变式教学初探
罗平县第一中学:李谷新
高中数学“变式教学”是指对教学中的问题进行不同角度，不同层次，不同情形，不同背景,不同起点的变式，以放映问题本质特征，揭示不同知识间的内在联系的一种教学设计方法。利用变式教学，可以把一个看似孤立的问题从不同角度向外扩散，充分调动学生学习数学的主观能动性、趣味性、积极性；利用变式教学可以帮助学生在解答问题的过程中寻找与总结解决类似问题的思路、方法，培养学生独立分析和解决问题的能力，培养学生灵活、深刻、广阔、发散的数学思维能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。
一、对变式教学的认识: 1.教学方式的变化认识
许多我们认为学生已掌握的知识，在一次次考试中，只要对问题的背景或数量关系稍作演变，有的许多学生就无所适从。实际教学中也表明：在讲解时教师直接把自己的解题思路灌输给学生，就题论题。对一些学生薄弱的地方没有进行深入的思考，处理方法单一，缺乏演变，再加上学生参与程度不够，积极性无法提高,这样的课堂就变得枯燥无味，而大量单一的、重复的机械性练习，达到的不是“孰能生巧”，而是“题海生厌”，它不仅对学生知识与技能的掌握无所裨益，而且还会使学生逐步丧失学习数学的兴趣。
要改变上面所提到的现状，提高学生的学习兴趣，取得更佳的效果，关键是我们的数学课堂教法上要有所改变------变式教学是有效的、重要的教学手段.2.方法手段的变化认识
①利用变式教学加深概念的理解与运用
高中数学教学往往是从新概念入手，能否正确理解概念,是学生学好数学的第一步。概念往往比较抽象,学习这些抽象的东西，学生常常很难理解,导致兴趣不高，而采取变式教学却能激发学生学习兴趣,变枯燥的东西为学习的兴趣。
②利用变式教学掌握公式、法则、定理的本质规律
数学思维的发展，还有赖于掌握、应用定理和公式去进行推理、论证和演算。掌握定理和公式的关键在于明确理解定理和公式，任何形式机械的记忆，是不能正确理解、灵活应用定理和公式的。因此在定理和公式的教学中，要善于利用变式训练引导学生掌握公式、法则、定理中的各要素之间的联系和本质规律，使学生能加深理解和灵活运用。
③利用变式教学发展学生思维能力
在数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心。变式教学是发展思维的一种很有效的手段。通过变式训练，可以从不同角度去改变题目，通过解题后的反思，归纳出同一类问题的解题思路与方法，形成技能，培养学生灵活、深刻、广阔、发散的数学思维能力。
二、对变式教学的实践
“重要题目变式练”是数学变式教学学习的重要的学习方法与途径。学会变式练习非常重要。变化题目的条件和题设引出许多疑问开拓学生的思维。让学生从不同的角度，不同的结构去探索新的题目。以旧换新，既有联系又有区别使学生沿着一条线行走。用一个题目，一个点带动整个面，使学生从一个题中获得多方面的知识。具体体现为以下几个方面: 1.一题多解，灵活运用多方面的知识培养学生灵活性
一题多解实质是用不同的方法，不同的方式去解答和论证一个题目。一道题目特别是思考题往往有很多种方法和途径来证明，在练习中要引导学生寻求和探索这些途径，用多种方法思考问题。这样既可以使学生灵活运用多方面的知识，使学生加深理解和掌握了知识之间的内在联系，为培养学生的创造性思维、求异思维和勇于探索的精神创造了条件。又可以发现学生解题的思维过程是否符合逻辑思维的过程，发现学生运用知识和联系知识的不足之处，增加教学的透明度，对教师教学和学生学习起着教学相长的作用。
2.一题多变，强化知识，增加知识的深刻性
一题多变是指变化题目的条件和结论，交换条件和结论，或增加延伸题目的条件，加深结论。使题目进一步的延伸和拓展。但是题目的实质不变，用的内容没有很大的变化，使学生对用到的内容做到举一反三，灵活运用，根据情况的变化思考问题。找出它们之间的不同和相同的地方，弄清各种条件和结论的特殊和一般的关系。达到以点带线，从线到面再到体的步步深入的过程，还培养了学生的创造性思维，不仅掌握了单方面知识还形成了系统的网络知识结构。一题多变的形式一般有：
① 条件不变，根据条件另立结论。② 增加条件，构成新题。③ 变化题型，其知识的实质不变。这样不是单纯的练习，也增加了题的难度联系了以前的知识，改变了考虑问题的方向和角度，拓展了知识和思维。增加了解方程组和绝对值的知识的深刻性和联系性.变式练习是创新教育，发挥创造性思维的一个重要方面，创新教育的成功直接依赖于努力钻研的坚韧程度。在数学练习中进行一式多变，是提高发散思维能力的有效途径。同时一题多变也是思维延伸发展的主要渠道。一题多得，一个题用到许多知识巩固了以前的知识，延伸和发展了新知识，联系了许多知识。这样也能探索和获得新知识以及之间的联系，培养学生的创造性思维。经常引导学生对命题条件，结论作各种变化，对图形的位置可能出现的情形做进行一系列的演变，进而从纵向，横向，逆向展开多向探索，能较大的提高学生的创新能力和创造性思维。
许多的研究认为变式训练“看似简单重复, 其实是不断求新变化, 通过逐渐积累, 甚至由量变到质变, 得到新的认识”的过程。学生思维能力的提高以及独立工作能力的形成, 主要取决于有关变式问题的长期训练, 而不是死记硬背。因为变式教学通过对数学问题多角度、多方位的讨论和思考, 展示出数学知识发生、发展、应用的过程, 使学生有意识、有目的地从“变”的现象中发现“不变”的本质, 从“不变”的本质中探究“变”的规律。从而帮助学生养成良好的质疑、多思的学习习惯, 提高类比推理的思维能力, 进而点燃创新思维的火花;其次从学生的生理、心理特点来看, 每个学生都有探索和创造的潜能, 关键是如何激发他们学习的兴趣、动机和求知欲, 变式教学恰好具有能激发学生学习兴趣和探索欲望的特点。这些特点表明, 变式教学是一种非常适合中职学生的教学方法。因为中职学生的思维方式较单一, 看问题往往停留在表面, 习惯于形象思维, 他们对数学不感兴趣。如果教师能运用变式教学的方法, 不仅能使学生重新回到数学课堂, 而且还能达到开智的目的。
二、实施变式教学的含义及原则
1. 含义
所谓变式教学, 就是指在认知事物属性的过程中, 不断改变提供的材料或事例的呈现形式, 使其本质属性保持不变而非本质属性不断变化, 产生新的情境, 诱发学生从不同的角度、不同的位置、不同的方法去思考问题, 强化发散思维, 培养创新思维, 抑制或削弱定势思维的教学。数学变式教学是将变式用于数学教学, 指变换数学知识的出现形式, 以培养学生灵活思维、举一反三的能力。变式既是一种教学手段, 也是一种教学思想。顾泠阮教授将变式分为“概念性变式”和“过程性变式”。概念性变式是利用概念变式和非概念变式揭示数学概念的本质属性和非本质属性, 使学生获得对数学概念的多角度理解, 进而建立新的概念与已有概念的本质联系;过程性变式是通过变式展示知识的发生、发展、形成的过程, 从而理解知识的来龙去脉, 形成知识网络, 使学生抓住问题的本质, 加深对问题的理解。
