指数函数的图象和性质（精选13篇）
一次函数的图象和性质
一、目的要求
1.使学生能画出正比例函数与一次函数的图象。
2.结合图象，使学生理解正比例函数与一次函数的性质。
3.在学习一次函数的图象和性质的基础上，使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念。
二、内容分析
1、对函数的研究，在初中阶段，只能是初步的。从方法上，是用初等方法，即传统的初等数学的方法，而不是用极限、导数等高等数学的基本工具，并且，比起高中对函数的研究，更多地依赖于图象的直观，从研究的内容上，通常，包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。关于定义域，只是在开始学习函数概念时，有一个一般的简介，在具体学习几种数时，就不一一单独讲述了，关于值域，初中暂不涉及，至于函数的变化特征，像上升、下降、极大、极小，以及奇、偶性、周期性，连续性等，初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍，其它，在初中都不做为基本教学要求。
2、关于一次函数图象是直线的问题，在前面学习13.3节时，利用几何学过的角平分线的性质，对函数y=x的图象是一条直线做了一些说明，至于其它种类的一次函数，则只是在描点画图时，从直观上看出，它们的图象也都是一条直线，教科书没有对这个结论进行严格的论证，对于学生，只要求他们能结合y=x的图象以及其它一些一次函数图象的实例，对这个结论有一个直观的认识就可以了。
三、教学过程
复习提问：
1.什么是一次函数?什么是正比例函数?
2.在同一直角坐标系中描点画出以下三个函数的图象：
y=2x y=2x-1 y=2x+1
新课讲解：
1.我们画过函数y=x的图象，并且知道，函数y=x的图象上的点的坐标满足横坐标与纵坐标相等的条件，由几何上学过的角平分线的性质，可以判断，函数y=x，这是一个一次函数(也是正比例函数)，它的图象是一条直线。
再看复习提问的第2题，所画出的三个一次函数的图象，从直观上看，也分别是一条直线。
一般地，一次函数的图象是一条直线。
前面我们在画一次函数的.图象时，采用先列表、描点，再连续的方法.现在，我们明确了一次函数的图象都是一条直线。因此，在画一次函数的图象时，只要在坐标平面内描出两个点，就可以画出它的图象了。
先看两个正比例项数，
y=0.5x
与 y=-0.5x
由这两个正比例函数的解析式不难看出，当x=0时，
y=0
即函数图象经过原点.(让学生想一想，为什么?)
除了点(0，0)之外，对于函数y=0.5x，再选一点(1，0.5)，对于函数y=-0.5x。再选一点(1，一0.5)，就可以分别画出这两个正比例函数的图象了。
实际画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，一般按以以下三步：
(1)先选取两点，通常选点(0，0)与点(1，k);
(2)在坐标平面内描出点(0， O)与点(1，k);
(3)过点(0，0)与点(1，k)做一条直线.
这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象.
观察正比例函数 y=0.5x 的图象.
这里，k=0.5>0.
从图象上看， y随x的增大而增大.
再观察正比例函数y=-0.5x 的图象。
这里，k=一0.5<0
从图象上看， y随x的增大而减小
实际上，我们还可以从解析式本身的特点出发，考虑正比例函数的性质.
先看
y=0.5x
任取两对对应值. (x1,y1)与(x2,y2)，
如果x1>x2，由k=0.5>0，得
0.5x1>0.5x2
即yl>y2
这就是说，当x增大时，y也增大。
类似地，可以说明的y=-0.5x 性质。
从解析式本身特点出发分析正比例函数性质，可视学生程度考虑是否向学生介绍。
一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质：
(1)当k>0时，y随x的增大而增大;
(2)当k<0时，y随x的增大而减小。
2、讲解教科书13.5节例1.与画正比例函数图象类似，画一次函数图象的关键是选取适当的两点，然后连线即可，为了描点方便，对于一次函数
y=kx+b(k,b是常数，k≠0)
通常选取
一、三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象性质
1.定义域为R
2.值域为R
3.单调性
因为,f'(x)=3ax2+2bx+c,所以Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),于是:
(1)当a>0时,
①当b2-3ac>0时,方程f'(x)=0有两个不等的实根x1,x2(不妨设x1
不难得到:y=ax3+bx2+cx+d在(-∞,x1)∪(x2,+∞)上是增函数,在[x1,x2]上是减函数.
②当b2-3ac=0时,方程f(x)=0有两个相等的实根,f'(x)=3ax2+2bx+c的图象如图3所示,三次函数y=f(x)的图象如图4所示:
可知y=ax3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)上是增函数.
③b2-3ac<0时,方程f'(x)=0没有实根,且f'(x)>0恒成立,所以y=ax3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)上是增函数.
(2)当a<0时
①当b2-3ac>0时,方程f'(x)=0有两个不等的实根x1,x2(不妨设x1
不难得到:y=ax3+bx2+cx+d在[x1,x2]上是增函数,在(-∞,x1)∪(x2,+∞)上是减函数.
②当b2-3ac=0时,方程f'(x)=0有两个相等的实根,f(x)=3ax2+2bx+c的图象如图7所示,三次函数y=f(x)的图象如图8所示:
可知y=ax3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)上是减函数.
③b2-3ac<0时,方程f'(x)=0没有实根,且f'(x)<0恒成立,所以y=ax3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)上是减函数.
4.三次方程的实根
(1)当b2-3ac>0时,方程f'(x)=0有两个不等实根x1,x2,结合前面性质3易知:
①当f(x1)·f(x2)>0时,方程f(x)=0有1个实根;②当f(x1)·f(x2)=0时,方程f(x)=0有2个实根;③当f(x1)f(x2)<0时,方程f(x)=0有3个实根.
(2)当b2-3ac≤0时,函数y=f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,方程f(x)=0有1个实根.
5.奇偶性
(1)假设f(x)为偶函数⇔f(-x)=f(z)恒成立⇒2ax3+2cx=0恒成立⇒a=c=0,而a≠0,所以f(x)不可能是偶函数.
(2)假设f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)恒成立⇒2b2+2d=0恒成立⇒b=d=0,所以b=d=0时,f(x)是奇函数,此时f(x)=ax3+cx.
