函数极限连续试题

函数极限连续试题（共11篇）

函数极限连续试题 篇1

· ·····密·········· ·············································卷···线·································阅·······封········································

函数 极限 连续试题

1.设f(x)

求

(1)f(x)的定义域;(2)12f[f(x)]2

;(3)lim

f(x)x0x

.2.试证明函数f(x)x3ex2

为R上的有界函数.3.求lim1nnln[(11n)(12

n)

(1nn)].4.设在平面区域D上函数f(x,y)对于变量x连续，对于变量y 的一阶偏导数有界，试证：f(x,y)在D上连续.（共12页）第1页

5.求lim（2x3x4x1

x03)x.1(1x)x

6.求lim[

x0e]x.7.设f(x)在[1,1]上连续，恒不为0，求x0

8.求lim(n!)n2

n

.9.设x

axb)2,试确定常数a和b的值.（共12页）第2页

10.设函数f(x)=limx2n1axb

n1x

2n连续，求常数a,b的值.11.若limsin6xxf(x)6f(xx0x30，求lim)

x0x2

.12.设lim

axsinx

x0c(c0),求常数a,b,c的值.xln(1t3)btdt

13.判断题：当x0时，x

1cost2

0t

是关于x的4阶无穷小量.114.设a为常数，且lim（ex

x0

2aarctan1

x)存在，求a的值，并计算极限.ex1

（共12页）第3页

215.设lim[

ln(1ex)x0

1a[x]]存在，且aN，求a的值，并计算极限.ln(1ex)

16.求n(a0).n

17.求limn2(a0,b0).

ln(1

f(x)

18.设lim)

x0

3x1

=5，求limf(x)x0x2.19.设f(x)为三次多项式，且xlim

f(x)f(x)f2ax2axlim4ax4a1，求xlim(x)

3ax3a的值.（共12页）第4页

24.设连续函数f(x)在[1,)上是正的，单调递减的，且

dnf(k)f(x)dx，试证明：数列dn收敛.n

n

20.设x1,求lim(1x)(1x2)(1x4n

n)

(1x2).21.试证明：(1)（1n1111+n)1





为递减数列；(2)n1ln(1n)n,n1,2,3,.limnn

22.求n3nn!

.23.已知数列：a1

112，a222，a32，22

a42

12

1的极限存在，求此极限.22

（共12页）第5页

k1

25.设数列xn，x0a，x1b，求limn

xn.26.求lima2n

n1a2n

.28.求limx

.x1

n2

(xn1xn2)(n2)，（共12页）第6页

29.设函数f(x)是周期为T(T0)的连续函数，且f(x)0,试证：

xlim1xx0f(t)dt1TT0f(t)dt.30.求lim1

1n0

x.en

(1x)n

n

31.设lim（1x)x

tetxx

dt，求的值.32.判断函数f(x)limxn1

nxn1的连续性.33.判断函数f(x.（共12页）第7页

34.设f(x)为二次连续可微函数，f(0)=0，定义函数

g(x)

f(0)当x0，试证：g(x)f(x)

x当x0连续可微.35.设f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)，对x(a,b)，g(x)lim

f(xt)f(xt)

t0

t

存在，试证：存在c(a,b),使g(c)0.36.若f(x)为[a,b]上定义的连续函数，如果b

a[f(x)]2dx0，试证：

f(x)0(axb).37.设函数f(x)在x=0处连续，且lim

f(2x)f(x)

x0

x

A，试证：f(0)=A.（共12页）第8页

38.设f(x)在[a,b]上二阶可导，过点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线

yf(x)相交于C(c,f(c))，其中acb.试证：至少存在一点(a,b)，使得f()=0.39.设f(x)，g(x)，h(x)在axb上连续，在(a,b)内可导，试证：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一点(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并说明拉格朗日中值 f()g()h()

定理和柯西中值定理是它的特例.40.试证明函数ysgnx在x[1,1]上不存在原函数.41.设函数f(x)=nf(x)的不可导点的个数.（共12页）第9页

42.设f(x(0x

),求f(x).43.设xn1(n1,2,3,)，0x13，试说明数列xn的极限存在.x0

44.求函数f(x)=sin1

x21

x(2x)的间断点.2cosx

x0

45.求曲线

3的斜渐近线.（共12页）第10页

1

46.求数列nn的最小项.

50.求lim

x.x0

sin1

x

47.求limtan(tanx)sin(sinx)

x0tanxsinx

.48.设f(x)在[0,2]上连续，在（0,2)内有二阶导数，且lim

f(x)

x1(x1)2

1，

f(x)dxf(2)，试证：存在(0,2)，使得f()=(1+1)f().49.试证：若函数f(x)在点a处连续，则函数f+(x)=maxf(x),0与

f-(x)=minf(x),0在点a处都连续.（共12页）第11页

12页）第12页

函数极限连续试题 篇2

一、导函数极限和连续的特殊性概述

二、导函数极限和连续的特殊性应用

例1:如果f (x) 的导函数连续, 那f (x) 是否连续?f (x) 是否为f (x) '的原函数?

解答:可导必连续, 即使f (x) 有导函数, 那么f (x) 也必然连续的, 更别说f (x) 的导函数连续这么强的条件了。f (x) 当然是f (x) '的原函数了。

分析:如果f (x) 可导的前提是它必须得连续, 连续是可导的必要条件。所以f (x) 可导则f (x) 必连续。至于函数存在问题, 首先得弄清楚什么样的函数才存在函数, 只有两类函数才存在原函数, 一是连续函数, 一个是只存在振荡间断点的函数, 具有第一类间断点以及无穷间断点的函数是不存在原函数的。对于本题由于f' (x) 是连续函数所以它的原函数是存在的就是f (x) 。

1. 求常数a的值, 使f (x) 在x=0处连续。

解答:

1.因为这裏不知道φ (x) -cos x与谁等价, 所以我们无法用等价代换, 就是说, 现在我们不知道该用谁代换φ (x) -cos x, 而题目中的条件“φ具有二阶连续导数”, 保证了“φ具有一阶导数”, 从而可以对φ求导数, 所以想到用洛必达法则解决问题, lim (x->0) f (x) =lim (x->0) (φ (x) -cos x) /x=lim (x->0) (φ' (x) +sinx) /1=lim (x->0) (φ' (x) +sin x) =φ' (0) , (此处lim (x->0) φ' (x) =φ' (0) 用到条件“φ具有一阶连续导数”, 这由原条件“φ具有二阶连续导数”可以保证) 要使f (x) 在x=0处连续, 就要成立lim (x->0) f (x) =f (0) , (此处用到连续的定义) 所以要有a=f (0) =φ' (0) 。

三、总结

本文对导函数极限和连续的特殊性及其应用展开讨论, 从客观的角度来说, 导函数极限和连续的特殊性, 能够更好的解答函数习题, 对学生而言, 也具有较大的积极意义, 日后可深入教学, 促进学生更好的理解。另一方面, 在进行导函数极限和连续的特殊性教学时, 应加强类型题的练习, 帮助学生建立属于自己的解题思路, 尽量是将复杂的问题简单化, 通过运用合理的方法来解决, 而不是所有的问题都用一种方法来解决, 这对学生而言是非常困难的, 且不利于学生的逻辑思维发展。

摘要：在数学的学习过程中, 导函数的学习是重点的重点。一般而言, 导函数包含了很多的函数知识, 并且在具体的运用中, 会帮助学生提升逻辑思维能力, 以此来更好的理解导函数的相关知识, 无论是在解题过程中还是在未来的学习中, 导函数都是必不可少的基础部分。相对而言, 导函数的极限和导函数的连续性, 有着一般函数所不具备的特点, 为此应该在具体的教学中, 通过多种类型题, 帮助学生更好的理解和运用。同时, 应根据学生的理解程度和导函数的特点, 制定有效的教学方案, 促进学生更好的学习。

关键词：导函数,极限,连续,特殊性

参考文献

[1]范丽君, 郭挺.一类单调有界光滑函数的导函数极限存在性[J].江西理工大学学报, 2010.

[2]赵志芳, 马艳园.多元函数极限的求法[J].宜春学院学报, 2011.

[3]陈龙卫.函数极限计算的一般步骤及其在考研数学中的应用[J].兰州文理学院学报 (自然科学版) , 2014.

从事物的极限到函数的极限 篇3

每年秋季刚考进大学的非文科一年级新生们都要学习高等数学这门课程的。而高等数学里第一个概念就是数学极限的定义，这对于学生是非常难学的，老师也感到难教，这是一个历史现象。

目前高中阶段在学习变化率导数时，也是有意地绕过极限定义的。可见极限定义困难的程度。

极限的定义为什么这样难教难学，就是因为我们对于它挖掘认识的不够。

我经过很长一段时间对极限琢磨与研究着，而今我有个重大发现，我窥视到了函数y=f（x）的极限就是函数y=f（x）在某种条件下的极大值ak 极小值。因为极大值、极小值是此前中学阶段里很普通而又很熟练的知识，在这个很熟练的基础上，学习极限就一帆风顺了。下面是我的设计：

一、事物的极限

极限并不陌生和抽象，在生产生活中，我们身边存在和充满着许多通俗易懂极限的问题。

比如我们行走在一座桥的前面看见路旁有个交通警示牌，牌上写着20t，这是什么意思呢？这是告诉人们经过桥梁的车辆及其载物不能超过20吨重，超过了20吨，桥梁就有可能断裂或倒塌，酿成危险性事故。这是桥梁负荷的极大限制值。

用火箭发射人造卫星，火箭的发射速度不能小于7.9km/s，小于这个发射速度，卫星就上不了天，这是卫星上天时火箭发射速度的极小限制值。

严寒的冬天，千里冰封，万里雪飘……必须要到晴天气温才能不断升高，达到0℃以上的时候，冰雪才能融化。这个0℃是标准大气压之下冰雪融化温度的极小限制值。

上面的极大限制值、极小限制值。取极大值、极小值的“极”字，取限制的“限”字。简称为极限。反过来，以后看到“极限”一词也可顾名思义地联想起极限里的“极”字就是极大值或极小值。“限”字就是限制。

这样一来，我们得到了含有变量的事物的极限定义。

定义：含有变量的事物在某种条件下变化着，它的极大限制值或极小限制值，就叫做这事物在该条件下的极限。

于是，上面桥梁的负荷极限是20t，火箭发射人造卫星能上天速度的极限是7.9km/s，冰雪在其温度不断升高时，保持固体形状的极限温度是0℃。

化合物H2O在其温度下降时，保持液体状态的极限温度是0℃，在其温度不断上升时，保持液体状态的极限温度是100℃。

函数极限与连续习题(含答案) 篇4

（2）若

（3）若

（4）若f(x)在x0点连续，则f(x)在xx0点必有极限 f(x)在xx0点有极限，则f(x)在x0点必连续 f(x)在xx0点无极限，则f(x)在xx0点一定不连续f(x)在xx0点不连续，则f(x)在xx0点一定无极限。其中正确的命题个数是（B、2）

2、若limf(x)a，则下列说法正确的是（C、xx0f(x)在xx0处可以无意义）

3、下列命题错误的是（D、对于函数f(x)有limf(x)f(x0)）

xx04、已知f(x)1

x，则limf(xx)f(x)的值是（C、1）

x0xx2

x125、下列式子中，正确的是（B、limx11）2(x1)

26、limxaxb5，则a、x11xb的值分别为（A、7和6）

7、已知f(3)2,f(3)2,则lim2x3f(x)的值是（C、8）

x3x38、limxa

xxaa（D、3a2）

29、当定义f(1)f(x)1x

2在x1处是连续的。1x10、lim16x12。

x27x31111、lim12、x21xxx12x31

limx2x112 3x1113、lim(x2xx21)1

x

214、lim(x2xx21)1

x2

x,0x1115、设(1)求xf(x),x1

2

1,1x2

1时，f(x)的左极限和右极限；(2)求f(x)在x1的函数值，它在这点连续吗？(3)求出的连续区间。

函数极限连续试题 篇5

第5讲二元函数的极限（续）与连续性

讲授内容一、二元函数的极限性质

1,当0yx2,例1 二元函数f(x,y)x时，如图16－7所示，当(x,y)沿任何直线

0,其余部分.