2. 原则
(1) 目的性原则:是指在进行变式教学设置时要紧扣教学目标, 实行有目的的改变, 克服变式教学中的随意性。因为变式教学是利用数学变式题而进行的教学方式, 变式题是变换原有命题的本质特征或变换原有命题的非本质特征, 而保持它们之间的一定相似性, 如果一系列的变式题联系不够紧密, 很可能脱离目标。
(2) 参与性原则:又称为主动性原则, 即引导学生调动认知结构中和原式相联系的知识和经验, 主动参与到变式的构造之中, 从而弄清原式的本质, 以及原式与这些变式之间的实质联系, 构建知识网络, 加深对知识的理解。不要总是教师“变”, 学生“练”。要鼓励学生大胆地“变”, 培养学生的创新意识和自主探索精神。
(3) 开阔性原则:指的是在设计数学问题变式时, 一定要内涵丰富, 境界开阔, 给学生留下充足的思维空间。同时, 所选范例必须具有典型性。一要注意知识之间的横向联系;二要注意具有延伸性, 可进行一题多变;三要注意思维的创造性和深刻性。
(4) 灵活性原则:是指根据教学内容和学生的实际情况, 能充分展现知识螺旋式上升的方式。方式要灵活多样, 不仅可以提高学生的兴趣, 吸引学生的注意力, 而且可以使学生的多种感官参与学习, 提高大脑和神经的兴奋度, 达到最佳的教学效果。
(5) 差异性原则:要求在实施变式教学时, 题组中的题目之间要有明显差异, 使学生既感到熟悉, 又觉得新鲜, 以刺激他们的兴趣和积极思维。这是因为从心理学角度分析, 新颖的题目对学生刺激性强, 学生做题的兴奋度高, 注意力容易集中, 能收到较好的学习效果。值得强调的是在设计数学变式问题时, 要强调一个“变”字, 避免简单的重复。
(6) 层进性原则:是指变式的难度, 由易到难, 由简到繁, 实行层层推进。这样能保持让问题处于学生思维水平的最近发展区, 从而能充分激发学生的好奇心和求知欲。让学生经过思考, 跨过一个个“门槛”, 这样既达到训练的目的, 又可以培养学生的思维能力, 发展学生的智力。
三、实施变式教学的流程图、具体操作过程及案例
1. 变式教学的流程图
实施变式教学, 首先要将碰到的数学问题转化为熟悉的或容易解决的问题, 在变中求解、解中求变。其变式教学的流程图如下:
2. 变式教学的操作
(1) 通过变换背景构造变式题, 提高创新思维能力:一些命题虽然有较高的思维训练价值, 但由于背景较为单一, 与生活实际联系太少, 难以充分调动学生的学习积极性, 不能充分发挥其应有的思维训练功能。在实际教学中, 可以通过给这些命题配置实际的背景, 从而得到新的变式题。对问题背景进行变式, 有助于学生认识数学问题, 多角度地理解思考问题。如原题为求等比数列1, 2, 4, 8, 16, …263的和。变换题为:阿拉伯有个国王, 他的宰相立了许多功劳, 为了奖赏他, 国王让他自己选择奖赏方式。宰相具有丰富的数学知识, 他这样要求国王:在一个有64个格子的国际象棋棋盘里, 在第一个格子里放一粒米, 第二个格子里放两粒米, 第三个格子里放4粒米, 以此类推, 在第64个格子里放263粒米, 放满这些格子后, 就要求国王把这些米奖赏给自己。国王当时想, 这还不简单, 就满口答应。经过这样的变换, 学生兴趣盎然, 参与的欲望强烈, 从而很好地解决了问题。
(2) 通过逆向思考构造变式题, 培养逆向思维能力:中职学生基础较差, 考虑问题往往习惯于从正向思考, 而不善于从反向来考察。但要真正理解和掌握一个数学概念或数学知识, 单靠正向理解是不够的, 有时也需要靠反面的素材来做进一步巩固。教师和学生在构造数学问题的反例时, 实际上是对原命题的一种巩固和探索, 需要对所学知识有深刻透彻的理解, 并能充分展开想象。因此可以通过对原问题的逆向思考来构造变式题, 检验学生对已有的概念和命题是否真正地理解和掌握。构造反例变式的过程不仅能培养学生的逆向思维能力, 同时也是学生发散性思维的充分发挥和训练过程。如在讲圆的标准方程时, 设计如下的变式题组。如原题为:已知圆的标准方程为x2+y2=5, 求圆心和半径。已知
变式题:1.已知圆心为 (0, 0) , 半径为2, 求圆的标准方程;
2.已知圆心为 (-1, 0) , 半径为2, 求圆的标准方程;
3. 已知圆心为 (-1, 4) , 半径为2, 求圆的标准方程。
三个变式题通过问题正反例的构造, 使学生深刻理解了圆的标准方程的定义, 并对圆的有关要素进行了比较认识, 从而彻底地理解和掌握了圆的标准方程的有关知识。
(3) 通过条件一般化构造变式题, 提高归纳推理能力:所谓一般化, 就是从考虑一个对象过渡到考虑该对象的一个集合, 或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑包含该较小集合的更大集合。也就是从特殊到一般的归纳方法, 这是构造变式题的一种重要方法。运用一般化策略的关键是仔细观察、分析问题的特征, 从中找出能使命题一般化的因素, 从而提高学生的观察能力和归纳推理能力。如原题为:求过圆x2+y2=5上一点P (1, -2) 的圆的切线方程。
变式题:1.求过圆 (x-1) 2+y2=5上一点P (2, -2) 的圆的切线方程;
2.求过圆 (x+2) 2+ (y-1) 2=1上一点P (-3, 1) 的圆的切线方程;
3.求过圆 (x-a) 2+ (y-b) 2=r2上一点P (x0, y0) 的圆的切线方程。
变式题就是原题经过由特殊到一般而得到的。通过一般化构造这组变式题, 使学生在碰到求圆的切线方程时, 不会局限在只能运用公式x0x+y0y=r2了, 而是能解决求所有的过圆上一点的切线方程了。
(4) 通过类比构造变式题, 培养思维的深刻性:所谓类比, 是指由一类事物所具有的某种属性, 可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的一种推理方法。波利亚认为“类比是一种相似”。类比是一种发现的方法, 也是人们构造变式题的一种重要方法。如在巩固乘法原理时, 可设计表现形式不同, 实质一样的三个变式练习, 使学生的认识得到升华。如:
(1) 从甲地到乙地有2种走法, 乙地到丙地有3种走法, 丙地到丁地有4种走法, 问从甲地经乙、丙地到丁地共有几种走法。
(2) 有不同的语文书2本, 不同的英语书3本, 不同的数学书4本, 从这些书中各取1本, 共有几种不同的取法?
