《相似三角形的应用》课时教学设计

《相似三角形的应用》课时教学设计（精选18篇）

《相似三角形的应用》课时教学设计 篇1

[教学目标] 1．了解平行投影、中心投影、盲区的意义．

2．知道在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例．

3．通过测量活动，综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，增强用数学的意识，加深对判定三角形相似的条件和：：：角形相似的性质的理解．

[教学过程(第一课时)] 1．情境创设

(1)当人们在阳光下行走时，会出现——个怎样的现象?(学生思考片刻，回答是影子)光线在直线传播过程中，遇到不透明的物体，在这个物体的后面光线不能到达的区域便产生影．

你能举出生活中的例子吗? 2．探索活动

活动一试验探究，得出结论． 活动分为3个层次． 第—层次：试验探究．

引导学生根据已有的生活经验，感悟到：在阳光下，在同一时刻，物体的高度与物体的影长存在某种关系：物体的高度越高，物体的影长就越长，并在此基础上组织探究试验．

对试验探究活动的教学要注意两点：

(1)各小组通过观察、测量、计算出的结果存在着一定的误差，在引导学生探究结论时，一般应取各小组测量结果的平均值；

(2)教学中，各小组的测量是在同一时刻进行的，其他时刻情况如何?学生可能存在疑问，对此可在教学中向学生展示教师事先在其他几个不同时刻测量出的结果，再次引导学生探究．

第二层次：了解平行投影．

第三层次：引导学生归纳出：在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例．

活动二组织尝试活动．

图10—27是—幅立体图形，学生根据“太阳光线可以看成平行光线”的表述画出与图中虚线平行的线段—般不会感到困难．教学中，要引导学生通过观察、分析，感悟到画乙、丙两根木杆的影长(用线段表示)时，它们应与甲木杆在阳光下的影长平行．

图中的太阳光线、木杆及其影子构成了3个直角三角形，但它们不在同一平面内．如果将这3个直角三角形平移到同一平面内，可以得到如图的图形：

引导学生思考：如何用三角形相似的知识说明在乎行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例．

活动三应用举例．

课本列举古埃及测量金字塔的问题作为相应知识的应用．该问题对学生来说有一定的难度，教学时建议做如下铺垫：

(1)铺垫练习：如，在阳光下，身高1.68m的小强在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得旗杆在地面上的影长为18m．求旗杆的高度(精确到0.1m)．

(2)作变式：如果要求测量的是一个等腰三角形的高，你将如何计算?(3)较充分地展开图10—28中立体图形转化为平面图形的过程． 3．小结

(1)了解平行投影的含义；

(2)通过观察、测量等操作活动，探究在平行光线的照射下，物体的物高与影长的关系，并解决有关的实际问题．

[教学过程设计建议(第二课时)] 1．情境创设

夜晚，当人们在路灯下行走时，你是否发现一个有趣的现象：如图10—29，影子越变越长了?你能说明理由吗? 2．探索活动

(1)组织操作、实验活动，引导学生观察．

设计操作、实验活动的目的是：通过操作、实验活动，引导学生通过观察，感悟到与平行光线的照射不同，在点光源的照射下，不同物体的物高与影长不成比例．

(2)了解中心投影． 3．例题教学

(1)例1的综合性较强，为较好地发挥学生的主体作用，建议教学中适当补充1～2个基础练习，做为铺垫．

(2)在例1的解答中，“由AB∥CD，得△ABF∽△CDF”、“由AB∥EF，得△ABG∽△EFG”，实际上用到了判定三角形相似的条件：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．由于这一判定三角形相似的条件在实际的应用中用途较广，教学时应结合实例向学生说明．

(3)在本章之前，要说明线段或角相等，往往是说明它们分别与第三个量相等，通过“等量代换”得到所需的结沦．在说明线段成比例时，只要将“两线段的比”看成是一个整体，同样可以通过第三个比代换.如，在例1的解答中，由AB3BDAB7BD3BD7BDAB“”，“”，得“”就是通过第三个比

1.61.631.6434来证明结论的．

4．小结

(1)了解中心投影的意义；

(2)通过操作、观察等数学活动，探究中心投影与平行投影的区别，并运用中心投影的相关知识解决一些实际问题．

[教学过程(第三课时)] 1．情境创设

(1)同学们玩过“捉迷藏”的游戏吗?你认为躲藏者藏在何处，才不容易被寻找者发现?(2)如图1，小强站在3楼窗口能看到楼下的小丽吗?为什么? 你认为小丽站在什么位置时，小强才能看到她?(3)如图2，小强站在一座木板墙前，小丽在墙后活动．你认为小丽应在什么区域内活动，才能不被小强看见?请在图2的俯视图图3中画出小丽的活动范围；

(4)你能举出生活中类似的例子吗? 2．例题教学

设置例2的目的是：(1)在实际运用中，进一步巩固判定三角形相似的条件及相似三角形的性质等知识；

(2)通过具体实例，使学生了解视点、视线和盲区的概念．

在例2的解答中，“点O、C、A恰好在一条直线上，点O、D、B也恰好在一条直线上”的结论，是由实际问题：将一枚1元的硬币，放在眼睛与月球之间，调整硬币与眼睛间的距离，直到硬币刚好将月球遮住，抽象为数学结沦得出的．

(需要说明的是：本例为了得到正确的结论，题设中“硬币与眼睛的距离为2.72m”的条件不尽合理．)解答中，由△OCD∽△OAB，OF、OE分别是△OCD、△OAB对应边上的高，得OFCD到的根据是相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比． OEAB3．探索活动

同例2一样，课本设置“尝试”活动的目的仍然是：通过实际应用进一步巩固判定三角形相似的条件及相似三角形的性质；通过具体实例，使学生进一步认识视点、视线和盲区．

本题的难度不大，关键是引导学生读懂题意，能将实际问题抽象为数学问题，并引导学生理解：问题“当小强与树AB的距离小于多少时，就不能看到树CD的树顶D”的实质就是求图中线段FG的长．

4．小结

(1)通过具体实例，认识视点、视线和盲区；

《相似三角形的应用》课时教学设计 篇2

想象是人一种心理活动.它是人们在外在对象和事物的刺激下, 在头脑中对原有的记忆表象进行加工改造, 从而形成新形象的精神活动过程.现在的中学生大都思想活跃, 富于想象, 思维敏捷, 教师在教学中如能遵循他们的认知规律, 巧设问、善提问, 诱发想象, 激活思维、启迪智慧, 不少问题都可以在学生的合作探究中解决.这样不但能让学生走进教材, 且能让学生走出教材, 更能点燃他们思维的火花.

二、课例片断

下面就“相似三角形应用”一课浅谈想象在数学教学中对思维培养的作用.

这节课由“埃及胡夫金字塔的高度的测量”引入, 在平行光线的照射下, 不同物体的物高与影长成比例.以下是其中的教学片断.

师:同学们, 想象一下, 在现实生活中, 我们测量较高建筑物时还会遇到哪些困难?

生:物体影子无法测量.

师:对, 现实生活中, 到处高楼耸立, 物体影子无法全部撒向地面, 经常落在建筑物上, 下面就是具有这种情况的一道例题.

例小丽利用影长测量学校旗杆的高度.由于旗杆靠近一个建筑物, 在某一时刻旗杆影子中的一部分映在建筑物的墙上.小丽测得旗杆AB在地面上的影长BC为20 m, 在墙上的影长CD为4 m, 同时又测得竖立于地面的1 m长的标杆影长为0.8 m, 请帮助小丽求出旗杆的高度.

启发:这儿除了旗杆成影外还有没有其他可想象为成影的 (虚拟成影) ?

生:CD可以看作物, 而EC可以看作是它的影子.

师:用刚学过的知识你可列出哪些等式?

生:用比例式CD∶EC=1∶0.8, 可求出EC, 从而BE可求;再用AB∶BE=1∶0.8, 求出AB, 即为旗杆高度.

