三角函数定义的教学反思

三角函数定义的教学反思

三角函数定义的教学反思 篇1

许钦彪

教育部制订的普通高中《数学课程标准》（人民教育出版社2003年4月版）第31页关于必修4《三角函数》的内容与要求是：①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。根据这个要求，人民教育出版社《数学必修4》（2007年2月版）第12页给出的任意角的三角函数定义为（本文称为定义1）：

设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p(x,y)，那么y叫做的正弦，记作sin，即siny，x叫做的余弦，记作cos，即cosx，yy叫做的正切，记作tan，即tan。xx而把原教材中的三角函数定义，在第13页用注释给出（本文称为定义2）： 一般地，设角终边上任意一点的坐标为（x,y），它与原点的距离为r，则sinyxr,cos,tan。并要学生证明。rrx在实际教学中，定义1的优点是简洁明了，缺点是缺乏一般性，在实际解题中不能直接应用。而定义2不但简洁明了，而且在一般性问题中都可以直接应用。例如教材第12页的例题：

例2：已知角的终边经过点P0(3,4)，求角的正弦、余弦和正切值。

教材中是先求出rOP05，再用相似三角形的比例关系转化成单位圆与终边的交点坐标来得到解。由于涉及到相似比以及符号，结果把这个简单明了的问题搞得复杂化。而且这种相似比及符号问题没有一般性。如果在其它象限，其比值符号仍是一个困难。在讲解和学习时，学生普遍反映思维别扭、理解不清、难以接受。

如果利用定义2，其解法就自然、清楚而且不受象限及符号的影响。

解：∵P0(3,4)在的终边上，x3,y4,r5。据定义2，得siny4x3y4,cos,tan。r5r5x3同样，第15页的练习2，第20页的习题1.2的2以及须由定义解答的问题都是利用定义2容易解答，这是因为很少有问题会在已知中给出终边上的点刚好是单位圆上的条件，所以用定义1解答必须涉及相似比以及符号问题等困难，这是没有必要的。

根据以上分析，建议在教学时，把定义2作为任意角三角函数的定义，而把定义1作为简化定义。这一节的主要教学步骤可设计为：

1、定义引入：

①学生复习直角三角形中锐角的正弦sin,余弦cos,正切tan。

提出问题：现在角是任意角，这种定义应扩展。

②将角放在直角坐标系中，先以简单的情况为例研究。设是第一象限角（如图），如何定义的三角函数，要考虑两个因素：

aba，来定义，现在扩大的定义要包含以前的定义。ccb第二，sin,cos,tan要由唯一确定（否则不是函数）。第一，初中中用比学生经过讨论基本上能认同找一个RtOPM，教师指出,这个Rt的实质 是终边上的点P(x,y)。记。OPr定义sin,cos,tan。

进一步讨论这个比值是否由唯一确定？与P在终边上的位置有否关系？假如另外取一点P1(x1,y1),r1，学生易知关，由唯一确定。

于是这个定义是合理的，也就是说以的终边上的一点P(x,y)的坐标x,y和OPr的比值来定义三角函数是符合函数要求的。

③进一步可以考虑，以上定义与所在的象限有否关系（无），有否大小限制（无）。④所以，任意角的三角函数的定义是：设角的终边上任意一点的坐标为P(x,y)，它与原点O的距离为r，则sinyxyx2y2.。联想第一个因素，可以用比值，来

rrxy1yx1xyy，，1。即比值与P点在终边上的位置无

r1rr1rxx1yyx,cos,tan。rrx⑤说明：A：定义中的P点是终边上的任一点。

B：因为r0，所以对任何，sin,cos总有确定值，而x0即k2

时，tan没有意义。

C：因为角可以用弧度（实数）表示，所以三角函数建立了角的集合（弧度

表示）与实数集之间的一一对应关系。

⑥给出单位圆概念。

⑦探讨三角函数的简化定义：角的终边与单位圆交于点P(x,y)，则r1，此时定义简化为：siny,cosx,tany。x2、定义的应用：

① 已知角终边上一点求三角函数值，讲练课本12页例2，15页练2。可用一般 定义解决（点已知代定义）

②已知角的大小求三角函数（课本12页例1）可用单位圆与终边的交点（点未 知，自己取），进而练习特殊角0,6432，，,3的三角函数值，并记忆。

23、三角函数的定义域：

由定义知定义域，学生填表（课本13页）并记忆。

4、三角函数值的符号：

由定义和点角终边上一点P(x,y)在各象限的符号探讨三角函数值在各象限的符 号，学生填表（课本13页）。记忆和应用（课本13页例3）。

5、诱导公式一：

学生探讨，由定义知终边相同的同名三角函数值相等。诱导公式一的作用是把任意 角化为一周内的角。应用（课本14页例4，例5，练习15页5，6）。

三角函数定义的教学反思 篇2

第一, 函数关系式包括定义域和对应法则, 所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域, 否则所求函数关系式可能是错误的.

【例1】 某单位计划建一矩形围墙, 现有材料可筑墙的总长度为1000 m, 求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式.

解析:设矩形的长为x米, 则宽为 (500-x) 米, 由题意得:S=x (500-x) .

故函数关系式为:S=x (500-x) .

如果解题到此为止, 则本题的函数关系式还欠完整, 缺少自变量的范围.因为当自变量取负数或不小于500的数时, S的值是负数, 即矩形的面积为负数, 这与实际问题相矛盾, 所以还应补上自变量x的范围:0<x<500.

即, 函数关系式为:S=x (500-x) (0<x<500) .

因此在用函数方法解决实际问题时, 必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.若学生考虑不到这一点, 则表明他们的思维缺乏严密性.

第二, 函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大 (小) 值的问题.如果不注意定义域, 将会导致所求出的最值是错误的.

【例2】 求函数y=2x2-4x-3在[-2, 5]上的最值.

解析:∵y=2x2-4x-3=2 (x2-2x+1) -5=2 (x-1) 2-5,

∴当x=1时, ymin=-5.

初看结论, 本题似乎没有最大值, 只有最小值.产生这种错误的根源在于只是按照求二次函数最值的思路, 而没有注意到已知条件发生变化.其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 在R上适用, 而在指定的定义域区间[m, n]上, 它的最值应分不同情况予以讨论.