(3) 乘积 (a1+a2) (b1+b2+b3) (c1+c2+c3+c4) 展开后共有多少项?
尽管三个问题中的“事”的内容不同, 但“事”的完成均需分三步, 这是问题的本质所在。通过这组类比变式题的练习, 学生就会把分步完成的“事”要用乘法原理这个知识点掌握得较好。
当然, 变式教学不仅是上述这几种方式, 还可以通过图形变式、语义变式、一题多解、多题一解等等方式。它们对学生的想象力、应变力的提高都有不同程度的影响。笔者在此不再一一例举。
四、实施变式教学的效果
1. 实施变式教学提高了学生学习数学的兴趣
由于在变式教学过程中, 问题的设置和探究由易到难, 使不同水平的学生都能参与到其中, 并激发他们的探索欲, 使学生获得成功的体验。这对于数学基础较差的中职学生来讲, 是非常难得的体验。由此充分调动了他们学习数学的积极性。如在学习二进制时, 让学生不开口, 老师就能说出他们的姓名, 把学生的求知欲充分调动了起来。他们在课堂上不再是被灌输者, 而是真正成了课堂的主人。他们不仅动笔, 而且积极动脑, 与教师一起构造一个个变式题。他们对数学课不再感到枯燥无味, 而是觉得兴趣盎然, 跃跃欲试, 其探究的主动性也被充分调动起来了, 直到能独立完成原先一看就害怕的数学题, 这也符合系统脱敏法的理论。
2. 实施变式教学促进了学生综合智力的发展
数学作为中职学校的基础课, 开设的目的不仅是要使学生获得基本的数学知识, 更重要的是要使学生能从不同的数学知识中获得相应处理问题的数学思想。变式教学是对学生进行数学技能和思维训练的重要方式, 运用变式教学不仅能使学生对所学内容与练习保持浓厚的兴趣, 而且让学生体验到运用知识与技能解决问题的乐趣, 从而促进智力和能力的提高。在这样的教学过程中, 教师不仅可以方便地传授数学知识, 而且也促进了学生数学的化归思想、抽象思维和发散思维的发展。因为变式教学能帮助学生以新颖的思路或独特的方式来阐明问题和解决问题, 能用多种不同的方法去寻求答案, 追求解决问题的多种途径, 并能对不同途径进行比较, 使学生思路开阔, 养成多角度观察理解事物的习惯。
总之, 变式教学是数学教学中比较基本并且比较重要的思想方法, 通过变式教学, 使思维活动更加活跃, 思维能力更加发展, 并且思维能力的发展又促使变式内容更为丰富, 变形技巧更加灵活, 因而在教学中的应用也就更为广泛和更加深透。
参考文献
图1【原题】如图1，已知点A（1，1）、B（3，4），P为直线l：x-y+2=0上的点，求|PA|+|PB|的最小值.
解：作点B关于直线的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，则l⊥BB′且l平分BB′.
设B′（x，y），则y-41x-3×1=-1
x+312-y+412+2=0x=2
y=5，故B′（2，5）.
所以，|PA|+|PB|的最小值为|AB′|=（2-1）2+（5-1）2=17.
【点评】变式教学应取材于简单、普遍的问题，学生都能接受.原题目不宜过难，重视通性、通法，重在激活学生思维，体现学生的主体地位.
【变式1】已知点A（1，1）、点B（3，4），P为直线l：x-y+2=0上的点，求|PB|-|PA|的最大值.
图2解：如图2所示，连接BA并延长BA交直线于点P，则|PB|-|PA|的最大值为|AB|=（3-1）2+（4-1）2=13.
【点评】变式1由原题产生，改变对原题的问法，把求和的最小值自然过渡为求差的最大值.通过改变结论，教师有的放矢地进行引导，有助于提高学生的数学思维能力.
【变式2】设点P是抛物线C：y2=4x上任意一点，点F为抛物线的焦点.已知点A（4，1），求|PA|+|PF|的最小值.
图3解：如图3，过A作AD⊥准线l，交准线l于点D，当A、P、D三点共线时，|PA|+|PF|=|AP|+|PD|=|AD|=5（最小）.
【点评】变式2在原题的基础上把在直线上找一点到两定点的距离之和最小演变成在抛物线（曲线）上找一点到两定点的距离之和最小.“变式”结合教学内容，符合学生的认知规律，符合教学目标.如果变式脱离学生实际，偏离了教学目标，那么这样的变式就显得毫无意义.
【变式3】已知双曲线x219-y2116=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A（9，2），P为双曲线上一动点.求：
（1）|PA|+|PF2|的最小值.
（2）|PA|+315|PF2|的最小值.
图4解：（1）由题意可知a2=9，b2=16，c2=25，F1（-5，0），要使|PA|+|PF2|最小，显然点P要在双曲线的右支上.
由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a，即|PF2|=|PF1|-2a，
所以|PA|+|PF2|=|PA|+|PF1|-2a=（|PA|+|PF1|）-2a.
当P、A、F1共线时，|PA|+|PF1|取得最小值|AF1|=142+22=102.
连接AF1交双曲线的右支于点P1，即当A、P1、F1共线时，（|PA|+|PF2|）min=102-6.
（2）设l为双曲线的右准线，过点P作PH⊥l于H，
由双曲线的第二定义有|PF2|1|PH|=513得|PF2|=513|PH|，即315|PF2|=|PH|，
∴|PA|+315|PF2|=|PA|+|PH|≥|AH|.
当且仅当P为AH与双曲线右支的交点时，即A、P2、H共线时，|PA|+315|PF2|取得最小值|AH|=9-a21c=9-915=3615.
【点评】在学过的曲线中，除了抛物线外，还有双曲线和椭圆，通过改变条件，把上面的问题进一步变式.把在直线上找一点到两个定点的距离之和最小的问题，转化成在曲线上找一点到两个定点的距离之和最小的问题.通过改变条件，找出不同知识之间的联系与规律，加深对问题的理解能力.