趋于原点时，相应的f

(x,y)都趋于零，但这并不表明此函数在(x,y)(0,0)时极限存

在．因为当点(x,y)沿抛物线ykx(0k1)趋于点(0,0)时，f(x,y)将趋于1。所

以lim

(x,y)(0,0)2f(x,y).不存在。

2x3y

22例2 设f(x,y)22.证明(x,y)(0,0)limf(x,y) 证：因为2x3y4(xy)，对任给正数M，取2

212M,就有

xy



12M

.由此推得2x3y



1M,即

12x3y

M.这就证得结果（该函数在原点附近的图象参见图16－8）.二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法相仿，特别把f(x,y)看作点函数fP时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再一一列出．

二、累次极限

在上一段所研究的极限

lim

(x,y)(x0,y0)

两个自变量x,y同时以任何方式趋于x0,y0。这种极限也称f(x,y)中，为重极限。在这一段里，我们要考察x与y依一定的先后顺序相继趋于x0与y0时f的极限，这种极限称为累次极限．我们先通过以下例题来认识累次极限问题.例3设f(x,y)

xyxy

.由例1已经知道(x,y)(0,0)时f的重极限不存在.但当y0时，有lim

x0

xyxy

0.从而有limlim

xyxy

y0x0

0.同理可得limlim

x0y0

xyxy

0.即f的两个累次极限都存在而且相等，但是f的重极限不存在．

定义 若对每一个yy0，存在极限limf(x,y),由于此极限一般与y有关，因此记作

xx0

ylimf(x,y),而且进一步存在极限Alimy.则称此极限为二元函数f先对xx0后对

xx0

xEx

yy0

yy0的累次极限，并记作Alimlimf(x,y).yy0xx0

类似地可以定义先对y后对x的累次极限：Blimlimf(x,y).xx0yy0

注：累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系．举例子来说明这一点．例4 设f(x,y)

xyxy

xy

2，它关于原点的两个累次极限分别为

limlim

y0x0

xyxy

xyxyxy

xy

lim

yyyxxx

y0

lim(y1)1.y0

limlim

x0y0

lim

x0

lim(1x)1.x0

当沿斜率不同的直线ymx,x,y0,0时，容易验证所得极限也不同。因此该函数的重极限不存在.例5 设fx,yxsin

1y

1x

ysin这是因为对任何y0，当x0,它关于原点的两个累次都不存在。

时f的第二项不存在极限。同理，对任何x0，当y0时f的第一项也不存在极限。但是由于

1y

1x

xsin故f的重极限存在，且

lim

ysinxy,x,y0,0

fx,y0.fx,y与累次极限limlimfx,y都存在，则它们一定相等。

yx0xy0



定理16.6 若重极限证：设

lim

x,yx0,yo

lim

x,yx0,yo

fx,yA,则对任给的正数，总存在正数，使得当Px,yU

P0;时，有fx,yA.(2)

另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式0xx0 的x，存在极限limfx,yx.yy0

回到不等式（2），让其中yy0，可得xA.故得limxA，即

xx0

xx0yy0

limlimfx,y

x,yx0,yo

lim

fx,yA.lim

推论1 若累次极限limlimfx,y,limlimfx,y 和重极限

xx0yy0

yy0xx0

x,yx0,yo

fx,y都存在，则三者相等。

lim

fx,y必不

推论2 若累次极限limlimfx,y,与limlimfx,y存在但不相等，则重极限

xx0yy0

yy0xx0

x,yx0,yo

存在。

三、二元函数的连续性

定义 设f为定义在点集DR2上的二元函数．P0D，若limfPfP0.则称f点P0连续。

PP0

xy,(x,y)(0,0),

例8设f(x,y)x2y2，函数f(x,y)在原点不连续。（因为极限不存在）

m,(x,y)(0,0),x2y2,(x,y)(0,0),例9设f(x,y)x2y2 讨论函数f(x,y)的连续性.m,(x,y)(0,0),（x0,y0)(0,0)时，由于解：当

lim

f(x,y)

x0y0

0

2220

(x,y)(x0,y0)

xy

fx0,y0,因此f连续.而lim

(x,y)(0,0)

f(x,y)

(x,y)(0,0)

limxy

xyxy

0,故当f(0,0)m0时，f在原点连续.若二元函数在某一点连续，则与一元函数一样，可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性以及相应的有理运算的各个法则．下面证明二元复合函数的连续性定理，其余留给读者自己去证明．

定理16.7(复合函数的连续性)设函数ux,y和vx,y在xy平面上点P0x0,y0的某邻域内

有定义，并在点P0连续；函数fu,v在uv平面上点Q0u0,v0的某邻域内有定义，并在点Q0连续，其中

u0x0,y0，v0x0,y0.则复合函数gx,yf(x,y),(x,y)在点P0也连续．

四、有界闭域上连续函数的性质

定理16.8(有界性与最大、最小值定理)若函数f在有界闭域DR2上连续，则f在D上有界，且能取得最大值与最小值．

证先证明f在D上有界．倘若不然，则对每个正整数n，必存在点PnD，使得fPnn,n1,2,.于是得到一个有界点列PnD，且总能使Pn中有无穷多个不同的点．由§1定理16．3(聚点定理)的推论，Pn存在收敛子列Pn

k

，设lim

k

PnkP0.且因D是闭域，从而P0D．

由于f在D上连续，当然在点P0也连续，因此有limfPn

k

k

fP.这与不等式(3)相矛盾．所以f

是D

上的有界函数．

定理16.9（一致连续性定理）若函数f在有界闭域DR2上连续，则f在D上一致连续。即对任何0，总存在只依赖于的正数，使得对一切点P,Q，只要P,Q，就有fPfQ.定理16.10（介值性定理）设函数f在区域DR2连续，若P1,P2为D中任意两点，且fP1fP2，则对任何满足不等式fP1fP2的实数，必存在点P0D，使得fP0。

