北师大勾股定理教案

北师大勾股定理教案

北师大勾股定理教案 篇1

教学目的：

⑴使学生掌握正弦定理 教学重点：正弦定理

教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，——提出课题：正弦定理、余弦定理

二、讲解新课：

正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即abc== =2R（R为△ABC外接圆半径）sinAsinBsinC

ab，sinB=，sinC=1cc 1．直角三角形中：sinA=

即c=abcabc，c=，c=． ∴== sinAsinBsinCsinAsinBsinC

2．斜三角形中

111证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=absinCacsinBbcsinA 22

21abc 两边同除以abc即得：== 2sinAsinBsinC证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴

同理 aaCD2R sinAsinDbc=2R，＝2R sinBsinC证明三：（向量法）

过A作单位向量j垂直于AC由AC+CB=AB



两边同乘以单位向量j 得 j•(AC+CB)=j•AB

则•+•=•



∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=| j|•|AB|cos(90A)

∴asinCcsinA∴

ac

= sinAsinC

sinC

sinB

sinA

sinB

sinC

cbabc

同理，若过C作j垂直于CB得： =∴==

正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况: ⑴若A为锐角时:

无解absinA

一解(直角)absinA



bsinAab二解(一锐, 一钝)

ab一解(锐角)

已知边a,b和A

a

无解

a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinA

ab无解

⑵若A为直角或钝角时:

ab一解(锐角)

三、讲解范例：

例1 已知在ABC中，c10,A45,C30,求a,b和B 解：c10,A45,C30∴B180(AC)10

5accsinA10sin450

2 由 得 a0

sinAsinCsinCsin30

由

bc

得 sinBsinC

csinB10sin1050620b20sin75205652 0

sinC4sin30

例2 在ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C

bccsinB1sin6001解：∵,sinC

sinBsinCb2bc,B600,CB,C为锐角，C300,B900

∴ab2c2

2例3 ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C

accsinA6sin450解： ,sinC

sinAsinCa22

csinAac,C600或1200

csinB6sin750

当C60时，B75,b31，sinCsin600

csinB6sin150

当C120时，B15,b1 0

sinCsin60

b1,B750,C600或b31,B150,C1200

（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若

则sinC=

解：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．

由正弦定理知，1，sinA

3即sinA

．由ab知，AB60，则A30，C180AB180306090，sinCsin90

1四、课堂练习：

asinAABC中，bsinBc

sinC

k,则k为() RRR(R为△ABC外接圆半径)

ABC中，sin2A=sin2B+sin

2C，则△ABC为()

ABCcos2A中，求证：

a2cos2Bb21

1a2b

参考答案：，

bsinBsinAasinBb(sinAa)2(sinBb)2

sin2Aa2sin2B

1cos2Ab

a21cos2Bb2 

cos2Acosa22Bb21a21

b2

五、小结正弦定理，两种应用

六、课后作业： sinAABC中，已知

sinCsin(AB)sin(BC)，求证：a2，b2，c

2证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）

cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B2cos2B＝cos2A＋cos2C

2

1cos2B1cos2A1cos2B2222

∴2sinB＝sin2A＋sin2

C由正弦定理可得2b2

＝a2

＋c2

即a2，b2，c2

七、板书设计（略）

八、课后记：

第二课时：教材P46页例

1、例

2、例3

北师大勾股定理教案 篇2

“平行四边形的判别”是九年义务教育北师大版数学教材八年级上册第四章第二节的内容。是本章重点内容之一, 也是历年中考必考内容, 是在学生掌握了平行线、三角形及简单图形的平移和旋转等平面几何知识, 并且具备初步的观察、操作等活动经验基础上讲授的。它是平行四边形性质的继续, 又是后面学习菱形、矩形、正方形等知识的基础。因此本节课具有承上启下的作用。

二、教学目标

(1) 知识与技能目标。探索并掌握平行四边形的判别条件, 能根据判别条件进行实际应用。

(2) 过程与方法目标。经历平行四边形的判别条件的探索过程, 在有关活动中发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯, 使学生逐步掌握说理的基本方法。

