线面平行经典例题练习

线面平行经典例题练习篇1

例

1、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（）（A）2（B）1（C）2 31（D）

3例

2、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（）

（A）372（B）360（C）292（D）280

例

3、如图1，△ ABC为正三角形，AA//BB //CC , CC ⊥平面ABC且3AA=

（）

例

4、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.2

B.4

3BB=CC=AB,则多面体△ABC-ABC的正视图（也称主视图）是

2C.2

练习

D.4 3

3正(主)视

侧(左)视图

俯视图

1.一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图2所示，则这个几何体的体积为 A．

234B．2C．D．

433

2.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为．．



B． 42

C．D．

2A．

侧视图

3.一个几何体的三视图如图2所示,那么这个几何体的表面积为

.．．．

2正视图

2侧视图

正视图

侧视图

俯视图

4.已知某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的体积为

A.C.空间点、直线、平面之间的位置关系 1平面

判定直线在平面内：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这两条直线在此平面内。

确定一个平面：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面推论1：一个直线外的点与一条直线确定一个平面推论2：两条相交直线确定一个平面推论3：两条平行直线确定一个平面

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

空间中直线与直线的位置关系

判断直线与直线平行：平行于同一条直线的两直线互相平行（平行的传递性）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。异面直线垂直：如果两条异面直线所成角是直角，那么这两条线互相垂直。·异面直线所成角不大于90度!空间中直线与平面之间的位置关系

·直线与平面的位置关系：在平面内,与平面相交,与平面平行。平面与平面之间的位置关系

·平面与平面的位置关系有且只有两种：相交于平行 2 直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定

定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

定理2：若两个平面平行，则其中一个面的任意一条直线与另一个面平行。平面与平面平行的判定

定理1：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行定理2,：若两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，则这两个平面平行直线与平面平行的性质

定理1：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与此平面平行。

（·作用：证明线线平行 ·做法：经已知直线做一个平面与已知平面相交）平面与平面平行的性质

定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。

补充：证明线线平行的方法： 1.平行的传递性

2.线面平行的性质定理（·关键：寻找面面的交线）3.证明为第三个平面与两个平行平面的交线

一、选择题

1．下列条件中,能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

2、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是()A.b∥αB.b

C.b与α相交D.以上都有可能

3．直线a，b,c及平面，，使a//b成立的条件是（）

A．a//,bB．a//,b//C．a//c,b//cD．a//,b 4．若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（）A．内的所有直线与m异面B．内不存在与m平行的直线 C．内存在唯一的直线与m平行D．内的直线与m都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（）

① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；

A．4B．3C．2D．1 6．在空间中，下列命题正确的是()． A．若a∥α，b∥a，则b∥α

B．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α C．若α∥β，b∥α，则b∥β D．若α∥β，a⊂α，则a∥β．β是两个不重合的平面，a，b是两条不同直线，在下列条件下，可判定∥β，的是（）

A．，β都平行于直线a，b

B．内有三个不共线点到β的距离相等 C．a，b是内两条直线，且a∥β，b∥β

D．a，b是两条异面直线且a∥，b∥，a∥β，b∥β

8．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是()． A．平行C．异面

B．相交 D．平行或异面

9．设a,b表示直线，,表示平面，P是空间一点，下面命题中正确的是（）A．a，则a//B．a//，b，则a//bC．//,a,b，则a//bD．Pa,P,a//,//，则a 10．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）

A.异面B.相交C.平行D.不能确定 11.下列四个命题中，正确的是（）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A．①③B．①②C．②③D．③④ 12．在下列命题中，假命题的是A.若平面α内的任一直线平行于平面β，则α∥βB.若两个平面没有公共点，则两个平面平行

C.若平面α∥平面β，任取直线aα，则必有a∥β

D.若两条直线夹在两个平行平面间的线段长相等，则两条直线平行

二、填空题

13．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是

①②③④

14．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1和平面ACE位置关系是．

15．a，b，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ不在平面内，给出六个命题：

a∥ca∥∥c①a∥b;②a∥b;③∥;b∥cb∥∥c④

为三个不重合的平面，直线均

∥c

∥∥

a∥;⑤∥⑥a∥a∥c∥a∥

其中正确的命题是________________.16.如图，若PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面