证：作辅助函数FPfP,PD.易见F仍在D上连续，且

FP10,FP20。这里不妨假设P1,P2是D的内点.下面证明必存在P0D，使FP00。

由于D为区域，我们可以用有限段都在D中的折线连结P1和P2（图16-10）。若有某一个连结点所对应的函数值为0, 则定理已得证。否则从一端开始逐个检查直线段，必定存在某直线段，F在它两端的函数值xx1tx2x1，0t1.异号,不失一般性，设连结P1x1,y1,P2x2,y2的直线段含于D,其方程为

yytyy121

在此直线段上,F表示为关于t的复合函数GtFx1tx2x1,y1ty2y1,0t1.它是[0,1]上的一元连续函数,且FP1G00G1FP2.由一元函数根的存在定理，在(0,1)内存在一点,使得

Gt00

。记

x0x1t0x2x1,y0y1t0y2y1,则有

P0x0,y0D，使得

FP0Gt00即

第十三章多元函数的极限和连续性 篇6

第十三章 多元函数的极限和连续性

§

1、平面点集

一 邻域、点列的极限

定义1 在平面上固定一点M0x0,y0，凡是与M0的距离小于的那些点M组成的平面点集，叫做M0的邻域，记为OM0,。

定义2 设Mnxn,yn，M0x0,y0。如果对M0的任何一个邻域OM0,，总存在正整数N，当nN时，有MnOM0,。就称点列Mn收敛，并且收敛于

M0，记为limMnnM0或xn,ynx0,y0n。

性质：（1）xn,ynx0,y0xnx0,yny0。（2）若Mn收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。二 开集、闭集、区域

设E是一个平面点集。

1． 内点：设M0E，如果存在M0的一个邻域OM0,，使得OM0,E，就称M0是E的内点。2． 外点：设M1E，如果存在M1的一个邻域OM1,，使得OM1,E，就称M1是E的外点。

3． 边界点：设M*是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对M*的任何邻域OM*,，其中既有E的点，又有非E中的点，就称M*是E的边界点。E的边界点全体叫做E的边界。4． 开集：如果E的点都是E的内点，就称E是开集。

5． 聚点：设M*是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对M*的任何邻域OM*,，至少含有E中一个（不等于M*的）点，就称M*是E的聚点。性质：设M0是E的聚点，则在E中存在一个点列Mn以M0为极限。6． 闭集：设E的所有聚点都在E内，就称E是闭集。

7． 区域：设E是一个开集，并且E中任何两点M1和M2之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起来，而这条折线全部含在E中，就称E是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域。三平面点集的几个基本定理

1．矩形套定理：设anxbn,cnydn是矩形序列，其中每一个矩形都含在前一个矩形中，并且

13-1

《数学分析（1，2，3）》教案

bnan0，dncn0，那么存在唯一的点属于所有的矩形。

2.致密性定理：如果序列Mnxn,yn有界，那么从其中必能选取收敛的子列。

3.有限覆盖定理：若一开矩形集合x,y覆盖一有界闭区域。那么从里，必可选出有限个开矩形，他们也能覆盖这个区域。

N4．收敛原理：平面点列Mn有极限的充分必要条件是：对任何给定的0，总存在正整数N，当n,m时，有rMn,Mm。

§2 多元函数的极限和连续

一 多元函数的概念

不论在数学的理论问题中还是在实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，而是由多个因素决定。例如平行四边行的面积A由它的相邻两边的长x和宽y以及夹角所确定,即Axysin;圆柱体体积V由底半径r和高h所决定,即Vrh。这些都是多元函数的例子。

2一般地，有下面定义：

定义1 设E是R的一个子集，R是实数集，f是一个规律，如果对E中的每一点(x,y)，通过规律f，在R中有唯一的一个u与此对应，则称f是定义在E上的一个二元函数，它在点(x,y)的函数值是u，并记此值为f(x,y)，即uf(x,y)。

有时，二元函数可以用空间的一块曲面表示出来，这为研究问题提供了直观想象。例如，二元函数xR22x2y2就是一个上半球面，球心在原点，半径为R，此函数定义域为满足关系式xyR222222的x，y全体，即D{(x,y)|xyR}。又如，Zxy是马鞍面。二 多元函数的极限

2定义2

设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0rM,M0时，有f(M)A，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limfMA或fMAMM0。

MM02定义的等价叙述1 设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0xx0yy0时，有f(x,y)A，就称A是13-2

《数学分析（1，2，3）》教案

二元函数在M0点的极限。记为limfMA或fMAMM0。

MM02定义的等价叙述2 设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0xx0,0yy0且x,yx0,y0时，有

f0f(x,y)A，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limMMMA或fMAMM0 。注：（1）和一元函数的情形一样，如果limf(M)A，则当M以任何点列及任何方式趋于M0时，f(M)MM0的极限是A；反之，M以任何方式及任何点列趋于M0时，f(M)的极限是A。但若M在某一点列或沿某一曲线M0时，f(M)的极限为A，还不能肯定f(M)在M0的极限是A。所以说，这里的“”或“”要比一元函数的情形复杂得多，下面举例说明。例：设二元函数f(x,y)xyx2y22，讨论在点(0,0)的的二重极限。

例：设二元函数f(x,y)2xyx2y或2，讨论在点(0,0)的二重极限是否存在。

0,例：f(x,y)1,xy其它y0，讨论该函数的二重极限是否存在。

二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。例：limxyxyx2xyysinxyx2。

例：① limx0y0② lim(xy)ln(xy)③ lim(xy)ex0y0xy2222222(xy)

例：求f(x,y)xy3223xy在（０，０）点的极限，若用极坐标替换则为limrr0coscos32sin23sin0?（注意：cos3sin在374时为０，此时无界）。

xyx22例：（极坐标法再举例）：设二元函数f(x,y)y2，讨论在点(0,0)的二重极限．

证明二元极限不存在的方法．

基本思想：根据重极限定义，若重极限存在，则它沿任何路径的极限都应存在且相等，故若１）某个特殊路径的极限不存在；或２）某两个特殊路径的极限不等；３）或用极坐标法，说明极限与辐角有关． 例：f(x,y)xyx2y2在(0,0)的二重极限不存在．