小学数学教学大纲中指出：“数学教学中发展思维能力是培养能力的核心。”思维能力是在一定的思维品质的基础上形成的分析问题和解决问题的能力，而数学思维品质是数学思维活动中的个性差异的表现，要发展数学思维能力，就要全面培养数学思维品质。
数学学习的过程也是学生思维品质生长的过程。在小学数学教学过程中，教师要关注学生思维的生长，让他们克服原有的思维短板，以促进各方面能力的发展[4]。课堂练习是数学教学中不可或缺的一个环节，学生们通过课堂练习才能更深刻地认识和掌握所学知识，才能逐步提升自身的思维品质。但练习绝不是机械式重复练习，更不是题海战术，而应是一种变式的、高效地、精炼地练习，通过课堂练习要能够巩固学生已有的知识，建立新旧知识间的联系，促进学生思维品质深层次的发展。所以教师在设计练习题目时可以围绕知识的本质，通过改变习题的条件、情节或结构等形式引导学生进行变式练习，以此提升学生的思维品质。
二、变与不变 凸显思维张力
（一）操作中变
小学生对于图形知识的学习是一个难点，他们对图形的认识主要依赖于直觉观察，其次就是动手操作，通过让学生看一看，摸一摸，想一想来直观的感知物体的特征，从而形成几何直观。因此本节课我们设计了动手操作环节，让学生以小组为单位围一围，拼一拼圆柱。活动要求如下：（小组发放学具袋）
1、四人一组，探究学具袋中的图形能否围成圆柱。
2、请描述你围成的圆柱体，并找一找生活中的实例。
3、讨论怎样快速判断能否围成圆柱。
由于每个小组的学具袋中的图形都不一样，有平行四边形，有正方形、有长方形和大小大小的圆片，学生通过动手操作会得出不同的发现。小组1：用长方形和两个圆片正好拼成一个完整的圆柱，因为长方形的一条边长等于圆的周长。
小组2：用正方形和两个圆片正好拼成一个完整的圆柱，因为正方形的一条边长等于圆的周长。
小组3：用平行四边形和两个圆片正好拼成一个完整的圆柱，因为平行四边形的底等于圆的周长。
小组4：用长方形和一个圆片拼成一个无盖的圆柱，因为长方形的一条边长等于一个圆片的周长，另一个圆片小了（圆的周长小于长方形的一条边）。
小组5：只能用长方形拼成一个无底圆柱，因为两个圆都太大了，长方形的一条边长小于两个圆片的周长。
……
通过让学生动手操作让学生更加深刻的认识了圆柱各面和各边之间的关系，让学生在不变中感受变得原因。不变的是都在拼圆柱，变得是侧面可以是正方形、长方形和平行四边形。不变的是圆柱侧面一条边的长要等于底面周长，变得是侧面一条边可以是长方形的长边，也可以是短边，还可以是正方形的边或平行四边形的底。通过这样的变式操作，让学生的思维得以打开，从不同的角度真正认识圆柱这一立体图形。有了这样的直观认识，紧接着就要考察学生的空间想象，所以我们又设计了快速抢答环节：
计算表面积需要算哪几个面？
1.做一个无盖的圆柱形铁皮水桶
2.粉刷圆柱形仓库的四壁和上面
3.给圆柱形饼干盒的四周贴一圈商标纸
4.压路机转动一周的压路面。
5.求圆柱形柱子的占地面积。
6.求圆柱形礼物盒包装纸的用料。
以上都是生活中常见的圆柱实物，通过快速抢答，让学生想象生活当中的实物模型，快速建立起几何模型和实物模型之间的联系，从而才能更好地解决现实问题，让学生感受数学来源于生活，又服务于生活。
小组汇报：
生：我们小组选择两个周长为25.12厘米的圆，一个长为25.12厘米、宽为10厘米的长方形，围成一个完整的圆柱体。它有两个底面，一个侧面。快速判断的理由是长方形的长等于底面圆的周长，然后我们小组合作检验确实可以围成一个完整的圆柱。生活中的油漆桶、实心钢管、有盖的水杯等都是具有两个底面、一个侧面的圆柱。
生：我们小组的图形是一个平行四边形，一条边的长度是25.12厘米；两个底面半径是4厘米的圆。通过小组合作我们可以围成一个完整的圆柱，它有两个底面，一个侧面。然后我们再次计算，圆的周长是25.12厘米，正好与平行四边形的一条边的长度相等。我们是先动手操作然后发现圆的周长与平行四边形的一条边的长度相等。生活中的实例有粉笔、奶粉桶、薯片桶等。
生：我们小组的图形有一个边长为25.12厘米的正方形，一个直径为8厘米的圆，一个直径为10厘米的圆。直径为8厘米的圆正好可以和正方形围成只有一个底面的圆柱，直径为10厘米的圆太大了，与正方形不匹配。直径为8厘米的圆的周长是25.12厘米，与正方形的边长相等；直径为10厘米的圆的周长是31.4厘米比正方形的边长长。我们是根据圆的周长与正方形的边长的关系来判断可以围成怎样的圆柱。生活中的水桶、圆柱形水池、无盖的水杯等都是只有一个底面和一个侧面的圆柱。
生：我们小组的图形有一个长为25.12厘米、宽为10厘米的长方形；一个直径为10厘米的圆，一个直径为6厘米的圆。我们发现两个圆与长方形都不能匹配，不是小了就是大了，讨论后发现可以围成只有一个侧面的圆柱。生活中的实例有通风管、水管、压路机的滚筒面等。
师：不同的小组分到的图形不一样，有长方形、正方形、平行四边形，不同大小的圆，圆的大小以半径、直径或者周长来标示。同学们刚刚去开展活动时，有的小组是先计算然后操作验证，有的小组是先操作然后计算验证。都围绕一个核心的知识点：圆的周长等于侧面的长（宽）。
小结：圆的周长等于侧面的长（宽）。
空间观念的培养光靠想象是很难达到的，小学生的空间想象能力比较弱，只有将空间想象与实际操作相结合才能真正培养学生的空间观念。动手操作不仅仅是动动手，更重要的是动嘴说、动脑想，小组合作、相互启发、诱导思考，设计小组探究活动使学生从操作中发现现象，明白道理，学会数学知识，积累数学活动经验，发展空间观念。以小组活动的形式呈现既符合学生的直观思维又能增加课堂的趣味性，提高学生的练习兴趣。
通过动手操作、交流分享学生可以加深对核心知识—圆的周长等于侧面的长（或宽）的理解。学生只要牢牢抓住“线”的核心，既侧面展开后的一条边的长度，又是底面圆的周长，学生就能解决侧面与底面关联的一类问题。
（二）练习中变
通过动手操作与合作交流，学生从直观认识到数学模型的一次思维上的升华，在此基础上出示下列相关的变式练习：
1.初变
要解决这个问题，学生必须深刻理解圆柱侧面展开后的一条边的长度等于底面圆的周长这一不变本质。在不变的基础上，我们特意设计了侧面是正方形和长方形两种不同情况，又通过改变已知条件，即已知半径、直径和底面周长三种情况下解决问题，由浅入深的考察学生对核心知识的理解。
2.再变
先让学生读懂题意，要给圆柱配底，至少还需要多少平方厘米的硬质片？让学生说一说“至少”的含义，怎么才能做到至少？此题从“面”和“线”的角度再一次把握不变中的变，从面的角度来说，即不管按照笑笑的方式围还是淘气的方式围，其侧面积不变，所以只要底面积越小，所用纸片就越少，底面积越小半径就越小，半径越小底面周长就越小；从线的角度来说，要给侧面配底，必须要使底面圆的周长等于侧面一条边的长，所以一定是选12.56cm这条边作为圆柱底面周长，面和线两种思考角度形成了统一，问题也就迎刃而解了。此题通过从不变的本质出发解决变的问题。既培养了学生问题解决的能力，又培养了学生逻辑思维，从而提升了学生的数学思维品质。
对于变式练习来说，它能更好地培植学生的思维能力，能让学生发现“多变”之中的“不变”，进而更好地形成相关的素养。一般来说，变式练习又分为问题变式、情境变式、方法变式等，旨在减少学生重复的、机械的、低效的训练，在呈现多种有变化的习题情境中，让学生顿悟数学、顿悟数感、顿悟实践、顿悟思维等[1]。
【问题变式】
出示问题：一个圆柱体油漆桶，半径是1分米，高2分米，做这个油漆桶需要多少铁皮?