(3) 情感态度与价值观目标。培养学生动手实践能力及丰富的想象力, 发展学生有条理的思考, 体验到探究的甘苦, 更能领会到成功的喜悦。体验数学活动来源于生活更能服务于生活, 提高学生的学习兴趣, 培养学生的创新能力。

三、重点和难点

重点:掌握平行四边形的判别方法。

难点:平行四边形的判别方法的灵活应用。

四、教材处理

(1) 学生状况分析及对策。根据初三学生年龄的特点, 学生年龄比较小, 逻辑思维能力较差, 归纳推理能力较低, 灵活运用知识能力也较差, 针对这种情况我采取因材施教的原则, 通过判别方法的推理, 培养学生合情推理意识, 通过练习强化对基础知识的掌握。

(2) 教学内容的组织与安排。为了完成本节的教学目标, 突出重点、分散难点, 根据教材内容和学生实际情况, 我对本节教材进行了重新组织和安排, 创设更为有效探索活动和更为合理的探索顺序。

五、教学方法

在教学过程中引导学生通过观察、思考、探究、交流获得知识, 形成技能。在教学过程中注意创设思维情境, 坚持以学生为主体, 以教师为主导的方针, 帮助学生学会运用观察、分析、比较、归纳、概括等方法, 得出解决问题的方法, 使传授知识和培养能力融为一体。

六、教学手段

自制课件利用多媒体教学。

七、教学设计

(一) 说设计理念

想改变教学过于注重知识传授的倾向, 强调形成积极主动的学习态度。关注学生的兴趣和经验, 让学生主动参与学习活动, 让数学教学成为数学活动的教学, 为学生敢创新、能创新提供充足的时间和空间。

(二) 说教学过程

1. 创设情境

(1) 让同学们一起来看生活中美丽的图案 (大屏幕演示) 。

设计意图:从实际问题引入新课, 让学生感受到数学来源于生活又应用于生活。

(2) 复习平行四边形的定义和性质。

设计意图:一方面巩固学生旧知, 另一方面使学生知道平行四边形的定义既是性质又是判别方法, 从而引进新课。

2. 讲授新课

(1) 动手实践:让学生每人拿出两根牙签或火柴 (长短不定) , 自制平行四边形框架。

设计意图: (1) 让学生在摆拼平行四边形的过程中, 积累数学活动经验并培养动手实践能力。 (2) 增强学生的创新意识, 培养学生团结协作的精神, 并满足他们的好胜心。 (3) 同时组织组与组之间的评比, 培养竞争意识, 然后由学生代表发言, 让学生的个性得到充分的展示, 从而总结平行四边形的判别方法。

(2) 教师演示钉制平行四边形这一过程。

方法一:将两根木棒AC, BD的中点重叠, 并钉子固定, 则四边形ABCD就是平行四边形。

方法二:将两根同样长的木条AB, CD平行放置, 再用木条AD, BC加固, 得到四边形ABCD就是平行四边形。

设计意图:便于学生发现和探索平行四边形的常用判别条件, 并利用平行四边形的判别条件解决问题。

(1) 实际生活:有一块平行四边形的玻璃片, 李大爷不小心碰碎了一部分, 同学们想想看, 有没有办法把原来的平行四边形重新画出来?

(2) 通过活动, 让学生进一步探索平行四边形的判别方法。

设计意图:让学生熟悉平行四边形的判别方法并学以致用, 确保学生的主体作用得到充分发挥, 突出本节课的重点内容让学生体验到人人学有用的数学, 人人获得必需的数学。

(3) 例题精析。

设计意图:让学生通过观察思考的活动, 解决问题。通过探索式证明法, 开拓学生的思路, 发展学生的思维能力。

(三) 随堂练习

在平行四边形ABCD中, AC, BD相交于点O, 点E, F在对角线AC上, 且OE=OF。

(1) OA与OC, OB与OD是否相等? (2) 四边形BFDE是平行四边形吗?