小结:想象的作用无处不在, 你还有其他想法吗?

师:刚才同学们想象的都很好, 下面我们再将题目变一下.

小明在某一时刻测得1 m的杆子在阳光下的影子长为2 m, 他想测量电线杆AB的高度, 但其影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上, 量得CD=2 m, BC=10 m, CD与地面成45°角, 求电线杆的高度.

小结:想象在解决数学问题中所起的作用非常之大, 它们在相似三角形中的应用尤为重要.它能使难题解法变易, 使题目的切入口更易被发现, 对数学的解题作用较为明显, 希望同学们常常发挥自己的想象力, 让数学思维之花常开.

三、课例反思

这节课通过对“虚拟成像”的想象, 让学生加强“对平行光线的照射下, 不同物体的物高与影长成比例”这一性质特征的再认识, 同时, 也强化了想象在数学思维中的作用.

1. 有利于迅速获得最佳解题途径

思维与解题过程有着密切联系, 对于这种联系, 著名心理学家吉霍米诺夫曾说过:“在心理中, 思维被看作是解题活动.”在这个过程中要迅速获得最佳的解题途径, 最基本的思维能力应该是分析已知情境的能力, 并在此基础上举一反三, 正如本节课由求旗杆的高度观察到求电线杆的高度, 学生既运用了数学想象, 也运用了逻辑思维, 相辅相成, 迅速地获得了最佳的解题途径.

2. 有利于调动学生的独特体验

《数学课程标准》把数学活动水平的过程性目标定位在“经历、体验、探索”层次, 可见在创新教育的大前提下, 我们只有充分发挥学生的主体作用, 让学生置身于一定的情境中, 去经历, 去感受, 去考察, 不仅要用“脑”去学习, 而且要调动各种感官去体验、感受.

在数学探究活动中, 由于学生的个体差异会有不同的感受和体验, 对问题也会出现不同的理解和看法, 如, 虚拟成像, 不同的同学有不同的想法.这些都是学生积极投身和亲历探究实践之后所获得的, 我们更应该珍视.

因此, 必须让学生“自主探索” (包括观察、描述、操作、猜想、实验、收集整理、思考、推理、交流和应用等) , 亲身体验如何“做数学”, 如何实现数学的“再创造”, 这一点在数学教学中十分重要.

著名物理学家爱因斯坦说过:“想象力比知识更重要, 因为知识是有限的, 而想象力概括着世界的一切, 推动着进步, 并且是知识进化的源泉.”由此看出, 在数学教学中, 既要重视逻辑思维的培养, 又要重视诱发学生的想象力.只有这样才能让数学思维之花盛开、常开.

3. 有益于培养学生的创造性思维

以图形巧记“相似三角形的应用” 篇3

“举一反三”的学习方法是一种让学生脱离“题海”战术的有效手段，但它要求学生在学习过程中要善于捕捉同一知识点在不同题目中的相同作用。所以，这是一个长时间的知识积累过程。这种技能的学习也需要“举一反三”！现将自己在教学过程中遇到的一个实例列举出来，供大家参考。

“相似三角形”多应用于实际问题中求树高、房高等，主要用到“相似三角形对应边成比例”这一性质，而在教学过程中，我引导学生将例题、练习题中涉及的图象加以归纳，整理成以下几个典型图象。而我们平常遇到的一些相似应用问题，只需在这几个图象的基础上稍加变化，既可解决，从而达到事半功倍的效果。

这类题型，全可借助定理：平等于三角形一边的直线和其它两边（或延长线）相交，所构成三角形与原三角形相似。先证明三角形相似后再求所需线段长度。

例1：如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，楼高CD是多少？

这是例1的一个变例，利用矩形对边相等，将线段加以换算，其余解法与例1一致。

例2：为了测量大树的高度，小华在B处垂直竖起一根长为2.5m的木杆，当他站在点F处时，他的眼睛E、木杆顶端A、树端C恰好在一条直线上，量得BF=3m，BD=9m，小华的眼睛E与地面的距离EF为1.5m，求大树的高度。

此类问题利用光线的平行投影及折射原理，用两角相等证两个三角形相似，从而求出所求线段长度。

例3：小刚和他爸爸在阳光下的广场散步，当他看到自己和爸爸的影子随着步伐的移动而移动时，他灵机一动，想出一个问题要考考爸爸：“我的身高为1.2m，你的身高为1.8m，你知道我和你的影子的长度之比吗？”听到这个问题，小刚的爸爸笑了：“这个问题简单，我马上就能说出答案来。”你能说出答案吗？

几乎所有的“相似三角形应用”问题，都可以用以上三组图象解决。所以，将这三组图象的构成及应用原理理解透彻，就掌握了这一系列问题，可说是一个“举一反三”学习方法的成功应用。

《相似三角形的应用》课时教学设计 篇4

第1课时

相似三角形的性质

一、选择题

1.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为34,则△ABC与△DEF对应中线的比为()

A.34

B.43

C.916

D.169

2.已知△ABC∽△DEF,且相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的面积比为

()

A.1∶4

B.4∶1

C.1∶2

D.2∶1

3.[2020·铜仁]

已知△FHB∽△EAD,它们的周长分别为30和15,且FH=6,则EA的长为

()

A.3

B.2

C.4

D.5

4.如果两个相似三角形的面积比为1∶4,那么它们的周长比是

()

A.1∶16

B.1∶4

C.1∶6

D.1∶2

5.如图1,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A＇B＇C＇的位置,已知△ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9.如果AA＇=1,那么A＇D的长为

()

图1

A.2

B.3

C.4

D.32

6.如图2,在△ABC中,点D,F在AB边上,DE∥FG∥BC,且S△ADE=S四边形DFGE=S四边形FBCG,则AD∶DF∶FB的值为

()

图2

A.1∶1∶1

B.1∶2∶3

C.1∶2∶3

D.1∶(2-1)∶(3-2)

7.如图3,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,DE∥AC.若S△BDE∶S△CDE=1∶3,则S△DOE∶S△COA的值为

()

图3

A.13

B.14

C.19

D.116

二、填空题

8.已知△ABC∽△A＇B＇C＇,ABA＇B＇=12,△ABC的角平分线CD=4

cm,△ABC的面积为64

cm2.△A＇B＇C＇的角平分线C＇D＇的长为　　　　,△A＇B＇C＇的面积为.9.在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,则△ADE与△ABC的周长之比为.10.如图4,在▱ABCD中,AE∶EB=3∶4,DE交AC于点F,则△AEF与△CDF的周长之比为;若△CDF的面积为14

cm2,则△AEF的面积为.图4

11.如图5,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2

m,CD=6

m,点P到CD的距离是2.7

m,则AB离地面的距离为　　　　m.图5

12.[2020·东营]

如图6,P为平行四边形ABCD的边BC上一点,E,F分别为PA,PD上的点,且PA=3PE,PD=3PF,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别记为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2=.图6

三、解答题

13.如图7,在△ABC中,D,E分别是△ABC的AB,AC边上的点,DE∥BC,CF,EG分别是△ABC与△ADE的中线,已知AD∶DB=4∶3,EG=4

cm,求CF的长.图7

14.如图8,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,BC⊥AC,CD⊥AD,AB=18,AC=12.(1)求AD的长;

(2)若DE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为E,F,求DECF的值.图8

15.如图9,已知正方形DEFG的顶点D,E在△ABC的边BC上,顶点G,F分别在边AB,AC上.如果BC=4,△ABC的面积是6,求正方形DEFG的边长.图9

16.如图10所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,CE是∠BCD的平分线,且CE⊥AB,E为垂足,BE=2AE.若四边形AECD的面积为1,求四边形ABCD的面积.图10

答案

1.A　2.A

3.[解析]

A　相似三角形的周长之比等于相似比,所以△FHB和△EAD的相似比为30∶15=2∶1,所以FH∶EA=2∶1,即6∶EA=2∶1,解得EA=3.故选A.4.[解析]

