抽屉原理答案

抽屉原理答案（精选7篇）

抽屉原理答案 篇1

抽屉原理

1、概念解析

把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果.由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1个），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.由此得到：

抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理.不要小看这个“原理”，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。

比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、„等十二种生肖）相同.怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上，由于人数（13）比属相数（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。

应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。

2、例题讲解

例1 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

例2 一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？

例3 从2、4、6、„、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。

例4 从1、2、3、4、„、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。分析与解答在这20个自然数中，差是12的有以下8对：

｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝。

另外还有4个不能配对的数｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12，根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到（取12个数：从12个抽屉中各取一个数（例如取1，2，3，„，12），那么这12个数中任意两个数的差必不等于12）。

例5 从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。

例6 证明：在任取的5个自然数中，必有3个数，它们的和是3的倍数。

例7 某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。

五 课堂练习

1.从10至20这11个自然数中，任取7个数，证明其中一定有两个数之和是29。

2.从1、2、3、„、20这20个数中，任选12个数，证明其中一定包括两个数，它们的差是11。

3.20名小围棋手进行单循环比赛（即每个人都要和其他任何人比赛一次），证明：在比赛中的任何时候统计每人已经赛过的场次都至少有两位小棋手比赛过相同的场次。

4.从整数1、2、3、„、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数.5.将这11个自然数分成下列6组：

｛10，19｝，｛11，18｝，｛12，17｝，｛13，16｝，｛14，15｝，｛20｝，从中任取7个数，根据抽屉原理，一定有两个数取自同一数组，则这两个数的和是29。

分析与解答 首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。

分析与解答 扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2张牌的花色可以有：2张方块，2张梅花，2张红桃，2张黑桃，1张方块1张梅花，1张方块1张黑桃，1张方块1张红桃，1张梅花1张黑桃，1张梅花1张红桃，1张黑桃1张红桃共计10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果.所以至少有11个人。

分析与解答 我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉：

凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。

现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。

分析与解答 根据题目所要求证的问题，应考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成10个抽屉（显然，它们具有上述性质）：

｛1，2，4，8，16｝，｛3，6，12｝，｛5，10，20｝，｛7，14｝，｛9，18｝，｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。

从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理，至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系，所以这两个数中，其中一个数一定是另一个数的倍数。

分析与解答 按照被3除所得的余数，把全体自然数分成3个剩余类，即构成3个抽屉.如果任选的5个自然数中，至少有3个数在同一个抽屉，那么这3个数除以3得到相同的余数r，所以它们的和一定是3的倍数（3r被3整除）。

如果每个抽屉至多有2个选定的数，那么5个数在3个抽屉中的分配必为1个，2个，2个，即3个抽屉中都有选定的数.在每个抽屉中各取1个数，那么这3个数除以3得到的余数分别为0、1、2.因此，它们的和也一定能被3整除（0+1+2被3整除）。

分析与解答 共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.校友人数与握手次数的不同情况（0，1，2，„，n-1）数都是n，还无法用抽屉原理。

抽屉原理答案 篇2

定理:如果将n+1个物体放进n个抽屉, 那么至少有一个抽屉中包含两个或更多的物体.

证明:如果这n个盒子中的每一个至多包含有一个物体, 那么物体的总数最多是n, 既然我们有n+1个物体, 于是某个盒子中就必然包含至少两个物体.

2.抽屉原理应用举例

例1:给定m个整数a1, a2, …, am, 存在0≤k

解:为了深入这个问题, 考虑m个和

a1, a1+a2, a1+a2+a3, …, a1+a2+a3+…+am

如果这些和当中的任意一个可被m整除, 那么结论就成立.因此, 我们可以设这些和中的每一个除以m都有一个非零余数, 余数等于1, 2, …, m-1.由于存在m个和而只有m-1个余数, 则必然有两个和数除以m有相同的余数.因此, 存在整数k和l, k

a1+a2+…+ak=bm+r, a1+a2+…+al=cm+r

二式相减, 我们发现ak+1+…+al= (c-b) m, 从而ak+1+…+al能够被m整除.