设计了习题组有层次的教学, 在探索活动中鼓励学生力求寻找多种方法解决问题。

设计意图:为了进一步巩固重点、突出难点。培养学生综合应用能力、解决问题的能力, 使学生知道不同的人在数学上有不同的发展, 体现了数形结合的教学思想方法, 使学生的知识水平得到恰当的巩固和提高。

(四) 小结

(1) 谈谈你今天的收获;

(2) 平行四边形判别的条件。

(五) 布置作业

(1) 课本P104习题1, 2, 3; (2) 《资源与评价》P70。

设计意图:进一步巩固重点、突破难点。培养学生独立完成作业的习惯。

八、评价分析

本节课教学过程通过问题设置, 引发学生学习的兴趣, 引导学生主动探索, 通过对平行四边形判别方法的讨论发现新知, 归纳总结得出结论。通过强化练习, 巩固新知, 通过小结归纳总结新知。

本节内容逻辑性较强, 对学生的逻辑思维能力要求较高, 学生在说理上存在一定困难是正常的。但在问题讨论、引导发现、巩固训练的过程中, 师生的信息交流畅通, 反馈评价及时, 学生与学生积极交流讨论思维活跃, 教学活动始终处于期盼控制中。

九、教后要进行教学反思, 使自己不断成长与进步。我说课结束, 谢谢各位评委!

北师大勾股定理教案 篇3

一、单选题

1.如图，正方形ABCD的边长为4，M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）．

A、3B、4C、5D、2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AD＝CD＝4，AB=1，F为AD的中点，则F到BC的距离是（）．

A、1B、2C、4D、8 3.一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为（）

A、60B、30C、24D、12 4.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（）

A、3B、4C、5D、6 5.△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（）A、如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90°B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2C、如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90°D、如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC 6.下列结沦中，错误的有（）①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；

②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则∠A=90°；

③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形； ④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=4xy ． A、0个B、1个C、2个D、3个

7.△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（）A、如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90°B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2 C、如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90°D、如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC

二、填空题

8.若a,b,c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论： ①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以，的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以, , 的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为．

9.如图，正方形ABCD，AC、BD交于点O，点E、F分别在AB、BC上，且∠EOF=90°，则下

222列结论①AE=BF，②OE=OF，③BE+BF=AD，④AE+CF=2OE中正确的有（只写序号）．

三、综合题

10.根据直角三角形的判定的知识解决下列问题(1).如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；

(2).如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明．

11.请完成下列题目：(1).如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°.(2).如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明

12.如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．(1).出发2秒后，求△ABP的周长．

(2).问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？

(3).另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？ 13.完成题目：(1).如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2).如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；

(3).运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．

14.如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

(1).如图②，i）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，线段BD与线段CF的数量关系是 ；直线BD与直线CF的位置关系是 ． ii）请利用图②证明上述结论．

(2).如图③，当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，延长DB交CF于点H，若AB= 时，求线段FC的长．，AD=

3参考答案 C

2、B3、C4、D

北师大勾股定理教案 篇4

一、知识点

1.掌握平行线等分线段定理及其推论.2.会利用等分点作平行线，转化成与比例相关的问题.二、例题分析

第一阶梯

[例1]已知：在△ABC中，D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F.求证：BF=CF.提示：

（1）由已知条件可得几个中点？有几条平行线？

（2）平行线等分线段定理及推论是如何叙述的？

（3）此题有几种方法证明？请比较一下其方法之间的联系？

参考答案：

证明：在△ABC中，∵D是AC的中点，DE∥BC.∴E是AB的中点.（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边）.又∵EF∥AC，交BC于F.∴F是BC的中点，即BF=FC.说明：

（1）在三角形中，给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论2，可得出平行线与另一边的交点即是中点.（2）此题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但麻烦.[例2]求证在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等.已知：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB边的中点，连结ED、EC.求证：ED=EC.提示：

（1）对一个命题进行证明，首先要分清什么？再根据题意如何？

（2）在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这点作什么样的辅助线即可得到另一腰的中点.（3）请总结一下利用平行线等分线段定理及推论时所必备的条件和所得的结论分别是什么？

参考答案：

证明：过E点作EF∥BC交DC于F.∵在梯形ABCD中，AD∥BC.∴AD∥EF∥BC.∵E是AB的中点.∴F是DC的中点（经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰）.∵∠ADC=90°