13-3

《数学分析（1，2，3）》教案

三

二元函数的连续性

定义3

设fM在M0点有定义，如果limf(M)f(M0)，则称fM在M0点连续．

MM0“语言”描述：0,0,当0

四 有界闭区域上连续函数的性质

有界性定理

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上有界。一致连续性定理

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上一致连续。

最大值最小值定理

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上必有最大值和最小值。

nP0和P1是D内任意两点，f是D内的连续函数，零点存在定理

设D是R中的一个区域，如果f(P0)0，f(P1)0，则在D内任何一条连结P0,P1的折线上，至少存在一点Ps，使f(Ps)0。

五

二重极限和二次极限

在极限limf(x,y)中，两个自变量同时以任何方式趋于x0,y0，这种极限也叫做重极限（二重极限）．此xx0yy0外，我们还要讨论当x,y先后相继地趋于x0与y0时f(x,y)的极限．这种极限称为累次极限（二次极限），其定义如下：

若对任一固定的y，当xx0时，f(x,y)的极限存在：limf(x,y)(y),而(y)在yy0时的xx0极限也存在并等于A，亦即lim(y)A，那么称A为f(x,y)先对x，再对y的二次极限，记为yy0limlimf(x,y)A．

yy0xx0同样可定义先y后x的二次极限：limlimf(x,y)．

xx0yy0上述两类极限统称为累次极限。

注意：二次极限（累次极限）与二重极限（重极限）没有什么必然的联系。例：（二重极限存在，但两个二次极限不存在）．设

11xsinysinyxf(x,y)0x0,y0x0ory0

由f(x,y)xy 得limf(x,y)0（两边夹）;由limsinx0y0y01y不存在知f(x,y)的累次极限不存在。

例：（两个二次极限存在且相等，但二重极限不存在）。设

13-4

《数学分析（1，2，3）》教案

f(x,y)xyx2y2，(x,y)(0,0)

由limlimf(x,y)limlimf(x,y)0知两个二次极限存在且相等。但由前面知limf(x,y)不存在。

x0y0y0x0x0y0例：（两个二次极限存在，但不相等）。设

f(x,y)xx22yy22，(x,y)(0,0)

则 limlimf(x,y)1，limlimf(x,y)1;limlimf(x,y)limlimf(x,y)（不可交换）

x0y0y0x0x0y0y0x0上面诸例说明：二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有一定的关系。但在某些条件下，它们之间会有一些联系。

定理1 设（1）二重极限limf(x,y)A；（2）y,yy0，limf(x,y)(y)。则

xx0yy0xx0yy0lim(y)limlimf(x,y)A。

yy0xx0（定理1说明：在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。但并不意味着另一累次极限存在）。推论1

设（1）limf(x,y)A；（2）y,yy0，limf(x,y)存在；（3）x,xx0，limf(x,y)xx0yy0xx0yy0存在；则limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重极限limf(x,y)。

yy0xx0xx0yy0xx0yy0推论2 若累次极限limlimf(x,y)与limlimf(x,y)存在但不相等，则重极限limf(x,y)必不存在（可xx0yy0yy0xx0xx0yy0用于否定重极限的存在性）。例：求函数fx,yxy22222xyxy在0,0的二次极限和二重极限。

浅析求函数 型极限的技巧 篇7

关键词：高等数学、函数极限、方法、技巧

极限是高等数学内容中一个重要的概念，它是研究微积分的基础和有效工具。熟练掌握求函数极限是学好微积分的前提，通过几年的教学实践和不断的验证，作者提出了求函数极限的新思路就是“看类型，找方法”的解题技巧，这种方法使用时，首先先分清该函数极限属于那种类型，然后在运用相应的方法。其实，高数中求极限的题很多，而函数极限类型却是有限的，只要着握住这几种类型的解法，那么所有问题就迎刃而解了。下面我就 型做如下分析。

型的函数极限是极限运算里最难求的一种类型，也是最经常见的类型，求解该类型的方法不固定，常见的求解该类型的方法有五种，每种方法都有其对应的技巧。

1）利用等价无穷小量求函数的极限。

该方法使用起来简洁方便，不宜出错，但是使用起来是有限制的，首先是在使用前必须事先掌握一些等价式子及其灵活变形式子，这些式子是很有限的几种，其次是这些等价式子只能在乘除之间运算时使用，加减运算中就失效了。

常见的等价无穷小式子有如下几种：前提当 时，

4）利用重要极限式子求解

该式子主要适用于含有三角函数或反正弦函数、反正切函数，且为 型的未定式.要牢记公式的结构特点： （方框 代表任意形式的同一变量）.

备注：对第一重要极限推广可以有这种形式 。

5）利用罗比达法则求极限

上面几种求 型的方法只是用来求一部分该类型，有很大一部分 型，上面的几种方法解決不了，则就要有新的方法解决，罗比达法则就是解决这类问题的新方法。

以上是求函数 型极限常见的几种技巧，对于其他类型的极限也可也参照类推。这些方法不仅应用于某一个题，对于复杂的题型也可以做，因此，对于函数极限的求法，只要掌握了要诀“看类型，找方法”六字方针，那么所有的问题就会迎刃而解。