6.图象的对称性
将y=ax3+bx2+cx+d变形为:,而是奇函数,图象关于原点中心对称,所以函数y=f(x)的图象是中心对称图形,其对称中心是()
二、三次函数的图象和性质的应用
例1已知函数在实数集R上是增函数,求实数m的取值范围.
解:∵三次函数f(x)在R上是增函数,
∴b2-3ac≤0,即,得2≤m≤4.
例2设函数f(x)=x3-(m+1)x2+mx(m>1),x1,x2是f(x)的两个不同的极值点,若不等式f(x1)+f(x2)≤0成立,求实数m的取值范围.
对二次函数图象与性质的考查一直是中考命题的传统题目，解决此类问题的方法是数形结合，这也是解决函数问题极为重要的方法。
1.图象的识别
【例1】 （2006 福州）已知实数s、t满足s2+s-2006=0，t2+t-2006=0，那么，二次函数y=x2+x-2006的图象大致是（ ）。
【分析】 依题意得s、t是方程x2+x-2006=0的两实根，由求根公式可得两根一正一负，故可能是A、B.又x=-b[]2a=-1[]2×1=-1[]2<0，∴抛物线对称轴在y轴的左侧。
解：B.
【小结】 这是一道结合一元二次方程考查二次函数图象和性质的试题。二次函数y＝ax2＋bx＋c中，当y＝0时，即为一元二次方程，如果此方程有两不同实根，则二次函数图象与x轴有两个交点。
【例2】 已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①4ac-b2[]4a=-1；②ac+b+1=0；③abc>0；④a-b+c>0.
正确的序号是.
【分析】 从图象中易知a>0，b<0，c<0，③正确；抛物线顶点纵坐标为-1，∴ ①对；当x=-1时y=a-b+c，由图象知（-1，a-b+c）在第二象限，∴ a-b+c>0，④正确；设C（0，c），则OC=|c|，∵ OA=OC=|c|，∴ A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0，∴ac+b+1=0，故②正确。
解：正确的序号为①②③④.
【小结】 我们研究二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的时候，首先要明白二次函数图象与x、y轴的交点坐标以及顶点坐标、对称轴与系数a、b、c的关系。
【例3】 （2006 武汉）已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0
【分析】 这是一道没给图象的题，由已知条件可以大致画出如下图所示的图象，∵ 0
【小结】 将“数”转达化为“形”是本题的难点，将等量与不等量有机的结合是解决本题的关键。
2.性质的应用
【例4】 （2006 山东枣庄）已知关于x的二次函数y=x2-mx+m2+1[]2与y=x2-mx-m2+2[]2，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A、B两个不同的点。
（1）试判断哪个二次函数的图象经过A、B两点；
（2）若A点坐标为（-1，0），试求B点坐标；
（3）在（2）的条件下，对于经过A、B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？
【分析】 解第（1）问时用b2-4ac是否大于0即可判断；解（2）时把A点坐标代入第（1）问求出的结果即可；解（3）时根据对称轴和开口方向可以判断。
解：（1）对于关于x的二次函数y=x2-mx+m2+1[]2，b2-4ac=(-m)2-4×1×m2+1[]2=-m2-2<0，
∴ 此函数的图象与x轴没有交点。
对于关于x的二次函数y=x2-mx-m2+2[]2,b2-4ac=(-m)2-4×1×(-m2+2[]2)=3m2+4>0，
∴ 此函数的图象与x轴有两个不同的交点，故图象经过A、B两点的二次函数为：y=x2-mx-m2+2[]2
（2）将A（-1，0）代入y=x2-mx-m2+2[]2得1+m-m2+2[]2=0，整理得m2-2m=0，∴ m=0或m=2.
当m=0，y=x2-1， 令y=0，x2-1=0，解得x1=-1，x2=1，
此时B点的坐标是（1，0）.
当m=2，y=x2-2x-3， 令y=0，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，
此时B点的坐标是（3，0）.
（3）当m=0，y=x2-1，抛物线开口向上，对称轴为x=0，
∴ 当x<0时，y随x的增大而减小.
当m=2，y=x2-2x-3=（x-1）2-4，抛物线的开口向上，对称轴为x=1，
∴ 当x<1时，y随x的增大而减小。
《反比例函数的图象和性质》教学反思1
在本节授课过程中，教学环节展开是顺畅的，学生在教师引导下，能够说出一次函数的图象特征及性质，并通过类比一次函数的研究方法，按照列表、描点、连线三个步骤画出反比例函数图象，通过观察所画出的反比例函数图象，得出该图象的“特征”和函数的“性质”。
但因为学生刚接触反比例函数图象，图象外在形式(双曲线)与一次函数图象(直线)之间存在较大的差异，学生还缺乏对反比例函数图象“整体形象”的把握。一方面，当反比例系数的绝对值较大时，部分学生画出的图形，不能完整地反映其图象“渐近”的特征;另一方面，在应用反比例函数(增或减)的性质，比较反比例函数的.两个函数值大小时，学生不能有意识地从“自变量的正负”来考虑问题，这导致学生课后“目标检测”时，对部分问题的解决出现偏差。
此外，展开本节课学习的一个重要的方法，就是“类比”。在教学过程中，教师极力引导学生“类比一次函数学习的方法”，最大限度地调动学生“合情推理”因素，以确保学习知识的“正迁移”效应，实际也会带来一些负面的影响，学生往往对属于一次函数和反比例函数“共性”的结论印象比较深刻，而对于反比例函数“个性”的结论，理解上反而会受到一些干扰。
《反比例函数的图象和性质》教学反思2
反比例函数的图像与性质是反比例函数的教学重点，学生需要在理解的基础上熟练运用。为此应该有意识地加强反比例函数与正比例函数之间的对比。对比可以从以下几个方面进行：
（1）两种函数的关系式有何不同？两种函数的图像的特征有何区别？
（2）在常数相同的情况下，当自变量变化时，两种函数的函数值的变化趋势有什么区别？
（3）两种函数的取值范围有什么不同，常数的符号的改变对两种函数图像的变化趋势有什么影响？