∴∠DFE=90° ∴EF⊥DC于F 又F是DC中点

∴EF是DC的垂直平分线

∴ED=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）.说明：

（1）命题证明要正确的理解题意，按题意画出图形.再根据图形，写出已知和求证.（2）此题作EF与DC垂直，证EF∥BC也可以.第二阶梯

[例1]在□ABCD中，E和F分别是BC和AD边的中点，BF和DE分别交AC于P、Q两点.求证：AP=PQ=QC.提示：

（1）图形中可以得到几条平行线？与结论有关的平行线分别在哪几个三角形中？被平行线所截线段的位置有何特殊关系？

（2）利用平行线和中点，可以得到三角形哪条边的中点？

（3）平行四边形在此题中的作用是什么？如果把平行四边形改成梯形，结论成立吗？若改成其它的特殊四边形呢？

参考答案：

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD边上的中点.∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形定平行四边形）

∴在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ.∴P是AQ的中点 ∴AP=PQ.在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP.∴Q是CP的中点.∴CQ=PQ.∴AP=PQ=QC.说明：

（1）此题两次利用了E、F是中点的条件.（2）在利用平行线等分线段定理或推论时要把平行和中点两个条件摆齐.[例2]已知：△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.求证：AF=BF.提示：

（1）E点是DC边的中点吗？图形中E是什么点？直观上，你觉得图形 完善吗？

（2）如何添加辅助线，使EF与某三角形的一边平行且E是其中一边的 中点？

（3）在三角形中，一般的有角平分线的条件，就可以构选什么图形？ 参考答案：

证明：延长AE交BC于M.∵CD是∠ACB的平分线，AE⊥CE于E

∴在△AEC与△MEC中

∴△AEC≌△MEC

∴AE=EM

∴E是AM的中点，又在△ABM中FE∥BF.∴点F是AB边的中点 ∴AF=BF.说明：

（1）一般情况下，几何图形应具有对称的内在美，当感觉上图形有些缺点时，就要添加适当的辅助线，使其完善此题中，AE⊥CE于E，恰在三角形内部，而Rt△AEC又不好用.所以延长AE与BC相交就势在必行了.（2）在三角形中，若有角平分线可构造全等三角形，有一边上的中点，过这点可作平行线.（3）△AEC与△MEC只能证全等后才能得到AE=EM，在此没有定理可用.第三阶梯

[例1]已知：如图以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作□ACED，DC的延长线交BE于F.求证：EF=BF.提示：

（1）梯形的上下两底具有什么性质？平行四边形的对角线有什么性质？

（2）如何添加辅助线，再结合条件平行四边形，得到某条线段的中点呢

（3）此题有几种构造三角形中点的方法？构造梯形可以吗？请试一试.参考答案：

证明：连结AE交DC于O ∵四边形ACED是平行四边形

∴O是AE的中点（平行四边形对角线互相平分）.∵梯形ABCD

∴DC∥AB

在△EAB中，OF∥AB 又O是AE的中点.∴F是EB的中点 ∴EF=BF.说明：

（1）证题时，当一个条件有几个结论时要选择与其有关联的结论.（2）此题可延长EC，在梯形ABCD内构造平行四边形或以AB、BE、AD的延长线为边构造梯形也可以得证.[例2]梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B=60°，AB=BC，点.求证：△ECD为等边三角形.提示：

（1）由条件可知，CE是哪个特殊三角形的什么线么？∠2的度数是多少？

（2）在梯形ABCD中，有AB边的中点E，如何添加辅线后，得到ED=EC？为什么？

E为AB的中

段？为什

（3）此题不用平行线等分线段定理，还有别的方法吗？试一试.参考答案：

证明：连结AC，过点E作EF∥AD交DE于F.∵梯形ABCD ∴AD∥BC ∴AD∥EF∥BC.又∵E是AB的中点，∴F是DC的中点

（经过梯形一腰的中点与底平行的直线平分另一腰）

∵DC⊥BC ∴EF⊥DC

∴ED=EC（线段垂直平分线上的点和线段两端点的距离相等）

∴△EDC为等腰三角形.∵AB=BC ∠B=60° ∴△ABC是等边三角形

∴∠ACB=60° 又E是AB边中点 ∴CE平分∠ACB

∴∠1=∠2=30° ∴∠DEF=30°

∴∠DEC=60° 又ED=EC

∴△DEC为等边三角形.说明：

人教版勾股定理教案 篇5

二是教师要引导学生学习科学家敏锐的观察力和勤于思考的作风，不断提高自己的数学素养，适时对大家进行思想教育。

通过本节课的教学，让我更深刻地认识到：

1.新课改理念只有全面渗透到教育教学工作中，与平时工作紧密结合，才能够促进学生的全面发展;