参考文献：

1.华东师范大学数学系。数学分析（上册，第三版）北京，高等教育出版社

2.陈刚 关于高等数学中极限思想的研究 工科数学，2001

3.颜文勇，柯善军。高等应用数学。北京高等数学出版社，2004

10专题十数列极限与函数极限 篇8

华中师大一附中孟昭奎

专题十数列极限与函数极限

一、选择题

(1x)mab，则a·b=（）1．（2008年高考·湖北卷）已知m∈N, a、b∈R，若lim n0x

A．-mB．mC．-1D．1 *

2．lim(n1

4A．1 111)的值为（）464684682n1111B．C．418D．11 24

x32xa2(x1)3．若函数f(x)15a在点x=1处连续，则实数a=（）(x1)3x

1A．4B．-14C．4或-14 D．1或-4 4

4．下列命题：①发果f(x)=1，那么limf(x)=0；②如果f(x)=x1，那么f(x)=0；③如xx

x22xx,x0果f(x)=，那么limf(x)不存在；④如果f(x)，那么limf(x)=0，其中真x2x0x2x1,x0

命题是（）

A．①②B．①②③C．③④D．①②④

ax2bx3cx3bxccxa1，则lim5．设abc≠0，lim的值等于（），limxaxbxbx3cx2a3xbx2c4

419 A．4B．C．D． 944

an1abn126．设正数a, b满足lim(x+ax-b)=4，则lim等于（）nax22b11 A．0B．C．D．1 4

27．把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则lim等于（）

A．2an1na1n14B．12C．1D．2

二、填空题

8．已知数列的通项an=-5n+2，其前n项和为Sn，则lim

9．lim(x2Sn=________． nn241)=________． x24x

2专题十数列极限与函数极限

2012年高考复习资料—第二轮复习专题练习题

华中师大一附中孟昭奎

10．（2008年高考·安徽卷）在数列{an}中，an=4n-5, a1+a2+…+an=an2+bn, n∈N*，其中a, b2

anbn

为常数，则limn的值为__________． nabn

ex1,(x0)11．关于函数f(x)(a是常数且a>0)．下列表述正确的是_________．（将你2ax,(x0)

认为正确的答案的序号都填上）

①它的最小值是0

②它在每一点处都连续

③它在每一点处都可导

④它在R上是增函数

⑤它具有反函数

12．如图所示，如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_______条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=_______;f(n)=_______．（答案用数字或n的解析式表示）

三、解答题

1x(x0),13．已知f(x) xabx(x0).

（1）求f(-x)；（2）求常数a的值，使f(x)在区间(-∞, +∞)内处处连续．

14．已知{an}, {bn}都是公差不为0的等差数列，且limanaa2an2，求lim1的值． nbnnbn2n

15．已知数列{an}中a1=2, an+1=(2-1)(an+2), n=1, 2, 3, …．

（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}中b1=2, bn+1=3bn4, n=1, 2, 3, …．

多元函数的极限 篇9

回忆一元函数极限的定义：

limf(x)A设是定义域Df的聚点。xx0x00对0，总0,xU(x0,)Df时，都有f(x)A成立。

定义1 设二元函数f(P)f(x,y)的定义域为Df，P(x0,y0)是Df的聚点。如果

0Df时，都有存在常数A，对0，总0,P(x,y)U(P0(x0,y0),)f(x,y)A成立，那么称A为P(x,y)趋于P0(x0,y0)时，函数f(x,y)的极限，lifmP(A)记作P或者P0(x,y)(x0,y0)limf(P)A或者xlxi0fmP(A)或者

yy0f(x,y)A,(P(x(x0,y0)。0P,y))Df趋于P0； 注：1.P(x,y)P0(x0,y0)是指点P沿着任意路径在2.为了区别一元函数的极限，把二元函数的极限也称之为二重极限；

3.二元及其多元函数的极限的四则运算法则与一元函数一致。

22例1 设f(x,y)(xy)sin1limf(x,y)0。22，求证xx0yy0xy2证明 显然函数f(x,y)的定义域为DfR{(0,0)}，(0,0)是Df的聚点。因为

(x2y2)sin只须1122220xy(xy)sin0，0，所以对，要使2222xyxyx2y2成立即可。也就是说，对0，总0，22P(x,y)U0(O(0,0),)时，总有(xy)sin10成立，故

x2y2xx0yy0lim(x2y2)sin10。22xysin(x2y)? 例2 求极限limx0x2y2y0提示：四则运算，并考虑重要极限和基本不等式。x3y例3 证明函数lim不存在？ x0x6y2y0提示：设ykx3。学生练习1.求极限limsin(xy)?

x0xy2xy,x2y202limf(x,y)2学生练习2.证明函数f(x,y)xy的极限x0不存在？

y00,x2y20 四.多元函数的连续连

回忆一元函数连续的定义：

limf(x)f(x0)。f(x)在点x0处连续xx0Df的聚点，且定义2 设二元函数f(P)f(x,y)的定义域为Df，P0(x0,y0)是limf(x,y)f(x0,y0)PDxx0。如果，那么称函数f(x,y)在点P 0f0(x0,y0)处连续。yy0定义3 设二元函数zf(x,y)的定义域为Df，且Df内每一点都是聚点。如果函数zf(x,y)在Df内的没一点处都连续，那么称zf(x,y)在Df上联系或者称zf(x,y)为Df上的连续函数。

注：1.定义2和定义3可以推广至n元函数的情形。

例1 设f(x,y)sinx，证明函数f(x,y)是R2上的连续函数？

limf(x,y)sinx02xx0(x,y)R分析：对P,证明（语言）。000yy0证明

Df的聚点，P定义4.设二元函数zf(x,y)的定义域为Df，且P0Df。0(x0,y0)是如果函数f(x,y)在点P则称点P0(x0,y0)处不连续，0(x0,y0)为函数zf(x,y)的间断点。

xy,x2y2022例2 函数f(x,y)xy在点O(0,0)的连续性？

0,x2y20解：点O(0,0)虽为定义域R2的聚点，但由于f(x,y)在点O(0,0)无极限，故函数f(x,y)在点O(0,0)间断。

例3 函数f(x,y)sin122的定义域为Df{(x,y)xy1}，但22xy1C{(x,y)x2y21}上的点为Df的聚点，又由于f(x,y)在C上没有定义。故C上的点是f(x,y)的间断点。

1.函数极限存在；2.有定义； 连续

3.极限等于该点的函数值；

多元函数的连续性的性质与一元函数一致：

1.多元连续函数的和差积商仍为其定义域上的连续函数； 2.多元连续函数的商在分母不为零的点处任连续； 3.多元连续函数的复合函数是连续函数；

4.多元初等函数是其定义区域内的连续函数（定义区域：半酣定义域的区域或者闭区域）。

可以利用多元初等函数的连续性求极限。例4 limxy?

