极限的计算方法总结

极限的计算方法总结（通用15篇）

极限的计算方法总结 篇1

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：lim0，当|q|1时b0(a,b为常数且a0)；lim(3x1)5；limqn；

x2nann不存在，当|q|1时等等

（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有

（1）lim[f(x)g(x)]AB

（2）limf(x)g(x)AB

（3）limf(x)A,(此时需B0成立)g(x)B

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3．两个重要极限（1）limsinx

1x0x1x（2）

(11)xe

lim(1x)e ； limxxx0说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。

12x例如：limsin3x1，lim(12x)x0x03x3e，lim(1)e；等等。

xxx

34．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价

关系成立，例如：当x0时，定理4 如果函数

e3x1 ～ 3x ；ln(1x2)～ x2。

f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～ 1 g1(x)，则当limxx0f1(x)f1(x)f(x)存在时，lim也存在且等于f(x)lim，即

xxxx00g(x)g1(x)g1(x)xx0limf1(x)f(x)lim=。

g(x)xx0g1(x)5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；

（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；

（3）limf(x)存在（或是无穷大）； g(x)f(x)f(x)f(x)f(x)

则极限lim也一定存在，且等于lim，即lim=lim。

g(x)g(x)g(x)g(x)说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“

0”型或“”型；条件0（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间内的一点，则有limxx0f(x)f(x0)。

7．极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：（1）ynxnzn,(n1,2,3,)

n

（2）limyna，limzna

nn

则极限limxn一定存在，且极限值也是a，即limxnna。

二、求极限方法举例

1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 limx13x12

x1(3x1)2223x33lim。解：原式=limx1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4注：本题也可以用洛比达法则。

例2 limn(n2n1)

nn[(n2)(n1)]分子分母同除以解：原式=limnn2n1(1)n3n例3 lim

n2n3n上下同除以3nnlimn31211nn3。2解：原式1()n1lim31。n2n()132． 利用函数的连续性（定理6）求极限 例4 limx2ex21x

12x解：因为x02是函数f(x)xe的一个连续点，所以

原式=2e4e。123． 利用两个重要极限求极限 例5 lim1cosx

x03x2xx2sin22lim21lim解：原式=x0x0x26。3x212()22sin2注：本题也可以用洛比达法则。例6 2xlim(13sinx)

x016sinx3sinxx13sinx6sinxx解：原式=lim(13sinx)x0lim[(13sinx)x0]e6。

例7 lim(nn2n)n1解：原式=lim(1n3)n1n13n3n1lim[(1n3)n1n13]3nn1e3。

4． 利用定理2求极限

2例8 limxsinx01 x解：原式=0（定理2的结果）。

5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限

例9 limx0xln(13x)2

arctan(x)2

2解：x0时，ln1(3x)～3x，arctaxn)(～x， 原式=limx0x3x3。x2exesinx例10 lim

x0xsinxesinx(exsinx1)esinx(xsinx)lim1。解：原式=limx0x0xsinxxsinx注：下面的解法是错误的：

(ex1)(esinx1)xsinxlim1。

原式=limx0x0xsinxxsinx

正如下面例题解法错误一样：

tanxsinxxxlimlim0。33x0x0xx例11 1tan(xsin)x limx0sinx22xsin解：当x0时，2111是无穷小，tan(x2sin)与x2sin等价，xxx1xsin1xlimxsin0。

所以，原式=lim（最后一步用到定理2）

x0x0xx6． 利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。

例12 limx01cosx（例4）

3x2sinx1。（最后一步用到了重要极限）

x06x6解：原式=limcos例13 xlimx12 x14 解：原式=limx12sinx2。12例14 limx0xsinx x31cosxsinx1lim。=（连续用洛比达法则，最后用重要极限）2x0x06x63x解：原式=lim例15 limsinxxcosx 2x0xsinx原式lim解：sinxxcosxcosx(cosxxsinx)limx0x0x2x3x2 xsinx1limx033x2例18 11lim[] x0xln(1x)11lim[]0。解：错误解法：原式=x0xx

正确解法：

原式limln(1x)xln(1x)xlimx0xln(1x)xxx01 1x1lim1xlim。x0x02x2x(1x)2x2sinx

3xcosx12cosx0”型，但用洛比达法则后得到：lim，此极限

x3sinx0应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19 limx解：易见：该极限是“不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

2sinx1x原式=lim（分子、分母同时除以x）=（利用定理1和定理2）

xcosx33x17． 利用极限存在准则求极限 例20 已知x1xn 2,xn12xn,(n1,2,)，求limnn解：易证：数列{xn}单调递增，且有界（0

xn存在，设 limxna。

n对已知的递推公式

xn12xn两边求极限，得：

a2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）。所以 limxn2。

n1n1nnn22n例21 lim(1n21211nn2)