师：请同学们认真审题，找准信息，明确要求。
生：已知信息：r=1dm，h=2dm；要求两个底面积及一个侧面积的和。
师：S表=2S底+S侧=2πr2+2πrh=6π=18.84（平方分米）
师：你能更换其中一个条件，使圆柱的表面积依然是18.84平方分米吗？
生1：将半径是1分米换成直径是2分米，r=d÷2=1 dm。
生2：将半径是1分米换成底面周长是6.28分米，r=c÷π÷2=1 dm。
生3：将半径是1分米换成底面积是3.14分米，r2=S÷π，r=1 dm。
生4：将半径是1分米换成侧面积是12.56平方分米，c=S侧÷h，r=c÷π÷2=1 dm。
生5：将高是2分米换成侧面积是12.56平方分米，c=S侧÷h，r=c÷π÷2=1 dm。
小结：要使表面积不变，S表=2S底+S侧=2πr2+2πrh，那么信息的变化始终要保证r和h不变。
这次变式是基于问题的变式，是让学生成为设计变式的主人，不再是教师引领着走。变式练习要让学生看出其中的变与不变，进而以不变应万变。教师在设置这样的变式练习时，应充分尊重学生的主观能动性，要让学生体会“变”的是什么，“不变”的又是什么，这些“变”与“不变”之间的关系又是怎样的。对学生来说，让他们自己设置变式，就是对他们思维能力的又一次挑战，因为他们要看清哪些是不能变的、哪些是可以变的，围绕知识本质来变化。S表=2S底+S侧=2πr2+2πrh最关键的就是半径和高，半径、直径、周长、面积这些都是可以依据公式相推到而出，充分发展学生的逆向思维，改变信息只要最后算出的半径和高不变，则表面积就不会发生变化。
通过对比、理解和分析，学生能明白新知和已有知识之间的联系。这既拓展了学生的思维，又便于学生在对比中灵活运用解题方法，提高思维的多向性和变通性。
【综合变式】
出示：有一个长方形纸板，剪下阴影部分刚好能做成一个圆柱体，求圆柱体的表面积。
突破点：学生需要将今天学习的核心知识快速联系：底面周长等于侧面的长（宽），通过发现长方形的宽与直径相等，则圆柱的高为20厘米，长方形的长就是底面周长62.8厘米。
“变式”是教师有目的、有计划地对命题进行合理转化。数学教学强调练习，学生在经历了尝试、探究的过程之后，必须巩固、拓广运用获得的知识。此外，练习要有一定的强度、速度、深度，使学生熟能生巧。这种练习不是简单的重复，而是有变化的，有新意的。综合变式将“线” “面”融合贯通，学生掌握底面周长等于侧面的长（宽），求圆柱表面积找到半径和高就可很快突破，提升思维的灵活性、巩固新知和技能。
靳明华
(江苏省金坛市指前实验学校)
摘 要：随着考试制度的改革，新教学大纲的出台，考试命题将更加注重对考生能力和素质的考查。面对新形势的变化，教师在教学中应加强对学生思维能力和创新能力的培养，这种培养是长期的，方法更是多种多样。而对教学的变式处理，是激发学生学习兴趣和培养学生思维能力的有效途径之一。结合教学，对如何在化学课堂教学中进行变式教学略做了探讨。
关键词：变式教学;化学教学;思维能力
教育心理学家潘菽认为：“变式就是使提供给学生的各种直观材料和事例不断变换呈现的形式，以使其中的本质属性保持恒在，而非本质属性则不常出现(成为可有可无的东西)。”
依此，我认为变式教学就是：在教学中，在保持概念、公式、图形等的本质属性不变的前提下，通过增加其非本质属性的各种形式上的变化，如不断变更提供材料或事例的呈现方式、变换问题的条件和试题的内容和形式、改变图形的形状、位置和大小等等。亦即在不变中求变，在变中求不变。对于化学教学中的变式教学，笔者认为应从以下几个方面进行。
一、在化学理论教学中应用变式思想
化学概念能深刻反映化学过程中的最本质的特征，是人们思维的结晶。在形成概念的过程中，我们可以引入变式教学，利用变式引导学生积极参与形成的全程，教师创设问题情境，让学生自己去“发现”、去“创造”，通过多样化的变式培养学生的观察能力、分析能力以及概括能力。
心理学认为，是否充分而正确地提供概念所包括的事物的变式，对于能否正确掌握概念有显着影响。例如，在进行元素概念的教学时，可以提出“具有相同中子数的一类原子的总称叫元素”“具有相同质子数的一类微粒总称为元素”“具有相同电子数的微粒一定是同种元素的原子”等问学生对不对，为什么。再如，针对分子概念可提出“分子是最小微粒，不可再分”“分子不变，物质的化学性质也不变”等让学生判断。针对概念所包含的要点设置一些“陷阱性”的问题，通过这些不同角度的变式，也通过设置认知冲突，挑战学生思维，需要学生“跳一跳”的同时，让学生“吃一堑长一智”，可使学生进一步澄清概念的内涵和外延，纠正理解上的偏差，也提高了学生的积极性和实效性。
二、在化学实验中应用变式教学
化学是一门以实验为基础的学科，加强实验教学是培养学生综合素质的必由之路。在实验中进行变式教学，不仅可以改变学生以为化学实验只是好玩的心态，训练他们对待实验的认真态度和严谨的科学精神，而且也可以在有思维力度的训练中培养学生的化学素养。
例如，最常见的用排水法收集氢气、氧气等气体的排水集气装置。它的本质属性是“小试管内气体产生的压强大于大气压，从而将水排出”。抓住了这一本质特征之后，我们就可以进行变式思考：如果把小试管换成广口瓶或者圆底烧瓶，当气体压强增大到一定程度时也会将水排出，从而使广口瓶或圆底烧瓶内充满气体。有一次，我要求学生设计一个方案――取出地窖中的气体(可能有毒)，绝大多数学生设计的方案是：将地窖密封，挖一个排气口，一个进水口，然后通过进水口向地窖灌水，在排气口即可获得气体样品。显然学生设计的这个方案难以操作。其实根据排水集气法的本质属性我们应该很容易想到：把充满水的集气瓶放进地窖，然后将其中的水倒出，此时外界气压肯定大于瓶内气压，集气瓶内就自然充满了气体样品(地窖里的气体)。
三、在化学习题教学中应用变式思想
作为化学教师追求的最高目标是通过少而精的习题教学，既使学生巩固所学知识，又使学生思维能力、分析问题能力等多方面得到训练、培养与提高。纵观历年的中考题也都源于课本又高于课本，都是课本习题的变式。“变式教学”效果很好，对“题海战”完全可以避免。下面结合实例说明。
例如，把100克浓度为10%的NaCl溶液的浓度增大一倍，可采用的方法是：蒸发水________克或再加入NaCl________克。
此题是一个具体的题，难度非常小，若将题中的.具体数据改为字母，这样可以使试题具有普遍性、代表性，可代表一种题型。例题可变为下面两题：
变式一：把m克浓度为a%的某溶液浓度减少一倍，可采用的方法是：加水________克或再减少溶质________克。
变式二：把m克浓度为a%的某溶液浓度增大一倍(未饱和)，可采用的方法是：蒸发水________克或再加入溶质________克。