D　如果两个相似三角形的面积比为1∶4,那么这两个相似三角形的相似比为1∶2,∴这两个相似三角形的周长比为1∶2.5.[解析]

B　如图,∵S△ABC=16,S△A＇EF=9,且AD为BC边上的中线,∴S△A＇DE=12S△A＇EF=4.5,S△ABD=12S△ABC=8.∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A＇B＇C＇,∴A＇E∥AB,∴△DA＇E∽△DAB,则(A＇DAD)2=S△A＇DES△ADB,即(A＇DA＇D+1)2=4.58,解得A＇D=3或A＇D=-37(舍去).故选B.6.[解析]

D　∵DE∥FG∥BC,∴△ADE∽△AFG∽△ABC.∵S△ADE=S四边形DFGE=S四边形FBCG,∴S△ADE∶S△AFG∶S△ABC=1∶2∶3,∴AD∶AF∶AB=1∶2∶3,∴AD∶DF∶FB=1∶(2-1)∶(3-2).故选D.7.[解析]

D　∵S△BDE∶S△CDE=1∶3,∴BE∶CE=1∶3.∵DE∥AC,∴△DOE∽△COA,且△BDE∽△BAC,∴DEAC=BEBC=11+3=14,∴S△DOES△COA=DEAC2=142=116.8.[答案]

cm　256

cm2

[解析]

∵△ABC∽△A＇B＇C＇,ABA＇B＇=12,∴CDC＇D＇=ABA＇B＇=12.∵△ABC的角平分线CD=4

cm,∴C＇D＇=4×2=8(cm).∵△ABC的面积△A＇B＇C＇的面积=(ABA＇B＇)2=14,△ABC的面积为64

cm2,∴△A＇B＇C＇的面积为64×4=256(cm2).9.[答案]

[解析]

由D,E分别是边AB,AC的中点,得出DE是△ABC的中位线,根据三角形中位线的性质知DE∥BC,进而得到△ADE与△ABC相似,根据相似三角形的性质,得到△ADE与△ABC的周长之比为12.10.[答案]

3∶7　187

cm2

[解析]

∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,DC=AB,∴△AEF∽△CDF.∵AE∶EB=3∶4,∴AE∶AB=3∶7,∴AE∶DC=3∶7.∵△AEF∽△CDF,∴△AEF的周长∶△CDF的周长=AE∶DC=3∶7.∵△AEF∽△CDF,∴S△CDF∶S△AEF=(CD∶AE)2.∵CD∶AE=7∶3,△CDF的面积为14

cm2,∴△AEF的面积为187

cm2.11.[答案]

1.8

[解析]

∵AB∥CD,∴△PAB∽△PCD.∵AB=2

m,CD=6

m,∴ABCD=13.设AB离地面的距离为x

m,∵点P到CD的距离是2.7

m,∴点P到AB的距离是(2.7-x)m,∴2.7-x2.7=13,解得x=1.8.故AB离地面的距离为1.8

m.12.[答案]

[解析]

《相似三角形的应用》课时教学设计 篇5

周神州

2014.11.26 公开课教案

4.5相似三角形的性质及其应用（3）

教学目标：

1.学会运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题。2.进一步体验数学的应用价值。

3.掌握运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题一般步骤。教学重点和难点：

1.重点：测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)和线段的计算

2.难点：测高的方案设计 教学过程：

一、复习旧知：我们已经学习了相似三角形的哪些性质？

1、相似三角形对应角相等。

2、相似三角形对应边成比例。

3、相似三角形的周长之比等于相似比；

4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。

5、相似三角形的对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比。请学生回答，让学生加深印象，感受性质的重要性

二、例题分析：

例1：如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2.25m，现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度AC=1.20m，AB在水平位置。求AB的长（精确到0.01m）。

体验数学来源于生活，体会运用相似三角形的性质解决简单实际问题的步骤

三、课堂练习：

（1）步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上准星宽度AB为2mm，目标的正面宽度CD为50cm，求眼睛到目标的距离OF。

王店镇建设中学

周神州

2014.11.26 公开课教案

(2)如图:小明站在离网10处打网球时,要使球恰好能打过网 ,而且落在离网５米的位置上，则拍击球的高度应为多少米？

(3)在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？

引导学生解决实际问题学会选择相似三角形的性质：

四、合作探究：怎样利用相似三角形的有关知识测量一棵树的高度?

激发学生的思维发散能力和知识的综合运用能力，让学生设计尽可能多的方案

想一想：如何测量河宽？

五.课堂小结：这节课你学到了什么？

六.中考链接：

(2014年浙江绍兴)如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问加工成的正方形零件的边长是多少mm？ 王店镇建设中学

周神州

2014.11.26 公开课教案

小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．

（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

七、作业布置：

1、作业本

《相似三角形的判定》教学设计 篇6

一.教学目标

1．使学生在经历探究相似三角形判定方法的过程中，初步掌握相似三角形的判定定理，理解它的证明方法，初步会运用相似三角形的三个判定定理来解决有关问题．

2．在探究判定方法的过程中，提高学生运用类比方法，猜想命题，再加以证明的研究问题的能力以及增强用化归思想解决问题的意识．

3．通过动手实践、观察、猜想、归纳、等数学探究活动，给学生创造成功的机会，使他们爱学、乐学、会学，同时培养学生勇于探索、积极合作的精神.二.教学重点和难点

重点：(1)探索两个三角形相似的条件的过程；(2)相似三角形判定定理的理解与初步应用。

难点：相似三角形的判定定理的证明． 三.教学方法：自主探究与小组合作相结合． 四.教学手段：多媒体辅助教学．

五.教学过程：

请学生出示课前按要求剪好的三角形，教师利用已知三角形模板验证两个三角形是否全等的同时请学生回答他裁剪方法的理论依据，借此复习全等三角形的判定方法.在此基础上教师要求学生动手剪一个三角形与已知三角形相似． 学生可能马上利用平行线截一个三角形，教师要求学生说出这种裁剪方法的依据——预备定理．在肯定答案的同时提出，那么如何判断三角形相似呢？目前你掌握的方法有哪些？教师提出：判定两三角形相似时，定义的条件过多，预备定理的使用要求具有局限性，那么是否还有其它的判定方法呢？本节课我们继续研究：相似三角形的判定

《相似三角形的应用》课时教学设计 篇7

一、中考命题趋势

相似三角形在近年来各省、市的中考试题中所占的比例较高，主要考查三角形相似，线段的倍分，及等积式、等比式，求线段的比、面积的比等．其中求线段的比、面积的比，常以选择题、填空题的题型出现；论证线段的倍分、等积式、等比式，常以证明和说理题型出现；以相似图形为背景，探究函数解析式及其函数最值等问题，常以解答题的形式出现，这种题型知识性、综合性强，方法灵活，常以此来构筑中考压轴题．

二、中考复习建议

1.注重基础知识．本部分的重点是相似三角形的判定与性质，应用相关定义和定理进行证明是本部分知识的难点．复习时教师要注意引导学生分析证明思路，引导学生进行转化，帮助学生克服难点．

2.注意联系实际．相似是生活中常见的现象，在复习中，要通过复习相似的相关知识，从实际生活中发现数学问题，运用数学知识解决实际问题．

3.重视知识间的联系.在中考综合题中, 经常涉及有关相似的内容, 所以在复习中, 要注意把相似与圆、函数等内容联系起来．

4.重视数学思想方法的渗透．本部分主要涉及的数学思想方法有类比、转化、分类讨论等，复习时要充分注意数学思想方法的渗透．

5.把握好复习难度．复习时不要过分追求难题的训练，要注重基础知识的理解和掌握，根据学生掌握知识的实际情况，由易到难，循序渐进．

三、中考考点透视

考点1：考查三角形相似

如下图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.