2.教师要充分利用课堂内容为整体课程目标服务，不要仅限于本节课的知识目标与要求，就知识“教”知识，而要通过知识的学习获得学习这些知识的方法，同时，还要充分利用课堂对学生进行情感态度价值观的教育，真正让教材成为教育学生的素材，而不是学科教学的全部;

勾股定理的逆定理教案 篇6

1.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.

2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.

二、重点、难点

1.重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.

2.难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.

3.难点的突破方法：

三、课堂引入

创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法.

四、例习题分析

例1(P83例2)

分析：⑴了解方位角，及方位名词;

⑵依题意画出图形;

⑶依题意可得PR=12×1。5=18，PQ=16×1。5=24，QR=30;

⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°;

⑸∠PRS=∠QPR―∠QPS=45°.

小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识.

例2(补充)一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状.

分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长;

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13;

⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形.

解略.

勾股定理教案完整版[本站推荐] 篇7

一、指导思想与教学理念：

以学生为主体的讨论探索法

二、教学对象分析：

八年级学生好奇心强，学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，三、教材分析 ：

勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，它将数与形密切地联系起来，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，是后续学习解直角三角形的基础，是三角形知识的深化。

四、教学方法：

讲授法、讨论法

五、教学目标：

（1）知识与技能：了解勾股定理的产生背景，体验勾股定理的探索过程，掌握验证勾股定理的方法；了解勾股定理的内容；能利用已知两边求直角三角形另一边的长；

（2）过程与方法：在勾股定理的探索过程中，培养合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想；

（3）情感与态度：在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，培养合作意识和探索精神。

六、教学环境：

普通教室

七、教学用具：

黑板、粉笔、自制的方格纸、画笔

八、教学重、难点：

重点：探索和证明勾股定理 难点：用拼图方法证明勾股定理

九、教学过程：

一、创设情境，导入新课

新人教版八年级下册勾股定理教案 篇8

01、在直角△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+CA2=.

02、一个三角形的三个内角的比为1：2：3，它的边为4cm，则最小边为cm.

03、一个等腰三角形的两边为4cm，9cm，则它的周长为cm.

04、一块正方形土地的面积为800m2，则它的对角线长为m.

05、△ABC的三边长分别是15、36、39，这个△ABC是三角形.

06、一个三角形的三边的比为5：12：13，那么这个三角形是三角形.

07、三边之比为3：4：5的三角形的面积为24cm2，则它的周长为cm.

08、等腰三角形的腰长为10cm，底边长为12cm，则其底边上的高为cm.

09、△ABC中∠C=900，∠B=300，b=2cm，则c=cm.

10、如图，AB=AC=10cm，AD⊥BC，∠B=300，则BD2=.

二、选择题(每题4分，共20分)：

11、是勾股数的是.

A4，5，6B5，7，12C12，13，15D21，28，35

12、在长为3，4，5，12，13的线段中任意取三条可构成个直角三角形.

A0B1C2D3

13、两条直角边为6cm，8cm的直角三角形的斜边上的高为cm.

A1.2B2.4C3.6D4.8

14、一个直角三角形的斜边比一条直角边多2cm，另一条直角边为6cm，则斜边的长为cm.

A、4，B、8C、10D、12

15、如图，AB=AC=10cm，CD⊥AB，∠B=150，则CD=cm.

A、2.5B、5C、10D、20

三、解答题(共50分)：

16、一块长方形土地ABCD的长为28m，宽为21m，小明站在长方形的一个顶点A上，他要走到对面的另

一个顶点C上拣一只羽毛球，他至少要走多少米?(8分)

17、在正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现在要向顶点B处爬行，已知正方体的棱长为3cm，BC=1cm，

则爬行的最短距离是多少?(8分)

18、有一块四边形草坪，∠B=∠D=900，AB=24m，BC=7m，CD=15m，求草坪面积.(8分)

19、小明想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆顶上的绳子BD垂到地面还多CD=1米，当他把绳子的

下端D拉开5米到后，发现下端D刚好接触地面A.你能帮他把旗杆的高度求出来吗?(10分)

20、圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食的最短路程是多少?(π≈3)(8分)

21、小琳家的楼梯有若干级梯子。她测得楼梯的水平宽度AC=4米，楼梯的斜面长度AB=5米，现在

她家要在楼梯面上铺设红地毯。若准备购买的地毯的单价为20元/米，则她家至少应准备多少钱?