1nn2解： 易见：n12n22nn12

因为 limnnnn21，limnnn11221

1nn2所以由准则2得：lim(n1n12n2)1。

极限的计算方法总结 篇2

一、问题的提出

本例中数列极限许多学生认为是由于但这种想法似是而非, 严格地讲这是由得出来的, 同一个类型的例子基本上都是这样, 由此可见这个式子的正确使用是我们必须要掌握的。

其中[x]表示x的整数部分, 令x->+∞时, 不等式左右两侧表现两个数列的极限再利用函数极限的夹逼定理得到

接下来我们重点了解一下能不能从数列极限求函数极限研究数列极限和函数极限时, 许多学生会想到海涅定理, 根据海涅定理, 的充分必要条件是对于任意趋于+∞的数列{n}都有。

二、得到的重要结果

通过上面的分析, 我们就可以提出下面的定理。

定理1设f (x) 在[a, +∞]上有定义, (a>0) , 如果存在数列{xn}, {yn}满足对于任意x>=a, 当n<=x

证明:对于任意A>0, 由于所以存在N∈N+ (假设N≥a) , 当n>N时, 就会有|xn-A|<ε且|yn-A|<ε取X=N+1, 当x>X时, 总可以找到满足n0>N且n0≤x≤n0+1, 由条件可得xn0≤f (x) ≤yn0, 所以xn0-A≤f (x) -A≤yn0-A, 于是|f (x) -A|≤max{|xn0-A|, |yn0-A|}<ε。

在学习定积分时且遇到下面的问题:

迫敛性在极限计算中的应用 篇3

关键词：迫敛性极限计算

迫敛性是极限的基本性质，其内容是：若收敛数列{am}，（bm）都以a为极限，数列{cm}满足，存在正数N0，当n>N0时有am≤cm≤bm，则数列{cm}收敛，且lim1m→∞cm=a.迫敛性给出了数列极限存在的一个充分条件，同时提供了一种计算极限的方法。当然函数极限也有相应的迫敛性。

迫敛性本身就很形象地表明了它的实质，应用迫敛性求极限的关键或难点在于寻找不等式两端具有同一极限的式子。本文以具体的例子说明迫敛性在计算极限中的应用，可使读者学到解决问题的技巧，提高解决问题的能力。

例1求lim1n→∞1·3·5·…·（2n-1）12·4·6·…·（2n.

解设xm=1·3·5…·（2n-1）12·4·6·…·（2n），再设yn=213·415·…·2n12n+1，则有0

因为lim1n→∞112n+1=0，故由迫敛性得lim1n→∞xm=lim1m→∞xm=lim1n→∞1·3·5·…·（2n-1）12·4·6·…·（2n）.

注对于求连乘（或连加）形式的数列通项xm的极限，常适用于先进行不等式估计，然后應用迫敛性求出其极限.

例2求lim1x→+∞11x∫111xcos2t14t2dt.

解由展开式cos 2t=1-112！（2t）2+…，得1-2t2≤cos 2t≤1（0≤t≤1），从而当x>1时，有∫111x1-2t214t2dt≤∫111xcos2t14t2dt≤∫111x114t2dt，由此即得不等式

-314+x14+112x≤∫111xcos2t14t2dt≤-114+x14，

即-314x+114+112x2≤11x∫111xcos2t14t2dt≤-114x+114.

而lim1x→∞（-314x+114+112x2）=114，lim1x→+∞（-114x+114=114，据迫敛性，得lim1x→+∞11x∫111xcos2t14t2dt=114.

例3用迫敛性定理证明lim1x→+∞n1an1+an2+…+anm=max{a1，a2，…am}，其中a1，a2，…，am均是正数.

证明设A=max{a1，a2，…，am}，于是就有

A≤n1an1+an2+…+anm≤n1mAn=An1m .

由于lim1x→∞n1m=1，故由迫敛性得lim1x→+∞n1an1+an2+…+anm=max{a1，a2，…，am}.

例4计算lim1n→∞n1k=1（nk+1）-11k.

解设y=（nx+1）-11x（x≥0），则有ln y=-11xln（nx+1），求导得

11yyt=11x2ln（nx+1）-11xnxln n1x nx+1>11x2ln nx-11xln n=0.

由于y>0，所以yt>0，由此得函数y是严格递增函数，于是

n1n+1

又因为有lim1n→∞n1n+1=limn→∞n1（nn+1）11x=1，所以由迫敛性得lim1n→∞n1k=1（nk+1）-11k=1.

参考文献：

[1]华罗庚.高等数学引论[M]. 科学出版社，1964.

[2]张竹生.数学分析新讲选论[M].北京大学出版社，1990.