从这些方面去比较理解反比例函数与一次函数，帮助学生将所学知识串联起来，提高学生综合能力。此外，在学习反比例函数图像的性质（k大于0双曲线的两个分支在一、三象限，k小于0双曲线的两个分支在二、四象限）时，学生由画法观察图象可知；而增减性由解析式y等于k比x（k不等于0），学生也容易理解，但从图象观察增减性较难，借助计算机的动态演示就容易多了。运用多媒体比较两函数图像，使学生更直观、更清楚地看清两函数的区别。从而使学生加深对两函数性质的理解。
通过本案例的教学，使我深刻地体会到了信息技术在数学课堂教学中的灵活性、直观性。虽然制作起来比较麻烦，但能使课堂教学达到预想不到的效果，使课堂教学效率也明显提高。在评价学生的学习时应关注以下几个过程：
1、关注学生学习过程，进行形成性评价
教师应以学段教学目标为背景，以本章教学目标为标准来考察学生的.学习状况。在教与学的过程中，了解学生数学活动中情感与智力的参与程度和目标达到的水平，及时进行归因分析，不断积极引导和激励。同时利用诊断结果不断改进自己的教学。
2、知识技能的评价，注重学生对函数概念及反比例函数的理解水平。
本部分内容中，对知识技能的评价包括：能否理解反比例函数的概念，了解函数及其图象的主要性质；能否根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题等。对这些知识技能的评价，应当更多的关注其在实际问题情境中的意义理解。如对于反比例函数的概念及其性质，关键是体会它们在不同情境中的应用，只要学生能在具体情境应用它们解决问题即可，而不要过于关注其具体运用的熟练程度，如可以要求学生举例说明反比例函数在显示生活中的应用等。
3、发展性评价，关注数学活动引起人的变化
观察反比例函数图象获取函数相关性质的信息有较大空间，考察学生能否对信息作出灵敏反应，应用时，能否善于分析和决策，灵活支配运用知识有效的解决问题。关注并追踪这些活动所引起的学生的持久变化。
《反比例函数的图象和性质》教学反思3
这一课主要的教学任务是探究反比例函数的比例系数k的几何意义，研究与反比例函数有关的面积问题。
课堂设计程序是：例题1研究从双曲线上任意一点P作坐标轴的垂线，围成的长方形PQOR的面积与k的关系，进而进行题目的变化，得到从双曲线上任意一点P作x、y轴的垂线三角形PQO的面积与k的关系，得到从双曲线上任意一个动点P作坐标轴的垂线，围成的`长方形S1、S2、S3的面积总有S1=S2=S3；例题2揭示了正比例函数的图象与反比例函数的图象两个交点的关系（关于原点对称），过两个交点并且垂直于坐标轴的直线围成的矩形的面积（等于k的绝对值的4倍），进而进行题目的变化，得到几种三角形的面积和平行四边形的面积，由学生及时进行相应的练习；例题3把一次函数与反比例函数相结合，进行了比较简单的综合应用，让学生进行面积的和差组合，培养学生分析问题解决问题的能力。
在学生进行到反比例函数的研究时，数形结合的思想就能够应用自如了，学生的学习情况还是比较好的。回想起来，还是结合个方面的知识内容，用待定系数法求函数的解析式的题目类型学生的达成率不够好，要加强这方面的训练。
《反比例函数的图象和性质》教学反思4
这一课主要的教学任务是探究反比例函数的比例系数k的几何意义，研究与反比例函数有关的面积问题。
课堂设计程序是：
例题1研究从双曲线上任意一点P作坐标轴的垂线，围成的长方形PQOR的面积与k的关系，进而进行题目的变化，得到从双曲线上任意一点P作x、y轴的垂线三角形PQO的面积与k的关系，得到从双曲线上任意一个动点P作坐标轴的垂线，围成的长方形S1、S2、S3的面积总有S1=S2=S3；
例题2揭示了正比例函数的图象与反比例函数的图象两个交点的关系（关于原点对称），过两个交点并且垂直于坐标轴的直线围成的矩形的面积（等于k的绝对值的`4倍），进而进行题目的变化，得到几种三角形的面积和平行四边形的面积，由学生及时进行相应的练习；
例题3把一次函数与反比例函数相结合，进行了比较简单的综合应用，让学生进行面积的和差组合，培养学生分析问题解决问题的能力。
在学生进行到反比例函数的研究时，数形结合的思想就能够应用自如了，学生的学习情况还是比较好的。回想起来，还是结合个方面的知识内容，用待定系数法求函数的解析式的题目类型学生的达成率不够好，要加强这方面的训练。
利用待定系数法求反比例函数的解析式是学生必会内容，本课教学有一次函数的基础，所以学生学习起来并不感到有多困难的。因此，本课在学习用待定系数法求函数的解析式的前面安排函数性质的复习，学习和巩固“在每个象限内”的反比例函数的增减情况的有关应用问题，例如第4小题，A(a，b)，B(a-1，c)在反比例函数y=k/x(k<0)的图象上，探究a的各种不同的取值情况下，b与c的大小关系。
用待定系数法求反比例函数的解析式，安排了两个例题两个练习，题量不多重在使学生自主学习，这里着重加强对数形结合思想的应用，培养学生通过图形研究问题的习惯，另外，例题2需要学生结合三角形全等的几何知识解决点的坐标的探究，去年期末考试的最后一道试题也是在平面直角坐标系下几何问题的研究，学生不是很熟悉的，因此，培养学生各种背景下数学问题的研究很有必要。
本节课能基本完成教学任务。表现在对教学目标（1.会选取两个适当的点画出正比例函数与一次函数的图象。2.能结合图象理解正比例函数和一次函数的性质。）的落实上比较到位，即课本的知识点能够较好的理解掌握，学生动手操作能力、合作探究能力也得到了进一步培养。
本节课在教学引导、自学、归纳、探究以及数学思想方法等方面都进行了积极的构思设计，学生能够在教师指导下进行类比自学，大胆探索。教学实践与教学设计基本符合。
教学设计过于理想化。特别是目标3（渗透数形结合思想和分类思想以及类比的学习方法，培养学生良好的思维品质）的落实上不太到位，学生对数学思想方法的理解严重缺乏，在今后的教学中应多次重复应用，努力培养学生的良好的思维品质。
大多数学生能积极合作，深入探究。但对于严重两极分化的学困生由于基础差，因而缺乏合作能力，没有合作意识。
（1）组织有效的小组学习。作为新课程倡导的三大学习方式之一，小组合作学习在形式上成为有别于传统教学一个最明显特征。它有力地挑战了教师“一言堂”的专制，同时也首次在课堂上给了学生自主、合作的机会
我们应该组织有效的小组合作学习。在讨论前要考虑各小组学生的实际情况，让学生独立思考，再在组内讨论交流。让每个学生都有均等参与的机会。小组讨论的时候，教师要深入到小组当中，了解合作的效果，讨论的情况等等，从而灵活地调整下一个教学环节。
（2）学生不会学习，教师引导不到位。——应加强对学生的学法指导，如本节课的“类比自学”。在教学过程中应充分调动学生的学习积极性和主动性，多给学生以鼓励，树立信心，培养兴趣，多给学生以学法指导，让学生学会学习。努力培养他们自主学习、合作探究的能力，敢于吃苦，善于思考的学习品质。
4.10正切函数的图象和性质
第一课时
(一)教学具准备
直尺、投影仪.