通过变换，引深拓广，产生一个个既类似又有区别的问题，使学生产生浓厚的兴趣，在挑战中寻找乐趣，培养了思维的深刻性，同时也进一步巩固了对于溶液浓度变化的掌握，从而能适应中考和高考中有较多抽象题的情况。
当然，在进行变式教学时，除了上面所述的严谨性和科学性之外，还要注意下面两个问题：(1)要紧扣《考试说明》和《教学大纲》。要以考纲为纲来进行变式，不要编出偏离考纲的“繁、难、杂”的题目来浪费学生的时间。(2)要注意变式的题量控制。如果不注意这个度，不但会增加学生的无效劳动，使其产生心理疲劳，挫伤学生的积极性，而且还会影响其他教学任务的完成，增加学生的焦虑感和挫折感，得不偿失。
运用数学变式教学促进学生思维发展
娄底市双峰八中 王月英
数学是一门抽象理论与心智技艺高度结合的学科。由于其内容的抽象性、逻辑的严密性，一向被称作“思维的体操”。因而数学教学应注重揭示数学思维活动的全过程，拓宽解题思路，提高应变能力。数学教学的最根本目标是培养学生能够独立思考问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新意识和创造性的逻辑思维方式；数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，更重要的让学生在学习中学会运用课本的知识达到“举一反三”的效果。于是更新教育观念，提倡实施“变式教学”是有必要的。
所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化，即教师可不断更换命题中的非本质特征、变换问题中的条件或结论、转换问题的内容和形式、配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性。采用的方法主要是改变对象的表达形式，如：题设与结论的互换；图形的位置、形状、大小等的变化；规律及语言符号的互译。最终使学生掌握那些在变化过程中始终保持不变的因素，从而透过现象，看到本质。这就是人们常讲的“万变不离其宗”，另外，由于巧妙设计变式于课堂教学中，学生感到课堂的丰富多彩，从而增强课堂的趣味性。变式就是将数学中各种知识点有效地组合起来，从最简单的命题入手，不断变换问题的条件和结论，层层推进，不断揭示问题的本质，从不断的变化中寻找数学的规律性；通过构建有价值的变式探索研究，展示数学知识发生、发展和应用的过程，有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，使所有知识点融会贯通。同时，通过对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，帮助学生打通关节，找到解题方法。数学的变式教学就是通过不同的角度、不同的侧面、不同的背景从多个方面变更所提供的数学对象的素质或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征时隐时现而本质特征保持不变的教学形式。
多年数学教学，发现许多学生思维单一，做习题的方法陈旧，教条，缺乏灵活变通，而习题是训练学生的思维材料，是教师将自己的思想、方法以及分析问题和解决问题的技能技巧施达于学生的载体，做好习题对学生思维能力的培养，解题能力的提高至关重要；要达到这一目的，倡导数学变式教学是一个行之有效的重要手段；因为通过习题的变式教学形成数学的基本思想、基本方法和基本态度所构成的认知体系以及学会用数学的思维方式去考虑问题、处理问题的自觉意识或思维习惯是学生数学素质的核心内容。当然，教师所选用的习题应“源于课本”，然后对它进行变式，使它“高于课本”；变式时要紧扣考试说明，以“考纲为纲”，绝不能脱纲；其实，历年的高考题都源于课本，都是课本习题的变式，如何进行课本习题的变式教学？下面谈谈自己的看法。
一、习题变式教学的目的
对于课本的习题，需要教师去领会和研究。在中学数学教学中，搞好习题变式的教学，特别是搞好课本习题的变式教学，不仅能加深基础知识的理解和掌握，更重要的是在开发学生智力，培养和提高学生的数学素质。
二、习题变式教学的原则
1、针对性原则
习题变式教学，不同于习题课的教学，它惯穿于新授课、习题课和复习课，与新授课、习题课和复习课并存，一般情况下不单独成课。因此，对于不同的授课，对习题的变式也应不同。例如，新授课的习题变式应服务于本节课的教学目的；习题课的习题变式应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法；复习课的习题变式不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系，同时变式习题要紧扣考纲。在习题变式教学时，要根据教学目标和学生的学习现状，切忌随意性和盲目性。
2、可行性原则
选择课本习题进行变式，不要“变”得过于简单，过于简单的变式题会让学生认为是简单的“重复劳动”，没有实际效果，而且会影响学生思维的质量；难度“变”大的变式习题易挫伤学生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，长此以往，将使学生丧失自信心，因此，在选择课本习题进行变式时要变得有“度”，恰到好处。
3、参与性原则
在习题变式教学中，教师要让学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”。要鼓励学生大胆地“变”，有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通，同时培养了学生的创新意识和创新精神以及举一反三的能力。
三、习题变式教学的方法
下面以课本的一道习题为例，谈谈习题变式教学的方法。原题：画出函数 的图象，并根据图象说出函数 的单调区间，以及在各单调区间上函数 是增函数是减函数。（高中《数学(人教版)》新教材必修（1）习题1.3A组第1题）
1、条件特殊化
条件特殊化是指将原题中一般条件，改为具有特定性的条件，使题目具有特殊性。将课本习题条件特殊化，引导学生挖掘条件,考察特定概念。例如，将原题改为：
变式1：画出函数 的图象，并根据图象说出函数 的单调区间，以及在各单调区间上函数 是增函数是减函数。
这不仅考察了绝对值的概念,也考察了解一元二次方程，这符合由一般到特殊的认识规律，学生容易接受。
2、改变背景是指在某些条件不变的情况下，改变另一些条件的形式，使问题得到进一步深化。在教学过程中，变换习题的形式，可激发学生的探求欲望，从而提高学生的创新能力。例如，将原题改为：