高数：总结求极限的常用方法 篇4

极限定义法 泰勒展开法。洛必达法则。

等价无穷小和等价无穷大。

极限的求法 1.直接代入法

适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为

例 1.求

极限分为 一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是 X趋近而不是N趋近！！！必须是 函数的导数要存在！！！！必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0 落笔他 法则分为3中情况0比0 无穷比无穷 时候 直接用 0乘以无穷 无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意！！）

E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于 x！快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！

当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的

14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用 证明单调性！！！

考研数学 求极限十大方法总结 篇5

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1、利用定义求极限。考研 教育网

2、利用柯西准则来求。

柯西准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0，存在自然数N，使得当n>N时，对于

任意的自然数m有|xn-xm|

3、利用极限的运算性质及已知的.极限来求。

如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5

=lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5 =1.

4、利用不等式即：夹挤定理。

5、利用变量替换求极限。

例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1)

可令x=y^mn

得：=n/m.

6、利用两个重要极限来求极限。

(1)lim sinx/x=1

x->0

(2)lim (1+1/n)^n=e

n->∞

7、利用单调有界必有极限来求。

8、利用函数连续得性质求极限。

9、用洛必达法则求，这是用得最多的，使用过程中大家一定要注意使用条件。

10、用泰勒公式来求，这用得也很经常。

极限的计算方法总结 篇6

从极限分析原理入手,以堆积型边坡作为对象,研究了折线型滑面边坡稳定分析计算的极限分析方法,提出了折线型滑面边坡稳定系数计算的极限分析模型,并在虚功率原理的基础上推导得到了稳定系数计算的极限分析上限解.该方法考虑了折线滑面和垂直速度间断面上的内能耗散作用,考虑了边坡自重荷载、铅直向附加荷载所做的`外功率作用,能计算折线型滑面堆积体边坡的稳定性计算问题.以三峡库区三马山滑坡为工程实例进行了稳定性分析计算,并与不平衡推力法的计算结果进行了比较,对本文的方法进行了验证.

作 者：王根龙 伍法权 李巨文 WANG Gen-long WU Fa-quan LI Ju-wen 作者单位：王根龙,WANG Gen-long(中国科学院工程地质力学重点实验室,北京,100029;中国地震局防灾技术高等专科学校,北京,101601)

伍法权,WU Fa-quan(中国科学院工程地质力学重点实验室,北京,100029)

李巨文,LI Ju-wen(中国地震局防灾技术高等专科学校,北京,101601)

极限的计算方法总结 篇7

关键词：一元函数,极限,计算方法

一元函数极限是高职高等数学中一个非常重要和基础的概念, 是高职生进入大学后所要学习的第一个新的数学概念。随着高职高等数学教材的改革, 关于一元函数极限的定义越来越简化, 所以如果学生要从本质上来理解极限的定义及计算, 则有一定的难度。但结合现代高职教育的目的, 高职高数的学习, 并不是要求学生掌握严谨的数学定义, 而是让学生能体会数学的思维方式, 以及作为工具在本专业上的应用。所以对于一元函数极限的教学, 重点是让学生能够运用适当的方法来计算一元函数的极限。本文结合自己多年的教学经验, 对一元函数极限的计算方法进行了归纳总结, 详细介绍了如何求解一元函数的极限。

2.直接计算型 (利用初等函数的连续性)

3.型

对于型而言, 结合所求极限的形式, 通常可用约分法、有理化法, 或者利用洛必达法则转换成第1、2种类型, 随后再求解。

例2求极限

分析:由于函数中的分子分母均可因式分解, 故可将其因式分解后求解。

分析:由于函数里出现了根号, 根据一般的计算方法, 可将其有理化后求解。

分析, 对于此种类型而言, 显然无法用例2、例3的方法来求解, 此时可利用洛必达法则来求解。

对于型而言, 一般可分为有理分式和利用洛必达法则求解两类。具体如下:

若所求的函数为有理分式, 即分子分母都为多项时, 可以用以下结论求解:

分析, 由于此类极限不是多项式, 故可用洛必达法则求解。

解:

5.重要极限型

对于重要极限, 重点是利用它们的形式, 即:

以上主要是针对单一函数形式极限的求解方法, 对于复杂的函数形式, 可以结合极限的四则运算或者是通过适当的变形转化成上述的极限类型, 然后再求解。总之, 虽然求一元函数极限的方法有很多, 但只要在极限计算过程中, 不断归纳、总结, 就能在解题时找到适当的方法, 顺利求出。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析:第四版.上册[M].北京:高等教育出版社, 2010.

[2]同济大学数学系.高等数学:第六版.上册[M].北京:高等教育出版社, 2007.

关于求函数极限方法的讨论 篇8

关键词：函数极限；恒等

中图分类号：O171 文献标识码：A文章编号：1007-9599 (2011) 03-0000-01

Discussion on Limit of Function Methods

Jiang Yan

(Chongqing Vocational College of Architecture Engineering,Chongqing 400039,China)

Abstract:The function of higher mathematics made to limit summarized in more detail.Eight methods described in five points,and explains the difference and contact between each method.

