hp自适应

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hp自适应(精选2篇)

hp自适应 篇1

近年来,伪谱方法由于其收敛半径大、对初值不敏感、收敛速度快,被广泛应用于飞行器轨迹优化领域,并取得了一定的研究成果。全局伪谱法(ppseudospectral method,p-PM)对于平滑的轨迹优化问题具有指数级收敛速度,但对于状态变量或控制变量较为震荡的轨迹优化问题,难以控制转换后的NLP问题规模和保证逼近精度[2],而机动再入轨迹通常为震荡形式,正属于此类问题。局部伪谱法(hpseudospectral method,h-PM)通过划分时域并在每一个子时域采用低阶多项式逼近该时域最优轨迹和控制,能够有效控制NLP问题规模和提高逼近精度,但失去了全局快速收敛优势[3]。

本文设计了一种hp自适应Radau伪谱算法(hp-RPM)用于再入轨迹优化。hp-RPM自适应的根据轨迹震荡程度,合理的将整个时域划分为多个较为平滑的子时域,结合了h-PM与p-PM各自的优势,适用于再入飞行器轨迹优化。

1 hp-RPM算法设计

1.1 Radau伪谱法基本原理

轨迹优化问题可描述为Bloza型最优控制问题的一般形式,通过离散化方法可将其转换为一个NLP问题。轨迹优化问题通常以时间作为自变量,若将整个时间区间[t0,tf]离散为K个子区间,则第k个子区间可表示为[tk-1,tk],k=1,…,K,时间节点满足t0<t1<t2<…<tk=tf,在第k个时间子区间中任意时刻t(k)∈[tk-1,tk]可变换为

则将时间区间t(k)∈[tk-1,tk]变换为τ(k)∈[-1,+1],相应状态变量及其微分、控制变量和指标函数可用自变量τ(k)的离散形式描述。

伪谱法的关键在于确定自变量离散点(通常称配点)的位置,根据配点选择的不同又可将伪谱法分为Lobatto伪谱法(LPM)和Gauss伪谱法(GPM)和Radau伪谱法(RPM)。相关研究表明[4,5],Radau伪谱方法(RPM)使用Legendre-Gauss-Radau(LGR)配点,其NLP问题的最优条件和原时间连续问题最优条件的离散形式一致且包含起点(-1),适用于多阶段的轨迹优化问题,因此更适用于采用hp自适应策略的伪谱方法。

在RPM伪谱方法中,维数为N的LGR点为N-1和N阶Legendre多项式和的零点,即PN-1(τ)+PN(τ)=0的根[6,7],其中PN(τ)为N阶Legendre多项式,具体形式如下

通过求解多项式(2)便可确定配点位置,则轨迹优化问题可离散为以下形式。

1.1.1 指标函数

1.1.2 状态方程

1.1.3 过程约束

1.1.4 边界条件约束

式中,Xi(k)、Ui(k)分别为第k个时域子区间中第i个配点处的状态变量和控制变量值;Nk为第k个时域子区间中配点总个数;Φ(·)和g(·)分别为末值型指标和积分型指标函数;f(·)、C(·)和φ(·)分别为状态方程、过程约束和边界条件函数。

wj为第k个子区间第j个配点的LGR正交权重,可由Gauss-Radau积分求取[8],具体形式为

D(ijk)第k个子区间内Nk(Nk+1)维Radau伪谱微分矩阵[9,10]

式(4)中,h(τi)=(1+τi)[PNk(τi)-PNk-1(τi)]。

1.2 hp自适应策略设计

1.2.1 逼近精度评定

在第k个时间子区间内,第s个配点处状态变量一阶微分残差as(k)为

过程约束残差bs(k)为

则该时间区间最大残差em(axk)为

式中,i=1,…,m;m为控制状态变量维数;j=1,…,l;l为控制变量维数。

设置最大容许偏差ε,如果满足

表明第k个时间子区间内配点处状态、控制变量值已满足精度要求,则停止该区间内迭代计算;否则,则需通过细分时间区间(也称网格)或增加插值多项式阶数来提高精度。当然,所有子区间均满足精度要求,则得到可行解。