(10分)

北师大勾股定理教案 篇9

蒙城中学：

教学内容：

义务教育课程标准教科书《数学》八年级下册（沪科版）教材52-55页。

教学任务分析：

教学目标

知识技能：能说出勾股理的内容，并能用勾股定理解决简单实际问题。

数学思考：在勾股定理的探索过程中，发展学生合情推理能力，体会数形结合的思想。

解决问题：

1、通过剪图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。

2、在活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探索的结果。

情感态度：

1、通过对勾股定理的历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。

2、培养学生倾听、感悟的欣赏意识，体验解决问题的方法的多样性，培养探索的自信及数学的应用意识。

重点：勾股定理的证明和初步应用。

难点：利用数形结合的方法验证勾股定理。

学情分析：

之前学生学习直角三角形的有关性质及正方形面积算法，已有了相当丰富的生活经验和知识储备，具备了一定的独立思考能力和探索能力，而且他们思维活跃，乐于展示，勇于创新。八年级学生以感性认识为主，并向理性认识过渡，所以我设计了观察、探究、操作、计算等多种数学活动。此外，学生缺乏严谨的逻辑推理能力及知识的综合应用能力，教学中要引起足够重视。

教法、学法：

主要采用探索发现式教学，由浅入深、由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用操作+思考的方式进行探索，在自主探索、合作交流中经历数学知识的形成与应用过程。

教学准备：

教具：多媒体课件

学具：网格纸、连体正方形纸片

教学过程设计：

一、问题情境导入

以2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽引入，这个图案是公元

世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．

赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形

（黄色）．赵爽就是构造此图来证明勾股定理的。

同学们，你想知道赵爽是如何利用此图来证明勾股定理的吗？你想认识和学习勾股定理吗？那么，我们就从赵爽弦图开始来学习勾股定理。

二、享受探究乐趣

1、观察：等腰直角三角形三边关系。

毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系。

（1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？

（2）你能找出上图中正方形A、B、C面积之间的关系吗？

正方形A、B、C的面积之间数量关系。

（3）图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？

等腰直角三角形的三边满足“两直角边的平方和等于斜边的平方”。

2、探究：一般的直角三角形三边关系。

（1）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？

如图，每个小方格的面积为1，以格点为顶点，有两个直角边分别是2、3和3、4的直角三角形。仿照上一活动，我们以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形。

（2）想一想，怎样利用小方格计算正方形P、Q、R面积？

预设：二种计算方法，“割”（图1）、“补”（图2）。

（3）正方形P、Q、R面积之间的关系是什么？

P的面积

（单位面积）

Q的面积

（单位面积）

R的面积

（单位面积）

图1

图2

P、Q、R面积关系

直角三角形

三边关系

3、猜想；命题。

直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？

师生共同讨论、交流，逐步完善，共同归纳。

命题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边长的平方。

4、利用赵爽弦图证明猜想。

（1）观察赵爽弦图、思考：

如何利用此图的面积表示式证明命题？

（2）怎样根据剪图活动的结果证明勾股定理呢？

四个直角三角形的面积+中间小正方形的面积=大正方形的面积。化简后即为a2+b2=c2，从而证明了结论。

5、得出结论：勾股定理。

（1）文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC2+BC2=AB2（或a2+b2=c2）

三、乘坐智慧快车。

1、判断题

A、在三角形ABC中，a、b、c分别为三边，则a2+b2=c2

B、在直角三角形ABC中，a、b、c分别为三边，则a2+b2=c22、如图，为得到池塘两岸A点和B点间的距离，观测者在C点设桩，使△ABC为直角三角形，并测得AC为100米，BC为80米.求A、B两点间的距离是多少？