变式2：：画出函数 的图象，并根据图象说出函数 的单调区间，以及在各单调区间上函数 是增函数是减函数。
这样变式不仅考察了函数的图象，而且考察了偶函数的定义和性质； 变式3：求函数 在区间[-3，5]上的最值。
这样的变式练习，学生可以画图得出，也可以通过数学方法得出，通过这样的练习一定能提高学生学习数学的兴趣，且能巩固基础知识，熟练常规解题，从而达到教学目的。
四、变式教学应注意的问题
1、源于课本，高于课本
在中学数学习题变式教学中，所选用的“源题”应以课本的习题为主，课本习题均是经过专家学者多次筛选后的题目的精品，我们没有理由放弃它。在教学中我们要精心设计和挖掘课本的习题，编制一题多变、一题多解、一题多用和多题一解以提高学生灵活运用知识的能力。
2、循序渐进，有的放矢
在中学数学习题变式教学中，对习题的变式要循序渐进，有的放矢。例如，在高三复习时让学生做完习题“一动圆M与圆 : 外切，与圆： 内切,求动圆圆心M的轨迹方程。”且点评后，可将此题目变为：
变式
1、已知圆 ： 与圆 ： ,若动圆M同时与圆 和圆 相外切，则动圆圆心M的轨迹是什么。
变式
2、已知圆 ： 与圆 ： , 若动圆M同时与圆 和圆 相内切，则动圆圆心M的轨迹是什么。
变式
3、已知圆 ： 与圆 ： , 若动圆M与圆 和圆 一个内切，一个外切，则动圆圆心M的轨迹又是什么。变式1是对习题的模仿，目的是让学生熟悉利用定义法求轨迹的过程；变式3的目的是让学生进一步熟悉利用定义法求轨迹的方法，将常规题变为探索题，是设计变式题的又一途径。由常规题变出来的探索题，对学生来说更具创造性和挑战性。
3、纵向联系,温故知新
在中学数学习题变式教学中，对习题的变式要注意纵向联系，要紧密联系以前所学知识，让学生在学习新知识的同时对旧知识也得到复习、巩固和提高，从而提高学习效率，让学生明白“任何事物都是相互联系的”这一哲学道理。
例如，在学习《抛物线及其标准方程》（高中数学第二册（上））后，可将课本P118中的例3“斜率为1的直线经过抛物线 的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长”可变为： 变式1：选择题
经过抛物线的焦点的弦与抛物线相交于两点A、B，以线段AB为直径的圆与抛物线的准线的关系是（）
（A）相交；（B）相切；（C）相离；（D）没办法确定 变式2：证明题
求证：经过抛物线 的焦点的弦与抛物线相交于两点A、B，以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
变式3：探索题
问：经过抛物线 的焦点的弦与抛物线相交于两点A、B，以线段AB为直径的圆与抛物线的准线有何关系？ 通过上述变式题的练习，既巩固了抛物线的定义，又复习了圆与直线的知识，也复习了梯形的中位线定理等等，从而达到了变式练习的目的。
4、紧扣《考试说明》，万变不离其宗
在中学数学习题变式教学中，习题的变式要紧扣《考试说明》，要以考纲为“纲”进行“变”；不要“变”出一些偏离考纲的“繁、难、杂”题目来浪费学生的宝贵的学习时间和挫伤学生学习数学的兴趣。
关键词：高中数学,探究式教学,变式教学
数学教学中发现,很多学生在思考问题时经常受一些条条框框的束缚,思维广度不够,经常陷入题海之中,得不到主动发展,不利于学生数学能力的提高。在高中数学教学中,运用变式教学,引导学生思维的发展,通过不断的“变”,让学生在不同的背景下探求知识间的内在联系,使学生思维的高度一步步的提升。
一、变式教学的要求
数学变式教学首先要有针对性,如在概念教学时候,可以针对概念进行变式。在习题课时针对章节内容适当渗透数学思想方法,对重要题型进行变式,达到归类总结的作用。在复习课时进行横向联系,纵向比较的变式。其次,变式教学要具有适用性。要根据教材要求,以及学生的接受程度,对题目进行适当的变式,变式要具有启发性,要讲究创新,这样有助于激发学生的数学兴趣,在探究中完成变式教学。
二、变式教学要突出“概念的内涵和外延”
数学概念是发展学生数学思维的要素,数学概念具有发展性,只有正确的理解和掌握了数学概念,才能有效地解决数学问题。变式教学是促进学生迅速、准确的掌握数学概念的重要途径。对于有些数学概念,可能需要多层次的理解,这就需要教师设置多层次的变式,为学生分层理解设置好台阶。
案例1“函数的单调性”的概念
三、变式教学要突出教材的地位
在高中教学中,教材是具有权威性和示范性的。变式教学要以经典习题为生长点,结合课本的习题,做到有源可溯,从而创造性的使用教材。特别是高三的复习课,应该充分挖掘教材中习题价值,使高三复习事半功倍。
古希腊著名数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中给出过一个结论:到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆。
数学语言:点A,B为两定点,动点P满足PA=λPB,当λ=1时,动点P的轨迹为直线;当λ≠1时,动点P的轨迹为圆,并称之为阿波罗尼斯圆。
这个结论在苏教版的高中数学教材上并没有提及,但是在习题中,涉及到这个圆的问题却有很多,如果教师能够及时给出这个结论,势必会在教学起到良好的效果。
点评:案例2是“阿波罗尼斯圆”中最基本问题,考查了用解析法探求轨迹问题,体现了解析几何的魅力。经过化简可以得到轨迹方程为(x+1)2+y2=4,其轨迹是以(-1,0)为圆心,2为半径的圆。
改变案例2中的设问,可将试题设计成一道填空题。
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使得MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围。
点评:这道题目的第2问中M点的轨迹就是阿波罗尼斯圆,得出M点的轨迹方程后,M点还在圆C上,这样此问题就转化为两个圆有公共点的问题。
变式5已知点A(0,1),B(1,0),C(t,0),点D是直线AC上的动点,若AD≤2BD恒成立,求最小正整数t的值。
点评:将结论中的PA=λPB这个条件改为PA≥λPB(或PA≤λPB)且λ≠1,点P的轨迹又会变为圆内或圆外的部分,和直线结合,又会考查直线与圆的位置关系。
对教材习题进行恰当的变化,让学生在“变”与“不变”中感悟数学的本质,发现数学规律;帮助学生在复杂的题目面前,能够迅速的抽丝剥茧,探究本质,寻找到恰当的方法。
四、变式教学要突出“思维的螺旋式发展”
