数学教案－等比数列的前n项和

数学教案－等比数列的前n项和

数学教案－等比数列的前n项和 篇1

教学目标

1.掌握等比数列前 项和公式，并能运用公式解决简单的问题.（1）理解公式的推导过程，体会转化的思想；

（2）用方程的思想认识等比数列前 项和公式，利用公式知三求一；与通项公式结合知三求二；

2.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.3.通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.教学建议 教材分析

（1）知识结构

先用错位相减法推出等比数列前 项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前 项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前 项和.（2）重点、难点分析

教学重点、难点是等比数列前 项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法（如分类讨论思想，错位相减法等），这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前 项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前 项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意 教学建议

（1）本节内容分为两课时，一节为等比数列前 项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前 项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题.（2）等比数列前 结，证明结论.项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总

和

两种情况.（3）等比数列前 项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣.（4）编拟例题时要全面，不要忽略

（5）通项公式与前 但解指数方程难度大.的情况.项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，（6）补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.教学设计示例

课题：等比数列前 项和的公式 教学目标

（1）通过教学使学生掌握等比数列前

项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前 项和.（2）通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质.（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.教学重点，难点

教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路.教学用具

幻灯片，课件，电脑.教学方法

引导发现法.教学过程

用心 爱心 专心

121号编辑

一、新课引入：

（问题见教材第129页）提出问题：

二、新课讲解：

记，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都

（幻灯片）

乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.（板书）即

②－①得

即

.，如何化简？，①

，②

由此对于一般的等比数列，其前 项和（板书）等比数列前 项和公式

仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比，即（板书）

③两端同乘以，得 ④，③－④得 当 时，由③可得

⑤，（提问学生如何处理，适时提醒学生注意 的取值）（不必导出④，但当时设想不到）

当 时，由⑤得.于是 的数列的和，其中

为等反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如 差数列，为等比数列.（板书）例题：求和：.设 法求和.，其中 为等差数列，为等比数列，公比为，利用错位相减

用心 爱心 专心

121号编辑

解：，两端同乘以，得，两式相减得

于是.说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.三、小结：

1.等比数列前 项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用； 2.用错位相减法求一些数列的前 项和.四、作业：略.五、板书设计：

用心 爱心 专心

数学教案－等比数列的前n项和 篇2

1.知识与技能目标:

理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点, 在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题.

2.过程与方法目标:

通过公式的推导方法的探索与发现, 向学生渗透特殊与一般、类比与转化、分类讨论等数学思想, 培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维能力.

3.情感态度与价值观:

通过公式的探索发现过程, 学生亲历结论的“再创造”过程, 体验成功与快乐, 感悟数学美.

二、教学重点

理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点, 在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题.

三、教学难点

等比数列前n项和公式的推导过程及应用公式解决与之有关的问题.

四、教学方法

采用教师引导学生自主探究的教学方法, 按照“创设情境——学生自主探究——得出定理——应用定理——变式训练”的模式来组织教学.

五、教学过程设计

在数学的天地里, 重要的不是我们知道什么, 而是我们怎么知道什么.——毕达哥拉斯

1.创设情景, 引入新课

“棋盘上的麦粒 (以2为底的幂) 历史典故, 通过历史典故引出《等比数列的前n项和》的课题.

2.出示三维目标

3.情境创设, 提出问题

数学游戏问题:甲、乙两人约定在一个月 (按30天) 内甲每天给乙100元钱, 而乙则第一天给甲返还一分, 第二天给甲返还两分, 即后一天返还的钱是前一天的两倍.请问谁赢谁亏?

分析:数学建模.{an}:100, 100, 100, …, 100, q=1.

{bn}:1, 2, 22, …, 229, q=2.

T30=100+100+…+100与S30=1+2+22+…+229比较大小, 求和问题如何化简?

4.启发引导, 探索发现

如何计算:S30=1+2+22+…+229.