3、如图：一块长约80步、宽约60步的长方形草坪，被不自觉的学生沿图中的虚线踏出了一条“捷径”，类似的现象也时有发生。

请问同学们：

（1）走“捷径”的原因是什么？为什么？

（2）“捷径”比正路（沿长方形的边长）近_______步

4、求下列直角三角形中未知边的长：

比一比看看谁算得快！

四、分享你我收获。

说说心里话：

1、这节课你学到了哪些知识？

2、你还有疑惑吗？

六、开拓数学天地。

1、作业：教材第57页习题18.1第1、2、3题。

2、课外探索：

《正弦定理》教案 篇10

一、教学目标分析

1、知识与技能：通过对锐角三角形中边与角的关系的探索，发现正弦定理；掌握正弦定理的内容及其证明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解决简单的实际问题。

2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合以前学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理，使学生体会完全归纳法在定理证明中的应用；让学生在应用定理解决问题的过程中更深入的理解定理及其作用。

3、情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，发现并证明正弦定理。从发现与证明的过程中体验数学的探索性与创造性，让学生体验成功的喜悦，激发学生的好奇心与求知欲。培养学生处理解三角形问题的运算能力和探索数学规律的推理能力，并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。

二、教学重点、难点分析

重点：通过对锐角三角形边与角关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。

难点：①正弦定理的发现与证明过程；②已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。

三、教法与学法分析

本节课是教材第一章《解三角形》的第一节，所需主要基础知识有直角三角形的边角关系，三角函数相关知识。在教法上，根据教材的内容和编排的特点，为更有效的突出重点，突破难点，教学中采用探究式课堂教学模式，首先从学生熟悉的锐角三角形情形入手，设计恰当的问题情境，将新知识与学生已有的知识建立起密切的联系，通过学生自己的亲身体验，使学生经历正弦定理的发现过程，激发学生的求知欲，调动学生主动参与的积极性，引导学生尝试运用新知识解决新问题，即在教学过程中，让学生的思维由问题开始，通过猜想的得出、猜想的探究、定理的推导等环节逐步得到深化。教学过程中鼓励学生合作交流、动手实践，通过对定理的推导、解读、应用，引导学生主动思考、总结、归纳解答过程中的内在规律，形成一般结论。在学法上，采用个人探究、教师讲解，学生讨论相结合的方法，让学生在问题情境中学习，自觉运用观察、类比、归纳等思想方法，体验数学知识的内在联系，重视学生自主探究，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度和严谨求真的学习习惯。

四、学情分析

对于高一的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。同时，由于学生目前还没有学习习近平面向量，因此，对于正弦定理的证明方法——向量法，本节课没有涉及到。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。

五、教学工具

多媒体课件

六、教学过程 创设情境，导入新课

兴趣是最好的老师。如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半。上课一开始，我先提出问题：

工人师傅的一个三角形模型坏了，只剩下如图所示的部分，AB的长为1m，但他不知道AC和BC的长

是多少而无法去截料，你能告诉师傅这两边的长度吗？ 教师：请大家思考，看看能否用过去所学过的知识解决

这个问题？（约2分钟思考后学生代表发言）学生活动一:

（教师提示）把这个实际问题抽象为数学模型——那就是“已知三角形中的两角及夹边，求另外两边的长”，本题是通过三角形中已知的边和角来求未知的边和角的这个过程，我们把它习惯上叫解三角形，要求边的长度，过去的做法就是把未知的边必须要放在直角三角形中，利用勾股定理或三角函数进行求解，即本题的思路是：“把一般三角形转化为直角三角形”，也就是要“作高”。

学生：如图，过点A作BC边上的高,垂直记作D

然后,首先利用题目中的已知数据求出角C的大小,接着把题目中的相关数据和角C的值代入上述等式,即可求出b,即AC的值,然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函数知识可分别求出CD和BD的长度，把所求出的CD和BD的长度相加即可求出BC的长度。教师：这位同学的想法和思路非常好，简直是一位天才