(二)教学目标
1.会用“正切线”和“单移法”作函数 的简图.
2.掌握正切函数的性质及其应用.
(三)教学过程
1.设置情境
正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性，为了更好研究其性质，我们首先讨论 的作图.
2.探索研究
师：请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的.
生：在单位圆上取终边为 (弧度)的.角，作出其正弦线 ，设 ，在直角坐标系下作点 ，则点 即为 图像上一点.
师：这位同学讲得非常好，本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制 图像.
(1)用正切线作正切函数图像
师：首先我们分析一下正切函数 是否为周期函数?
生：∵
∴ 是周期函数， 是它的一个周期.
师：对，我们还可以证明， 是它的最小正周期.类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图像，下面我们利用正切线画出函数 ， 的图像.
作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系 轴左侧作单位圆.
②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线.
③找横坐标(把 轴上 到 这一段分成8等份).
④找纵坐标，正切线平移.
⑤连线.
图1
根据正切函数的周期性，我们可以把上述图像向左、右扩展，得到正切函数 ， 且 ( )的图像，并把它叫做正切曲线(如图1).
图2
(2)正切函数的性质
请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性.
①定义域：
②值域
由正切曲线可以看出，当 小于 ( )且无限亲近于 时， 无限增大，即可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作 (读作 趋向于正无穷大);当 大于 且无限接近于 ， 无限减小，即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作 (读作 趋向于负无穷大).这就是说， 可以取任何实数值，但没有最大值、最小值.
因此，正切函数的值域是实数集 .
③周期性
正切函数是周期函数，周期是 .
④奇偶性
∵ ，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点 对称.
⑤单调性
由正切曲线图像可知：正切函数在开区间( ， )， 内都是增函数.
(3)例题分析
【例1】求函数 的定义域.
解：令 ，那么函数 的定义域是
由 ，可得
所以函数 的定义域是
【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
(1) 与 ;
(2) 与 .
解：(1)∵
又 ∵ ，在 上是增函数
∴
(2)∵
又 ∵ ，函数 ， 是增函数，
∴ 即 .
说明：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到 的同一单调区间内，利用 的单调递增性来解决.
3.演练反馈(投影)
(1)直线 ( 为常数)与正切曲线 ( 为常数且 )相交的相邻两点间的距离是( )
A. B. C. D.与 值有关
(2) 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(3)根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 集合
① ②
参考答案：
(1)C.注： 与 相邻两点之间距离即为周期长
(2)D.注：由 ，但 ，反之 ，但
(3)①
②
4.总结提炼
(1) 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。
(2) 性质.
定义域
值域
周期
奇偶性
单调增区间
对称中心
渐近线方程
奇函数
，
(四)板书设计
课题……
1.用正切线作正切函数图像
2.正切函数的性质
例1
例2
演练反馈
( 2) 三次函数f ( x) = ax3+ bx2+ cx + d ( a≠0) 的图象Γ关于点A ( -b/ (3a) , f ( -b/ (3a) ) ) 对称” ( 所以点A是曲线Γ的对称中心, 也叫该曲线的拐点) .
证明 ( 1) 得 f ( x) + f ( 2a - x) = 2f ( a) 在x∈D时恒成立, 把此式两边对x求导, 得
f ' ( x) - f ' ( 2a - x) = 0
f ' ( x) = f ' ( 2a - x)
因为该式在x∈D时恒成立, 所以函数y = f ' ( x) 的图象关于直线x = a对称.
得 f ' ( x) = f ' ( 2a - x) 即[f ( x) + f ( 2a - x) ]' = 0 在x∈D时恒成立, 所以
f ( x) + f ( 2a - x) = 常数C ( x∈D)
又a∈D, 所以在该式中令x = a, 得C = 2f ( a) , 所以
f ( x) + f ( 2a - x) = 2f ( a) ( x ∈ D)
即函数y = f ( x) 的图象关于点 ( a, f ( a) ) 对称.
( 2) 由 ( 1) 知, 只需证明抛物线f ' ( x) = 3ax2+ 2bx + c ( a≠0) 关于直线x = -b/ (3a) 对称. 而这是成立的, 所以欲证成立.
定理: 设三次函数f ( x) = ax3+ bx2+ cx + d ( a≠0) , 则曲线y = f ( x) 的对称中心是点M ( -b/ (3a) , f ( -b/ (3a) ) ) , 且有以下结论成立:
( 1) 若过点M的直线与曲线y = f ( x) 交于另外两点A, B, 则曲线y = f ( x) 在点A, B处的切线平行.
( 2) 若曲线y = f ( x) 在点A, B处的切线平行, 则线段AB的中点是M.
证明: 设A ( x1, f ( x1) ) , B ( x2, f ( x2) ) ( x1≠x2) .