Keywords:Functional limit;Identity

極限的思想贯穿于整个微积分的课程之中，掌握好求极限的方法是十分必要的。由于极限的求法众多，且灵活性强，不是每一种方法都适用于求任意函数的极限，或者某个函数的极限可以用多种方法求出，那么就可以选择比较简单的方法求之。因此有必要对极限的求法加以归纳总结。

一、利用极限的四则运算法则和函数的连续性求极限

一般情况下，可以利用函数连续性求解极限的函数，就可以用极限的四则运算法则来求解，而通过以下对比，可发现，利用函数的连续性求解会方便很多。

（一）极限的四则运算法则

若 ，

则：

法则本身比较简单，要注意两点：1、函数的个数有限，且每个函数的极限要存在；2、作为除数的函数极限不为零。因此大多数函数求极限往往不能直接利用法则，需要进行恒等变形，常用的方法有分子分母因式分解、分式的通分或约分、分子分母有理化、三角函数的恒等变形、或者先求其倒数的极限等等。

例1

解：

例2

解：原式

由例2可总结以下结论

（二）利用函数的连续性求极限

若函数 在 处连续，则 ，而初等函数在其定义区间内都是连续的，所以求初等函数在其定义区间内任意一点处的函数极限值，只需求函数在该点处的函数值，可以直接代入计算。如果是求定义区间以外点处的极限，则可以通过恒等变形将函数化为在该点处连续的函数，再代值计算。这里的恒等变形和四则运算里面的变形用方法是类似的，并且有时候使用函数的连续性求极限比利用函数的四则运算简洁许多。例如前面的例1可求解为：

例3

解：因为 在其定义域以内，所以函数在 处连续

二、利用两个重要极限、无穷小量的性质和等价无穷小代换求极限

重要极限中的弧弦之比其实也说明了一个等价的问题，而利用等价无穷小量代换求解会方便很多。

（一）利用重要极限求函数的极限

两个重要极限的标准形式为： （弧弦之比）， 或 。一个是利用三角公式找到原函数和 的关系，另一则主要用在形如 的函数极限的求解（后面会提到形如 的函数极限的求解）。它们的扩展形式为： ， 或 （ ）利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的恒等变形，将所求极限的函数变形为重要极限或者重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则或函数的连续性求解。

例4

解：原式

例5

解：原式

例6

解：原式

（二）利用无穷小的性质求函数的极限

无穷小量的极限为零且无穷小量有以下性质：

（1）有限个无穷小量的代数和为无穷小量；

（2）有界函数（常量）与无穷小量之积为无穷小量：

（3）有限个无穷小量之积为无穷小量。

在关于函数极限的求解中使用最多的是性质（2）。

例7 求

解： 原式 。

（三）利用等价无穷小代换求函数的极限

等价无穷小量的定义为：若 是同一极限过程的无穷小量，即 ， ，且 ，则称 是等价无穷小量，记作 。等价无穷小量在求极限中的应用的相关定理为：设 使同一极限过程的无穷小量，且 存在，则有 。而重要极限中的 ，就说明了 ，除此以外，常用的等价无穷小量有： ， ， 。由此，例4和例5可另解为： 及 。

在使用时要注意的一点是：相乘（除）的无穷小量都可以用各自的等价无穷小量来代换，但是相加（减）的无穷小量的项是不但能作等价代换的。

三、利用夹逼准则求极限

函数极限的夹逼准则为：设有三个函数 ， ， 在点 的某去心邻域内有定义，且满足条件：（1） ；（2） ；则极限 存在，且等于 。

例8 求极限

解：

四、利用导数的定义求极限

若函数 在 处可导，则有 ，除此以外还有另外两种形式（1） ；（2）

利用这个定义，若所求极限的函数具有函数导数的定义式或者可以化为导数的定义式，则可利用导数的定义来求极限。

例9 若 存在，求 。

解：

原式

五、利用罗比达法则求函数的极限

罗比达法则为：如果函数 和 满足：

（1） （取相同的极限过程且极限相等）；

（2） 都可导，且 ；

（3） ，

则 。

（一）“ ”型和“ ”型

罗比达法则主要用来求解“ ”型和“ ”型这两种未定式的极限。利用罗比达法则求极限，由于分类明确，规律性强，而且可以连续进行运算，可以简化一些复杂的函数求极限的过程，但运用时需要注意条件。

例10求

解：

注意：遇到 不存在也不是 时，并不能说明原式 不存在，此时应另找他法，如 ，属于“ ”型，使用罗比达法则以后变为求 ，显然不存在。可先变形，再利用前面提到的有界函数和无穷小量另解为