故本题还应补充以下内容:

f (5) =2·52-4·5-3=27.

∵-≤≤,

∴f (-2) =2 (-2) 2-4× (-2) -3=13.

∴f (x) max=max{f (-2) , f (5) }=f (5) =27.

∴函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最小值是-5, 最大值是27.

这个例子说明, 在函数定义域受到限制时, 若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响, 并在解题过程中加以注意, 便能迅速解题.

第三, 函数的值域是该函数全体函数值的集合, 当定义域和对应法则确定, 函数值也随之而定.因此在求函数值域时, 应注意函数定义域.

【例3】求函数的值域.

错解:令t=2x-3, 则2x=t2+3,

剖析:经换元后, 应有t≥0, 而函数y=2t2+t+1在[0, +∞) 上是增函数,

所以当t=0时, ymin=1.故所求的函数值域是[1, +∞) .

以上例子说明, 变量的允许值范围是何等的重要, 若能发现变量隐含的取值范围, 精细地检查解题思维的过程, 就可以避免错误结果的产生.也就是说, 学生若能在解好题目后, 检验已经得到的结果, 善于找出和改正自己的错误, 善于精细地检查思维过程, 便说明他们具有良好的思维批判性.

第四, 函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时, 函数值随之增减的情况, 所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行.

【例4】指出函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调区间.

解析:先求定义域:∵x2+2x>0, ∴x>0或x<-2.

∴函数定义域为 (-∞, -2) ∪ (0, +∞) .

令u=x2+2x, 知当x∈ (-∞, -2) 上时, u为减函数;当x∈ (0, +∞) 时, u为增函数.

又∵f (x) =log2u在[0, +∞) 上是增函数,

∴函数f (x) =log2 (x2+2x) 在 (-∞, -2) 上是减函数, 在 (0, +∞) 上是增函数.

即函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调递增区间为 (0, +∞) , 单调递减区间是 (-∞, -2) .

如果学生在做题时, 没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性, 就说明他们对函数单调性的概念一知半解, 没有理解, 在做练习或作业时, 只是对题型, 套公式, 而没有真正领会解题方法的实质, 也说明学生的思维缺乏深刻性.

第五, 判断函数的奇偶性, 应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称, 如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称, 则函数就无奇偶性可言.否则就用奇偶性定义加以判断即可.

【例5】判断函数y=x3 (x∈[-1, 3]) 的奇偶性.

解析:∵2∈[-1, 3], 而-2[-1, 3],

∴定义域区间[-1, 3]关于坐标原点不对称.

∴函数y=x3 (x∈[-1, 3]) 是非奇非偶函数.如果不注意函数定义域, 那么判断函数的奇偶性时很有可能得出如下错误结论:

∵f (-x) = (-x) 3=-x3=-f (x) ,

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是奇函数.

剖析:错误的原因是在没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下就直接加以判断, 这是学生极易忽视的步骤, 应在教学过程中反复强调.

综上所述, 在求解函数函数关系式、最值 (值域) 、单调性、奇偶性等问题中, 若能培养学生检查思维过程, 思辨函数定义域有无改变 (指对定义域为R来说) , 对解题结果有无影响, 就能提高学生质疑辨析能力, 从而不断提高学生思维能力, 进而有利于学生思维创造性的发展.

参考文献

[1]王亚辉.数学思维及其两种基本成分[J].南昌职业技术师范学院学报, 1996 (2) .

[2]邵光华.数学思维能力结构的定性分析[J].数学通报, 1994 (10) .

[3]王岩.启迪思维是数学教学的灵魂[J].淮海工学院学报, 2001 (6) .

正方形的定义和特征教学反思 篇3

“接力赛”调动了学生的好胜心，“找正方形的例子”调动的学生的好奇心。课堂的气氛一下子活跃了起来。看来这样的情景创设使枯燥乏味的数学变得既有趣又有用，从而吸引学生积极的参与和主动的学习，使学生体味到数学的趣味。能够调动学生的好奇心和好胜心，引入还算成功。回想一下，假如在“接力赛”中，能画出图形，让学生根据图形说出矩形和菱形的特征，这样能培养学生的数学语言的表达能力，岂不更好？

接下来进入主题：我让学生动手做两个实验，并从实验中寻找正方形的定义。实验一，让学生利用手中已有的可以活动的菱形模型变成一个正方形；实验二，利用手中已有的矩形用最快的方法剪（画）出一个正方形。这一下子学生的学习热情更加高，对于实验一，由于受到前面学习习近平行四边形变矩形的启发，几乎全班的同学都能自己动手完成；对于实验二，学生的剪法更是出乎我的意料，有的用尺子量了之后剪出，有的用对折的方法剪出，甚至有的模仿前面剪菱形的方法剪出……实验完毕，我提出了三个问题：

1、如果四边形ABCD已经是一个菱形，那么再加上什么条件就可以变为正方形？

2、如果四边形ABCD已经是一个矩形，那么再加上什么条件就可以变为正方形？

3、如果四边形ABCD是一般的平行四边形，那么再加上什么条件就可以变为正方形呢？

两个实验，富有吸引力，整个过程充分体现了以教师为主导，以学生为主体的新课程理念，让学生在动手操作中探索正方形的三个定义。对于我班学生的数学基础比较扎实的情况，我觉得假如当时我乘机提出第四个问题“如果是普通的四边形，那么必须再加上什么条件才可以变成正方形呢？”可能对学生的思维发展有好处。

正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系是教学的难点、也是教学内容的重点和关键。为此，我精心设计了一个几何画板的课件，让学生在观察动画过程中进一步了解正方形与平行四边形、矩形和菱形的关系。

从课堂学生的反映以及课后的情况看来，简简单单的一个多媒体课件起到了画龙点睛的作用，使得学生对“正方形与平行四边形、矩形和菱形的关系”这一知识点印象非常深刻。

在学生掌握了正方形与平行四边形、矩形和菱形的关系之后，我让学生进行小组讨论，引导他们从边、角、对角线和对称性四个方面归纳出正方形的特征。由于学生对正方形的定义以及正方形与平行四边形、矩形和菱形的关系这两个知识点掌握得比较好，所以不用三分钟的时间，各个小组已有了答案。概括出正方形的特征后，我马上就让学生进行练习。