1.2.2 细分网格或增加配点的判据

细分时间区间(h)或增加插值多项式阶数(p)是通过曲率决定的。定义k个时间子区间的相对曲率r(k)为

式(6)中,km(axk)、k-(k)分别为所有Nk+1个配点的最大曲率和平均曲率。

根据平面几何知识可知,平面曲线X(τ)在第s个配点τs(k)处的曲率为[11]

设置相对曲率阈值rmax,若rk(k)>rmax,说明该段轨迹过于震荡,此时需细分时间区间;反之,说明该段轨迹较平滑,可通过增加插值多项式阶数提高逼近精度。

1.2.3 插值多项式阶数确定

若增加多项式阶数,插值多项式阶数由下式确定

式(8)中,ceil(·)表示向上取整;A为大于0的整数,为一个可调因子。

由式(8)看出,残差越大,多项式阶数取值越大;反之,阶数越小。

1.2.4 网格细分数目及位置确定

若分割时间区间,子区间的个数由以下公式确定

式(9)中,B为大于0的整数,为一个可调因子。

由式(9)看出,残差越大,细分的子区间个数越多;反之,子区间个数越少。

若分割时间区间,新的子区间插值多项式阶数取初始阶数M,M为一自定义常量。

一般而言,区间内某一段轨迹平均曲率越大,说明该段轨迹越震荡,在相同的插值多项式阶数下,应使该区间的时间跨度短才能保证逼近精度。基于此原理,确定区间细分位置。

定义第k个时域区间的曲率密度系数常数c(k),使得

则第k个时域区间内第i(1≤i<nk)个细分网格点应选择在配点τp处,使得

1.3 hp-RPM算法步骤与流程

介绍了hp-RPM算法的基本原理,其具体算法步骤为:

Step1:以当前自变量网格解决NLP问题,k为当前子区间总个数,k为子区间序号,flag为退出标志量,并令k=0,flag=0;

Step2:k=k+1,计算第k个子区间的精度,若emax(k)≤ε,执行Step2;否则,flag=1,执行下一步;

Step3:由式(6)计算rk,如果r(k)≥rmax,将第k个子区间细分为nk个子区间,其中nk由式(9)确定,细分网格点由式(10)确定,使每个子区间内插值多项式阶数为M,k=k+nk-1,K=K+nk-1,执行Step4;否则,提高插值多项式阶数Nk,Nk由式(8)计算得到,令第k个新子区间内的插值多项式阶数为Nk,执行Step4;

Step4:若k<K,执行Step2;否则,若flag=0,退出,若flag=1,执行Step1。

hp-RPM算法流程如图1所示。

选择一种求解器,即可利用hp-RPM进行轨迹优化。选择求解大型NLP问题的Matlab SNOP工具箱求解,SNOP底层算法为序列二次规划算法。

2 再入轨迹优化问题建模

2.1 再入飞行器运动模型

再入飞行器质心运动方程[12]描述如下:

式(11)中,v、Θ、Ψ、r、λ和φ分别为再入飞行器速度、当地速度倾角、当地速度偏角、地心距离、经度和纬度;CD和CL分别为再入飞行器气动阻力系数和升力系数Sref为气动参考面积;ρ为大气密度;ωe为地球自转角速率;gr和gωe分别为地球引力加速度在地心矢径方向和地球自转方向上的投影大小;γc为倾侧角。

2.2 最小加热轨迹优化问题建模

以最小加热轨迹为例,其优化模型如下:

2.2.1 目标函数

式中,为热流密度估算系数[12]。

2.2.2 状态方程

见质心运动方程式(11)。

2.2.3 控制变量

控制变量为攻角α和倾侧角γc,即U=[α,γc]T,其中攻角对轨迹的影响体现在升力系数CL和阻力系数CD的计算过程中。

2.2.4 过程约束

法向过载约束:

式中,D、L分别为气动阻力和升力。

动压约束:qmin<q<qmax,q=0.5ρv2;

最大热流密度约束:

2.2.5 边界条件

1)起点:x(t0)=x0。

2)终点:

式中,x0为状态变量初始值;vf,hf,Θf,ΔΦt,lf-togo为终点速度、高度、当地速度倾角、目标航向角偏差和待飞航程;为要求达到的终点点速度、高度、当地速度倾角最小值、当地速度倾角最大值和待飞航程。

定义目标航向角为飞行器当前位置地面投影点与目标点所在大圆面与飞行器所在子午面之间的二面角,而航向角偏差为当地速度偏角与目标航向角之差。控制目标航向角偏差为零的目的是为了保证飞行器终端飞行速度指向目标。

