力。复习和备考，只有积累了一定的量变才能发生质变，大家一定要有耐心，戒骄戒躁，争取在接下来的备考中取得理想的效果。

考研高数 多元函数（最终版） 篇5

多元微分学主要研究多元初等函数。基本工具还是极限。比如，多元函数在定义域上一点M连续的定义为

—— 若在函数f（M）的定义域D内，总有M → M0 时，l i m f（M）= f（M0），就称函数f（M）在点M0连续。

体会一维到高微空间是质变，自然就得从体验极限开始。(多元函数以二元函数为例。)

在数轴上，动点x趋于定点x0时，只有左，右两个连续的变动方向，因而一元函数有简明的极限存在性判断定理 ——

“x → x0时，极限 l i m f（x）存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等。”

（潜台词：学好一元微分学的起点，就是学会分左右讨论极限及相关问题。管它什么左连续，右连续，左导数，导数的左极限，右导数，导数的右极限，„„，概念全都清清楚楚，计算通通滚瓜烂熟。）简单地说，一元函数在每一个极限过程中仅有两个“道路极限”。

在日常生活中，我们感觉大地是一张平面，人们在行动时谈“方位”十分自然。倒是直线显得较为特殊。

二元函数的（有序）自变量组（x，y）与平面成一一对应。讨论二元函数，任意选定中心点M0，动点M可以在它的四周任意一个方位处。我们只能用向量方式（Δx，Δy）来表式相应自变量增量。相对偏离为微距离Δ r =√（（Δx）平方+（Δy）平方）。进而自然地称函数z = f（M）相应的增量Δz为全增量。“全”，就是强调增量可以在任意方位出现。

当动点M → M0时，M可以有无穷多个连续变动方式趋向M0，既可以沿直线道路，也可以沿曲线路径逼近M0，这就大大提高了讨论极限的难度。

与一元函数对比，由两个“道路极限”到无穷多个（还是不可列无穷多）“道路极限”，量变引起质变。

鉴于这个困难，《高等数学》不开展关于多元函数极限的讨论。学习多元微分学，首先要学会利用海涅定理，选择两个道路极限不相等，来判断某些极限不存在。体验多元函数求极限的困难。例1试证明，（x，y）→（0，0）时，极限lim（y ∕(x+y））不存在分析分别取直线道路 y = x，y = 2 x，就得到不相等的“道路极限”1/2与1/3，因而所求极限不存在。

实际上，只要 k ≠ −1，沿直线道路 y = k x，（x，y）→（0，0）时，显然，所算得的道路极限值随k变而变，你可以由此而窥见问题之复杂。

例2试证明极限（x，y）→（0，0）时，极限lim（xy ∕(x+y））不存在分析先取道路y = k x，k ≠ −1，令（x，y）→（0，0）实施观察，所有的道路极限都为0，但是你还不能就此以为所求极限为0，因为（x，y）还可以沿弯曲的道路趋于0

选取弯曲的路径，抛物线 y = −x +（x平方），道路极限为 −1，故所求极限不存在。

实际上，选抛物线道路 y = −x + a（x平方），常数 a ≠ 0，则将得到随a值不同而互不相等的无穷多个道路极限。

（画外音：你是否感觉到大开眼界。）

进一步的讨论中，“方位”成为前提。我们从中心点M0（x0，y0）出发，选定一个方向，就可以计算函数沿这个方向的平均变化率 Δz /Δ r，令 Δ r → 0 求极限，得到沿这个方向的 “瞬时变化率”。这个瞬时变化率称为方向导数。

（画外音：你见过用竹杆探路行进的盲人吗？）

令人难忘的自然是直角坐标系的两个坐标方向。在中心点M0（x0，y0）处，一元函数 z = f（x，y0）的导数称为二元函数 z = f（x，y）在点M0关于x的偏导数。它就是函数沿x轴正向的方向导数。同理有二元函数 z = f（x，y）在点M0关于y的偏导数。它就是函数沿y轴正向的方向导数。（潜台词：偏导数的特点是“偏”。仅仅是函数在一个特殊方向的变化率。）

与一元函数一样，更深入的问题是，在中心点M0邻近，二（多）元函数的全增量“能否微局部线性化”，即，二（多）元函数在M0是否可微（存在全微分）。

定义 —— 若在点M0的适当小的（园）邻域内，函数增量△z恒可以表示为

Δz = A Δx + BΔy + о(Δ r)=“线性主部 + 高阶无穷小о(Δ r)”

则称二元函数 z = f（x，y）在点M0可微（存在全微分）。

（画外音：要检验函数是否可微，先写出о(Δ r)= Δz − A Δx + BΔy，再令Δ r → 0讨论极限，看能否证明，这个尾项的确是较Δr高阶的无穷小。（数学一））