（同时再一次回顾该同学具体的做法）

教师：能否像求AC的方法一样对BC进行求解呢？ 学生：可以

教师：那么具体应该怎么做呢？

学生：过点B向AC作高，垂直记作E，如图：

接下来，只需要将相关的数据代入即可求出BC的长度 教师：总结学生的做法

通过作两条高线后，即可把AC、BC的长度用已知的边和角表示出来

接下来，只需要将题目中的相关数据代入，本题便迎刃而解。定理的发现：

oo教师：如果把本题目中的有关数据变一下，其中A＝50，B＝80大家又该怎么做

呢？

学生1：同样的做法（仍得作高）

学生2：只需将已知数据代入上述等式即可求出两边的长度 教师：还需要再次作高吗？ 学生：不用

教师：对于任意的锐角三角形中的“已知两角及其夹边，求其他两边的长”的问

题是否都可以用上述两个等式进行解决呢？ 学生：可以

教师：既然这两个等式适合于任意的锐角三角形，那么我们只需要记住这两个

等式，以后若是再遇见锐角三角形中的这种问题，直接应用这两个等式 并进行代入求值即可。

教师：大家看看，这两个等式的形式是否容易记忆呢？ 学生：不容易

教师：能否美化这个形式呢？

学生：美化之后可以得到：

（定理）

教师：锐角三角形中的这个结论，到底表达的是什么意思呢？ 学生：在锐角三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等

教师：那么锐角三角形中的这个等式能否推广到任意三角形中呢？那么接下来就

让我们分别来验证一下，看看这个等式在直角三角形和钝角三角形中是否 成立。定理的探索：

教师：大家知道，在直角三角形ABC中：若 则：

所以：

故：

即： 在直角三角形中也成立

教师：那么这个等式在钝角三角形中是否成立，我们又该如何验证呢？请大家思考。

学生活动二：验证

教师（提示）：要出现sinA、sinB的值

必须把A、B放在直角三角形中

即就是要作高（可利用诱导公式将

在钝角三角形中是否成立

转化为）

学生：学生可分小组进行完成，最终可由各小组组长

汇报本小组的思路和做法。（结论成立）

教师：我们在锐角三角形中发现有这样一个等式成立，接下来，用类比的方法对

它分别在直角三角形和钝角三角形中进行验证，结果发现，这个等式对于

任意的直角三角形和任意的钝角三角形都成立，那么我们此时能否说：“这

个等式对于任意的三角形都成立”呢？ 学生：可以

教师：这就是我们这节课要学习的《正弦定理》（引出课题）定理的证明

教师：展示正弦定理的证明过程

证明：（1）当三角形是锐角三角形时，过点A作BC边

上的高线，垂直记作D，过点B向AC作高，垂直记作E，如图：

同理可得：

所以易得

（2）当三角形是直角三角形时；

在直角三角形ABC中：若 因为：

所以：

故：

即：

（3）当三角形是钝角三角形时（角C为钝角）

过点A作BC边上的高线，垂直记作D

由三角形ABC的面积可得 即：

故：

所以，对于任意的三角形都有

教师：这就是本节课我们学习的正弦定理（给出定理的内容）

（解释定理的结构特征）

思考：正弦定理可以解决哪类问题呢？ 学生：在一个等式中可以做到“知三求一” 定理的应用

教师：接下来，让我们来看看定理的应用（回到刚开始的那个实际问题，用正弦

定理解决）（板书步骤）

成立。

随堂训练

学生：独立完成后汇报结果或快速抢答

教师：上述几道题目只是初步的展现了正弦定理的应用，其实正弦定理的应用相

当广泛，那么它到底可以解决什么问题呢，这里我送大家四句话：“近测

高塔远看山，量天度海只等闲；古有九章勾股法，今看三角正余弦.”

以这四句话把正弦定理的广泛应用推向高潮）

课堂小结：

1、知识方面：正弦定理：

2、其他方面：

过程与方法：发现

推广

猜想

验证

证明

（这是一种常用的科学研究问题的思路与方法，希望同学们在今

后的学习中一定要注意这样的一个过程）

数学思想：转化与化归、分类讨论、从特殊到一般

作业布置： ①书面作业：P52

②查找并阅读“正弦定理”的其他证明方法（比如“面积法”、“向量法”等）

③思考、探究：若将随堂训练中的已知条件改为以下几种情况，结果如何？

板书设计：

1、定理：

2、探索：

3、证明：

4、应用：