现在回想起来，觉得学习正方形的特征，为的就是应用，而在实际应用中，我们看到的比较多的还是用数学符号表示出来的特征，而当时只是将正方形的特征用文字表示出来后就马上进行练习。假如当时能再花两三分钟的时间画出图形，引导学生用数学符号将其特征表示出来，对于学生解后面的习题岂不是有更大的帮助？

大概过了七八分钟后，我看到很多学生已经完成了大部分的练习题，我就开始评讲练习。对于练习第7题，其实也是书上的例题，题目的内容是：如图12.2.8，在正方形ABCD中，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数。

我拿了两个学生的答案，让全班同学比较。学生A：∠ABD=45°，∠DAC=45°，∠DOC=90°。这位学生只是将答案写了出来，没有说理过程。学生B：由于正方形是一个角为直角的菱形，对角线平分一组对角，对角线互相垂直平分，所以∠ABD＝∠DAC＝90×＝45，∠DOC＝90。

评讲试题一直是我的弱项，我不知怎样的方式才能最大限度的发挥学生的潜能，才能让学生真正的做到触类旁通、举一仿三。本节课的练习评讲，我反思了一下，觉得有以下几个方面值得我以后注意的。第一，留给学生做练习的时间不够多；第二，没能放手，让学生评学生的练习；第三，对于练习第7题，我不应该过分的强调学生B的做法，其实学生B的解法不见的就是完美的，应该让学生从这一道题慢慢学会说理的过程。

这一节课通过学生接力赛、实验、观察、讨论、思考以及教师的点拨和启发等，为学生创设了一个轻松、愉快的学习环境，激起了学生的学习热情和兴趣。这主要得意于创设有意义的数学活动，尤其是两个实验，使枯燥乏味的数学变得生动活泼。

十、函数的定义和调用 篇4

程序员一般把函数当作“黑箱”处理，并不关心它内部的实现细节。当然程序员也可以自己开发函数库。

说明一点，函数这一节很重要，可以说一个程序的优劣集中体现在函数上。如果函数使用的恰当，可以让程序看起来有条理，容易看懂。如果函数使用的乱七八糟，或者是没有使用函数，程序就会显得很乱，不仅让别人无法查看，就连自己也容易晕头转向。可以这样说，如果超过100行的程序中没有使用函数，那么这个程序一定很罗嗦(有些绝对，但也是事实)。

一、函数的定义

一个函数包括函数头和语句体两部分。

函数头由下列三不分组成：

函数返回值类型

函数名

参数表

一个完整的函数应该是这样的：

函数返回值类型 函数名(参数表)

{

语句体;

}

函数返回值类型可以是前面说到的某个数据类型、或者是某个数据类型的指针、指向结构的指针、指向数组的指针。指针概念到以后再介绍。

函数名在程序中必须是唯一的，它也遵循标识符命名规则。

参数表可以没有也可以有多个，在函数调用的时候，实际参数将被拷贝到这些变量中。语句体包括局部变量的声明和可执行代码。

我们在前面其实已经接触过函数了，如abs(),sqrt()，我们并不知道它的内部是什么，我们只要会使用它即可。

这一节主要讲解无参数无返回值的函数调用。

二、函数的声明和调用

为了调用一个函数，必须事先声明该函数的返回值类型和参数类型，这和使用变量的道理是一样的(有一种可以例外，就是函数的定义在调用之前，下面再讲述)。

看一个简单的例子：

void a(); /*函数声明*/

main()

{

a(); /*函数调用*/

}

void a() /*函数定义*/

{

int num;

scanf(%d,&num);

printf(%d ,num);

}

在main()的前面声明了一个函数，函数类型是void型，函数名为a，无参数。然后在main()函数里面调用这个函数，该函数的作用很简单，就是输入一个整数然后再显示它。在调用函数之前声明了该函数其实它和下面这个程序的功能是一样的：

main()

{

int num;

scanf(%d,&num);

printf(%d ,num);

}

可以看出，实际上就是把a()函数里面的所有内容直接搬到main()函数里面(注意，这句话不是绝对的，

)

我们前面已经说了，当定义在调用之前时，可以不声明函数。所以上面的程序和下面这个也是等价的：

void a()

{

int num;

scanf(%d,&num);

printf(%d ,num);

}

main()

{

a();

}

因为定义在调用之前，所以可以不声明函数，这是因为编译器在编译的时候，已经发现a是一个函数名，是无返回值类型无参数的函数了。

那么很多人也许就会想，那我们何必还要声明这一步呢?我们只要把所有的函数的定义都放在前面不就可以了吗?这种想法是不可取的，一个好的程序员总是在程序的开头声明所有用到的函数和变量，这是为了以后好检查。

前面说了，在调用之前，必须先声明函数，所以下面的做法也是正确的(但在这里我个人并不提倡)。

main()

{

void a();

a();

}

void a()

{

int num;

scanf(%d,&num);

printf(%d ,num);

}

一般来说，比较好的程序书写顺序是，先声明函数，然后写主函数，然后再写那些自定义的函数。

既然main()函数可以调用别的函数，那么我们自己定义的函数能不能再调用其他函数呢?答案是可以的。看下面的例子：

void a();

void b();

main()

{

a();

}

void a()

{

b();

}

void b()

{

int num;

scanf(%d,&num);

printf(%d ,num);

}

main()函数先调用a()函数，而a()函数又调用b()函数。在C语言里，对调用函数的层数没有严格的限制，我们可以往下调用100层、1000层，但是在这里我们并不提倡调用的层数太多(除非是递归)，因为层数太多，对以后的检查有一些干扰，函数调过来调过去，容易让自己都晕头转向。

什么叫函数的定义域 篇5

第一：对代数式的认识。每一个代数式它的本质就是一个函数。象x2-1这个代数式，它就是一个函数，其自变量是x，对x的每一个值x2-1都有唯一的值与之对应，所以x2-1的所有值的集合就是这个函数的值域。

第二：对抽象数的认识，对于一个没有具体解析式的抽象函数，由于我们不知道它的具体对应法则也难以知道它的自变、定义域、值域，很难理解它的符号及其意义。

例如：f(x+1)的自变量是什么呢?它的对应法则还是f吗?f(x+1)的自变量是x,它的对应法则不是f。

我们不妨作如下假设，如果f(x)=x2+1，那么f(x+1)=(x+1)2+1,f(x+1)与(x+1)2+1这个代数式相等，即：(x+1)2+1的自变量就是f(x+1)的自变量。(x+1)2+1的对应法则是先把自变量加1再平方，然后再加上1。

再如，f(x)与f(t)是同一个函数吗?