为了解释上面的论断, 令m=7, 并令整数为2, 4, 6, 3, 5, 5, 6.计算上面的和得到2, 6, 12, 15, 20, 25, 31, 其中当被7除时余数分别为2, 6, 5, 1, 6, 4, 3.有两个等于6的余数, 这意味着结论:6+3+5=14可被7整除.

例2:一位国际象棋大师有11周的时间备战一场锦标赛, 他决定每天至少下一盘棋, 但为了不使自己过于疲劳他还决定在每周不能下棋超过12盘.证明:存在连续若干天, 期间这位大师恰好下了21盘棋.

解:令a1是在第一天所下的盘数, a2是在第一天和第二天所下的总盘数, 而a3是在第一天、第二天和第三天所下的总盘数, 等等.由于每天至少要下一盘棋, 故数值序列a1, a2, …, a77是一个严格递增序列.此外, a1≥1, 而且由于每周下棋最多是12盘, a77≤12×11=132.

因此, 我们有

1≤a1

序列a1+21, a2+21, …, a77+21也是一个严格递增序列:

22≤a1+21

于是, 这154个数

a1, a2, …, a77, a1+21, a2+21, …, a77+21

中的每一个都是1到153之间的一个整数.由此可知, 它们中间有两个是相等的.既然a1, a2, …, a77中没有相等的数, 并且a1+21, a2+21, …, a77+21中也没有相等的数, 因此必然存在一个i和一个j使得ai=aj+21.从而, 这位国际象棋大师在第j+1, j+2, …, j+i天总共下了21盘棋.

例3:从整数1, 2, …, 200中, 我们选择101个整数.证明:在所选的这些整数之间存在两个这样的整数, 其中的一个可被另一个整除.

通过分解出尽可能多的2因子, 我们看到, 任一整数都可以写成2^k×a的形式, 其中k≥0并且a是奇数.对于1到200之间的一个整数, a是100个数1, 3, 5, …, 199中的一个.因此, 在所选的101个整数中存在两个整数, 当写成上述形式时这两个数具有相同的a值.令这两个数是2^r×a和2^s×a.如果rs, 那么第一个数就能被第二个数整除.

注意, 例3在这种意义下是最好的可能:从1, 2, …, 200中可以选择这样的100个数, 其中没有一个能被另一个整除, 比如, 101, 102, …, 199, 200就是这样的整数.

我们以另外的, 来自数论中的应用来结束本段.首先我们回忆, 如果两个正整数m和n的最大公约数为1, 我们就称它们为互数.

于是, 12和35互数, 而12和15则否, 因为3是12和15的公因子.

3.问题的总结

通过上述三个例题, 我们看到, 利用抽屉原理能够解决看起来很复杂的问题, 而得出解决问题的关键是为后面巧妙地构造抽屉.

参考文献

[1]Richard.Brualdi著.罗平等译.组合数学.北京:机械工业出版社, 2005.2.

趣谈“抽屉原理” 篇3

例1 储蓄筒里有五分硬币50枚,二分硬币60枚。如果倒出硬币,一次必须倒出几枚,才能保证至少有1枚五分硬币?

分析与解 如果一次倒出硬币1~60枚,有可能至少有一枚五分硬币,但不能确保有1枚五分硬币。因为二分硬币就有60枚,一次倒60枚有可能都是二分硬币,所以必须一次倒出61枚硬币,才能保证至少有一枚五分硬币。

(想一想:如果倒出硬币,一次必须倒出几枚,才能保证至少有1枚二分硬币?)

例2六年级(1)班共有学生42人,开展学雷锋活动,他们共做好事212件,是否有人至少能做6件或6件以上的好事?