线面平行判定教案篇2

教学目标

1.知识与技能

(1)通过直观感知.操作确认，理解直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用

(2)进一步培养学生观察.发现问题的能力和空间想像能力

2.过程与方法

(1)启发式。以实物（门、书等）为媒体，启发.诱思学生逐步经历定理的直观感知过程。

(2)指导学生进行合情推理。对于立体几何的学习，学生已初步入门，让学生自己主动地去获取知识.发现问题.教师予以指导，帮助学生合情推理.澄清概念.加深认识.正确运用。

3.情感态度与价值观

(1)让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。

(2)在培养学生逻辑思维能力的同时，养成学生办事认真仔细的习惯及合情推理的探究精神。

教学重点与难点

1.教学重点：通过直观感知.操作确认，归纳出直线和平面平行的判定及其应用。

2.教学难点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及其应用。

教学过程

一、复习引入

问题：回顾直线与平面的位置关系。

设计意图：通过师生互动回忆旧知识，帮助学生巩固旧知识，让学生在体验学习数学的成就感中来学习新知识，营造轻松愉快的学习氛围。

二、感知定理

思考1：根据定义，怎样判定直线与平面平行？图中直线l 和平面α平行吗？

思考2：若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？

思考3：有一块木料如图，P为面BCEF内一点，要求过点P在平面BCEF内画一条直线和平面ABCD平行，那么应如何画线？

由以上实例可以猜想：

猜想：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α

a与平面α平行？

设计意图：通过三个情景问题和猜想的设计，使学生通过观察、操作、交流、探索、归

纳，经历知识的形成和发展，由此并猜想出线面平行的判定定理。培养学生自主探索问题的能力。

三、定理探究

定理探究：由猜想探究定理，并引出定理

定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符号语言： a,b,a//ba//

解读定理：①定理的三个条件缺一不可；“一线面外、一线面内、两线平行”

②判定定理揭示了证明一条直线与平面平行时往往把它转化成证直线与直

线平行.直线与平面平行关系

空间问题平面问题直线间平行关系

③定理简记为：线(面外)线(面内)平行

定理证明：（略）线面平行.设计意图：通过解读定理，加强对定理的认识和理解以及应用定理的能力。

四、定理应用

线面平行判定导学案篇3

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；

（2）能应用定理证明简单的线面平行问题。

2、过程与方法

学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。

3、情感、态度与价值观

（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；

（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。

二、教学重点、难点

重点：直线和平面平行的判定定理的归纳及其应用。

难点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及其应用。

三、学法与教学用具

1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。

2、教学用具：投影仪（片）

四、教学过程：

【回顾知识，提出问题】

1、（1）空间中直线与平面有哪几种位置关系？（分别用文字语言、图形语言、符号语言表示）

（2）你能从生活中举几个直线与平面平行的实例吗？

（3）当门扇绕着一边转动时，门扇转动的一边所在直线与门轴所在平面具有什么样的位置关系呢？

（4）观察“书本模型”：将课本放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？

【发现问题】

1、门扇两边所在的直线有什么样的位置关系呢？

2、书的硬皮封面的对边所在的直线有什么样的位置关系呢？

【探究问题】

3、如右图，平面外的直线a平行平面内的直线b，则：（1）直线a和直线b共面吗？（2）直线a与平面相交吗？

【解决问题】

4、直线与平面平行的判定定理：

【知识挖掘】（1）定理的____个条件缺一不可，用六个字刻画为_______、_______、_______（2）判定定理简记为：________________________（3）数学思想方法：空间问题________平面问题【学生练习】

1、如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）与AB平行的平面是________________；（2）与AA1平行的平面是________________；（3）与AD平行的平面是________________。

2、判断下列命题的真假，并说明理由

①如果直线a平行于平面内无数条直线，a∥。（）

③如果一直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行。（）

【例题讲解】

例1 求证：空间四边形的相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平

面.【合作探究】

1、如图：正方体ABCDA1B1C1D1中，P是棱A1B1的中点，过点P画一条直线使之与截面A1BCD1平行.C

1A1

B2、如图：已知有公共边AB的两个全等矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q是对角线AE、BD的中点，求证PQ∥平面CBE？