只须列举一个特殊函数说明。

显然，f(x)与f(t)它们的对应法则是相同的，如果x的取值范围与 t的取值范围是相同的，则f(x)与f(t)就是相同的函数，否则，它们就是对应法则相同而定义域不同的函数了。

例：已知f(x+1)=x²+1 ，f(x+1)的定义域为[0，2]，求f(x)解析式和定义域

设x+1=t，则;x=t-1，那么用t表示自变量f的函数为：(也就是把x=t-1代入f(x+1)=x²+1中)

f(t)=f(x+1)=(t-1)²+1

=t²-2t+1+1

=t²-2t+2

所以，f(t)=t²-2t+2， 则f(x)=x²-2x+2

或者用这样的方法——更直观：

令 f(x+1)=x²+1 中的x=x-1，这样就更直观了，把x=x-1代入 f(x+1)=x²+1，那么：

f(x)=f[(x-1)+1]=(x-1)²+1

=x²-2x+1+1

=x²-2x+2

所以，f(x)=x²-2x+2

而f(x)与f(t)必须x与t的取值范围相同，才是相同的函数，

由t=x+1，f(x+1)的定义域为[0，2]，可知道：t∈[1，3]

f(x)=x²-2x+2的定义域为：x∈[1，3]

三角函数定义的教学反思 篇6

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时学生必须考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解：设矩形的长为x米，则宽为(50-x)米，由题意得：

S=x (50-x)，故函数关系式为：S=x (50-x)。

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0

即：函数关系式为：S=x (50-x) (0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，学生必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响，若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性;若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，学生应注意函数定义域。如：

例2：求函数的值域。

错解：令，则2x=t2+3,

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞)上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1。故所求的函数值域是[1，+∞)。

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，学生若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

三、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例3：指出函数f (x)=log2 (x2+2x)的单调区间。

解：先求定义域：

∵x2+2x>0，∴x>0或x<-2，∴函数定义域为(-∞，-2)∪(0，+∞)。

令u=x2+2x，知在x∈(-∞，-2)上时，u为减函数;在x∈(0，+∞)上时，u为增函数，

又∵f (x)=log2u在[0，+∞)是增函数。

∴函数f (x)=log2 (x2+2x)在(-∞，-2)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数。

即函数f (x)=log2 (x2+2x)的单调递增区间(0，+∞)，单调递减区间是(-∞，-2)。

如果在做题时，学生没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解。在做练习或作业时，只是对题型、套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

四、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例4：判断函数y=x3, x∈[-1, 3]的奇偶性。

解：∵2∈[-1, 3]而-2埸[-1, 3]，

∴定义域区间[-1, 3]关于坐标原点不对称，

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是非奇非偶函数。

如果学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出解题思维的敏捷性。

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

∵f (-x) = (-x) 3=-x3=-f (x) ,

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是奇函数。

错误剖析：以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。

综上所述，在求解函数关系式、单调性、奇偶性等问题中，如果我们能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，有利于培养学生思维的创造性。

参考文献

[1]田万海.数学教育学.浙江教育出版社.

[2]庄亚栋.高中数学教与学.中学数学教与学编辑部出版.

函数单调性定义证明 篇7

例

1、用函数单调性定义证明:

(1)为常数)在 上是增函数.(2)在 上是减函数.分析：虽然两个函数均为含有字母系数的函数，但字母对于函数的单调性并没有影响，故无须讨论.证明:(1)设

则 是 上的任意两个实数，且，=

由 得，由

得，.于是，即即..(2)设在 是 上是增函数.上的任意两个实数，且，则

由 得，由

得

于是 即.又，..在 上是减函数.小结：由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关，与常数 无关.若函数解析式是分式，通常变形时需要通分，将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号.根据单调性确定参数

例

1、函数

在上是减函数，求的取值集合.分析：首先需要对 前面的系数进行分类讨论，确定函数的类型，再做进一步研究.解：当

具备增减性.当，解得

.故所求的取值集合为

.时，函数此时为，是常数函数，在上不时，为一次函数，若在上是减函数，则有

复合函数定义域求法 篇8

二、对高中复合函数的通解法——综合分析法

1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程

例1：指出下列函数的复合过程。

(1)y=√2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x

解：(1) y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2复合而成的。

(2)y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。

(3)∵y=sin3x=(sinx)-3

∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。

2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。

看下例题：例2：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5) 的定义域。

经典误解1：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。

F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。

由g(x),G(x)得：u2=2x-11 即：y=f(u2),u2=2x-11

∵f(u1)的定义域为[1、2]

∴1≤x﹤2

∴-9≤2x-11﹤-6

即：y=f(u2)的定义域为[-9、-6]

∴f(2x-5)的定义域为[-9、-6]

经典误解2：解：∵f(x+3)的定义域为[1、2]

∴1≤x+3﹤2

∴-2≤x﹤-1

∴-4≤2x﹤-2

∴-9≤2x-5﹤-7

∴f(2x-5)的定义域为[-9、-7]

注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为“中间变量”。从以上误解中找出解题者易将f(x+3)的定义域理解成(x+3)的取值范围，从而导致错误。而从定义中可以看出u仅仅是中间变量，即u既不是自变量也不是因变量。复合函数的定义域是指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范围，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3复合而成的复合函数，其定义域是x的取值范围。

正确解法：解:f(x+3)是由y=f(u1),u1=x1+3(1≤x﹤2)复合而成的。

f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5复合而成的

∵1≤x1﹤2

∴4≤u1﹤5

∴4≤u2﹤5

∴4≤2x2-5﹤5

∴2≤x2﹤5

∴f(2x-5)的定义域为[2、5]

关于高中函数单调性定义的解读 篇9

一般的, 设函数f (x) 的定义域为I:

如果对于函数f (x) 的定义域I内某个D区间上的任意两个自变量的值x1, x2,

⑴若当1x

⑵若当1xf (x2) , 则说f (x) 在这个区间上是减函数.