(1）求证：△PBE∽△QAB;

(2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如果不相似，请说明理由；

(3）如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？

分析：（1）利用有两个角对应相等的两个三角形相似可以证明△PBE∽△QAB； (2）△PBE和△BAE中，有一对相等的角即∠ABE=∠BPE=90°，只要再证得两个三角形夹相等角的两边对应成比例即可．

证明：（1）∠PBE+∠ABQ=180°-90°=90°，

∵∠PBE+∠PEB=90°, ∴∠ABQ=∠PEB.

又∵∠BPE=∠AQB=90°, ∴△PBE∽△QAB.

(2）△PBE和△BAE相似．

∵∠ABE=∠BPE=90°, ∴△PBE∽△BAE.

(3）如果沿直线EB折叠纸片，点A能叠在直线EC上．

由（2）得∠AEB=∠CEB，又AB⊥BE,

∴EC和AE能重合，从而点A能叠在直线EC上．

解析：与相似三角形有关的问题，要善于寻找、发现相等的角．得出两角相等的有效途径主要有：公共角相等、对顶角相等、同角（或等角）的余角（或补角）相等、高线（或垂直）有直角相等．另外，应用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来判定两个三角形相似时，所需要的对应边之间的比例式，往往通过证明另两个三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例得到．

考点2：考查相似三角形的判定与性质

例2： (1）如下图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．求弦AD、CD的长．

分析：由于AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于E，所以连接BD后，可知△ABD为等腰直角三角形，从而可求出BD的长．由问题可知，图形中的所有线段均可求长，由于CD是∠ACB的平分线，所以可通作辅助线构造相似三角形求得AE或BE的长，再利用△DAE∽△D-CA或△ACD∽△ECB，或△ADE∽△CBE均可求得CD的长．

解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°．

于是在Rt△ABD中，

如下图，过E作EF⊥AC于F, EG⊥BC于G, F、G是垂足，

则四边形CFEG是正方形．

(2）如下页上图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC, EC平分∠BCD，则下列结论中正确的有（）.

A.∠ADE=∠CDE B.DE⊥EC

C.AD·BC=BE·DE D.CD=AD+BC

解析：由ED平分∠ADC可知∠ADE=∠CDE，故A正确；由AD∥BC得∠ADC+∠BCD=180°，又, ∴∠EDC+∠ECD=90°, ∴DE⊥EC，故B正确；易证△ADE∽△BEC，∴AD∶BE=DE∶EC，∴AD·EC=BE·DE，故C不正确；延长DE交CB的延长线于点F，易证△ADE≌△BFE，得AD=BF，∴CD=CF=BC+BF=AD+BC，故D正确．因此，本题应选A、B、D.

解析：本题是一道多选题，是近年来在中考数学中出现的一种新题型．本题考查的知识点较多，有平行线的性质，角平分线定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等，能否熟练应用这些定理是解题的关键．

考点3：考查相似三角形在位似图形中的应用

例3：如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一个位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与△OAB的位似比为＿＿＿＿＿＿＿＿．

分析：位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.本题可根据位似图形及相似三角形的知识求解，应注意所画三角形的顶点要在格点上．

解:如图, △OA′B′即为△OAB的位似图形, 位似比为2∶1.

解析：本题考查了位似图形的概念以及基本作图。解答时要注意审题，顶点要画在格点上．需要提醒的是在进行位似变换时，要注意分两种情况解答：一种是位似图形有位似中心同侧，另一种是位似图形在位似中心的异侧．本题之所以画△OAB的位似图形时只画一个，是因为同侧的位似图形，顶点不在格点上，不合题意，故没有画出．

考点4：考查相似三角形中的条件探究型问题

例4：如下图，在矩形ABCD中，AB=4, AD=10，直角尺的直角顶点P落在AD上（点P与A、D不重合），一直角边经过点C，另一直角边与AB交于点E． (1）当∠CPD=30°时，求AE的长；（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的倍整数？若存在，求出DP的长，若不存在，请说明理由．

分析：（1）当∠CPD=30°时，可算出PD、PC的长，后可得AP的长，在Rt△APE中可利用三角函数或相似求出AE的长；（2）属于一个条件探究性问题，可先将结论作为条件来探索，如能得到合理的结论，则说明存在，反之则不存在．

解：（1）在Rt△PCD中，

(2) 假设存在满足条件的点P, 设DP=x, 则AP=10-x, 由Rt△AEP∽Rt△DPC知, 所以, 解得x=8, 此时AP=2, AE=4, 符合题意.

《相似三角形的应用》课时教学设计 篇8

关键词：课程难度;课程深度;课程广度;相似三角形;教学指导

一、背景

对于初中生尚未发展成熟的思维观念来说，初中几何是比较容易接受的教学体系，同时也能发展学生在思维和逻辑上的能力。其中，关于“相似三角形”这一内容，从新课程改革前就一直是中学数学的重要内容，不仅借用了前面学习的全等三角形的相关思路，也为接下来解答某一些特殊几何图形的线段、面积等之间的关系提供了思路和方法。

二、难度量化比较

1.课程广度

对比《大纲》，《标准》中相似三角形删除了“相似比”的内容。通过查阅得出《标准》和《大纲》的知识点数可得出相应的广度系数，取《标准》综合的课程广度系数G1=3，取《大纲》综合的课程广度系数为G2=4。

2.课程深度

对比《大纲》，《标准》中相似三角形有所降低，具体如下：①对于相似三角形的概念，从理解降低为了解;②对于相似三角形的判定定理、性质定理，从灵活运用，理解均降低为了解。综合深度赋值表，取《标准》的课程深度S1=3，《大纲》的课程深度S2=9。

3.课程时间

分析《标准》《大纲》中相似三角形知识点的课程实施时间得知，两者基本相同。查阅两者中相似三角形的课程内容完成的所需时间可知，取《标准》的课程实施时间T1=7，《大纲》的课程实施时间T2=9。

4.难度比较

基于前面三个方面得出的数据，代入课程难度模型N=αG/T+（1-α）S/T，可以得到《标准》《大纲》的课程难度分别为N1=0.43，N2=0.67（取α=0.6），显然，在这个模型下，“相似三角形”《标准》比《大纲》的课程难度降低了0.24。

三、教学启发

通过分析上述数据，可以发现，《标准》和《大纲》中相似三角形的课程广度、课程实施时间基本一致，但总体的难度降低。显然影响该知识点难度变化的主要因素是课程深度。下面将具体分析课程广度、课程深度、课程实施时间、课程难度四方面对教师实际教学过程的启发和指导。

1.课程广度变化对教学实践的指导

基于上述分析可知，相对比《大纲》，《标准》中对相似三角形的内容减少了一个“相似比”的内容。《标准》中只要求学生知道“相似多边形对应边的比称为相似比”这一定义即可。当今的时代在不断发展，教学内容也要不断考虑学生可持续发展的需求。因此教师在具体实践教学中，要注意严格按照《标准》的教学要求，不要顺着《大纲》的老思路继续讲解已经删除的知识点，更不要讲怪题、难题，从而影响学生对初中几何的思维。应当把时间用在“相似三角形”所要求的知识点上。

如《大纲》中课本有一道例题：证明重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的23。

要证明重心定理，不仅要让学生能够找出在三角形内部的三角形之间的相似关系，并灵活运用相似三角形的性质定理，还要通过线段关系证出相似比。这与《标准》的广度和深度要求均不一致，不应继续进行讲解。

2.课程深度变化对教学实践的指导

基于以上对“相似三角形”课程深度变化分析可知，《标准》中保留下来的“相似三角形的判定定理”和“相似三角形的性质定理”的赋值比《大纲》深度降低，只要求学生理解即可。《标准》中是结合以前所学习的“三线八角”中和全等三角形中的相关定理对判定定理进行相关证明，学生在之前学习中就已经有了深刻的认识，因此对此“相似三角形”内容都能快速掌握，不必再多加一些综合题型进行思考。所以教师在教学的过程中应当针对之前所学习的相关知识和保留下来的知