D3、如图：在正方体ABCDA1B1C1D1中，EF分别是棱BC与C1D1的中点.求证：EF //平面BDD1B

1D1 A1

小结：

1、直线与平面平行的判定：（1）（2）

2、应用判定定理判定线面平行时应注意六个字:（1）（2）（3）

3、应用判定定理判定线面平行的关键是找方法一：方法二：

4、数学思想方法：

C F B

当堂检测

1、已知直线a,b和平面，下列命题中真命题是（）A、若a//,b,则a//b

B、若a//,b//，则a//b

若a//b，C、若a//b,b,则a//D、则b//a或b a//，2、能保证直线a与平面平行的条件是：（）A、a,b,a//bB、b, a//b

C、b,c//a , a//b,a//cD、b,Aa,Ba,Cb,Db，且ACBD

3、如图，在空间四边形ABCD中，MAB,NAD,若

AMAN

，则MN与MBND

平面BDC的位置关系是

关于线面平行问题的探讨篇4

刘玉扬中市第二高级中学中学二级教师

摘要:本文重要通过几个例题，对高考中常见的线面平行问题做一些简单的探讨，主要讨论如何运用判定定理来证明线面平行问题。

关键词: 高考线面平行立体几何

正文

直线和平面平行是立体几何初步中的一类重要题

型，如何判断并证明线面平行，也是历年高考中的常见

题型。本文拟从几个经典的线面平行例题出发，结合往

年高考题对线面平行做进一步的探讨。

【例1】如图，E，F，G，H分别是空间四边

形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：

（1）四点E,F,G,H共面；（2）BD//平面EFGH，AC//平面EFGH。

分析：（1）要证明E,F,G,H四点共面，可以根据公理3的第3个推论，证明这四点所在的两条直线EH和FG平行，或者直线EF和HG平行；

（2）易得，BD//FG，AC//EF，从而根据线面平行的判定定理证明。解：（1）E,F分别为AB，BC的中点，EF//AC

同理HG//AC，从而EF//HG

所以，直线EF和直线HG可以确定一个平面，E直线EF，直线EF，E。同理，F,G,H

故E,F,G,H四点共面。

（2）由（1）知，EF//AC，又EF面EFGH，AC面EFGH，AC//面EFGH。同理，BD

//面EFGH

点拨：本题是苏教版数学必修2第36页习题第3题，第（2）问主要考查线面平行的判定定理，比较简单。

【探究一】将上例改为：E，F，G，分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，的中点，试在边DA上找一点H，使得四点E,F,G,H共面，并讨论当BD和AC满足什么关系时，四边形EFGH为菱形、正方形？

分析：本题可以利用线面平行的性质定理，将HG看成是平面EFGH与平面ACD的交线，从而EF//HG，从而易知四边形EFGH为平行四边形，再根据边的关系进一步探讨平行四边形ABCD的形状。

解：E,F分别为边AB，BC的中点，EF//AC

又EF面ACD，AC平面ACD

EF//面ACD

E,F,G,H四点共面，即平面EFGH平面ACDHG

从而，EF//HG，故HG//AC，所以，H为边DA的中点。11AC，GH//AC，所以EFGH，故四边形EFGH为平行四2

211边形。当EFFG，即ACBD，也即ACBD时，四边形EFGH为菱形；22

当ACBD时，有EFFG，从而，当ACBD且ACBD时，四边形EFGH易得，EF//为正方形。

【探究二】如果将例1中的E,F,G,H是各边中点弱化，改为：在空间四面体ABCD

G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，中，且满足E，F，AEAHCFCG，EBHDFBGD

结论还成立吗？

分析：要证明四点共线以及线面平行，只要找到线线平行就可

以了。例1中，遇到中点经常联系到中位线得到平行，其实，得到

平行的方法还有很多，思维不能定势，在做立体几何题目的时候要

注意思维的灵活性，抓住线面平行判定的常用方法，找准线线平行

就可以了。

牛刀小试：[2011·北京卷改]如图，在四面体PABC中，PCAB，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．