( 1) 可设直线l: y -f ( -b/ (3a) ) = k ( x +b/ (3a) ) , 把它与曲线y =f ( x) 联立后, 可得
自主招生试题 ( 2012年南开大学数学试点班) 已知曲线C:y = x3- 3px2, 斜率为m的两条直线分别与曲线C切于A、B两点.
( 1) 求证: 线段AB的中点在曲线C上;
( 2) 若直线AB的方程是y = - x - 1, 求p, m的值.
解: ( 1) 由定理 ( 2) 立得.
( 2) 由定理 ( 2) 知, 曲线C的中心 ( p, - 2p3) 在直线AB: y= - x - 1上, 可求得p = 1.
由得 ( x -1) ( x2- 2x - 1) = 0, 该方程的三个根即点A, M, B的横坐标 ( 且xM= 1) , 得xA= 1±21/2.
因为y' = 3x2- 6px, 所以m = 3x2A- 6pxA= … = 3.
关键词：三角函数;知识点;教学策略
数学一直都被认为是一门比较抽象的科目，但其实，只要学生结合图象和性质，加上老师的有效教学方式，学生掌握起来也就没那么难了。本文就以三角函数为例，根据知识点解析教师如何进行教学。
一、三角函数的主要知识点
1.三角函数的单调性与值域
求三角函数的值域，首先必须要清楚其单调性以及在定义域的范围内。很多学生都会忽略定义域，这是不能小视的，因为定义域不同，值域也可能是不同的。教师在教这方面知识的时候要重点提醒学生千万不能忘记值域范围内的定义域。
而最好解决这个问题的办法就是数形结合，虽然并不是适用于所有题型，但是一般都比较适用，而且图形是最直观的东西，出错率会没那么高。
例：求函数y=的值域。
解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P（cosx，sinx）与定点Q（2，0）所确定的直线斜率的范围。作出如图1的图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数y=的最值，由几何知识易求得过Q的两切线的斜率分别为-、。结合图形可知，此函数的值域是[-、]。
图1
值域就是在定义域内求最大值或者最小值，解题思路就是：首先，明确定义域;然后，求该函数在定义域内的单调性，根据其单调性找出最值。
2.三角函数的奇偶性与图象的对称性
三角函数是对称的图形，我们根据其对称性，可以求其对称轴、对称坐标等。
例：函数y=3sin（2x+）图象的一条对称轴方程是（ ）
A.x=0 B.x= C.x=- D.x=
解：由性质1知，令3sin（2x+）=±1，得2x+=kπ+（k∈Z），即x=π+（k∈Z），取k=1时，x=，故选B。
例：求函数y=3tan（2x+）的对称中心的坐标。
解：由性质3知，令tan（2x+）=0，得2x+=kπ（k∈Z），即x=π-（k∈Z），所以函数y=3tan（2x+）的图象的对称中心是（π-，0）（k∈Z）。
3.三角函数的周期性与图象的变换
三角函数是具有周期性的，图象的变换与周期性密切相关。
例：已知函数f（x）=sin（x-）（x∈R），下面结论错误的是（ ）
A.函数f（x）的最小正周期为2π
B.函数f（x）在区间[0，]上是增函数
C.函数f（x）的图象关于直线x=0对称
D.函数f（x）是奇函数
分析：先利用三角函数的诱导公式化简f（x），利用三角函数的周期公式判断出A正确;利用余弦函数图象判断出B错误;利用三角函数的奇偶性判断出C，D正确。
二、教学策略
1.以学生为主体
学生是学习的主体，老师要多倾听学生的意见，了解关于三角函数这个知识点，学生的薄弱环节是什么，然后一一击破。因为学好三角函数最重要的是理解，对性质的深刻理解，所有的题目都是万变不离其宗的，只要对性质有深刻的了解，解答题目也就轻松多了，不论是求值域、对称轴，还是周期，只要把握奇函数和偶函数的性质，知道其变换方式，就能很好地答题。但是，很多老师都不了解學生究竟是哪里不明白，所以就要给学生表达意见的机会，以学生为中心，毕竟数学是不能靠死记硬背达到效果的。
2.联想法
奇函数和偶函数的联系是密切的，学生要对图象有一个基本的了解和记忆，因为这样才能更好地答题，所以，教师在教学中，可以由奇函数或者偶函数为切入点，根据两者的联系，再讲另一个，这样，学生能比较好地掌握函数的图象和性质，当遗忘了另一个性质的时候，还能很好地根据记住的这个联想起来。
如下图（图3，图4）：
图3
y=sinx向左移动π，得到：
图4
联系两者，加深学生的印象。
3.数图结合
数图结合是数学解答中常用的方法，因为图片看起来更加具体，没有那么抽象，可以说是化抽象为具体，学生答题时，可以充分利用这种方法。但是，教师首先要重视数图结合的方法，在平时的三角函数教学中，在知识点的讲解中，要重视这个方法，给学生树立一个参照的对象，让学生在答题时，一看到某种题型，就想起这种方法。
例：已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R.
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期;
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[，]上的最小值和最大值。
作函数f（x）=sin（2x-）在长度为一个周期的区间[，]上的图象如下（图5）：
图5
由图象得函数f（x）在区间[，]上的最大值为，最小值为f（）=-1.
三角函数的知识点是很明确的，所以教师要根据知识点的特性，结合相应的教学方法，让学生更好地掌握其图象和性质。
参考文献：
[1]翟阳琴.三角函数教学中学习能力培养的策略[J].文理导航：中旬，2013（8）.
[2]范正君.在三角函数学习中提高能力[J].数理化学习：高中版，2013（8）.