分析与解 如果没有一个同学能做6件或6件以上的好事(与原题结果相反的结论),也就是说每位同学只能做5件或一件都不做。那么42个同学最多只能做52=210(件),而不是212件。这就推出了与已知条件相矛盾的现象,说明我们原先的假设是不对的。从而推出必定有人至少能做6件或6件以上的好事。

此题还可以这样解答:把42位同学看作42个抽屉,把212件好事看成212个苹果,如果每个抽屉放5个苹果,那么共放52=210(个)。因为210个少于212个,所以至少有一个抽屉放6个或6个以上苹果。从而得出42位同学做212件好事,肯定有的同学能做6件或6件以上的好事。

练一练 回答下列问题。

1.把5枝铅笔放进4个文具盒,总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔,为什么?如果把6枝铅笔放进5个文具盒,结果是否一样呢?

2.把5本书放进2个抽屉,不管怎么放,总有一个抽屉至少放进3本书,这是为什么?

3.任意13人中,至少有两人的出生月份是相同的,这是为什么?

4.任意367名学生中,一定存在两名学生在同一天过生日,对吗?

抽屉原理教案 篇4

一、教学内容：

教材第70页、72页例

一、例二及做一做。二．、教学目标： 知识与技能

1.理解最简单的“抽屉原理”及“抽屉原理”的一般形式。

2．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。过程与方法

通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。情感态度与价值观

体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的探究意识和能力。

三、教学重点：

理解抽屉原理的推导过程。教学难点;理解抽屉原理的一般规律。

四、教学方法：

教法：创设情境 引导探究 学法：小组合作

讨论

五、师生课前准备：4支铅笔

3个文具盒 投影仪

五、教学过程

（一）课前游戏引入 1.坐凳子游戏：

教师和5名学生做游戏 2.用一副牌展示“抽屉原理”。

师：这有一副牌，老师用它变一个魔术。想看吗？这个魔术的名字叫“猜花色”。老师随意抽五张牌。我能猜到，至少有两位同学的手中的花色是相同的，你们信吗？（老师与学生合作完成魔术）师：通过者个游戏你们能猜到我们今天研究的内容吗？ 3.揭示课题，板书课题《抽屉原理》