（二）“ ”型

对于函数 属于“ ”型未定式，可做适当变型化为“ ”型或“ ”型，即： 或 ，再使用罗比达法则。至于究竟化为哪一种应视情况而定，看哪一种化法更容易求解，简单来说，就是看变型以后的分子分母分别求导相对简单一些。

例11 求

分析： 显然变形为“ ”型再利用罗比达简单一些：即方便分子分母分别求导数。

解：原式

（三）“ 型”

一般情况下，为分式相减的，先通分；为根式相减的，先根式有理化：最终仍是化为 或 ，再使用罗比达法则求解。

例12 求

解：原式

（四） 型

这三种形式均为幂指函数求极限，即： ，因为 ，可先求出 ，而 ，从而化为求 函数的极限，接着用前面的介绍的方法求解。使用关键在于要注意变型的恒等，也就是很多人计算时往往把所求极限函数的对数的极限计算以后就结束了，实际上此时的极限和只是原式变型以后指数的极限。

例13 求

解：

例 14

解：

原式

“ ”在可化为“ ”时还可以直接利用重要极限中的 （ ）。

（五）罗比达法则与等价无穷小代换的综合使用

有时候罗比达法则和等价无穷小代换综合使用效果更好。

例14求

分析：此题为两对数乘积，且为 型，若直接变型使用罗比达会有麻烦，此时可先利用无穷小量等价代换化为熟悉的问题。

解：原式

例15求

解：

原式

六、结论

总之，以上各种求极限的方法要根据不同的情况来选择，记住一些结论或标准的形式对于求解和选择恰当的方法帮助会很大。各个方法之间其实不是孤立的，有时求解一道题可以使用多种方法，而各个方法的使用中几乎都提到了恒等变形，这是很重要的一个原则。

参考文献:

[1]龙辉.高职数学[M].电子科技大学出版社.2007

[2]龙辉.高职数学辅导与练习[M].电子科技大学出版社,2008

高等数学微积分求极限的方法整理 篇9

1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和

5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos

二，求极限的方法纵向总结：

1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置

2）用无穷小量与有界变量的乘积

3）2个重要极限

函数极限题型与解题方法 篇10

毕原野 整理

一．极限的证明

1.趋近于无穷 P19 例8（1）

2.趋近于正无穷 P19 例8（2）

3.趋近于负无穷 P19 例8（3）（4）

4.趋近于某一定值 P21 例9（1）（2）（3）

极限的证明说白了就是找两个值，对于趋近于无穷的极限来说是ε和X，而对于趋近于某一定值的极限来说就是ε和δ。因此，证明过程中，无论哪种先得出ε，然后把x用ε表示出来（如果是趋近于某一定值的就是把|x-a|用ε表示出来），这样，就明确了X（δ），之后直接套格式就好了。

关键就在于表示过程，这需要一定的计算和技巧，比如放缩、变形等。由于ε的无限小，可以为其设定任何范围，以简化计算，但是要使原试有意义。

二．求极限

1.趋近于无穷（包括正负无穷）

（1）上下同除高次项 P22 例11（3）

（2）有理化 P25 例3（5）

（3）换元 P25 例13（2）

（4）应用 无穷小×有界=无穷小 P25 例13（3）（4）

2.趋近于某一定值

（1）应用法则直接带入 P22 例11（1）（2）

（2）有理化 P22 例11（4）

（3）等价无穷小定理 P28 例14（1）（2）（3）

（4）变形后应用重要极限

换元 P24 例12（1）（3）

倍角公式 P24 例12（2）

其他变形 P24 例12（4）

通分 P34 23.（9）（10）

3.分段函数

应用1.、2.的方法得出左右极限即可。

书写过程注意格式，写明左右极限。P21 例10 P35 29.函数的极限求法可以类比数列的求法，只是要注意其方向和保证原式的有意义。

三．证明极限存在与否

首先确定是否能求出左右极限。不能，则无极限；能，则进一步看是否相等。不等，则无极限；等，则有极限。P35 30.（2）（3）

四．求参数

极限的计算方法总结 篇11

关键词：中职 极限配合与技术测量基础 教学 激发兴趣

随着社会经济的不断发展，现在的企业越来越注重人才的实际操作能力。为了适应这一转变，我们中职职业教育的课程也都实行了教学改革，更加注重理论与实际的联系，从而培养适应时代进步发展需求的学生。极限配合与技术测量基础是中职机械类专业的一门专业基础课，该课程的目的是要培养学生能看懂完整的机械图样，并知道如何保证图样上的一些技术要求，为将来的实训打下坚实的基础。本课程是在机械制图课程的基础上，教学生理解图样上一些相关的技术要求的含义、标注以及如何检验。课程内容包含了技术测量的基本知识、常用计量器具、几何公差、表面结构要求、螺纹的公差与检测，其知识系统性强，概念抽象。因此对如何将这门课的知识更好地传授给学生，如何更好地调动学生学习的兴趣，笔者做以下几点分析。