(1)求证：DE//平面BCP；

(2)求证：四边形DEFG为矩形；

解：(1)证明：D，E分别为AP，AC的中点，DE//PC

又DE平面BCP，PC平面BCP



DE//平面BCP

(2)点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．

DE//PC//FG，DG//AB//EF

四边形DEFG为平行四边形．

又PCAB，DEDG，从而平行四边形DEFG为矩形．

点评：证明线面平行的方法一般有三种：定义法、线面平行的判定定理、面面平行的性质。而在高考中，常见的是运用判定定理来证明，这就需要在平面内找一条直线与已知直线平行。上面这几个题目找平行线都不难，下面我们再分析一下，一般情况下如何找平行线。

【例2】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是B1C，BD的中点，求证：MN//平面AA1B1B。

分析：只要在平面AA1B1B中找到一条直线与MN平行即可。一种方法，因为M，N分别是B1C，BD的中点，容易联想到中位线，连结AB1和AC，易得MN//AB1；其次，可以将点C看成投影中心，MN在平面AA1，故MN//AB1B1B的投影正好是AB1。除了用判定定理之外，本题还可以取BC的中点G，通过证明平面MNG//平面AA1B1B得到MN//平面AA1B1B。

解：连结AB1和AC，因为M，N分别是B1C，BD的中点，故MN//AB1，又MN平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，所以，MN//平面AA1B1B。

【探究一】将原题改为：正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN//平面AA1B1B。

分析：将中点弱化为线段上的点，并没有改变由线线平行得到线面平行的本质，只是在找平行线时遇到了困难。用中心投影的方法，本题非常简单，但是不用这个方法，怎么找出交线呢？显然，CN必和AB相交，设交点为E，CMA1B1B1，从而，B1E可看做是

MN//平面AA过MN的平面CMN与平面AA1B1B成立，根据线面平1B1B的交线，若结论

行的性质定理，必有MN//B1E，也就是说，只要我们能够证明MN//B1E，就可以证明最终的结论了。而要证明MN//B1E，根据已知条件，结合正方体的特点，证明并不难。

证明：如图，延长CN交直线AB于点E，连结B1E。CMDN，

而CMDN，MB1NBDNCNCMCN，从而，即有MN//B1E，又MN平面AA1B1B，NBNEMB1NE

B1E平面AA1B1B，所以，MN//平面AA1B1B。

点评：本题是将线面平行的问题放在正方体这个背景中，但是，实际解决问题时，我们完全可以仅仅将这个问题放在四棱锥B1ABCD中，适当改变

相应的条件。

【探究二】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD

为

菱形，BAD60，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PMtPC，试确定实数t的值，使得PA//平面MQB。

分析：如图，MN是过PA的平面PAC与平面MQB的交线，若PA//平面MQB，PMANANAQ1PCACANNCAQBC3。则有PA//MN，从而

解：连结AC交BQ于点N，则过PA的平面PAC与平面MQB的交线为MN，若

PMAN，PA//平面MQB，由线面平行的性质定理，知PA//MN。从而，tPCAC

ANAQ1ANAN11，所以，即又在菱形ABCD中，有NCBC2ACANNC12

31t。3t

点评：解决这类探究性的命题，其基本方法就是将结论当作已知条件。立体几何中这类题型往往不是很难，只要能够抓住条件，如本题，充分运用线面平行的判定、性质定理，化难为易。

牛刀小试：如图，平面内两个正方形ABCD与ABEF，点M,N分别在对角线AC,FB上，且AM:MCFN:NB，沿AB折成直二面角。（1）证明：折叠后MN//平面CBE；

（2）若AM:MC2:3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN//平面CBE？若存在，试确定点G的位置。

分析：这是一类创新的题型——折叠问题，要能够把握折叠前后的不变量，问题就可以

迎刃而解。解决第二问时，只要根据面面平行的判定定理，由第一问的结论，再在面ABCD内过M点作AB的垂线，垂足即为点G。对于第一问，既可以通过面面平行来证，也可以在平面CBE内找一条直线与MN平行即可，还是可以利用线面平行的性质定理，延长AN交BE于点H，则直线CH为过MN的平面AMN与平面CBE的交线，则只要证明MN//CH即可，与例2的“探究二”类似。

解：（1）延长AN交BE于点H，则由AF//BE知，所以ANFNFNAM，而，NHNBNBMCAMAN，从而MN//CH。又因为MN平面CBE，CN平面CBE，所以，MCNH