这节课采用了“问题——探究”的教学模式，教学过程注重学习方法、思维方法，注重探索方法，注重到学生的思维起点，搭建平台，同时渗透数形结合的思想，增强学生运用数学思想方法解决问题的意识，让学生主动获取知识，同时也让学生知道这些知识是如何被发现的，结论是如何获得的，体现了“方法比知识更重要”。
本节课从学生回忆一次函数、反比例函数的图象入手，展示生活中与二次函数图象相关的图片激发学生的学习热情引入新课让学生进入独学过程。每个小组成员各自在同一个坐标系内作出一组二次函数图象。在第二部分合作探究的学习过程中教师设计了三个问题：(1)通常怎样作一个函数的.图象，要特别注意什么?(2)二次函数y=ax2的图象是什么?所画的图象有何相同点，不同点?(3)在同一个坐标系中画函数y=ax2与y=-ax2的图象怎样画简便?教师的教学设计思路清晰，注意了学生的知识生成点，教师在整个教学过程中起到一个引领的作用。学生是在围绕教师的教学设计中进行有序地学习，在小组讨论中学生积极参与，体现了学生良好的学习习惯，从学生的课堂反应看，课堂教学效果是比较理想的。
本节课值得商榷的问题
1.学生是第一次接触二次函数，在第一个环节独学过程中学生画出二次函数的图象部分学生是有困难的，有的学生即使能画出来但也不规范，在这一个环节中教师可以结合学生作的图象进行展示说说优缺点，并进行适当的引导和课件示范起到画龙点睛的作用，规范作法和注意事项。
学 科：数学课 题：班 级：高一（指导教师：魏立珍
三角函数的图象性质应用1,2）班
研究性学习活动结题报告
组长: 组员:
指导老师:魏立珍
摘要：三角函数是高考的重点内容，学习中学生能够熟练地对三角函数解析式配方、确定其位置，并能研究其定义域、值域、单调性、最大（小）值、奇偶性等性质及其图像范围，培养学生分类讨论的思想。渗透数学思想与方法（如化归、映射的思想，换元的方法）的学习，发展学生的思维能力。
正文：
三角函数的基本知识点的整理
小组成员心得体会
研究性学习是个集体项目，它不仅培养了我们的合作精神，而且也培养了大家的团结友爱，互助协作的精神。组成小组后，我们组就常常在一起讨论题目，等到讨论成熟后，就进行计算研究。俗话说，三个臭皮匠顶个诸葛亮。大家在一起如果做出一些东西来，就会有一种成就感，这是研究性学习带给我们的乐趣所在。
研究性学习培养的是一种创新精神，以及快速解决问题的能力。参加 研究性学习小组，给了我们一次简单的科学研究工作的体验。科学工作所需要的严谨，大胆都在这样活动中有着完整的体现。使我们体会到了科研工作的艰辛，这些将对我们今后的学习与工作产生积极的作用和深远的影响。
研究性学习转变了我们的学习观念，改变学习方式。以我的小组而言吧，我们选择了似简单却又挺麻烦的课题——三角函数图像特点的应用。说它简单，最终成果只是一个简单的结果。但是，真是搞起来，要多方面考虑，还要收集有关资料，再加以运用，这自然会遇到许多麻烦，它给我们很大创新空间和实践机会，转变我们对学习和生活缺少独立思考新发现的一些依赖观念，改变我们“死读书”的学习方式，创造另一种学习的风气，营造更优的学习环境。这对学习科学文化的学生来说也是一个运用科学知识解决问题的良好机会。
研究性学习转变了我们的学习观念，改变学习方式。以我的小组而言吧，我们选择了似简单却又挺麻烦的课题——三角函数图像特点的应用。说它简单，最终成果只是一个简单的结果。但是，真是搞起来，要多方面考虑，还要收集有关资料，再加以运用，这自然会遇到许多麻烦，它给我们很大创新空间和实践机会，转变我们对学习和生活缺少独立思考新发现的一些依赖观念，改变我们“死读书”的学习方式，创造另一种学习的风气，营造更优的学习环境。这对学习科学文化的学生来说也是一个运用科学知识解决问题的良好机会。教师评价
研究性学习是一个崭新的课题，对于初初接触这个课题的新生来说，的确是件棘手的事情，一方面是因为以前没接触过，没什么经验，不知从何入手，另一方面是高中学习负担重，如何协调好学习和研究课题之间的比例关系，成了学生们烦恼的事。但是我们小组的成员这点做得不错，协调好两者，学习和研究课题双双丰收。从开题到结题，作为指导老师的我，并没有一步一步教他们如何做，而是提些学生没注意到的问题，在他们困惑之时引导他们如何拨开迷雾，指出他们研究中出现的一些小问题，毕竟研究性学习是要学生独立完成的，指导老师太过入戏的话，研究性学习就没多大意义了。总体来说，我们小组完成得不错，继续加油！
关键词：二次函数;图象;性质;应用;解题规律
函数是高中数学的灵魂，尤其是二次函数贯穿于整个高中数学，是高考必考的内容。通过它可以研究函数的很多性质，并且与不等式、数列等有着广泛的联系。本文主要通过二次函数在高中数学中的应用进行归类，以揭示二次函数的解题规律。
一、最值问题
一般先用配方法化为y=a（x-m）2+n的形式，得顶点（m，n）和对称轴x=m，结合二次函数图象求解，常见的有三种类型：
（1）顶点固定，区间也固定;
（2）即顶点为动点，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外;
（3）顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数。
例：函数f（x）=x2+2mx+m2-m-，当x∈（0，+∞）时，恒有f（x）>0，求m的取值范围。
思路点拨：此题为动轴定区间问题，需对对称轴进行讨论。
解：f（x）=（x+m）2-m-
当-m≤0即m≥0时，f（0）≥0？圯m2-m-≥0，∴m≥;
当-m>0即m<0时，-m->0，∴m<-3.
综上得：m<-3或m≥.
点评：分类讨论要做到不漏掉任何情况，尤其是端点处的数值不可忽视，最后结果要取并集。
二、一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题
在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数图象数形结合来解，一般从二次函数的四个要素来考虑：开口;区间端点函数值符号;对称轴;Δ。
例：已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围。
解析1：函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，即方程f（x）=2ax2+2x-3-a=0在[-1，1]上有解。
a=0时，不符合题意，所以a≠0，方程f（x）=0在[-1，1]上有解？圳f（-1）·f（1）≤0或
af（-1）≥0af（1）≥0Δ=4+8a（3+a）≥0？圳1≤a≤5或a≤或a≥5？圳 a≤或a≥1-∈[-1，1]
点评：通过數形结合来解决一元二次方程根的分布问题。
三、在不等式方面的应用
1.一元二次不等式恒成立问题
（1）在R上恒成立——利用开口及Δ;
（2）在某区间上恒成立——变量分离或画图利用四要素或转化二次函数最值。
例：（2009年江西卷文17）设函数f（x）=x3-x2+6x-a.