变式教学的目的之一是训练学生的数学思维,提高数学能力,这就要求变式教学要由浅入深,具有一定的螺旋上升的空间。在高一高二教学变式中要重视基础,不能所有问题全部抛出,走出“高一学生当高三教”的误区,这样学生的能力就会得到不断的提升。
基本不等式的应用在江苏高考中属于C级要求,是高考重点考查内容。在基本不等式的概念教学中,要强调基本不等式成立的三个条件:正、定、等。
点评:“等”这个条件是学生做题中最容易忽视的一个。此题等号取不到,需要再结合函数的单调性来解决。
这三个变式,层层递进,螺旋上升,其本质就是对基本不等式的使用条件有完整的认识。这三个变式还考查了学生类比推理的能力,有利于学生思维能力的进一步提升。
五、变式教学要突出“生本课堂”
新课程标准提出了“生本课堂”的理念,要求课堂教学要以学生的发展为本。要实现这一目标,在课堂教学时就必须要贴近学生,从学生的“最近发展区”入手。变式教学即是如此。
点评:这道题结合sin2θ+cos2θ=1,即可算出sinθ和cosθ再求和,题目本身并不难,但是此题的得分情况并不理想。究其原因,主要是平时教学时,更多在强调sinθ±cosθ与sinθ·cosθ的关系,而恰恰是直接利用sin2θ+cos2θ=1关系求解的题目被忽略了。
点评:这道题如果利用等差数列的通项公式和求和公式代入,就会得到a1,d与A,B,进而得出A,B之间的关系。从这个角度讲,这道考查的也是定义及性质的应用,属于基础题。但大部分同学是采取的赋值法,对取特殊值来解决,这种方法也非常好,可惜很多同学绕在方程组里,没有找到最终的关系。
变式教学可以让教师引导学生从“变”的现象中发现数学“不变”的本质和规律,帮助学生将所学知识融会贯通,让学生在变化中领略数学的乐趣。总之,新课标下,教师要不断更新观念,做到因材施教,不断完善和创新变式教学,帮助学生探究思维的培养,为学生学好数学打下坚实的基础。
参考文献
[1]高敏.高中数学变式教学实践研究[D].东北师范大学,2010
关键词：小学数学；练习课；变式教学；学生；创新能力
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）21-088-01
在小学阶段的数学课程教学中，练习课是其重点课型之一，数学课程的学习也主要通过练习课来对基础知识、解题技巧和思考方法来进行学习和培养。而在新课程改革的具体实践过程中，小学数学的练习课可通过变式教学来提高教学的有效性，并以创新手法来改变学生对数学学习的被动式状态，更好的提高学生的数学学习效率，以此来培养学生的创新精神和实践能力，促进教育事业的双赢。
一、小学数学练习课变式教学的必要性
变式教学主要是针对教学中的知识概念和疑难问题通过不同的角度、侧面以及不同的层次来对原本的概念和问题其进行剖析分解，并通过这种分解来阐述其问题的核心本质和问题之间的联系的一种教学设计方法。数学课程中练习课通过变式教學的方式让不同的问题进行多种不同的组合和变相的解答，让学生以全新的面貌和思维模式来接受，为学生提高了练习的有趣性和积极性，并不断的让学生能够找回学习数学的乐趣，逐步建立并培养学生学习的好奇心和求知欲。另外，通过变式教学的运用，培养学生的创新学习能力，从变式中让学生看到变与不变之间的本质区别，并从这个过程中认识到数学相关知识点的规律，这些规律特点能很大程度上帮助学生沟通各知识点间的联系，从而在无穷的变化中把握不变的本质，领略数学的魅力，体会数学学习的无限乐趣。
二、如何在小学数学练习课变式教学中提高学生的创新能力
1、提高师生之间的互动参与，让学生成为变式教学的主体
在实际的数学练习课的教学中，通过变式教学方式的训练，教学者要重视让学生成为这种教学方式的主体，让学生自主参与到教学活动中来，发挥学生的主观能动性，并组织学生通过分成小组的形式来进行问题的探讨交流，在疑难有争议的问题点上教学者可以适当的进行点拨和引导。在变式教学中，教学者不要绝对的掌握教学主动权进行任意的变题，而是让学生主动自己参与变题进行练习，这样才能更好的锻炼学生的独立思考的学习能力。
2、通过创设灵活多变的情境教学活动
有教育家说过，成功的教育是需要带有一定的情感的，也即是说教学者在进行数学练习课的整个过程中，要根据学生的学习情感反应和表现，来安排和计划变式教学的设计，在变式教学中，根据课堂相关练习课的需要，来在课堂的开始、过程以及结束进行合理的情境教学安排，其安排和计划的根本目标是让学生能够在变式教学中愿意练习和主动练习的目的，从而让学生产生积极的情感反应，促进课堂质量的提高，并达到练习课的教学目标。
3、根据学生实际情况进行梯度循序变式
对数学变式习题的设计，一方面要考虑到通过合理的练习量来进行安排，同时要注重训练的梯度性，进行科学、合理的循序渐进的训练过程，只有这样才能切实发挥学生的学习主动性，提高学生的数学练习课的质量。因此作为教学的主导者，首要任务是对不同学生的学习起点有一个清楚的认识和了解，在这个基础上，根据具体的变式教学的需要进行实际的变式教学安排，设计有助于培养和锻炼学生独立思考的能力的练习题目，能吸引学生主动去对问题的本质进行认真的审视，也即是给学生制造一定的练习障碍，让学生主动采取跨越难度的措施来解决问题。因此这个过程需要教学者经过巧妙设计、难度适宜、逐级向上的变式，才能达到为学生提供挑战的目的。
4、将现实生活融合到数学练习课中
为了更加有效的发挥变式教学的创新教学效果，教学者要有针对性地把生活中与学生有关联的日常问题引入数学练习的课堂中来，将学生日常接触最为常见、最为熟悉的生活实例变成具有一定数学思维的变式学习，从而让学生可以主动思考、主动对熟悉的生活问题进行摸索和解答，从最初的一种想知而不得的心理逐步过渡到渴望求解和探索答案的过程。因此教学者在平时要加强观察学生的日常生活，并有目的性的将实际生活与数学练习课的相关知识点进行有机结合，然后通过变式教学吸收并引进与现代生活、科技等密切相关的数学习题让学生练习。
5、发挥学生在变式教学的实践动手能力
小学阶段的学生还处于成长学习的初期，作为教学者要重视培养学生的动手操作能力，引导学生对问题进行发现、研究和探索。所以教学者在进行数学练习课的变式教学中，要设计多种可让学生主动参与到各种动手操作的练习中去，力求让学生的手、眼、脑、口等多种感官共同参与知识的内化过程，促进和锻炼学生的动手实践能力
综上所述，通过创新有效的变式教学方式，可有效提高小学数学练习课的有效性，并为学生的数学学习提供更好的平台。
参考文献：
[1] 罗永播.巧用四策略.让小学数学练习课“趣”起来[M]，教苑时空.2014：47-49.
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