矛盾自然出现了。矛盾集中于“全（微分）”与“偏（导数）”。就算二（多）元函数的偏导数都存在，几个特殊方向的变化率，又怎能确定函数全方位的变化？？仅仅是“偏导数（都）存在”显然不能保证“全微分存在”。这与一元函数“可微与可导等价”是截然不同的。

如果二元函数 z = f（x，y）在点M0可微（存在全微分）。则容易证明两个偏导数都存在，且关于x的偏导数 = A，关于y的偏导数 = B

“偏导数都存在”是可微分的必要条件。

历史上的深入讨论，找到了二（多）元函数在一点可微的一个充分条件是，函数的偏导数都存在且连续。

一维到高微空间是质变。一元微分学最讲究条件。讨论前沿问题时，总是想能否把条件削弱一点来得到同样的结论。而多元微分学只能以假设为前提，要什么条件就得给什么条件。比如，要是二阶偏导数不连续，二阶混合偏导数就可能与求偏导顺序有关。给应用带来巨大障碍。

在讨论多元函数时，条件“（一阶）偏导数存在且连续”是一个基本条件。没有这个条件，仅仅知道偏导数存在是什么事情也做不成的。有了这个条件，则

（1）偏导数存在且连续，则函数的全微分存在。

（2）全微分存在函数必定连续。故偏导数存在且连续，函数必定连续。

*（3）偏导数存在且连续时，全体偏导数按坐标顺序排成“梯度向量”，函数沿任意方向的方向导数，就是“梯度向量”在该方向的投影。且“梯度向量”是方向导数最大的方向。

（潜台词：理解时要落实（站立）在中心点。）

记住主关系链，偏导数连续 —→ 全微分存在 —→ 函数连续

相关选择题就迎刃而解了。

例3设函数 z=f(x, y)有定义式：

f(0, 0)= 0，其它点处f(x, y)= xy∕(x平方+y平方)

试证明，在原点（0，0）函数的两个偏导数都存在但函数却不连续。

分析类似例1，取直线道路 y = k x，即知（x，y）→（0，0）时，函数不存在极限，当然在原点不连续。

但是，f(x，0)= 0，f(0，y)= 0，在原点处，两个偏导数都为0

例4考虑二元函数 f(x, y)的 4 条性质

（1）f(x, y)在点（x0，y0）处连续。（2）f(x, y)的偏导数都在（x0，y0）连续。

（3）f(x, y)在点（x0，y0）处可微。（4）f(x, y)在点（x0，y0）的偏导数都存在。如果用表达式“P → Q”说明可以由性质P推出性质Q，则有（？）

（A）（2）→（3）→（1）（B）（3）→（2）→（1）

（C）（3）→（4）→（1）（D）（3）→（1）→（4）

分析（A）对。这就是主关系链。（3）不能推出（2），（B）错。

（3）可以推出（4），但（4）不能推出（1），（C）错。

多元函数微分学复习 篇6

一注重各类积分知识背景的引入, 增强学生的学习兴趣

高等数学的基本特征是其研究对象的高度抽象性。这一特性也恰恰决定了它的应用非常广泛。事实上, 这些抽象的概念往往来自于社会各个领域的实践, 具有非常强的实际应用背景。因此, 多元函数积分学中每一个积分定义的引入应当让学生感受到它就在身边。比如, 借助于密度函数, 我们通过求平面薄片的质量引入二重积分, 求空间立体的质量引入三重积分, 求曲线形构件的质量引入对弧长的曲线积分, 求曲面形构件的质量引入对面积的曲面积分。变力沿曲线做功可以通过对坐标的曲线积分来计算;电场、磁场在曲面上的通量就是对坐标的曲面积分。在教学过程中, 我们应当首先把要解决的实际问题描述清楚, 然后花较多的精力和时间带领学生学习如何用“微元法”的思想求解上述问题, 引导他们去逐步掌握这一思想的本质:“分割, 近似, 求和, 取极限”。这样细致的讲解是很有必要的, 一方面, 上述这些物理背景都是具体的, 看得见摸得着, 比较浅显易懂, 能够很好地阐释各种抽象的积分概念, 让学生抓住各类积分定义的要点。另一方面, 随着课程的逐步深入, 在多元函数积分学的物理应用方面, 像转动惯量、质心和引力等物理量将会陆续出现。学生可以通过对“微元法”思想的理解, 自己独立完成相关物理量计算公式的推导。当学生亲身感受到多元函数积分学的实用性后, 学习兴趣自然就会得到提高。