函数的增减性统称为函数的单调性.

理解和掌握上述定义, 需注意一下六点:

一、单调性的知识背景

在初中学习时, “y随着x的增大而增大”, 或“y随着x的增大而减小”, 这实际就是函数单调性定义的雏形.而高中阶段单调性的定义, 也就是对上述诊断的数量刻画.例如, 1x

二、单调性是相对于一个区间而言的概念

单调性是针对定义域内的某个区域而言的, 反映的是函数的局部性质.有两层含义:一是在函数的整个定义域内, 它可能有若干个增区间或者减区间;二是在叙述函数的单调性时, 必须同时指出其相应的单调区间.

函数的某个单调区间, 可能是其定义域本身, 抑或是定义域的一部分, 故单调区间D是定义域I的子集.其中边界点 (或称临界点) 写在区间内或者不写在区间内都不影响函数在其区间的单调性, 也就是说函数单调性不因边界的一个具体的数值而改变.即:函数在某个单调区间既可以写成开区间, 又可以写成闭区间.

三、自变量的值x1, x2是表示某区间内任意值

对于D区间上的两个自变量的值x1, x2, 注意一定要表达出具有的任意性, 而非某些特殊值, 方能使D区间内的每一个值都能被x1, x2所表示, 不失一般性;否则D区间就不一定具备单调性, 或者不能将D区间进行正确的描述.

四、单调区间不能用并集表示

当一个函数有若干个增区间 (或者减区间) 时, 其单调区间不能用并集表示, 例如:

函数y=-x2+2|x|+3的单调递增区间是__________, 单调递减区间是__________.

有的学生填写的答案就是:单调递增区间是 (-∞, -1) U[0, 1], 单调递减区间是[-1, 0]U[1, +∞) .虽然他们明白了函数各个区间的单调性, 但是其结果的表达方式是错误的.

错误原因就在于对两个区间上的任意两个自变量值x1, x2, 并不能总符合增函数 (或减函数) 的定义.

五、单调性的图像特征

函数在某区间上单调递增⇔图像从左至右呈上升趋势;函数在某区间上单调递减⇔图像从左至右呈下降趋势, 从而为我们凭借几何直观的简单图像 (或者说几何定义也好) 来处理一些单调性的问题提供了很大的方便.

六、单调性的命题意义

函数单调性的定义是一个真命题, 并且, 其逆命题也是真命题.

逆命题1:已知函数y=f (x) 在定义域的某个区间上为增函数, 若1x

逆命题2:已知函数y=f (x) 在定义域的某个区间上为增函数, 若f (1x)

同理, 由减函数的定义也可以构造出于此类似的两个命题, 就不在此赘述了.

逆命题1的意义是:利用函数单调性比较两个函数值的大小 (常见于指数与对数比较中) .

逆命题2的意义是:根据函数y=f (x) 在某个区间上递增与函数值的大小关系, 可以确定自变量值的大小关系.其价值在于把1x与x2从函数的对应法则f下解放出来, 是构建不等式求解的未知数取值范围的重要解题依据和途径.

【例】:已知函数f (x) 在其定义域R+上为增函数且f (2) =1, f (xy) =f (x) +f (y) ,

解不等式:f (x) +f (x-2) ≤3.

【解】不等式f (x) +f (x-2) ≤3可以转化为f[x (x-2) ]≤f (8) ,

又因为函数f (x) 在其定义域R+上为增函数,

二倍角的三角函数的教学反思 篇10

16、（本小题满分12分）已知tan2．

1求tan的值；

4sin22求sin2sincoscos21的值． 

（一）公式的推导：本节内容是由和角公式推导出来的，前面已经学习两角和与差的三角公式，学生掌握较好的情况下，我并没有像常规教学一样先复习和角公式，而是一上课就给出课题，让学生猜测什么叫“二倍角”，并提问2的正弦、余弦、正切能否用的三角函数表示出来，能否用前几节课学习的内容推导出来？留几分钟的时间给学生推导及讨论，可得出二倍角的三角函数公式：（1）Sin2α=2Sinαcosα（2）cos2cossin（3）tan2222tanα 21tanα观察公式（2）提问，等式右边减号变加号是什么式子，公式（2）有其它表示形式吗？得出cos2另外两种表示形式。

cos22cos2112sin2

注意点：

①对“二倍角”的认识，如2是的二倍，4是2的二倍，是的二倍，15的二倍是30等等。理解二倍角是相对的。

②余弦二倍角公式有三种形式，要恰当地选择以便简化运算过程。③对二倍角公式要学会灵活应用（顺用、逆用、变用）。其次，在对二倍角公式理解、掌握的基础上讲解例题：

（二）例题的挑选 1.已知sin0000 的二倍，30是1525,(,)，求sin2,cos2,tan2 1322．求证1sin2cos2tan

1sin2cos223.求函数f(x)=cosx-sinxcosx,x∈R的最大值和最小值.以上内容共花2课时，例题与练习穿插使用，做到讲练结合，同时，补充书上的课堂练习，让学生独立完成。通过这种形式，即发挥了教师的教学主导作用，又有效地调动了学生的自主探究学习。这样也顺带回顾一下本节课的主要内容。在这些题目中我们还是可以发现这样一些命题规律：函数解析式由简单变复杂，由一上来就能分参化最值洛必达到经过很好的转化才能更快更准确的求解，变为构造小区间验证分类讨论的思想.17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180，180,200，200,220，220,240，240,260，260,280，280,300分组的频率分布直方图如图2．

1求直方图中x的值；

2求月平均用电量的众数和中位数；

3在月平均用电量为220,240，240,260，260,280，280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220,240的用户中应抽取多少户？