抽屉原理很神奇，我们用它可以解决很多有趣的的问题，想弄明白这个原理吗？这节课我们就一起来探究这种神秘的原理。

（二）探究原理

建立模型

1.合作探究（问题一）

师:同学们手中都有文具盒和铅笔，现在分小组动手操作：学生取出4枝笔，3个文具盒。然后把4枝笔放入3个文具盒中，摆一摆，想一想共有有几种放法？还有什么发现？

学生取出学具，带着问题展开小组活动。2.汇报展示

学习小组派代表到台前展示成果。要求学生边摆边说，老师同时在黑板上板书草图。可能会出现以下几种放法：

放法：（0,1,3）（2,2,0）（2,1,1）(4,0,0)教师：通过刚才的操作，你发现了什么？

学生：我们发现不管怎么放，总是有一个文具盒里至少放进去了2枝笔。理由是„„

3教师引导学生用平均分的方法解决问题

小组带着问题再次展开探究。

生：每个文具盒先放1枝，余下的一枝不管放到哪个文具盒里都可以得出，总有一个文具盒至少放进2枝笔。4.学以致用

课件出示：

将5枝笔放入4个文具盒„„ 将50枝笔放入49个文具盒„„ 将1000枝笔放入999个文具盒„„

教师：同学们仔细观察文具盒数和所对应的铅笔数你发现了什么？ 组织学生相互仪一仪，得出结论。

小小收获:只要放进的铅笔数比文具盒数多1，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。

师：看来同学们都用用平均分的方法就可以解决这个问题呢？ 师：如果要放的铅笔数比文具盒数多2，多3，多4呢？ 4.尝试练习

有7只鸽子，要飞进5个鸽舍里，总有一个鸽舍里至少飞进2个鸽子，为什么？

三、合作探究（问题二）

课件出示：如果将5本书放入2个抽屉，那么不管怎么放，肯定有一

个文具盒至少放进了（）枝笔？

组织学生分组讨论，相互交流。师：能否用算式解答呢？ 生列式计算5÷2＝2„„1 2+1=3 生：至少放3枝，商＋1。

1、如果一共有7本书会怎样呢？

2、如果一共有9本书会怎样呢？ 学生独立完成，然后汇报

3、二次尝试练习：

如果把5本书放进3个抽屉，不管怎么放总有一个抽屉至少有几本书？

四、课堂总结

通过学习你有什么收获？

五、课堂检测

1． 14本书放入5个抽屉，总有一个抽屉至少有几本书？（10分）2． 26本书放入7个抽屉，总有一个抽屉至少有几本书？（10分）3． 六（2）班有学生39人，我们可以肯定，在这39人中，至少有

几人的生日在同一个月？想一想，为什么？（10分）

六、板书设计

（0,1,3）（2,2,0）（2,1,1）(4,0,0)只要放进的铅笔数比文具盒数多1，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。

抽屉原理 篇5

（1）

抽屉原则（1）

如果把n+k(k 大于等于1)件东西放入n个抽屉，那么至少有一个抽屉中有2件或2件以上的东西。

学习例题

例1．某次联欢会有100人参加，每人在这个联欢会上至少有一个朋友，那么这100人中，至少有几个人的朋友个数相同？

例2．在长度为2米的线段上任意点11个点，至少有2个点之间的距离不大于20厘米。为什么？

例3．任意4个自然数，其中至少有2个数的差是3的倍数，这是为什么？

例4．任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是5的倍数？

例5．从1～100的自然数中，任意52个数，其中必有2个数的和为102；为什么？

2． 口袋里放有足够多的红球、黄球、蓝球，每个小朋友任意选择两种颜色的小球各1个，那么至少有多少个小朋友才能保证有两人选出的小球是相同的？

3． 从25、26、27、28、…、44这20个数中任取11个不同的数，其中至少有两个数的差为10，请说明为什么？

4． 在100米的路段上植树，至少需要植多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米？

5． 从1到50的自然数中，任取27个数，其中必有两个数的和等于52。这是因为：

8．从1、2、3、4、…，10这10个数中，任取多少个数，可以保证在这些数中一定能找到两个数，使其中一个数是另一个数的倍数？

课后作业：

1.从1～100的所有奇数中，任意27个不同的数，其中必有两个数的和等于102，请说明理由。

2.某小学学生的年龄最大为13岁，最小为6岁，至多需要从中挑选多少个同学，就一定能使挑选出的同学中有两位同学的岁数相同？

3.任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？

4.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个同学从中任意借两本。那么，至少

多少个学生中一定有两个人所借图书的种类相同？

抽屉原理 篇6

1、某校六年级有367人，一定有至少有两个学生的生日是同一天，为什么？

2、某校有30名同学是2月份出生的，能否有两个学生的生日是在同一天？

3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一月出生？

4、某班学生去买语文书、数学书、外语书。卖书的情况是：有买一本的、二本的、三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？

5、某班学生去买语文书、数学书、美术书、外语书。卖书的情况是：有买一本的、二本的、三本的、四本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？

6、学校图书室有历史、文艺、科普三种书。每个学生从中任意借两本，那么至少要几个学生才能保证一定有两个人所借的图书属于同一种？

7、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问至少要取多少个珠子才能保证有2个颜色相同的？

8、一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的？

9、一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出多少只手套才能保证有4副同色的？

10、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。问：最少摸出多少只袜子才能保证有3双同色的？

11、一个布袋里有红黄蓝袜子各8只。每次从布袋里拿出一只袜子，最少拿出多少只才能保证其中至少有2双颜色不同的袜子？

12、任意5个不同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数，这是为什么？

13、任意6个不同的自然数，其中至少有两个数的差是5的倍数，为什么？

14、任意取几个不同的自然数，才能保证至少有两个数的差是8的倍数？

15、能否在一个5行5列的方格表中的每个空格里，分别填上1、2、3这三个数中的任一个，使每行每列及对角线上的各个输的和互不相同？

16、能否在一个6行6列的方格表中的每个空格里，分别填上1、2、3这三个数中的任一个，使每行每列及对角线上的各个输的和互不相同？

17、在3×9的方格图中，将每个小方格涂上红色或者蓝色，不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同，这是为什么？