一、教师要扩充知识

极限配合与技术测量基础课程涉及了机械制造、机械制图、机械加工工艺、热处理等多方面的知识，综合性、系统性很强，所以对任课教师有更高的要求。中职教师理论知识丰富，但是实践经验有限，因此对于所教的知识难免会脱离实际。这门课程综合性很强，如果不能全面了解相关知识，很难融会贯通。例如对某一个零件图样，尺寸公差和形位公差如何保证，用什么机床、什么刀具加工，零件如何装夹等等，这些都需要教师在课前做好充分准备。教师要不断完善自身的专业知识，关注本专业的发展动态，与时俱进，这样才能在实际教学中有的放矢，将知识系统全面地教授给学生。

二、激发学生兴趣

学生普遍基础差，学习积极性不高，而极限配合与技术测量基础课程概念枯燥、内容抽象，很多学生在上课之初很容易产生厌学情绪。因此，教师在课堂教学时一定要改变以往的方式，用简单易懂的语言代替专业术语，多引用一些日常生活中的例子来分析问题，激起学生的共鸣，引起学生的兴趣。比如在第一堂课讲互换性概念的时候，笔者就向学生提问一个更换汽车轮胎的问题。由于汽车是学生每天都能接触的，因此对此问题学生的参与度很高，大家都能积极参与讨论，讲述自己的看法。这样在讨论的过程中，学生不知不觉地理解了互换性的含义，而且整个课堂气氛活跃，参与度很高。

三、合理安排教学内容，充分发挥学生的主体作用

极限配合与技术测量基础课程内容较多，要在有限的课时内，使学生掌握基本知识，并能看懂图样，熟悉图样上的各种代号、符号、技术要求，还要掌握常规的测量技术，教师就必须以实用为原则，精选教学内容，合理安排教学课时。对一些文字叙述性的概念，教师可以提出一些启发性的问题，让学生自己归纳总结；对一般难度的知识，可以先通过实例讲述，然后提出问题，让学生自己解决。教师将学生分组安排，通过小组讨论、组员竞赛等方式，培养学生自我学习的能力。在学习中，学生要学会找重点、难点，学会主动学习。

四、理论与实践教学相结合

极限配合与技术测量基础课的传统教学方式是以理论为主，又由于这门课的知识涉及较广，因此课堂教学很容易陷入“教师教得累，学生不愿听”的尴尬处境。因此在课程设计时，教师要安排尽可能多的实践，让学生自己动手去测量、去体会，从而更好地掌握所学的理论知识，更好地将理论与实践相结合。比如，在常用计量器具教学时，教师分配每个学生一套工量具，让学生分组学习。教师先通过初步讲解，让学生每人都进行一次实际测量，然后分给每小组一个工件，通过竞赛的方式，让学生比一比哪组能更快更准地测量出工件的数据。这种理论与实践结合的方式，可以很好地提高学生学习兴趣，调动课堂气氛，使学生能主动愉快地学习。

总之，在中职极限配合与技术测量基础课程教学中，教师要不断提高自己，要激发学生的兴趣，善用通俗易懂的语言讲授专业知识，还要在教学过程中充分发挥学生的主观能动性，将理论与实践结合，不断摸索新的教学方法，使学生能够很好地掌握学习内容，为以后其他专业课的学习与实践打好基础。

参考文献：

[1]徐巧，张智明，梅顺齐.《互换性与测量技术基础》课程教学方法探讨[J].中国科教创新导刊，2008（25）.

[2]杨昌义.极限配合与技术测量基础[M].北京：中国劳动保障出版社，2007.

[3]王凤娟.“公差配合与技术测量”的教学探讨[J].石家庄职业技术学院学报，2004（3）.

极限的计算方法总结 篇12

早在20世纪50年代, 荷兰著名图形艺术家Escher M.C.就创作了大批理性且美妙的极限作品, 使人们感受到科学与艺术的融合, 数学与艺术审美上的统一。我们发现不管是从科学的角度看还是从美学的观点看, Escher的极限作品都是那么富有哲理, 繁中有序, 既结构统一又元素丰富。他的作品引起了许多分形学者的极大兴趣。但是, Escher不得不用手完成他的作品, 在科学技术高度发达的今天, 数学家已经可以用数学语言来描述这一复杂的构造, K.W.Chung等人基于多年对极限图形的研究经验构造出了极限图形映射动力系统[1,2], 并运用轨道收敛方法构造出了极限图形, 但是, 这种方法只对动力系统中点的轨道是1周期的情况有效。文献[3]和文献[4]运用Lyapunov指数判断极限图形映射对应的动力系统的动力学特性, 生成了大量极限图形。笔者对其中的Lyapunov指数的计算方法进行了分析和总结, 旨在为非线性动力系统计算机图形化的研究工作提供思路。