x1xyy2,2)Df是内点，因此存在U(P分析：Df{(x,y)x0且y0}，P0(10;)Df是xy3f(1,2)。Df内的区域，因此limx1xy2y2一般地，若f(x,y)是初等函数，且P0(x0,y0)是f(P)的定义域的内点，则xx0yy0limf(x,y)f(x0,y0)。

与闭区间上一元连续函数的最值定理类似，有

性质1 定义在有界闭区域D上多元连续函数必取得最大值和最小值。性质2（介值定理）有界闭区域上多元连续函数必取得介于最大值与最小值之间 的任何一个值。

函数极限连续试题 篇10

关键词：幂指函数 极限 对数函数 无穷小代换

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）05（c）-0233-02

1 问题的提出

考虑一个连续复利问题，设有一笔存款（本金），年利率为，若一年分为期计息，则每期的利率为，于是年后的本利和为： （1）

若计息的期数，则问题就归结为连续复利问题，则年后的本利和转化为以下函数的极限。

nk （2）

上面函数的极限是高等数学中非常重要的一类极限，常规的处理方法是利用进行求解，但在大部分高等数学教材编写过程中，对的讨论过程比较繁琐，而且有些结果也没有给出严格的数学证明，不利于教师的教学和学生的理解。这里我们简单回顾一下对其处理过程：首先，通过单调有界准则证明了数列极限的存在性，随后就直接给出了，没有给出严格的证明过程；其次，在不严格的基础上，又证明了函数极限。该文针对以上存在的两个问题：（1）极限值等于没有给出严格的证明；（2）的求解比较繁琐。该文对此类极限的求解方法进行了总结，并通过matlab进行数值仿真。由于是一类特殊的幂指函数，下面我们首先讨论一般幂指函数极限的求解问题，然后过渡到特殊的幂指函数的极限问题。

2 幂指函数极限的求解方法

形如的函数称为幂指函数，幂指函数的极限问题在高等数学的教学中经常遇到，下面介绍几种求幂指函数极限时常用到的方法。

2.1 直接代入法

若幂指函数在处是连续的，根据连续函数的定义，可以通过如下方法求极限。

定理1：

。

若不在函数定义域内，或者自变量的变化过程为，这有如下结果。

定理2：若，，则。

其中表示自变量同一变化过程中的极限。

例1：求极限

解：由于在处连续，根据定理1，我们有：

上述极限过程也可以通过matlab中的simulink模块进行数值仿真，程序的模块圖和函数图像分别为图1和图2。

从图2可以看出当时，的无限趋近于是1，这个与我们计算结果是一致的。

2.2 洛必达法则

对于，和型的幂指函数的极限，可以将幂指函数化为对数恒等式的形式，将其转化为型的未定式，再根据函数的具体形式，将其转化为或，使用洛必达法则进行极限的计算。

例2：求

解：

在上面极限求解过程中，除了使用洛必达法则之外，还利用了等价无穷小代换。

当时，的无限趋近于1，这个与我们计算结果是一致的。

2.3 无穷小等价代换方法

无穷小等价代换方法是求函数极限常用的方法，但在大多数教材中，无穷小代换常用于乘积运算，事实上，对某些幂指函数的极限也可以通过无穷小代换方法计算。

定理3：若函数，和满足以下三个条件。

（1），且，，。

（2）。

（3）存在。

则。

例3 求的极限。

解：当时，，，且，满足定理3的条件（1）和（2）；又因为成立，满足条件（3），因此，可以利用定理3进行求解。

当时，无限趋近于1。

3 极限的证明

利用定理2和等价无穷小代换方法，证明

证明：

在上面证明过程中，使用了无穷小代换 ，同时，也可以看出是的一种特殊形式。

可以利用求一类幂指函数的极限，其中可以是一个表达式。

定理4：若，，，且存在，则有下面结果

例4 求的极限

解：

4 结语

幂指函数的极限类型较多，是高等数学教学中的一个重点内容。学生学习起来往往比较困难，该文对幂指函数极限的常规求解方法做了一个概括和总结，并通过matlab软件进行了数值仿真。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]同济大学数学系编.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]刘小华.关于幂指函数求极限问题[J].高等数学研究，2008，11（5）：5-6.

函数极限习题与解析 篇11

一、填空题

1、设f(x)2xlglgx，其定义域为。

2、设f(x)ln(x1)，其定义域为。

3、设f(x)arcsin(x3)，其定义域为。

4、设f(x)的定义域是[0，1]，则f(sinx)的定义域为。

5、设yf(x)的定义域是[0，2]，则yf(x2)的定义域为。

x22xk4，则k=。

6、limx3x3x有间断点，其中为其可去间断点。sinxsin2x8、若当x0时，f(x)，且f(x)在x0处连续，则f(0)。

xnnn22)。

9、lim(2nn1n2nn7、函数y

10、函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0连续的条件。

(x31)(x23x2)。

11、limx2x55x312、lim(1)n2nkne3，则k=。

x2113、函数y2的间断点是。

x3x

214、当x时，1是比x3x1的无穷小。x15、当x0时，无穷小11x与x相比较是无穷小。

16、函数ye在x=0处是第类间断点。

31x17、设yx1，则x=1为y的间断点。x118、已知f13，则当a为时，函数f(x)asinxsin3x在x处连续。

333sinxx02x19、设f(x)若limf(x)存在，则a=。

1x0(1ax)xx0xsinx2水平渐近线方程是。20、曲线yx221、f(x)4x21x12的连续区间为。

xa,x022、设f(x) 在x0连续，则常数

cosx,x0a=。

二、计算题

1、求下列函数定义域（1）y

（3）ye ；

2、函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？（1）f(x)lnx

（2）f(x)x

（3）f(x)1, 21 ；（2）ysinx ； 1x21x,g(x)2lnx ； ,g(x)x2 ；

g(x)sec2xtan2x ；

3、判定函数的奇偶性

（1）yx2(1x2)；

（2）y3x2x3 ；

（3）yx(x1)(x1)；

4、求由所给函数构成的复合函数（1）yu

2（2）yu

（3）yu2,usinv,vx2 ； ,u1x2 ； ,uev,vsinx ；

5、计算下列极限（1）lim(1n111123(n1)n)；

（2）lim ；

n242n2

x25x22x1（3）lim ；

（4）lim ； 2x1x2x3x

111x32x2（5）lim(1)(22)；

（6）lim ； 2xx2xx(x2)