18、幼儿园有120个小朋友，各种玩具有364件，把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上？

19、把25个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有7个球？

20、布袋中有4种不同颜色的球，每种球都有10个，最少取出多少个，才能保证其中一定有3个球颜色相同？

21、布袋中有足够多的5种不同颜色的球，最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色相同的球？

22、某班共有46名同学，他们都参加了课外兴趣小组，活动的内容有数学、美术、书法、英语，每人都可参加1个、2个、3个、4个兴趣小组。问班级中至少有几名同学参加的项目完全相同？

23、某班有37个同学，他们都订阅了《小主人报》、《少年文艺》、《小学生优秀作文》三种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊是相同的？

24、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个，在31个搬运者中，至少有几人搬运的球完全相同？

25、从1到30中，至少要取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数是3的倍数？

运用抽屉原理妙解竞赛题 篇7

例1在坐标平面上任取五个整点(该点的横纵坐标都取整数)，证明:其中一定存在两个整点，它们的连线中点仍是整点．

分析与解答由中点坐标公式，点(x1,y1)、(x2,y2)连线中点坐标为要使其为整点，只须x1与x2,y1与y2的奇偶性相同．由此我们能将坐标系中所有点分为4类:(奇数、奇数)，(偶数，偶数)，(奇数，偶数)，(偶数，奇数)，得到四个“抽屉”，而依题有5个点，将其抽象为5个物体，放入4个“抽屉”，则必有一个“抽屉”至少有2个物体(点)的横、纵坐标相等，故其中点为整点．

反思与推广:由此题可以看出，运用抽屉原理解题的关键在于进行合理分类构造“抽屉”，这要求我们理解题中所给条件，抓住题中“至少”、“至多”等关键词．同时，此题还可推广为:如果(x1,x2，…，xn)是n维(元)有序数组，且x1,x2，…，xn中的每一个数都是整数，则称(x1,x2，…，xn)是一个n维整点(整点又称格点)．如果对所有的n维整点按每一个xi的奇偶性来分类，由于每一个位置上有奇、偶两种可能性，因此共可分为2×2×…×2=2n个类．这是对n维整点的一种分类方法．当n=3时，23=8，此时可以构造命题:“任意给定空间中九个整点，求证它们之中必有两点存在，使连接这两点的直线段的内部含有整点”．在n=2的情形，也可以构造如下的命题:“平面上任意给定5个整点”，对“它们连线段中点为整点”的4个命题中，为真命题的是:(A)最少可为0个，最多只能是5个，(B)最少可为0个，最多可取10个，(C)最少为1个，最多为5个，(D)最少为1个，最多为10个(正确答案(D)).

例2 17名科学家中每两名科学家都和其他科学家通信，在他们通信时，只讨论三个题目，而且任意两名科学家通信时只讨论一个题目，证明:其中至少有三名科学家，他们相互通信时讨论的是同一个题目．

证明此题属于组合范畴，故想到运用图论知识，结合分类讨论及抽屉原理解决此题．视17个科学家为17个点，每两个点之间连一条线表示这两个科学家在讨论同一个问题，若讨论第一个问题则在相应两点连红线，若讨论第2个问题则在相应两点连条黄线，若讨论第3个问题则在相应两点连条蓝线．三名科学家研究同一个问题就转化为找到一个三边同颜色的三角形．先考虑科学家A，他要与另外的16位科学家每人通信讨论一个问题，相应于从A出发引出16条线段，将它们染成3种颜色，而16=3×5+1，因而必有6=5+1条同色，不妨记为AB1,AB2,AB3,AB4,AB5,AB6同红色，若Bi(i=1,2，…，6)之间有红线，则出现红色三角线，命题已成立;否则B1,B2,B3,B4,B5,B6之间的连线只染有黄蓝两色．再考虑从B1引出的5条线，B1B2,B1B3,B1B4,B1B5,B1B6，用两种颜色染色，因为5=2×2+1，故必有3=2+1条线段同色，假设为黄色，并记它们为B1B2,B1B3,B1B4．这时若B2,B3,B4之间有黄线，则有黄色三角形，命题也成立，若B2,B3,B4，之间无黄线，则△B2B3B4，必为蓝色三角形，命题仍然成立．