识点，在课堂上让学生动手、动口、动脑，加深学生对知识点的理解并快速掌握，从而培养学生对三角形以及其他几何图形的敏感度和相关的几何发散思维能力。

同时，教师应当积极引导学生运用学过的知识，看到题目，会想到什么样的知识点，应该运用什么定理，从而培养学生对几何图形的惯性思维和空间发散思维，符合学生的可持续发展。

3.课程实施时间变化对教学实践的指导

《标准》和《大纲》中相似三角形的课程实施时间只相差了两个课时，但由于课程广度与课程深度的减小，使得教师有足够的时间去讲解和分析所留下的知识点，不要浪费时间去讲解已被删除的知识点。相似三角形方面注重图形的空间想象能力和实际生活中的问题，如测量河宽、楼层高度等实际问题。这些知识都是直接运用相似三角形的相关定理，难度中等偏下，学生理解起来不会特别困难。同时启发教师要认真分析教学内容和目标，结合以前学过的相关几何定理和类比全等三角形的相关定理，来思考整个教学的流程应当如何实施。

4.课程难度变化对教师教学实践的指导

基于以上的探究，课程广度、课程深度、课程实施时间的变化，其实反映的是课程难度的变化。本文中，《标准》对比《大纲》，“相似三角形”课程难度降低。根据上述分析，删除了一个对现在不实际的知识点，减少了课程广度，也降低了对两个知识点的理解程度，从而大大减少了课程深度，而课程实施时间基本不变，最终使得课程难度降低了。这对于新时代的教师来说，是一种新的体验和新的起点，同时也面临着一种挑战。如在课程时间方面，要正确地理解新课标的理念，贯穿新课标的思想。在面对不同程度的学生时因材施教，并在规定时间里让学生理解知识点，同时要能激发学生主动学习的兴趣，从而逐步培养现代社会学生对数学的思考和逻辑思维。在课程广度方面，新课程要求在教学过程中更加注重数学思维、思想、方法的结合，不再讲一些《大纲》老思想的题目，要时刻结合《标准》的规定，并联系以前学习过的知识点，使得课本知识的逻辑性、连贯性得以保障。在课程深度方面，教师要注意知识点对学生掌握的要求和不同程度的学生对知识点理解的不同，从而因材施教。如对相似三角形判定定理和性质定理，都可联系以前学习过的全等三角形的判定定理和性质定理，并结合一开始所学习的有关基础几何的思想，将其运用到相似三角形中，从而使学生掌握知识点的来源，并理解知识点之间的关系，培养对几何思维的敏感度。

《相似三角形的应用》课时教学设计 篇9

教学建议

知识结构

重点、难点分析

相似三角形的性质及应用是本节的重点也是难点.

它是本章的主要内容之一，是在学完相似三角形判断的基础上，进一步研究相似三角形的性质，以完成对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究.相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础，是今后研究圆中线段关系的工具.

它的难度较大，是因为前面所学的知识主要用来证明两条线段相等，两个角相等，两条直线平行、垂直等.借助于图形的`直观可以有助于找到全等三角形.但是到了相似形，主要是研究线段之间的比例关系，借助于图形进行观察比较困难，主要是借助于逻辑的体系进行分析、探求，难度较大.

教法建议

1。教师在知识的引入中可考虑从生活实例引入，例如照片的放大、模型的设计等等

2。教师在知识的引入中还可以考虑问题式引入，设计一个具体问题由学生参与解答

3。在知识的巩固中要注意与全等三角形的对比

(第1课时)

一、教学目标

1.使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1.

2.学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题.

3.进一步培养学生类比的教学思想.

4.通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美

二、教法引导

先学后教，达标导学

三、重点及难点

1.教学重点：是性质定理1的应用.

2.教学难点：是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用.

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、常用画图工具.

六、教学步骤

[复习提问]

1.三角形中三种主要线段是什么?

2.到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质?

3.什么叫相似比?

[讲解新课]

根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例.

下面我们研究相似三角形的其他性质(见图).

建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1.

性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比

∽ ，

教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成.

分析示意图：结论→∽(欠缺条件)→∽(已知)

∽ ，

BM=MC，

∽ ，

以上两种情况的证明可由学生完成.

[小结]

本节主要学习了性质定理1的证明，重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法.

七、布置作业

教材P241中3、教材P247中A组3.

有关相似三角形的操作创新题 篇10

一、割一割

例1 如图1，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=DE=3，AC=2DF=4．

（1）判断这两个三角形是否相似，并说明为什么.

（2）能否在这两个三角形中过点A、D各作一条辅助线，使△ABC分割成的两个三角形与△DEF分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．

解析：（1）根据题目所给条件，可利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”进行判定．

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4；在Rt△DEF中，∠D=90°，DE=3，DF=2.

∴=1，=2，故≠；=，=，故≠.

∴Rt△ABC与Rt△DEF不相似．

（2）能，作如图2所示的辅助线进行分割．

具体作法：作∠BAM=∠E，AM交BC于M；作∠EDN=∠B，DN交EF于N．

由作法和已知条件可知△BAM≌△DEN（角边角）．

∵∠BAM=∠E，∠EDN=∠B，∠AMC=∠BAM+∠B，∠FND=∠E+∠EDN，

∴∠AMC=∠FND．

∵∠FDN=90°-∠EDN，∠C=90°-∠B，∠EDN=∠B，

∴∠FDN=∠C．

∴△AMC∽△FND．

二、截一截

例2 如图3，△ABC是一块等腰三角形的废铁料的示意图．已知∠BAC是锐角，量得底边BC的长为60 cm，BC边上的高为40 cm.现打算用它截出一块一边长为30 cm的矩形铁板（要求：使矩形铁板的一边与△ABC的一边重合，而矩形的另两个顶点分别在△ABC的另两边上）.

（1）问：一共有几种不同的截法？请画出所有截法的示意图，并标明30 cm长的那条边．

（2）试求出各种截法中所截得的矩形的另一边的长．

解析：（1）因矩形一边长30 cm，另一边长不确定，故矩形截法有四种（如图4所示，按矩形两边分别在底和腰上），其中较长的边的长为30 cm．

（2）在△ABC中，作AF⊥BC，垂足为F.

易得AB=AC===50(cm)．

作CH⊥AB，垂足为H，由面积公式知AF•BC=CH•AB，易得CH=48 cm.由相似三角形的性质，根据=易求得截法一中PN=20 cm，根据=易求得截法二中PN=19.2 cm，根据=易求得截法三中PN=15 cm，根据=易求得截法四中PN=18.75 cm．

三、拼一拼

例3 如图5，现有两个边长比为1:2的正方形ABCD与正方形A′B′C′D′．已知B、C、B′、C′在同一直线上，且点C与点B′重合.请你利用这两个正方形，通过切割、平移、旋转等方法，拼出相似比为1∶3的两个相似三角形．

要求：（1）借助原图拼图；（2）简要说明方法；（3）指明相似的三角形．

解析：题目要求通过动手操作拼成两个相似三角形，它需要丰富的想象力．其方法是（如图6）：

①连接BD并延长，交A′D′于点E，交C′D′的延长线于点F；

②将△DA′E绕点E旋转至△FD′E的位置，则△BDA∽△FBC′，且相似比为1∶3．

相似三角形的性质与判定 篇11

1. 教材内容:

《相似三角形的性质与判定》是以北师大版义务教育八年级下册第四章的知识为背景建构的教学内容, 通过复习讲解相似三角形的性质与判定, 利用相似三角形的性质与判定相关的知识去解一些数学问题。

2. 教材的地位和作用:

本节课是在学完《相似三角形》、《探索三角形相似的条件》内容之后, 继续学习相似多边形的性质的准备。教学的内容培养学生观察思考, 从定义出发和举一反三的能力等都具有重要的作用。

二、教学目标

1. 知识目标

(1) 掌握相似三角形的性质和三角形相似的判定方法。

(2) 能根据具体的数学问题, 灵活选择解法。

2. 能力目标

体会“归一”原理的思想。能根据具体数学问题的特征, 灵活选择解题方法, 体会解决问题方法的多样性。

3. 情感目标

使学生知道相似三角形的性质和三角形相似的判定的重要性, 提高学生解题速度和准确程度。通过学生之间的交流、讨论, 培养学生的合作精神。

三、重难点分析

1. 重点:

掌握相似三角形的性质和判定定理。

2. 难点:

灵活应用相似三角形的性质和判定解决相关数学问题。

3. 关键:

让学生通过比较相似三角形的性质和判定的运用, 感悟用相似三角形的性质和判定去解决数学问题的重要性。

四、教学过程

1. 知识复习

相似三角形的定义:三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似。△ABC与△DEF相似, 记为:△ABC∽△DEF

相似三角形的性质:相似三角形的对应角相等、对应边成比例。

相似三角形的判定:

两角对应相等的两个三角形相似;

三边对应成比例的两个三角形相似;

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

2. 知识拓展

例1.如图所示, Rt△ABD中, ∠BAD=90°, AC垂直于BD。

求证: (1) AB2=BC·BD

(2) AD2=DC·BD

(3) AC2=DC·BC

(4) 若AC=6, BC=8, 求AD的长。

解: (1) 在△ACB与△BAD中,

(2) 在△ACD与△BAD中,

(3) ∵AC垂直于BD

(4) 方法一:△ABC是直角三角形

方法二:根据射影定理得:

例题分析:此题是对相似三角形的判定定理一知识的巩固, 是通过对例1中的 (1) (2) (3) 的证明, 给学生呈现射影定理的知识点, 并运用此知识点去解决例1中的第 (4) 小问, 并比较总结相似三角形的性质与射影定理的区别与联系。在这一个例题中, 对第 (4) 小问的解决, 可以引导学生去思考用多种方法解决问题, 达到通体异构的效果。

例2.如图△ABP的边上有C、D两点, 且△PCD是等边三角形。当△PCA∽△BDP时, AC、CD、DB满足怎样的关系?∠APB的度数是多少?

解:∵△PCD是等边三角形

小结:在这节课的学习中, 我们初步地复习了相似三角形的性质及其判定, 并运用这些知识作为数学工具去解决相关的数学问题, 并对同一问题采用了不同的方法去解决!希望同学们在今后的学习中多总结、多归类、达到举一反三的效果。

《相似三角形的应用》课时教学设计 篇12

九数

许国祥

我的教学宗旨是: 一般情况下，按照教材上的教学设计进行教学，以学生为主体，教师做学生的组织者、引导者、合作者，只在关键处点拨，补充，尤其是在几何教学中，以培养学生的合情推理能力，发展学生逻辑推理能力，靠近中考。

我的教学设计

一、知识回顾。(小黑板出示)1．我们已学过了哪些判定三角形相似的方法? 2.在△ABC与△DEF中因为∠A=∠D=45°，∠B=26,°∠E=109°.则这两个三角形是否相似?

二、动脑筋

鼓励学生动手画图，认真思考书中问题，引导同学们讨论得出判定定理3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

指名说一说:这个定理的条件和结论各是什么?关键处是什么? 同桌完成课本上的做一做。然后指名在班上说。教师及时给予表扬和肯定。

三、出示例题2.要求学生尝试完成。不会做的自己看书，然后再做。教师行巡回辅导，适时指点练习中容易出现的问题。最后指名板演，集体订正。

四、出示课本78页中的B组2题作为典例分析。

要求学生凭眼睛看这两个三角形相似吗?再通过计算他们的对应边是否成比例。有一个角对应相等吗?他们相似吗?同桌讨论各自的心得。从这个例子你能得出什么结论？指名说。

教师示范：规范写出两个三角形对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似已知，求证及证明过程

五、出示B组1题作为典例分析。要求学生先自学，再试着做一做。最后师规范板书全过程。

六、启迪学生除这种解法外,你还能用别的方法来证明吗?鼓励学生用多种方法解题。

七、引导学生归纳解题所得。

八、总结整堂课内容。

九、巩固练习。完成教材第78--79页练习1、2题

十、作业:基本训练78--79页A组1-2题。教师巡回辅导

我的反思: 成功之处:.1、课前对旧知识的回顾，以防止负迁移现象，特别是做一做的设计注重了相似三角形中对应元素的训练，为潜能生设置了一个障碍，以培养学生的合理想象力。

2、整堂课体现了以学生为主体的教学理念。教师的点拨很到位，对定理的剖 析突彻，在教学过程中注重了规范板书，为学生起到了示范作用。

3、巡回辅导对提高潜能生有很大帮助，同时充分利用有利资源，以优帮劣，及让优生巩固了所学知识又提高了潜能生，何乐而不为?

4、作业的设计具有层次性。做到了突出重点，突破难点。不足之处:

1、巡回辅导时未顾及到全局，关键是时间太紧。

2、时间分配不够合理，运用定理解题时间花的太多，导致作业不能当堂完成。

相似三角形复习教学反思 篇13

教学亮点：教学过程中始终穿插一条主线：“基本图形”的巧妙应用，一条副线：培养学生学会看图。教学中，通过一系列的活动调动起学生的积极性，让学生亲身体验知识形成的过程。另外，图形不同的变化形式也体现了数学的转化思想，习题的设计选用了近几年的中考题，拉近了教学与中考的距离。

在这一堂课中，我觉得有几点做的还是比较好的：

一、以多种形式（组合条件、添加条件、作相似三角形、练习等）强化学生对三角形相似判定的理解，并起到了一定的效果。

二、真正关注到中等偏下的学生，课堂中设计的问题有三分之二是针对这一部分学生，并在课堂中也正是让他们表现的。

三、营造了和谐轻松的课堂氛围，使一些平时从不发言的同学也在课堂中表达了自己的见解。

当然在教学过程中也反映出了一些问题：

一、题量过大，课堂时间安排较紧，有些问题落实的还不够深入。

二、出示了几道中考题，虽然学生做了，教师讲了，但没有从题目本身往深处挖掘，对中考命题方向进行研究和探索，仅是为做题而做题。

《相似三角形的应用》课时教学设计 篇14

图像匹配[1]是机器视觉关键技术之一,广泛应用于图像拼接[3]、全景视图、对象识别等领域,具有广阔的应用前景。特征点匹配方法是目前图像匹配的主流方法,而如何有效提取特征点及建立特征点间对应关系一直是该类方法的研究热点与难点。

深入分析研究目前两种较典型的特征点提取算法可知,Harris算法检测效率高,但在尺度变化和含噪声时鲁棒性差;SIFT算法抗尺度和抗噪性较好,但是执行效率低且对图像纹理要求高。本文将以上两种算法相结合,提出了一种新的H/S(Harris/SIFT)特征点提取算法,并在此基础上引入基线概念,同时结合复数空间改进传统三角形匹配算法,提高了算法效率和稳定性。

1 H/S特征点提取算法

H/S算法首先利用Harris算法初步从图像中提取特征点,然后通过多尺度高斯差分方法剔除部分抗尺度性较差的特征点,进一步结合描述符信息得到稳定特征点。

1.1 多尺度理论

研究发现高斯函数是唯一尺度空间内核函数[2],尺度空间核被定义为:

对于所有信号fin,若它与变换核k卷积后得到的信号fout中的极值(一阶微分过零点)不超过原图像的极值,则称k为尺度空间核,所进行的卷积变换称为尺度变换。其中高斯核:

利用高斯核一阶偏导数将Harris特征点算法变换成尺度空间的步骤如下:

(1)计算图像上某点(x,y)在x和y方向上偏导,与标准偏差为xsσn(其中s为一常量,s>1)的高斯核微分进行卷积:

其中,σI=σn为尺度参数,σD=sσn为微分尺度,G(σI)为高斯函数。

(2)判断

下一步将验证在某一尺度水平上检测出的角点是否取得极值,得到具有尺度不变性特征点。

(3)选取DOG(Difference-of-Gaussians)函数作为获取特征尺度函数。DOG函数与归一化LOG算子近似,定义如下:

利用Harris算子在尺度δn=snδ0上建立N个尺度空间的描述,其中n表示第n尺度,n=1,2,…,N;s表示尺度因子自适应调整尺度间的跨度。在每一个尺度水平上提取出在邻域Q内的局部极值点,然后选取大于给定阈值的极值点作为候选点,最后验证这些点是否在DOG算子尺度空间上获得极值。若能获得极值,则是特征点;否则舍弃。

1.2 描述符思想

根据特征点尺度、方向、位置等信息,为每个特征点建立一个描述符。在确定了特征点尺度基础上,针对围绕着特征点的图像梯度大小和方向采样并将其表示出,然后通过关键点的邻域梯度信息生成特征向量。

特征点在提取时需要给特征点分配一个主方向,以确保特征描述符的旋转不变性。

式(6)和(7)为(x,y)处梯度模值和方向公式,其中L为每个关键点各自所在的尺度。在关键点的邻域梯度信息计算时,以关键点为中心,绘制窗口像素点的梯度方向和梯度模值累加值,生成种子点的基础上得到每个种子点的方向向量信息,这种邻域方向信息的联合增强了特征点的抗噪声能力。

传统SIFT特征点描述符构造时,特征点间的梯度方向及模值差异较小,利用了高维度的向量信息以提高其抗旋转及抗噪声等性能。但在H/S算法中,以Harris特征点提取算法获得图像中的粗特征点为基础,并进一步检测抗尺度变化的特征点,此时特征点间的信息量差异已经比较大。在H/S算法中,在关键点周围建立窗口,每个窗口确定一个种子点,计算该种子点分别在45°、135°、225°和215°共4个方向的梯度方向直方图,绘制每个梯度方向的累加值。这样对于一个关键点产生16个数据,即最终形成16维的H/S特征向量。此时获得的H/S特征向量不仅提供了特征点的抗旋转、抗噪声性能,进一步将特征向量归一化可以获得对光照变化的有效性。

1.3 H/S特征点提取

评价特征点提取效果的点重复率定义如下:

其中Ci表示特征点集合,│Ci│表示集合中元素的数目,表示取两个数中较小者,分子表示两幅图像中相同角点的数量。尺度变化时特征点检测结果如图一所示。从结果图中可以看出该算法获取多个尺度下的特征点信息,减小了阈值对特征点提取的制约,同时多尺度空间下H/S特征点检测实现了小尺度下的精确定位和大尺度下的去伪存真,算法尺度不变性得到很大改善。

2 基于H/S的特征点匹配算法

三角形具有抗平移、旋转和缩放特点,对于处理图像间存在的这种变化具有很好的优越性。但传统相似三角形匹配方法需对特征点集所构成的所有三角形进行相似性判定,时间复杂度高,且判定方法需牵涉较为复杂的除法和比较操作。再者当模板点集中一个点与目标点集中多个点匹配这种情况出现时,特征点的对应关系不易找出。

本文引入基线及三角形组的概念,以H/S算法提取的特征点为基础,合理选择两个点构成基线,然后根据复数相乘的几何意义,将图像特征点转移到复数向量空间中求解,将传统方法中被动的搜索相似三角形变为选择基线后主动构造型,并结合H/S算法所得特征点的描述符信息剔除大部分伪匹配三角形,提高匹配的准确性与可靠性。

2.1 相似三角形匹配算法

定义1:选取图像点集中任意两个特征点A、B,则定义向量为图像中的一条基线。

定义2:在选取图像中的一条基线后,以与点集中其余特征点连线组成的对应于的三角形组,称该三角形组为基线的三角形组。

2.2 算法步骤

(1)从模板图像M个特征点集中组成PM2个不同的向量作为基线,选择未处理的基线,将模板三角形△ABC转到复数向量空间中,通过向量和向量,计算旋转因子z。

(2)实物图像特征点构造点集,以点集组成PN2个不同的向量,结合H/S算法提取得到特征点的描述符信息,选取与模板图像基线描述符信息相似的向量作为基线,如果PN2个向量都处理完,则转步骤5;否则从中选取一个未处理的向量,与模板△ABC中向量对应,根据旋转因子Z,计算出向量,确定点C'的坐标(x,y)。

(3)判断实物图像中(x,y)周边的范围内是否有一个特征点。如果有,则判断该位置特征点的描述符信息与模板图中对应相似三角形顶点的描述符信息相似度,若相似度满足要求则输出△A'B'C'为模板△ABC的一同向相似三角形,并设置特征点数量num记录匹配到的同向相似三角形的数目。

(4)判断num与模板图中对应基线的三角形组的顶点数量关系,若num值达到一定的阈值,则输出在模板图像中匹配到一个模板图像,并用矩形框将其标识出;转步骤2,继续判断实物图中特征点集合中的其它基线。

(5)算法结束。

3 实验结果

P4 3.0GHZ微机,VC++6.0开发工具。图四中存在多个不同尺度、不同角度的飞机图像。实验结果表明本文方法可准确地在实物图中找到模板图像,体现该算法在复杂背景下识别出目标物体的适用性,同时验证了改进H/S算法提取特征点的有效性。

4 结束语

本文在现有特征点提取与匹配方法研究的基础上,提出一种新的H/S特征点提取算法,并根据三角形相似性原理结合复数向量空间构造三角形组,实现多模板匹配,提高了算法的准确性和快速性。对于指纹识别、星图识别这类问题,该算法同样适用。

参考文献

[1]Chang,CH,Cheng,FH,Hsu,WH,et al.Fast algo-rithm for point pattern matching:invariant to translations,rotations and scale changes.Pattern Recognition,1997,30(2):311-316.

[2]Michael Grabner,Helmut Grabner,Horst Bischof.Fast Approximated SIFT.In:Proceedings of7th Asian Conference on Computer Vision,2006:13-16.

光学原理与相似三角形 篇15

例1为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度,学校数学兴趣小组做了如下的探索:根据《科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计如图1所示的测量方案:把一面很小的镜子放在离树底(B)8.4米的点E处,然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.4米,观察者目高CD=1.6米,则树(AB)的高度约为米(精确到0.1米).

分析:观察分析图形可知要求树AB的高度,只要说明△CDE

∽△ABE,再列出比例式即可求出,而事实上,根据光的反射定律可知∠CED=∠AEB,又∠D=∠B=90°,这样得到两个三角形相似.

解:过E作BD的垂线EN,根据光的反射定律知,∠CEN=∠AEN,

∴∠CED=∠AEB.

又因为∠D=∠B=90°,所以△CDE∽△ABE.

所以=,即=,即AB=5.6米. 所以树AB的高度约为5.6米.

二、利用影子计算建筑物的高度

例2如图2,小华为了测量所住楼房的高度,他请来同学帮忙,测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和1.5米.已知小华的身高为1.6米,那么他所住楼房的高度为米.

分析:图2是一个实物图,要求楼房的高度,可以根据题意画出示意图,如图3所示,这样借助于△DBE∽△ACF列出比例式,求出AC,即为楼房的高度.

解:如图3,容易知道CF=1.5米,EB=0.5米,BD=1.6米.

因为DB∥AC,DE∥AF,

所以∠DBE=∠C,∠E=∠AFC.

所以△DBE∽△ACF.

所以=,即=,得AC=4.8(米).

即楼房的高度为4.8米.

例3如图4,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米,那么路灯A的高度AB等于().

A.4.5米B.6米

C.7.2米D.8米

分析:根据题意可以知道EM、EF、CD、CN的长,而BF=BC+CF,BD=BC

+CD,再由CN∥AB∥EM,得到△CDN∽△BDA和△MEF∽△ABF,这样列出关于AB和BC的两个等式即可求解路灯A的高度AB.

解:因为CD=1米,CE=3米,EF=2米,CN=EM=1.5米,所以CF=5米.

因为CN∥AB,所以△CDN∽△BDA,所以=,即=.

又因为AB∥EM,所以△MEF∽△ABF,所以=,即

=.