对于任意实数x，f ′（x）≥m恒成立，求m的最大值。（节选）
解析：f ′（x）=3x2-9x+6，∵对？坌x∈R，f ′（x）≥m，即3x2-9x+（6-m）≥0在x∈R上恒成立，∴Δ=81-12（6-m）≤0，得m≤-，即m的最大值为-.
例：（2009年全国卷II文21）设函数f（x）=x3-（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a>1，若当x≥0时，f（x）>0恒成立，求a的取值范围。
分析：利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出a的范围。
解：当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值。
f（2a）=（2a）3-（1+a）（2a）2+4a·2a+24a=-a3+4a2+24a;f（0）=24a，则由题意得a>1f（2a）>0f（0）>0，解得1
四、在数列方面的应用
利用二次函数的性质来解答等差数列的前n项和有关最值问题比用其他知识简单。
例：（2010新课标17）设等差数列an满足a3=5，a10=-9。
（1）求an的通项公式;（2）求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。
解：（1）（略）;（2）Sn=na1+d=10n-n2=-（n-5）2+25，所以n=5时，Sn取得最大值。
二次函数有丰富的内涵与外延。作为最基本的幂函数，以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，还与不等式、数列等有着广泛的联系。因此，二次函数可以称为高中数学的灵魂。
在进行二次函数入门学习的时候, 学生已经学过了一次函数的相关课程.尽管一次函数和二次函数在图像和性质方面有很多不同, 但是一次函数的学习为学生接触函数提供了先验的学习模式.教师可以利用这个模式, 帮助学生制造对函数的熟悉感, 从而引导学生进入二次函数的学习.因此, 课程的开始可以这样设计:
教师:同学们还记得我们学过的一次函数吗?
学生:记得.
教师:有谁能帮忙回忆一下一次函数的表达式呢?
学生A:一次函数是y=kx+b.
教师:很好.那有谁能记得我们怎么画出一次函数的图像呢?
学生B:取x为任意值求得y的结果, 把每一对相应的数值定位到坐标轴上的点, 然后连点成线.
教师:非常好, 一次函数的作图过程给我们一个启示, 如果要模拟出函数的图像, 可以求出足够多的点坐标, 连接这些点, 就能够获得函数的图像.
学生回忆了一次函数的作图方法之后, 课堂就能顺利地过渡到二次函数作图的学习.也就是说, 教师给学生总结了一种函数作图方法, 能够将一次函数的心得学以致用.
二、数形结合, 循序渐进
笔者再三强调二次函数的抽象性, 就是希望师生能够对二次函数的图像给予足够的重视.换句话说, 在二次函数的学习中, 要时刻引进数形结合的方法, 把二次函数的表达式及其图像结合起来学习.通过不断地训练学生数形结合的能力, 使学生看到函数表达式, 就迅速反映到它对应的图像模式, 熟悉它的各要素.这样一来, 面对综合习题, 学生就能够快速有效地整理函数图像信息, 调动自己的思路, 为答题带来便利.
养成数形结合的思维方式不是一蹴而就的, 需要教师在课堂教学的时候有意识地设计学生动手作图的环节.同时, 教师也必须考虑到初三学生入门学习时的模仿能力和接受能力, 逐步锻炼学生的作图过程, 使学生充分消化知识.以二次函数的图像为例:
1. 教师把y=2x2作为例子, 列出一个表格:
要求学生求出相应的y值, 再利用这些点坐标画出y=2x2的图像.
2. 同样采用上面的表格, 计算y=-2x2的函数值.并且和第1小题的函数值结果的比较, 猜想y=-2x2的函数图像, 再进行画图验证.
3. 照第2小题的过程, 画出y=-2x2+1和y=-2x2-1的图像.
4. 在上面3题的基础之上, 让学生考虑y=2 (x-1) 2可以选取那些点坐标作图.此时, 教师可以适当引导学生, 发现图像的轴对称性质, 启发学生思考本小题函数图像的对称轴会在哪里.
5. 学生经过了上述学习, 大致掌握了二次函数作图的基本步骤.此时教师可以帮助学生进行能力拓展, 思考y=-2x2-4 x+2的二次函数图像, y=-2x2-4 x+3的图像, 以此类推.
通过循序渐进地学习, 使学生最终彻底掌握一般二次函数的作图方法.而且, 在不断变换二次函数的形式进行作图的过程中, 学生可以感受到二次函数的具体变换过程, 也就比较容易理解二次函数的表达式变化原理.
三、根据图像推导函数性质
笔者在论述的第一部分就已经提示过, 可以类比一次函数的方式, 鼓励学生积极发现二次函数的性质.因此, 在掌握第二部分函数作图的基础上, 对函数的性质的理解就变得容易得多了.例如:教师可以设计一个y=2x与y=2x2的图像对比.先让学生说出一次函数的图像的性质.
学生:一次函数的图像, y的值随x的增大而增大, 是一条递增直线.
接下来, 教师可以让学生借此类比二次函数.
学生C:x<0时, y的值随x的增大而减小;x>0时, y的值随x的增大而增大.x=0时, y=0, y的值最小.
教师:完全正确.那么, 大家仔细观察图像, 还能发现图像的哪些特点?
学生D:图像是一个抛物线, 开口向上.
学生E:图像是一个轴对称图形.
教师:那么它的对称轴该怎么表示?
学生F:它的顶点在它的对称轴上.
先通过最基本的二次函数图像, 让学生自主地寻找抛物线的对称轴, 顶点坐标, 函数的最小值, 等等.再采用第二部分中提到的循序渐进的方法, 慢慢转换到二次函数的一般形式, 使学生一步一步总结出一般形式下二次函数的抛物线的形式、开口、顶点、对称轴、递增和递减的情况.