《任意角的三角函数》教学反思 篇11

以前我写教学反思都是在教案的最后一个狭小的空隙里写上寥寥数笔, 记录下自己当时上课的情况和学生的反应情况, 真正静下心来写教学反思还是第一次。这也许就是我这次上课不成功的一个重要原因吧。因为不反思就没有进步, 自己的确原地踏步太久了。

首先我非常感谢在这次比赛中给予我支持和帮助的各位领导和同事。在校内试讲的时候, 符校长在百忙之中听我的课并给予指导。黄主任在听完课后写了一整张纸的建议, 包括一些细节, 并且当我不知如何处理突发状况时, 黄主任给出了很好的建议。我们的组长符老师, 有一次听我试讲完, 很晚了都顾不上吃饭来给我指导, 当时天气很冷, 我真的非常感动。在处理知识的衔接方面, 倪老师和曾老师给予了我很大的启发。高三的赵老师、王老师虽然教学任务很繁重, 但当我在制作课件遇到难题请教他们时, 他们都很耐心地给予我帮助。教研室的李主任在我准备的过程中一直给予我很大的帮助, 甚至在比赛那天还到比赛现场告诉我一些比赛中需要注意的细节, 包括如何利用有限的课间时间和学生沟通、拉近师生距离等。在这里我还要特别感谢学校生物实验室的管理员老师, 每次我试讲要用多媒体时都有求必应。要感谢的人实在太多太多, 真的很感谢同事、朋友给我的关心和帮助, 在这里真诚地说一声:谢谢大家。

这次比赛失败的一个很重要的原因是缺乏实战经验。实战经验包含很多方面的内容, 比如课题选择、授课容量、课件制作、师生互动、临场反应等, 反映了平时上课的积累和学习情况。我的比赛课题是《任意角的三角函数》, 属于概念课。概念课比较抽象, 一般学生不容易理解, 很难接受。尤其是当学生基础不是很好时, 就很难互动起来。比如我这次的讲课内容是《任意角的三角函数》, 它与高一数学必修一里面的《函数》的联系非常紧密。如果学生在当时的学习过程中没有很好地理解和掌握函数的有关概念, 那么在后面的学习中就会遗忘, 并且在学习新的函数时脑海中会有一种似是而非、模糊不清的感觉。所以我认为对于数学讲课比赛来说, 选择上概念课对于教师尤其是青年教师来说是一个不小的挑战。

这次上课的容量也很大, 针对三个知识点有三个例题, 并有配套的课堂跟踪练习。在新课标要求下, 学生是学习的主体, 教师要充分发挥主导作用。由于学生实际认知水平达不到要求, 授课容量过大, 导致在比赛时很被动, 很难完成课堂教学任务, 且教学效果不理想。因为容量大会促使教师授课时语速过快, 学生基础差就不好, 因而难以跟得上教师的步伐, 从而导致恶性循环。对于讲课比赛来说, 我认为一个好的课件会给课堂教学插上一对腾飞的翅膀, 起到事半功倍的作用, 并且会让评委眼前一亮。我这次的课件制作得粗糙。在今后的学习和工作过程中, 制作课件、熟练应用多媒体也是要努力的一个方向。关于师生互动、临场反应等, 我认为自己在课堂上的积累远远不够, 平时可能懒于创新, 不善于发现、总结, 这次比赛真的是一个很大的教训, 对我触动很大。下面就授课具体内容做反思和总结。

在教学过程中我将教材内容进行整合:首先, 让学生回顾初中相关内容———锐角三角函数的概念。然后将初中的锐角三角形放到直角坐标系中, 出现了点的坐标, 邻、对、斜变成了横、纵、r (=OP) 。老教材上的定义自然推出;再次, 将r特殊化令r=1, 新教材上的定义立即出现 ;最后 , 进行定义的应用 , 教材例1考查新教材定义, 例2考查旧教材定义。虽然教学设计得比较顺, 自我感觉良好, 但是在具体授课的过程中感觉很难, 学生不动笔算。这一点值得深思。这节课从知识传授上看比较成功, 但能力培养上显得不足, 主要是在例题与练习的处理上投入的时间不足, 没有使学生及时将知识内化为能力。这节课也许是我设计得太顺畅了, 台阶过密、跨度太小, 学生在学习过程中没有遇到陷阱, 没有产生激烈的思维碰撞, 因此, 看似顺畅, 实则效果不佳。今后我要注意梯度的设计, 台阶不要过密要有一定的思维跨度。

Excel中自定义函数实例剖析 篇12

在介绍自定义函数的具体使用之前，不得不先介绍一下VBA，原因很简单，自定义函数就是用它创建的，VBA的全称是Visual Basic for Application，它是微软最好的通用应用程序脚本编程语言，它的特点是容易上手，而且功能非常强大。

在微软所有的Office组件中，如Word、Access、Powerpoint等等都包含VBA，如果你能在一种Office组件中熟练使用VBA，那么在其它组件中使用VBA的原理是相通的。

Excel中VBA主要有两个用途，一是使电子表格的任务自动化;二是可以用它创建用于工作表公式的自定义函数。

由此可见，使用Excel自定义函数的一个前提条件是对VBA基础知识有所了解，如果读者朋友有使用Visual Basic编程语言的经验，那么使用VBA时会感觉有很多相似之处。如果读者朋友完全是一个新手，也不必太担心，因为实际的操作和运用是很简单的。

二、什么时候使用自定义函数?

有些初学Excel的朋友可能有这样疑问：Excel已经内置了这么多函数，我还有必要创建自己的函数吗?