1x21（7）limxsin ；

（8）lim ； 2x0x

（9）2xlimx(x1x)；

6、计算下列极限（1）limsinwxx0x ；

（3）limx0xcotx ；

（5）limx1x(x1)x1 ；

7、比较无穷小的阶

（1）x0时，2xx2与x2x3 ；

（2）x1时，1x与1(1x22)；

x13x1x2）limsin2xx0sin5x ；

4）lim(xx1x)x ； 16）lim(1x)xx0 ；

（（（8、利用等价无穷小性质求极限

tanxsinxsin(xn)（1）lim ；

（2）limx0x0(sinx)msinx39、讨论函数的连续性

(n,m是正整数)；

x1,x1 f(x)在x1。3x,x

110、利用函数的连续性求极限

（1）limln(2cos2x)；

（2）lim(xxx2xx2x)；

6（3）limlnx0sinx12x ；

（4）lim(1)；

xxx

（5）设f(x)lim(1)nxnn,求limf(t11)； t

1（6）limxln(xx1)； x1

ex,x011、设函数f(x)

ax,x0应当怎样选择a，使得f(x)成为在(，)内的连续函数。

12、证明方程x3x1至少有一个根介于1和2之间。

5（B）

1、设f(x)的定义域是[0，1]，求下列函数定义域（1）yf(ex)

（2）yf(lnx)

0,xo2、设f(x)x,x0求

0,x0 g(x)2x,x0f[g(x)],g[f(x)] f[f(x)],g[g(x)]，3、利用极限准则证明：（1）lim1n11（2）limx[]1 ；

x0xn

（3）数列2,4、试比较当x0时，无穷小232与x的阶。

5、求极限

（1）limx(x1x)；

（2）lim(xx22,222,的极限存在 ；

xx22x3x1)； 2x

1（3）limx0tanxsinx ； 3x

axbxcxx（4）lim()x0

31(a0,b0,c0)；

1,x0xsin6、设f(x)

要使f(x)在(,)内连续，x2ax,x0应当怎样选择数a ？

x11,x0

求f(x)的间断点，并说明间断点类型。

7、设f(x)eln(1x),1x0

（C）

1、已知f(x)ex2,f[(x)]1x，且(x)0，求(x)并写出它的定义域。

2、求下列极限：

1x)coslnx] ；（1）、lim[cosln(（2）、milxx01xnisxcosx ；

xxax3x252)9，求常数a。sin ；（3）、求lim（4）、已知lim(x5x3xxax（5）、设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)a,f(b)b，证明：在开区间(a,b)内至少存在一点，使f()。

第一章 函数与极限习题 解 析

（A）

一、填空题（1）(1,2]

（2）(1,)

（3）[2，4]

（4）x2kx(2k1)（6）-3

（7）xk,kz（10）充分

（11）,kz

（5）[2,;x0

（8）2（9）1

2]

3（12）

（13）x=1 , x=2（14）高阶 22（15）同阶

（16）二

（17）可去

（18）2

（19）-ln2（20）y=-2

（21）[2,1](1,2]

（22）1

二、计算题

1、（1）

(,1)(1,1)(1,)

（2）

[0,)

（3）(,0)(0,)

2、（1）不同，定义域不同

（2）不同，定义域、函数关系不同

（3）不同，定义域、函数关系不同

3、（1）偶函数

（2）非奇非偶函数

（3）奇函数

24、（1）y(sinx2)

2（2）[y1x]

（3）[ye2sinx] 

5、（1）[ 2 ]

（2）[]

（3）-9

（4）0

（5）2（6）

（7）0

（8）2（9）

6、（1）w

（2）2121 2212

1（3）1

（4）e

（5）e

（6）e 5237、（1）2xx是xx的低阶无穷小

（2）是同阶无穷小

0,mn1

8、（1）

（2）1,mn

2,mn

9、不连续

10、（1）0

（2）1

（3）0

（4）e

（5）0

（6）-2

211、a=1

（B）

1、（1）提示：由0e1 解得：x(,0]

（2）提示：由0lnx1解得：x[1,e]

2、提示：分成xo和x0两段求。f[f(x)]f(x)，g[g(x)]0，xf[g(x)]0 , g[f(x)]g(x)

4、（1）提示：11111111

（2）提示：x(1)x[]x

xxxnn

（3）提示：用数学归纳法证明：an222

2x3x22x13x1x

5、提示：

令21t（同阶）

xxx（2）提示：除以2x ；e 21

（3）提示：用等阶无穷小代换 ；

26、（1）提示：乘以x21x ；axbxcxx（4）提示：()

33xxxxxxa1b1c1a1b1c113ax1bx1cx13x1（3abc）

7、提示：limf(x)limf(x)f(0)

（a0）

x0x0

8、x1是第二类间断点，x0是第一类间断点

（C）

1、解：因为fxe2(x)1x，故(x)ln(1x)，再由ln(1x)0，x0。得：1x1，即x0。所以：(x)ln(1x)1xsinxsin2x1xsinxcos2x2、解：原式=lim=lim

x0x0x(1xsinxcosx)2xsinx(xsinx)=0 x0x223、解：因为当x时，sin~，xx=lim123x2523x2526x2106sin=lim=lim2则lim=

x5x3xxx5x3x5x3x5a1xaxeax=a=e2a)=lim

4、解：因为：9=lim(aexxax1x所以e2ax9，aln3

5、证明：令F(x)f(x)x，F(x)在a,b上连续，且