学生总结出函数图像的性质之后, 教师把学生的总结分别进行归类.利用y=-2x2与y=2x2的图像进行对比, 得出抛物线的开口与系数的关系;利用y=2x2与y=2x2+1, y=2x2-1进行对比, 了解图像的平移变换过程, 对比函数表达式的变化, 最后得出对称轴的一般表达式.
因此, 推导二次函数的图像的性质其实经历了一个从抽象到具体再到抽象的过程.教师把图像作为一种过渡方式, 使学生对知识的掌握更加直观, 运用时更加得心应手.
参考文献
整体设计
教学分析
本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法.通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果.由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法.三维目标
1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力.3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心.重点难点
教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用.教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.课时安排 1课时
教学过程
导入新课
思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课 新知探究 提出问题
①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？
②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？
③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？
④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？ 你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？
活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.(1)周期性 由诱导公式
tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z
2可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.(2)奇偶性 由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z 2
可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(k,0)k∈Z.2(3)单调性
通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间((4)定义域
22,)内是增函数,2+kπ,+kπ),k∈Z内都是增函数.2y,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时x正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+,k∈Z,所以正切函
2数的定义域是{α|α≠kπ+,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在22
根据正切函数的定义tanα=解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域
由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于2且无限接近2时,正
切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于向无限延伸.因此,tanx在(且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方2222,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R.问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1
问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整22,)的图象为好.22+kπ(k∈Z)2个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠的图象,我们称正切曲线,如图3.图2
图3
问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(22,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(4,-1),(0,0),（,1),还有两4条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(x=4,-1),(0,0),（,1),再画两条平行线42,x=,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.2讨论结果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法.提出问题
①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=
+kπ,k∈Z所隔开的无2穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性质——单调性,单调增区间是(2+kπ,+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象是关于原点对称2的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(k,0),k∈Z.2问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.讨论结果:①略.②略.应用示例
例1 比较大小.(1)tan138°与tan143°；(2)tan(1317)与tan().4
5活动:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.教师可放手让学生自己去探究完成,由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较,学生不难解决,主要是训练学生巩固本节所学的基础知识,加强类比思想的运用.解:(1)∵y=tanx在90°
点评:不要求学生强记正切函数的性质,只要记住正切函数的图象或正切线即可.例2 用图象求函数y=tan3的定义域.活动:如图4,本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题.不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决,教师在引导学生探究活动中,也应以两种方法提出解决方案,但要有侧重点,应体现函数图象应用的重要性.图4
图5 解:由tanx-3≥0,得tanx≥3, 利用图4知,所求定义域为［kπ+
,kπ+)(k∈Z).32点评:先在一个周期内得出x的取值范围,然后再加周期即可,亦可利用单位圆求解,如图5.本节的重点是正切线,但在今后解题时,学生哪种熟练就用哪种.变式训练
根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的x的集合.(1)1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0.解:(1)tanx≥-1, ,kπ+),k∈Z;42(2)x∈［kπ-,kπ-),k∈Z.23例3 求函数y=tan(x+)的定义域、周期和单调区间.23∴x∈［kπ-
活动:类比正弦、余弦函数,本例应用的是换元法,由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法,所以这里也就不用再介绍换元法,可以直接将可让学生自己类比地探究,只是提醒学生注意定义域.解:函数的自变量x应满足即x≠2k+
x+作为一个整体.教师23x+≠kπ+,k∈Z, 2321,k∈Z.31,k∈Z}.3由于f(x)=tan(x+)=tan(x++π)=tan[(x+2)+ ]=f(x+2), 232323所以函数的定义域是{x|x≠2k+因此,函数的周期为2.51+kπ 点评:同y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研究一样,这里可引导学生探究 y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T=变式训练 求函数y=tan(x+解:由x+ .)的定义域,值域,单调区间,周期性.4≠kπ+,k∈Z可知,定义域为{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}.424值域为R.3∈(kπ-,kπ+),k∈Z可得,在x∈(kπ-,kπ+)上是增函数.44224周期是π,也可看作由y=tanx的图象向左平移个单位得到,其周期仍然是π.4由x+例4 把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的顺序排列,并说明理由.活动:引导学生利用函数y=tanx的单调性探究解题方法.也可利用单位圆中的正切线探究解题方法.但要提醒学生注意本节中活动的结论:正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.学生可能的错解有: 错解1:∵函数y=tanx是增函数,又1<2<3<4,∴tan1 3,)上是单调递增函数, 223且tan1=tan(π+1),又<2<3<4<π+1<，22解法一:∵函数y=tanx在区间(∴tan2 课本本节练习1—5.解答: 1.在x轴上任取一点O1,以O1为圆心,单位长为半径作圆,作垂直于x轴的直径,将⊙O1分成左右两个半圆,过右半圆与x轴的交点作⊙O1的切线,然后从圆心O1引7条射线把右半圆分成8等份,并与切线相交,得到对应于轴上从33,,,0，,等角的正切线.相应地,再把x488848这一段分成8等份.把角x的正切线向右平行移动,使它的起点与x轴上的点22x重合,再把这些正切线的终点用光滑的曲线连结起来,就得到函数y=tanx,x∈(,)的图 22到 象.点评:可类比正弦函数图象的作法.2.(1){x|kπ +kπ,k∈Z};(2){x|x=kπ,k∈Z};(3){x|+kπ 22(2)不会.因为对于任何区间A来说,如果A不含有侧的图象都是上升的(随自变量由小到大).点评:理解正切函数的单调性.课堂小结 1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？ 作业 课本习题1.4 A组6、8、9.设计感想 【指数函数的图象和性质】推荐阅读： 二次函数的图象和性质教案05-04 指数函数的性质说课09-16 指数函数的图像与性质05-17 指数函数的性质说课稿09-10 指数函数及其性质免费02-10 《一次函数的图像和性质》教学设计07-13 数学教案－正余弦函数的图象12-07 正弦函数余弦函数的图象 河南省优质课教学设计(陈琦)11-25 二次函数的图像和性质第三课时教学反思07-24