启发:等比数列{an}的前n项和Sn也可以构成一个新的数列{Sn}.自然的化简Sn的问题就成了求新数列{Sn}的通项问题.

引导:归纳、猜想、证明是我们学习数列获得的一种重要方法, 是解决数列问题的通法.能否利用此法解决问题呢?

如何计算:S30=1+3+32+…+329.

启发:类比q=2时, Sn=2n-1.

由此可以猜想:undefined

那么undefined

公式推导——方法1 (验证法)

undefined

∴当q≠1时, undefined

从而undefined

公式推导——方法2 (错位相减法)

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1,

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn.

undefined

公式推导——方法3

由定义可得undefined, 由等比定理有undefined, 于是undefined, 得出undefined

5.应用示例, 巩固公式

数学游戏问题:甲、乙两人约定在一个月 (按30天) 内甲每天给乙100元钱, 而乙则第一天给甲返还一分, 第二天给甲返还两分, 即后一天返还的钱是前一天的两倍.问:谁赢谁亏?

T30=100+100+…+100与S30=1+2+22+…+229比较大小 , 求和问题如何化简?

数学游戏问题答案:230-1 (分) =10737418.23 (元) , 远大于3000元.

棋盘上的麦粒问题:

解 ∵a1=1, q=2, n=64,

人们估计, 如果把这些麦粒依次排列, 它的长度就相当于地球到太阳距离的2万倍.若按万粒400克计算, 可达7000亿吨, 而我国现年产量在1亿吨左右.

6.公式的灵活运用

在等比数列{an}中, 已知a1=2, a5=32, q>0, 求S5.

解由a1=2, a5=32, 可得32=2×q4.

又由q>0, 可得q=2.

于是当n=5时,

7.变式训练, 巩固公式

在等比数列{an}中, 已知a1=2, S3=6, 求q.

解 (1) 当q=1时, 满足题意;

整理得q2+q-2=0, 解得q=-2或q=1 (舍去) .

综上可得q=1或q=-2.

六、小结

1.五个量n, a1, q, an, Sn中, 解决“知三求二”问题.

2.q≠1时.

3.注意q=1与q≠1两种情形.

尝试小结请回顾一下本节课你学到了什么?

本节课你最大的收获是什么?

数学教案－等比数列的前n项和 篇3

关键词：初等数学   数列求和   特殊数列

高考中数列求和的题目占据了一定的比例，尤其是特殊数列的前n项求和问题经常令学生感到困惑。目前中高考当中的数列求和问题已受到了教师和教研组的充分重视。文章参考了一些关于数列问题的研究成果，针对特殊数列前n项和的求法，试图用初等数学方法进行计算，希望为教师和学生在日后的学习和工作中提供有益的参考。

一、初等数学中的数列概述

在初等数学中，数列求和问题是多种数学问题的契合点，与方程式、函数、不等式等有着密切的联系。数列部分的内容涉及到很多方面，如整体代入、归纳类比、分类计算等方法和思想。在现实生活中，如分期付款、人口增长的统计以及物品的摆放等问题几乎都会涉及到数列。数列在数学运算中属一种特殊的函数，经过初等数学的运算，可以为日后高等数学的学习打下基础。

在初等数学中，数列求和问题是其中的重要运算内容，教师可基于传统的数学教法，对求和的方式进行分类和归纳总结。等比数列中的前n项求和公式蕴含着很多分类方法，本文主要围绕等比数列和等差数列的基本公式，针对特殊数列前n项和的解题思路，导出相应的公式。但是在运算过程中还需要注意很多问题，比如在使用分解法时要进行项数抵消，哪些项应被消除，哪些项应被保留;项数被消除之后，所剩下的项数中，正数项和负数项的数量一定是相同的。所以在计算过程中一定要注意，不可以将项数漏写。