回答是肯定的。原因有两个，它们也正好可以解释什么时候使用Excel自定义函数的问题。

第一，自定义函数可以简化我们的工作。

有些工作，我们的确可以在公式中组合使用Excel内置的函数来完成任务，但是这样做的一个明显缺点是，我们的公式可能太冗长、繁琐，可读性很差，不易于管理，除了自己之外别人可能很难理解。这时，我们可以通过使用自定义函数来简化自己的工作。

第二，自定义函数可以满足我们个性化的需要，可以使我们的公式具有更强大和灵活的功能。

实际工作的要求千变万化，仅使用Excel内置函数常常不能圆满地解决问题，这时，我们就可以使用自定义函数来满足实际工作中的个性化需求。

上面的讲述比较抽象，我们还是把重点放在实际例子的剖析上，请大家在实际例子中进一步体会，进而学会在Excel中创建和使用自定义函数。

下面我们通过两个典型实例，学习自定义函数使用的全过程。这里实际上假设读者朋友都有一定的VBA基础。

假如你完全没有VBA基础也不要紧，当学习完实例后，若觉得自定义函数在自己以后的工作中可能用到，那么再去补充相应的VBA基础也不迟。

(一) 计算个人调节税的自定义函数

任务

假设个人调节税的收缴标准是：工资小于等于800元的免征调节税，工资800元以上至1500元的超过部分按5%的税率征收，1500元以上至元的超过部分按8%的税率征收，高于2000元的超过部分按20%的税率征收。

分析

假设Sheet1工作表的A、B、C、D列中分别存放“姓名”、“总工资”、“调节税”、“税后工资”字段数据，如图1所示。

图 1

平时使用较多的方法是借助嵌套使用IF函数计算，比如在C2单元格输入公式“=IF(B2<=800,0,IF(B2& lt;=1500,(B2-800)*0.05,IF(B2<=2000,700*0.05+ (B2-1500)*0.08,700*0.05+500*0.08+(B2-2000)*0.2)))”，然后通过填充柄复制公式到C列的其余单元格。

既然公式能够解决问题，为什么还要使用自定义函数的方法呢?

正如前面提到的两个方面的原因：一是公式看起来太繁琐，不便于理解和管理;二是公式的处理能力在面对稍微复杂一些的问题时便失去效用，比如假设调节税的税率标准会根据年龄的不同而改变，那么公式可能就无能为力了。

使用自定义函数

下面就通过此例介绍使用自定义函数的全过程，即使是初学Excel的朋友，也会感觉其操作实际上是非常简单的。

1. 为了便于测试自定义函数的计算效果，可以先把上面采用公式计算的结果删去。然后选择菜单“工具→宏→Visual Basic编辑器”命令(或按下键盘Alt+F11组合键)，打开Visual Basic窗口，我们将在这里自定义函数。

2. 进入Visual Basic窗口后，选择菜单“插入→模块”命令，于是得到“模块1”，在其中输入如下自定义函数的代码(图2)：

Function TAX(salary)

Const r1 As Double = 0.05

Const r2 As Double = 0.08

Const r3 As Double = 0.2

Select Case salary

Case Is <= 800

TAX = 0

Case Is <= 1500

TAX = (salary - 800) * r1

Case Is <= 2000

TAX = (1500 - 800) * r1 + (salary - 1500) * r2

Case Is >2000

TAX = (1500 - 800) * r1 + (2000 - 1500) * r2 + (salary - 2000) * r3

End Select

End Function

图 2

3. 函数自定义完成后，选择菜单“文件→关闭并返回到Microsoft Excel”命令，返回到Excel工作表窗口，在C2单元格中输入公式“=TAX(B2)”回车后就计算出了第一个员工应付的个人调节税，然后用公式填充柄复制公式到其它后面的单元格，这样就利用自定义函数完成了个人调节税的计算(图3)。

图 3

4. 从自定义函数的代码中可以看出，用这种方式，自定义函数的功能非常易于理解，同时如果税率改变，相应地变化r1、r2、r3的值即可。

通常，自定义的函数只能在当前工作薄使用，如果该函数需要在其它工作薄中使用，则选择菜单“文件→另存为”命令，打开“另存为”对话框，选择保存类型为“Mircosoft Excel加载宏”，然后输入一个文件名，如“TAX”单击“确定”后文件就被保存为加载宏(图4)，

然后选择菜单“工具→加载宏”命令，打开“加载宏” 对话框，勾选“可用加载宏”列表框中的“Tax”复选框即可，单击“确定”按钮后(图5)，就可以在本机上的所有工作薄中使用该自定义函数了。

图 4

图 5

如果想要在其它机器上使用该自定义函数，只要把上面的加载宏文件复制到其它电脑上加载宏的默认保存位置即可。

说明：Windows XP系统下加载宏文件的默认保存位置为：C:Documents and Settingszunyue(用户帐户)Application DataMicrosoftAddIns文件夹。

任务

为了促进销售人员的工作积极性，销售部门经理制定了销售业绩奖金制度，奖金发放的标准奖金率如下：月销售额小于等于2800元的奖金率为4%，月销售额为2800元至7900元的奖金率为7%，月销售额为7900元至15000元的奖金率为10%，月销售额为15000元至30000元的奖金率为13%，月销售额为30000元至50000元的奖金率为16%，月销售额大于50000元的奖金率为19%。同时，为了鼓励员工持续地为公司工作，工龄越长对奖金越有利，具体规定为：参与计算的奖金率等于标准奖金率加上工龄一半的百分数。比如一个工龄为5年的员工，标准奖金率为7%时，参与计算的奖金率则为9.5%=7%+(5/2)%。

分析

首先，我们在Excel中制作好如图6的Sheet1工作表，开始分析计算的方法。

图 6

如果不考虑工龄对奖金率的影响，那么可以利用嵌套使用IF函数，在D2单元格输入公式“=IF(B2<=2800,B2*4%,IF(B2& lt;=7900,B2*7%,IF(B2<=15000,B2*10%,IF(B2<=30000,B2*13%,IF(B2& lt;=50000,B2*16%,B2*19%)))))”可以进行计算。

但是，该公式的一些弊端很明显：一是公式看起来太繁琐、不容易理解，而且IF函数最多只能嵌套7层，万一奖金率超过7个，那么这个方法就无能为力了。

另一方面，由于没有考虑工龄，所以该方法不能算是解决问题了，如果我们把工龄融入到上述公式中，这样公式就会显得更加冗长繁琐，以后的管理与调整都很不方便。

使用自定义函数

下面我们看看利用Excel自定义函数进行计算的全过程，有了实例一的基础，相信大家理解起来更容易了。不过这里与实例一有一个明显的差别是，该自定义函数使用了2个参数，请大家注意体会。