反思与推广:本题源于一个古典问题———世界上任意6个人中必有3人互相认识，或互相不认识．(美国普特南数学竞赛题)．

提示:将互相认识用红色表示，将互相不认识用蓝色表示，(1)将化为一个染色问题，成为一个图论问题:空间六个点，任何三点不共线，四点不共面，每两点之间连线都涂上红色或蓝色．之后的证明参照例2.

Ramsey定理:可以往两个方向推广:其一是颜色的种数，其二是点的数目．

本例便是方向一的进展，其证明已知上述．如果继续沿此方向前进，可有下题:

在66个科学家中，每个科学家都和其他科学家通信，在他们的通信中仅仅讨论四个题目，而任何两个科学家之间仅仅讨论一个题目．证明至少有三个科学家，他们互相之间讨论同一个题目．

回顾上面证明过程，对于17点染3色问题可归结为6点染2色问题，又可归结为3点染一色问题．反过来，我们可以继续推广．从以上(3,1)→(6,2)→(17,3)的过程，易发现

同理可得(66-1)×5+2=327,(327-1)×6+2=1958…记为r1=3,r2=6,r3=17,r4=66,r5=327,r6=1958，…

我们可以得到递推关系式:rn=n(rn-1-1)+2,n=2,3,4…这样就可以构造出327点染5色问题，1958点染6色问题，都必出现一个同色三角形．

例3已知在边长为1的等边三角形内(包括边界)有任意五个点．证明:至少有两个点之间的距离不大于

分析与解答本题看上去像平面几何，但仔细思考会发现本题有浓厚组合色彩，我们称这种题为“组合几何”．题中5个点的分布是任意的，说明我们应构造4个“抽屉”，并且同一个抽屉中的点距离不大于而我们熟知，三角形内(包括边界)任两点距离不大于最长边边长，故我们取三角形边中点并顺次连接，得到4个边长为的等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中(包括边界)，其距离便不大于

以上结论要由定理“三角形内(包括边界)任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证．

反思与推广:(1)这里是用等分三角形的方法来构造“抽屉”．类似地，还可以利用等分线段、等分正方形的方法来构造“抽屉”．例如“任取n+1个正数ai，满足0<ai≤1(i=1,2，…，n+1)，试证明:这n+1个数中必存在两个数，其差的绝对值小于．又如“在边长为1的正方形内任意放置五个点，求证:其中必有两点，这两点之间的距离不大于

(2)例3中，如果把条件(包括边界)去掉，则结论可以修改为:至少有两个点之间的距离小于请读者试证之，并比较证明的差别．

(3)用同样的方法可证明以下结论:

ⅰ)在边长为1的等边三角形中有n2+1个点，这n2+1个点中一定有距离不大于的两点．

ⅱ)在边长为1的等边三角形内有n2+1个点，这n2+1个点中一定有距离小于的两点．

(4)将(3)中两个命题中的等边三角形换成正方形，相应的结论中的命题仍然成立．

(5)读者还可以考虑相反的问题:一般地，“至少需要多少个点，才能够使得边长为1的正三角形内(包括边界)有两点其距离不超过

分析与解答抽屉原理不仅能用于组合问题，在某些不等式证明中，也有意想不到的效果．观察不等式，知△ABC为正三角形时取等号，故以角度与60°的大小关系分类．