所以=.所以BC=3.

九年级数学相似三角形教学反思 篇16

一、这一节课通过情景创设，引入新知较恰当，切合实际。教师用4分钟回顾提高后，教师用教学用的三角板提出要学生举起看起来与老师的这块相似的一块学生用三角板。接着让学生通过猜测、变量、计算和比较得出两块三角板相似的结论。这样引入能很好的使学生体验到生活中的数学知识的乐趣，从而能调动学生探索新知的兴趣和学习的积极性。

二、这节课多给学生提供自主学习，自主操作、自主活动的机会。不论是回顾旧知，还是探究新知，都是教师引导，学生自主探索。比如画一画、量一量、算一算这些设计都能给学生提供自主探索新知的空间，体现了学生是数学学习的主人的新理念。

三、教师在这节课中，通过设计问题和启发、引导，让学生悟出学习方法和途径，培养学生独立学习的能力。比例对特殊三角形，教师提出这两个三角形有什么关系?理由是什么?对任意两个三角形，老师请学生量一量、算一算，结果都是由学生自己操作、判断得出。体现了教师是数学学习的组织者、引导者和合作者的新理念。这节课通过动手实践，也使学生体验到学习数学的乐趣，提高学习的兴趣和的学习积极性。《相似三角形》,其主要教学目标是让学生在亲自操作、探究的过程中，获得三角形相似的第一个简单的识别方法;培养学生提出问题、解决问题的能力;从整堂课学生的表现看到，这节课基本上实现了以上目标。

相似三角形的性质 教案 篇17

教学目标

1、经历探索相似三角形性质的过程，并会运用相似三角形的性质解决有关的问题。

2、通过探索相似三角形性质的过程，渗透逻辑推理的方法，引导学生从直观发现向自觉说理过渡，从而获得发现问题、解决问题的经验，发展了学生的数学问题意识和创新意识，为候机学习奠定基础。

3、通过相似三角形定理及应用的学习，培养学生类比思想、归纳思想及特殊到一般的认识规律，拓展学生思维。教学重点：

相似三角形性质及其应用。教学难点：

相似三角形判定和性质的综合运用。教学方法：

小组合作探究、启发式教学

教学过程

一：复习引入

1、什么样的三角形是相似三角形？

2、怎样判断两三角形是相似三角形？

3、我们已经知道了相似三角形的那些儿性质？

（①对应角相等，②对应边成比例）

相似三角形还有其他性质吗？

二：探究新知

问1：与三角形相关的线段我们学过哪些？

（中线、角平分线、高、中位线……）

思考：如果两三角形相似，且相似比为k，那两三角形对应的高会有怎样的关系？

已知如图△ABC∽△A1B1C1，且它们的相似比为k，AD、A1D1是对应高。求证:ADk.A1D1

证明：略（见课本87页）

定理1：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。

（相似三角形对应线段的比都等于相似比）注：对于对应的理解

三：典例分析

例1：如图，一块铁皮呈锐角三角形，它额边BC=80cm，高AD=60cm。要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形两边之比为2;1,且矩形长的一边在BC上，另两个顶点在边AB、AC上，求这个矩形零件的周长。

解：设PS为xcm，则PQ为2xcm.PQ//BC

APQABC AQPACB

APQ∽ABC

PQAE BCAD2x60x

即

8060

解得

x=24

2x=48



周长C=2（24+48）=144 cm

变式1：将例题中“矩形长的一边在BC上”改为“矩形短的一边在BC上”，其他条件相同，求矩形零件周长。

变式2：在例题中三角形中，如果是加工一个正方形零件，求正方形周长。

四：课堂小结

请同学回顾今天学的知识：1 相似三角形对应线段的比等于相似比 2 定理的简单应用

五：课堂作业

1必做题：①证明相似三角形的中线比等于相似比

②

有的放矢,巧解三角形相似问题 篇18

A型三角形是我们在开展相似三角形教学工作的时候遇到最多的三角形,且A型三角形相似问题的难度跨越很大,仅仅是正A型三角形都有很多难度系数相差较大的题目.除此之外,斜A型以及由斜A型平移或旋转得到的子母型、垂直型也是非常普遍的A型三角形.代换思想的运用贯穿于整个三角形相似教学过程,在解决A型三角形的问题上代换思想更是尤显重要.因此,我们需在课堂上经常向学生们渗透巧妙代换的思想,帮助他们攻克A型三角形这一难题.

在上面的例子中,我通过引导学生们巧妙运用中间线段的代换而轻松攻克了这道难题,除此之外,等比代换、等积代换也是极为重要的代换思想.因此为了做到有的放矢,我们应在讲解A型三角形问题的时候不断渗透代换思想.

二、构造辅助,巧解X型

X型三角形的教学在三角形相似问题教学中则显得相对容易一些,但是题目依旧具有多样性与复杂性.简单常见的正X型三角形的题目比较简单,斜X型以及由斜X型旋转得到的旋转型则看起来相对复杂一些.但是,学生们在做题的时候经常遇到给出的有效线段不够,甚至于给出多余线段扰乱学生们思维的题目.因此,我们应教导学生们构造辅助,找出题目中的X型三角形,巧妙解决难题.

为了让学生们能够学会构造辅助,我曾经给他们讲解过这样一道题目:如图2,BD=CE,求证:AC·EF=AD·DF.这道题目乍一看会让人觉得找不着北,但其实只要构造辅助将该图转化为X型三角形就会非常简单.在学生们思考完毕后,我给他们介绍了这种思路:过点D作DG∥BF交AC于点G,则由△DGE与△FCE相似,再结合△ADG与△ABC相似即可得出所证结论.这种思路可以让这道看起来找不着北的题目通过构造辅助,转化为X型三角形而显得格外简单,X型三角形的题目本身并不难,只要学生们能够学会准确地构造辅助,就一定可以快速巧妙地解决相关问题,将这一部分知识灵活地掌握.

在上面的例子中,我通过启发学生们构造辅助,可以让他们快速巧妙地解决X型三角形的题目,同时巩固了他们对相关知识的掌握.这种简单高效的方法真正做到了有的放矢,可以切实提高我们的课堂效率,提高学生们的解题能力.

三、综合分析,渗透K型

K型三角形在三角形相似教学中也比较常见,且K型三角形的题目往往是一些难度系数比较大的题目,能够较好考查学生们对这一部分知识的综合掌握程度.常见的K型三角形有双A型、双X型、双垂直型或三垂直型等等.一般来说,K型三角形问题的解决需要代换思想、构造辅助等等方法综合运用,这就要求我们在教学中引导学生们进行综合分析,让他们争取能够做到将每一道K型三角形的题目都渗透.

在上面的案例中,我通过以综合分析的方法向学生们讲解K型三角形的相似问题,并鼓励他们渗透所有的方法与知识,不但可以提高学生们的综合学习素养,也大大升华了我的课堂教学效果,让课堂质量有一个质的飞跃.

纵观全文,要想攻克A型三角形的问题,需要我们传授给学生们代换的思想;而要想巧妙解决X型三角形相似问题,则需要我们启发学生们构造辅助;要想渗透K型三角形的问题,更是需要我们培养学生们综合分析的能力.无论是A型、X型,还是K型三角形的相似问题,都需要我们针对问题,有的放矢,不断提高学生们解决三角形相似问题的能力.唯有如此,学生们的素质才会不断提高,而我们的数学教育也才会不断进步!

摘要：相似三角形是初中数学教学的一大重点,亦是一大难点.因此,为了更好提高学生们巧解三角形相似问题的能力,我们不应盲目教学,而是做到有的放矢.本文中,笔者从A型、K型、X型三种常见的相似三角形出发,逐一分析,提出自己对于三角形相似问题教学的见解.

关键词：初中数学,三角形相似,有的放矢,巧解问题

参考文献

[1]吕志元.探讨初中数学三角形问题解答易错案例剖析[J].数理化学习:初中版,2013(3).