1 Escher M.C.的极限图形

在Escher M.C.的极限作品中最具代表性之一的是《圆极限》系列。图1所示的是Escher创作的《圆极限IV》。图中白色的天使和黑色的魔鬼呈大小比例对称分布, 其对称性除了表现传统几何的上下、左右及中心对称外, 同时它的自相似性又揭示了局部与整体的对称。这种对称不同于欧几里德几何的对称带来的呆板, 而是在大小比例的对称统一中产生运动感。

2 Lyapunov指数

对一个混沌系统来说, 两个极靠近的初值所产生的轨道随时间的推移按指数方式分离, 而定量描述这一现象的物理量是Lyapunov指数。根据混沌的特性-对初始条件的敏感依赖性, 在不断的迭代过程中, 如果两个轨道最终收敛到同一个不动点或极限值, 那么平均来看两个解的差别越来越小;如果结果是在某组参数下使得动力系统的动力学特性是混沌的或不稳定的, 即选取两个极其靠近的初始点迭代动力系统, 那么, 在每次迭代后两个迭代值间的差别会随着迭代次数的增加变得越来越大。文献[5]的作者在欧氏平面上选取两个相距很近的点分别为z (x, y) 与z' (x', y') , 它们之间的分离距离为dn=d=10-6 (d为每次迭代前初始点之间的固定距离) , 作为初始迭代点, n次迭代后, 它们将分别移动到zn+1 (xn+1, yn+1) 与z'n+1 (x'n+1, y'n+1) , 先计算两个新点的分离距离dn+1, 用于计算Lyapunov指数, 再将点z'n+1 (x'n+1, y'n+1) 沿zn+1z'n+1的离散方向移回到距点zn+1 (xn+1, yn+1) 距离为d的位置, 移动过程见图2。

Lyapunov指数的计算公式如下:

在每次迭代之后初始点之间的距离都变为d, 即dn+1=d=10-6。

3 Lyapunov指数在生成极限图形中的应用

文献[6]的作者Sprott.J.C.在欧氏平面上利用一般二维二次映射, 采用蒙特卡罗搜索法搜索参数, 并通过Lyapunov指数考察该组参数下动力系统的动力学特性, 构造出了结构各异的混沌吸引子图案。从Sprott.J.C.提出的构造方法中可以看出, 构造混沌吸引子的关键问题是寻找使动力系统具有混沌特性的参数组合。实际上, 大多数极限图形的映射是定义在非欧平面上的, 例如在文献[1]中提出的双曲极限圆映射就是定义在双曲平面上的, 其相应于欧氏空间的平行直线变成了正交于圆周的弧线, 因此, 在单位圆内两点间距离的计算不能采用欧氏平面上两点间的距离公式。即使极限图形的映射定义在欧式平面上, 但其迭代点的轨迹不在同一对称格子中, 两点间的距离也不能够使用欧式平面中的两点间的距离公式进行计算 (如上半平面极限映射) 。笔者通过分析文献[3]和[4]中Lyapunov指数的计算方法, 总结出只有将极限图形映射中迭代点的轨道等价变换到欧式平面的基本区域中, 才能够利用Lyapunov指数对映射的混沌特性进行判断, 进而反映该映射在非欧平面上的动力学特性。图3展示了上述方法通过求解极限图形映射的Lyapunov指数, 生成的混沌吸引子和充满J集图案。

参考文献

[1]Chung K W, Chan H S Y and Wang B N.Efficient generation of hyperbolic symmetries from dynamics[J].Chaos, Solitons&Fractals, 2002, 13:1175-1190.

[2]Chung K W, Chan H S Y and Wang B N.Smaller and smaller'from dynamics[J].Com-puters&Graphics, 1998, 22 (4) :527-536.

[3]陈宁, 李子川, 金媛媛.双曲极限圆映射的混沌吸引子及充满Julia集[J].沈阳建筑大学学报, 2006, 22 (6) :999-1033.

[4]陈宁, 金媛媛, 李子川.上半平面极限映射的混沌吸引子及充满Julia集[J].沈阳建筑大学学报, 2006, 22 (5) :846～851.