3)规避区域约束。考虑两种典型约束:带高度限制的椭球和椭圆锥。

椭球:

椭圆锥:

式中,xeb、yeb、zeb分别为椭球坐标系坐标;aeb、heb、beb分别为椭球长半轴、高半轴、短半轴;hebmin、hebmax分别为部分椭球高度下界和上界;xet、yet、zet分别为椭圆锥坐标系坐标;aet、het、bet分别为椭圆锥长半轴、高半轴、短半轴;hetmin、hetmax分别为部分椭圆锥高度下界和上界。在判断约束时需要进行坐标转换,在此不再赘述。

3 仿真结果及分析

3.1 仿真起始条件

速度v0=6 500 m/s,当地速度倾角Θ0=0°,当地速度偏角Ψ0=-90°,地心经度λ0纬度φ0均为0°,地心距离为60 km,目标点经度λm为100°,目标点纬度φm为0°。

3.2 终端约束

v~f=1 825 m/s,h~f=20 km,L~f-togo=30 km,槇Θfmin=-10°,槇Θfmax=10°。

3.3 过程约束

最大法向过载ny1max=2g;最大热流密度最大动压qmax=6×104Pa;设置一个椭圆锥形规避区域中心点位于经度40°,纬度0°,高度0 m,长短半轴均为50 km,高度半轴为70km,高度轴与地心矢径重合并指向天;设置一个椭球形规避区域顶点位于经度30°,纬度0°,高度0 m,长短半轴均为50 km,高65 km,高度轴与地心矢径重合并指向天。

3.4 仿真结果及对比分析

分别采用hp-RPM和p-RPM两种方法,取相同的精度要求:配点精度1×10-6,Matlab求解器SNOP精度要求1×10-6;相同的运行环境:Windows xp系统,双核Pentium(R)D 2.80 GHz CPU,2.0 GB内存,进行轨迹优化。并以优化出的控制变量进行轨迹正向积分解算,计算真实轨迹以检验优化轨迹与真实轨迹的吻合性。

速度、高度、当地速度倾角变化曲线如图2~图4所示,由仿真结果可以看出,两种方法都基本满足了终端条件,但hp-RPM对交班条件的满足性更好,在高度和当地速度倾角曲线中尤为明显。

两种方法优化出的空间规避轨迹如图5所示。

约束满足情况如图6~图8所示。由图6~图8可以看出,hp-RPM优化轨迹与真实轨迹吻合度更高,且对约束的满足性也更好,说明hp-RPM具有更好的状态变量和约束的逼近精度。需要说明的是,图中最后时间点出现的约束不满足情况,是由于LGR配点不包含终点(+1)所致,由于为最后一个配点,并不会影响轨迹整体性能。

两种方法性能对比如表1所示。

由表1中对比结果可以看出,hp-RPM使用了更少的配点,计算速度也更快。这是由于hp-RPM将震荡轨迹划分为多个较为平滑的区间,在每个区间内以低阶插值多项式来逼近最优轨迹,较p-RPM使用高阶全局多项式逼近,在配点个数和计算量上大幅度减少。同时,低阶多项式对平滑轨迹的估计精度显然要高于高阶多项式对非平滑轨迹的估计精度,因此hp-RPM优化轨迹与真实轨迹的平均残差更小;正是由于估计精度的优势,hpRPM在解的最优性上也优于p-RPM。

4 结论

本文设计了hp自适应Radua伪谱算法,并采用SNOP求解器对飞行器再入飞行轨迹进行了优化。仿真结果表明,仿真结果表明hp-RPM方法在逼近精度、算法效率及指标最优性上都较大程度的优于p-RPM方法,更加适用于震荡形式的多约束机动再入轨迹优化。

摘要:全局伪谱方法在解决平滑最优控制问题时具有指数级收敛速度,但对于状态变量震荡的最优控制问题往往难以在短时间内取得满意解。飞行器机动再入轨迹通常为震荡形式,因此设计了hp自适应Radau伪谱算法(hp-RPM)求解再入最优轨迹。hp-RPM以相对曲率作为判据,将震荡轨迹划分为多个平滑子区间,在每个子区间内采用低阶插值多项式逼近最优轨迹,以提高算法效率、估计精度和解的最优性。仿真结果表明,hp-RPM方法在算法效率、估计精度、解的最优性上,较全局Radau伪谱方法均有较大程度的提高。