二教学过程中强调类比和化归的思想方法, 讲透各类积分的共性和区别

从各种积分计算过程来看, 可以把所有的多元函数积分计算过程统一为三步: (1) 画区域; (2) 刻画; (3) 计算。具体来说, 步骤 (1) 的主要目的是通过作图来确定积分区域, 它是积分计算的出发点。这需要学生具备较好的空间解析几何知识, 特别是各种常见的二次曲面的图形以及各种曲线、曲面和空间立体在坐标平面上的投影。课程的实验教学环节和现实生活中的建筑物 (比如发电厂的冷却塔以及广州电视塔等) 能够让学生对常见二次曲面图形的印象更加深刻, 拉近与曲面图形的距离。步骤 (2) 是指学生需要准确地刻画出积分区域, 比如, 用不等式来刻画出平面有界闭区域、空间有界闭区域以及空间曲面在坐标平面上的投影区域;用参数方程来刻画出分段光滑曲线弧段等。步骤 (3) 是指合理地选择计算公式, 并准确地执行。重积分的计算更多体现在坐标系的选择和积分区域的不等式刻画, 不同坐标系下的计算公式也不尽相同, 合理地选择坐标系往往能够简化计算量;曲线积分的计算主要体现在曲线参数方程的确定, 对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分都是化为定积分, 定积分的上限和下限要分清, 前者下限一定要小于上限, 后者下限和上限分别对应积分弧段的起点和终点, 并且两种曲线积分可以相互转化。曲面积分的计算多体现在曲面方程和投影坐标平面的确定, 对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分都是化为二重积分, 都是将曲面投影得到二重积分的积分区域, 相比前者, 后者需由有向曲面的侧定出二重积分前的符号, 并且两种曲面积分也可以相互转化。

三善于归纳总结, 活用各种定理, 提高解题效率

能够熟练地进行微积分的基本运算是高等数学课程的教学目标之一。因此, 学生多做一些习题是很有必要的。但是, 初学者不能盲目地做题, 而应当花更多的时间去思考各类积分的概念和基本定理, 弄清楚解题方法的理论支撑。要善于总结和发掘解题经验, 灵活运用各类积分的相关性质和相关定理, 提高解题效率。

第一, 重积分的计算要注重坐标系的选择和积分次序的交换。二重积分计算要注意在两种坐标系下面积元素的不同形式;在直角坐标系下化二重积分为二次积分时, 积分次序决定着计算的难易程度;选择极坐标系计算二重积分的特征是:积分区域是与圆相关的平面区域。三重积分的计算要注意在三种坐标系下体积元素的不同形式;直角坐标系和柱面坐标系是计算时优先选择的对象, 计算方法主要分为两类:先一后二 (投影法) 和先二后一 (截面法) ;球坐标系的选择要慎重 (积分区域稍复杂时, 球坐标系下的不等式刻画就比较困难) , 选择球坐标系进行计算的特征是:积分区域为球面和圆锥面等所围成的立体。

第二, 定积分、重积分、对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分都可以利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算。对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分也可同样操作, 但情况相对比较复杂 (除了积分区域的对称性和被积函数的奇偶性外, 还要考虑积分曲线弧、积分曲面的方向) 。

第三, 格林公式和高斯公式分别是计算对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分的优先选择。但是, 使用上述公式时需要验证它们的条件:曲线 (曲面) 的正向和封闭性;被积函数在积分区域上是否具有一阶连续偏导数。不满足封闭性时要求辅助线 (面) 的做法力求简单有效, 便于计算。比如, 格林公式中多选择平行坐标轴的直线段, 而高斯公式中多选取平行坐标平面的平面, 同时被积函数要求在添加辅助线 (面) 后的封闭区域内具有一阶连续偏导数。

第四, 计算对坐标的曲线积分时, 当发现对坐标的曲线积分与积分路径无关的条件成立时, 就可以选择比较简单的路径替代原路径, 但需注意被积函数在新路径与原路径所围积分区域上必须具有一阶连续偏导数。计算对坐标的曲面积分时, 当发现选择高斯公式比较麻烦时, 两类曲面积分之间的转换公式经常可以拿来尝试简化计算。

第五, 多元函数的各类积分在物理上的应用都非常广泛。非均匀物体的质量、转动惯量、质心和引力等问题, 不仅利用重积分可以求解, 而且对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分也能用来计算它们, 这就要求学生在计算时一定要弄清楚非均匀物体对应的积分区域是什么样的几何形体Ω。比如, Ω是平面上的闭区域和空间上的立体闭区域就分别对应二重积分和三重积分;Ω是曲线和曲面就分别对应对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分。遇到变力沿曲线做功问题时就对应对坐标的曲线积分, 遇到流量问题时就对应对坐标的曲面积分。

摘要：多元函数积分学是高等数学的核心内容, 同时也是课堂教学中的难点, 应当注重各类积分概念的引入和理论应用的讲解, 通过对各类积分计算的对比和联系, 形成统一的知识体系。

关键词：高等数学,多元函数,微积分

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第6版·下册) [M].北京:高等教育出版社, 2007:185~229

[2]李忠、周建莹.高等数学 (第2版·下册) [M].北京:北京大学出版社, 2009:72~120