[5]Wolf A, Swift J B, Swinney H L, Vastano J A.Determining Lyapunov exponents from a time series[J].Physica, 16D, 1985:285～317

极限总结 篇13

一、证明极限

二、求极限

三、定理概念，证明，用途。

四、等价利用，证明

一：无穷小：对于任意数，必存在使≤该任意数成立。改变依他（反3）形式。二：利用等价，先想清楚化简的目的，看清趋向。

三：

1、收敛数列的唯

一、有界性，与子数列的关系（同号性）。

2、唯一，函数极限的局部有界性（|…|≤M），局部保号性。

3、limf（x）=A←→f（x）=A+α，其中limα=04、无穷大：对任意数，必存在使≥该任意数，垂直渐近线。

5、无穷小±*无穷小=无穷小，无穷小*有界函数（或常数）=无穷小。

6、某函数有极限，则一定领域内，_1___有界（本来是由无穷大到某个数，倒过来之后是某个数到无穷小）f（x）

7、无穷小/以非零常数为极限的函数=无穷小（由6,5得）。

8、limf（x），则lim【Cf（x）】=Climf（x）、so does “n次方”。

9、limsinx/x=1P22.P23有好多等价（有证明）。

10、lim（1+1/x）^x=eP2411、趋向更快，则为高阶。相除为常数，同阶。与K次相除为常数，K阶无穷小。相除为1，等价无穷小。

12、连续的定义：该点存在极限且等于该点函数值；在|x-xo|≤δ中存在|f（x）-f（xo）|≤ε；Δx→0，Δy→0.13、可去间断点，跳跃间断点，无穷间断点，震荡间断点（f（x）=1/sinx）。

14、连续函数的四则运算，与常数一致。

15、闭区间连续函数：有界，介值（A>C>B，A、B为端点函数值），零点定理。

计算机学习方法总结 篇14

(1)学校学习

我觉得学校的课程中，有几类课是十分重要的。一类是语言基础课，尤其是你大学乃至人生的第一门编程语言课是十分重要的，因为它会培养你最初编程感，培养你编程的基本功，以后上手其他语言，就会容易很多。

还有一类是计算机基础和总体知识的课程，比如操作系统、编译原理、计算机网络等等，它们会教给你宏观的计算机知识，让你了解计算机是如何运作的。

对于以上两类课程，我的建议是除了认真听课、完成作业，课后也多查阅资料，多练习，多实践。

(2)自我学习

技术书籍的选择

要选择“著”而不是“编著”，“著”的书往往包含了作者自身长年积累的经验和知识、见解。而“编著”往往只是简单的知识的整理收集，缺乏对知识的梳理、讲解。国外的书往往质量更高，能直接阅读英文原文著作当然是做好的，翻译的作品也是不错的。

在线编程学习网站

网上有各类论坛、博客包含信息，不时逛逛，收获良多。

Codecademy 强力推荐的一个交互式编程学习网站，它以练习实践的方式，进行编程教学。

在线课程

如今的在线课程开放平台十分活跃，能给我们提供的课程也十分多，质量也很不错。

Coursera 由美国斯坦福大学两名计算机科学教授创办。旨在同世界顶尖大学合作，在线提供免费的网络公开课程。

edX 麻省理工和哈佛大学于4月联手创建的大规模开放在线课堂平台。

Udacity 大量优质的计算机相关课程。

学堂在线 由清华大学研发出的网络开放课程平台。

Khan Academy 可汗学院，有关于数学、历史、金融、物理、化学、生物、天文学等科目的内容。

imooc 国内一个IT课程平台，多为一些IT圈内大牛主讲的课程，质量很不错，授课内容十分实用。

网易云课堂 多为技能类课程，种类多。

网易公开课 各类公开课。

还有很多在线课程能够很好地帮助我们自学。

问答社区

在自学的过程中，经常会遇到各种各样的问题，一般可以去百度、谷歌等搜索引擎进行搜索，也可以去IT类的问答社区。比如著名的stackoverflow，上面的答案可信度非常高;还有国内的segmentfault 等等。

英语

090未定式的极限计算 篇15

关键词：未定式,极限,计算

一、利用运算法则

这是极限计算的最一般的方法。当函数求极限遇到问题时,就要想到对函数进行恒等变形。

1.分解因式

2.分子分母同时除以自变量的最高次幂

3.分子或分母进行有理化

4.三角恒等变形

二、利用重要极限

三、洛必达法则

1.运用方法

(1)直接利用法则

2.注意事项

(1)在反复使用洛必达法则时,一定要首先肯定我们考虑的两个函数之比的极限是未定式,否则会导致错误。

(2)应用洛必达法则时,应随时注意利用代数或三角恒等式的变形来消去分子与分母中的公共因子,使运算得到简化。

(3)在反复使用洛必达法则时,如果有极限值立即可以确定的因子,应先把这因子的极限值确定,并将它提到极限符号外,然后再利用法则。

(5)洛必达法则虽然是一个有效的方法,但不是万能的方法。有时,应用洛必达法则计算未定式型极限也有失效的情形。用洛必达法则求未定式极限时,出现了分子分母循环交替的情形,因此得不到结果。

随着数学分析学习的深入,未定式极限的计算方法呈现了多种多样性。学习者应活学活用,并不断摸索新的方法。

参考文献

[1]刘玉莲,傅沛仁.数学分析讲义[M].高等教育出版社,1992-06.