关键词:hp自适应,Radau伪谱法,再入,轨迹优化

参考文献

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hp自适应 篇2

动态分离器的原理:热一次风从磨碗下部的侧机体进风口进入, 并围绕磨碗毂向上穿过磨碗边缘的叶轮装置, 旋转的叶轮装置使气流均匀分布在磨碗边缘并提高了气流的速度, 并使煤粉和气流混合在一起, 气流携带着煤粉冲击固定在分离器体上的固定折向板。颗粒小且干燥的煤粉仍逗留在气流中并被携带沿着折向板上升至分离器, 大颗粒煤粉则回落至磨碗被进一步碾磨, 分离器体下部的固定折向板使煤粉在碾磨区域进行了初级分离。煤粉和气流上升, 通过分离器体进入旋转的叶片式转子, 在转子外沿处, 气流和煤流相互作用, 转子会阻止较大颗粒通过, 使较大颗粒返回磨碗进一步碾磨, 而细度合格的煤粉则可以通过转子体排出磨煤机。

动态分离器优点:动态分离器利用空气动力学和离心力将细煤粉从粗煤粒中分离出来, 可有效地减少细煤粉在磨煤机内部的循环次数, 在增大磨煤机的给煤量 (原有给煤量10%-15%) 的情况下磨煤机电流、差压没有变化。提高了研磨效率和磨煤机出力, 改善煤粉细度的均匀性, 提高燃料热效率。

动态分离器结构:动态分离器装置主要包括:轴承和驱动装置、变频电机和减速器、V带变频器、转子装置。动态分离器使用一对脂润滑角接触球轴承, 轴承放置在结构件制成的轴承座中, 上、下轴承各有一个热电阻用于监测轴承温度。为了保护轴承, 上、下各有一个油封。变频电机和蜗轮、蜗杆及减速器通过联轴器连在一起, 通过变频器改变频率从而改变转速。

动态分离器改造范围:将原静态分离器改造为动态分离器, 主要改造范围为:拆除原排出阀与多出口装置、分离器顶盖装置、文丘里装置、内锥体及其衬板装置、倒锥体装置, 安装新的排出阀与多出口装置、动态分离器装置、动态分离器顶盖装置、转子体装置、密封风管路。

改造后, 进行的性能试验的结果:

(1) 在碾磨省内煤种 (煤种一, 贫煤, 哈氏可磨系数为111, 干燥无灰基挥发分为19.78%, 其经济煤粉细度为R90=13%) 时, 与改造前相比, 相同煤量及煤粉细度R90<13%时, 磨煤机电流下降0.5~1.06A, 磨煤机差压降低0.13~0.74k Pa。改造前最大出力39t/h, 改造后最大出力44t/h, 动态分离器转速为40~55rpm (见图1) 。

(2) 在碾磨省外煤种 (煤种二, 烟煤, 哈氏可磨系数为70, 干燥无灰基挥发分为29.97%, 其经济煤粉细度为R90=22%) 时, 采用静态分离器的磨煤机最大出力39t/h, 煤粉细度在25.82~39.55%之间, 不能满足正常运行需要;而采用动态分离器的1B磨煤机最大出力44t/h, 动态分离器转速在40~50rpm之间磨煤机电流、差压、煤粉细度均可满足正常运行需要, 煤粉细度在7.96~16.31%之间, 相比磨煤机煤粉细度降低9~30% (见图2) 。

动态分离器改造后, 可根据不同煤质及相应的试验数据及时改变分离器转速来调整煤粉细度, 随时保证达到经济煤粉细度, 避免煤粉过粗造成的不完全燃烧热损失, 提高机组运行的经济性。同时提高磨煤机对不同煤种的适应能力, 能够研磨省外低哈氏可磨系数的煤种, 省外煤低可磨系数煤种比省内煤种标煤单价低约100元/t, 按一期目前负荷率60%计算, 每天耗用标煤量为1800t, 每台磨煤机平均研磨标煤量为450t, 每年按运行300天计算, 每台磨每年可节约成本为:450*100*300=1350万元, 经济效益十分可观。

参考文献

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