MN//平面CBE；

（2）若平面MGN//平面CBE，由平面ABC平面MNGMG，AGAM2。平面ABC平面CBECB知MG//BC，从而，GBMC3

【小结】本文通过两个例题，对高考中常见的线面平行这一类重要证明题型做了简单的分析，并根据例题进一步展开，探讨一般情况下如何找线线平行，进而根据判定定理来证明线面平行，当然，线面平行大体上有三种证法，由于篇幅限制，本文主要对判定定理进行了

拓展，希望对同学们在复习这部分内容时有所帮助。

参考文献：

[1]鲍启静.线面平行之常见题型[N].中学生数理化.2008（2）

[2]崔君强.好记好用得“光照法”证明线面平行[N].中学生数学.2011-6月上（419）

关于线线、线面及面面平行的问题篇5

典型例题：

例1.（2012年四川省文5分）下列命题正确的是【】

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

【答案】C。

【考点】立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质。

【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确。故选C。

例2.（2012年浙江省文5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面【】

A.若l∥α，l∥β，则a∥βB.若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C.若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD.若α⊥β, l∥α，则l⊥β

【答案】B。【考点】线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质。

【解析】利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题：

A，若l∥α，l∥β，则满足题意的两平面可能相交，排除A；

B，若l∥α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B正确； C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除C；

D，若α⊥β, l∥α，则l可能与β平行，相交，排除D。

故选 B。

例3.（2012年山东省文12分）如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD.(Ⅰ)求证：BE=DE；

(Ⅱ)若∠BCD=1200，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面

BEC.【答案】解：(Ⅰ)证明：取BD中点为O，连接OC，OE，∵BC=CD，∴CO⊥BD，又∵EC⊥BD，CO∩EC=C，∴BD⊥平面OCE.。

又∵OE平面OCE.，∴BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线。

∴BE=DE。

(Ⅱ)取AB中点N，连接MN，DN，∵M是AE的中点，∴MN∥BE。

∵△ABD是等边三角形，∴DN⊥AB，∠ABD＝60°。

∵∠BCD＝120°，BC=CD，∴∠CBD＝30°。

∴∠ABC＝60°+30°＝90°，即BC⊥AB。

∴ND∥BC。

又∵MN∩ND=N，BE∩BC=B，∴平面MND∥平面BEC。

又∵DM平面MND，∴DM∥平面BEC。

【考点】线面垂直和平行的证明，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角

形的性质。

【解析】(Ⅰ)要证BE=DE，只要证点E是BD垂直平分线上的点即可。故取BD中点为O，连接OC，OE，由已知证明BD⊥OE即可。

(Ⅱ)要证DM∥平面BEC只要证明DM在一个平行于平面BEC的另一个平面上，故取AB中点N，连接MN，DN，证明平面MND∥平面BEC即可。

例4.（2012年福建省理13分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．

（I）求证：B1E⊥AD1；

（II）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；（III）若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．

→→→【答案】解：（I）如图，以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系。

a设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E2，1，0，B1(a,0,1)。

aa→→→→－，1，－1，AB1＝(a,0,1)，AE＝，1，0。∴AD1＝(0,1,1)，B1E＝22

a→→∵AD1·B1E0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1。2

→（II）假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此时DP＝(0，－1，z0)。

又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．

ax＋z＝0，→→∵n⊥平面B1AE，∴n⊥AB1，n⊥AE，得ax2y＝0.a1，－a。取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝2

a1→要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，即－az0＝0，解得z0＝。22

1又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝。2

（III）连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D。

∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C。又由（I）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1。

→→∴AD1是平面A1B1E的一个法向量，此时AD1＝(0,1,1)。

→n·AD→设AD1与n所成的角为θ，则cosθ＝＝→|n||AD1|

aa ∵二面角A－B1E－A1的大小为30°，∴|cosθ|＝cos30°

3a＝3a＝2，即AB的长为2。2

【考点】用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定。

→→→【解析】（Ⅰ）由题意及所给的图形，以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向

→→建立空间直角坐标系。设AB＝a，给出图形中各点的坐标，可求出向量AD1和B1E 的坐标，验证其数量积

为0即可证出两线段垂直。

（II）由题意，可先假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，求出平面B1AE法向量，可法向量与直线DP的方向向量内积为0，由此方程解出z0的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的z0的值，说明不存在这样的点

P满足题意。