1. 在上述Excel工作表中，选择菜单“工具→宏→Visual Basic编辑器”命令，打开Visual Basic窗口，然后选择菜单“插入→模块”命令，插入一个名为“模块1”的模块。

2. 接着在模块编辑窗口中输入自定义函数的代码如下(图 7)：

Function REWARD(sales, years) As Double

Const r1 As Double = 0.04

Const r2 As Double = 0.07

Const r3 As Double = 0.1

Const r4 As Double = 0.13

Const r5 As Double = 0.16

Const r6 As Double = 0.19

Select Case sales

Case Is <= 2800

REWARD = sales * (r1 + years / 200)

Case Is <= 7900

REWARD = sales * (r2 + years / 200)

Case Is <= 15000

REWARD = sales * (r3 + years / 200)

Case Is <= 30000

REWARD = sales * (r4 + years / 200)

Case Is <= 50000

REWARD = sales * (r5 + years / 200)

Case Is >50000

REWARD = sales * (r6 + years / 200)

End Select

End Function

图 7

3. 从代码可以看出，我们自定义了一个名为REWARD的函数，它包含两个参数：销售额sales和工龄years。常量r1至r6分别存放着各个等级的奖金率，这样处理的好处是当奖金率调整时，修改非常方便。同时，函数的层次结构比前面的公式清晰，让人容易理解函数的功能。此外，当奖金率超过7个时，用自定义函数的方法仍然可以轻松处理。

4. 接下来用该自定义函数进行具体的计算。选择菜单“文件→关闭并返回到Microsoft Excel”命令，关闭Visual Basic窗口，返回Excel工作表。选中D2单元格，在其中输入“=reward(B2,C2)”，回车后就算出了第一个员工的奖金，然后利用公式填充柄复制该公式到后面的单元格，即可完成对其它员工奖金的计算(图 8)。

图 8

如果该自定义函数需要在其它工作薄或其它机器上使用，仿照实例一的操作方法进行即可。

四、总结

我们通过两个典型的实例讲述了Excel中自定义函数使用的全过程，相信大家都已经会到，其操作过程还是相当简单的。

如果你觉得自己的工作可能需要自定义函数，想进一步学好提高使用自定义函数的水平，笔者想给出如下几点建议。

第一点、尽力全面熟练地掌握Excel内置的函数。能用内置函数妥善解决的问题，就不必使用自定义函数。实际上，自定义函数的执行效率当然是比Excel内置函数的执行效率慢的。

第二点、认真掌握好VBA的基础知识。这点很容易理解，如果连VBA的基本规则都不甚清楚，那么别说是写出精致的自定义函数，就是写出能解决问题的自定义函数也还大有疑问。

第三点、具体写自定义函数代码之前，应该认真分析自己要处理的实际问题，如果这个问题有实际的数学函数模型，那么最好列出这个函数的解析式。

高三三角函数教学反思 篇13

通过这一阶段的课堂教学，在合作探究中培养学生的问题意识，同学们的表现有了明显的转变，课堂上有问题能及时提出来，有的同学一堂课能提出好几个问题，其他同学对提出的问题争先恐后地辩解，争得面红耳赤。

本节课采用问题引入法，从教材探究性问题梯子的倾斜度入手，让学生主动参与学习活动。用特殊值探究锐角的三角函数时，学生们表现得非常积极，从作图，找边、角，计算各个方面进行探究，学生发现：特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出，然后就问：三角函数与直角三角形的边、角有什么关系，三角函数与三角形的形状有关系吗?进一步深入地去认识三角函数;当得出正切的概念后，学生们就提出：能不能把公式变形成积的`形式，去求边，这个问题已经把本课的内容拓展了，说明学生的问题意识已经增强了，能够合理地提出问题。至此，每个学生在课堂的表现明显改变，表现得积极、主动、问题意识强。

在教学中，我还注重对学生进行数学学习方法的指导。在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会作题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目。通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念、基础知识。

在这节课的教学中存在许多缺陷，促使我进一步研究和探索。我们必须清醒地认识到，课程改革势在必行，在教学中加入新的理念，发挥传统教学的基础性和严谨性，不断地改善教法、学法，才能适应现代教学。

三角函数定义的教学反思 篇14

关键词：函数,思维品质

函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域 (或变量的允许值范围) 似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100米，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解：设矩形的长为x米，则宽为 (50-x) 米，由题意得：S=x (50-x)。

故函数关系式为：S=x (50-x).

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0

即：函数关系式为：S=x (50-x) (0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大 (小) 值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：

例2求函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最值。

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 在R上适用，而在指定的定义域区间[p, q]上，它的最值应分如下情况：

⑴当

⑵当p时，y=f (x) 在[p, q]上单调递减函数f (x) max=f (p) ，f (x) min=f (q) ;

⑶当p≤≤q时，y=f (x) 在[p, q]上最值情况是：

f (x) max=max{f (p) ，f (q) }，即最大值是f (p) ，f (q) 中最大的一个值。

故本题还要继续做下去：

∴函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最小值是-4，最大值是12。

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例3求函数的值域。

错解：令

故所求的函数值域是[，+∞)。

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞) 上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1。故所求的函数值域是[1，+∞)。

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例4指出函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调区间。

解：先求定义域：∵x2+2x>0

∴x>0或x<-2

∴函数定义域为 (-∞，2) ∪(0，+∞)。

令u=x2+2x，知在x∈ (-∞，-2)上时，u为减函数，

在x∈ (0，+∞)上时，u为增函数。

又∵f (x) =log2u在[0，+∞)是增函数。

∴函数f (x) =log2 (x2+2x)在 (-∞，-2)上是减函数，在[0，+∞)上是增函数。

即函数f (x) =log2 (x2+2x)的单调递增区间是(0，+∞)，单调递减区间是 (-∞，-2)。

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例5判断函数y=x3, x∈[-1, 3]的奇偶性。

解：∵2∈[-1, 3]而-2埸[-1, 3]

∴定义域区间[-1, 3]关于坐标原点不对称

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是非奇非偶函数。

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

∵f (-x) = (-x) 3=-x3=-f (x)

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是奇函数。

错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。