二、用初等数学方法求特殊数列前n项和的几种解题思路

（一）待定系数法

首先是一道例题，求数列的和。

下面是解题思路：

要想求得这个数列的和，用教材当中的等差數列和等比数列公式显然无法得出。公式中，分母的次数明显大于分子的次数，所以可将将其转为部分公式：

设，即。进行对应项系数的比较可知：{，求得：A=1，B=-1。把n=1，2，3……，n代入通项当中，可得出：。

通过分析各项的特点可知，前项分式的后式以及后项分式中的前式是相反数，这样公式的规律就可以看出来了，所以： 。

通过这种解法，求得特殊数列前n项和的思路大致为：首先求得数列通项的分式，然后使n=1，2，3……，将n代入到通项当中，得出各项的分式，最后数列前n项的和就可以得出来了。

（二）拆项法

拆项法是指将数列中的每一项分成两项的差，分开之后的相邻两项就会消去，这样分开计算，结果就只留下了首尾两项，从而简化算式得出最终结果。下面举例说明：求此数列的和，

。

以下为解题思路：

当数列通项能够分成两项差的模式时，就可以使用拆分法，求得前n项的和。如果数列通项有如下特征，也可以通过拆分法进行运算求得前n项的和。

如通项，其中，的等差数列中的公差是d，那么就可以拆分成两项之差。由此可知，利用拆项等式的方法可以将数列当中的每一项都拆分成两项之差的形式，然后正负项彼此消除，就会很容易求得前n项的和。

（三）降次法

在对自然数的n次幂和公式进行推导的过程当中会用到降次法，也即是通过对自然数（n+1）次幂公式的利用对自然数的n次幂进行推导。

下面举例说明：

求证。下面是证明思路：取n=1，2，3，4……，n，将此等式的两边进行相加可以得出：

以上就是降次法的解题思路。这种方法能够将问题转化为等差和等比数列或者已知数列，从而求得数列之和。

综上所述，在高中阶段用初等数学方法求特殊数列的前n项和是每个高中生应该具备的能力，同时也是灵活解题的重要手段之一。在既有的研究成果中，对于特殊数列前n项和的求解方法并没有形成完善的研究体系，解决方法也过于笼统，高中生往往无法有效掌握求解手段，这在很大程度上降低了高中生的学习兴趣及学习效果。为此，本文针对特殊数列前n项和的求法，列出了几种解题思路，将问题转化为了最终的等差数列和等比数列求和问题的运算，促使特殊数列前n项和的运算得到了切实解决。

参考文献：

[1]白晓洁.新课程标准下高中数学数列问题的研究[D].开封：河南师范大学，2013.

[2]沈建梅.高中数列教与学的实践与研究[D].扬州：扬州大学，2013.

数学教案－等比数列的前n项和 篇4

知识点：

1、等差数列的前项和的公式：①；②．

2、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．

②若项数为，则，且，（其中，）．

同步练习：

1、首项为的等差数列的前项和为，则与的关系是（）

A．

B．

C．

D．

2、已知等差数列，，则等于（）

A．

B．

C．

D．

3、已知等差数列满足，且，则其前项之和为（）

A．

B．

C．

D．

4、等差数列中，…，…，则为（）

A．

B．

C．

D．

5、已知等差数列的首项为，公差是整数，从第项开始为负值，则公差为（）

A．

B．

C．

D．

6、若等差数列共有项，且奇数项的和为，偶数项的和为，则项数为（）

A．

B．

C．

D．

7、等差数列中，它的前项的平均值为，若从中抽去一项，余下的项的平均值为，则抽去的是（）

A．

B．

C．

D．

8、已知数列的通项公式为，则的前项和等于（）

A．

B．

C．

D．

9、一个等差数列共项，其中奇数项的和为，偶数项的和为，则第项是（）

A．

B．

C．

D．

10、在等差数列中，公差，首项，如果这个数列的前项的和，则应是（）

A．

B．

C．

D．

11、在等差数列中，若，是数列的前项和，则的值为（）

A．

B．

C．

D．

12、已知某等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则公差为（）

A．

B．

C．

D．

13、等差数列中，，则此数列前项和等于（）

A．

B．

C．

D．

14、设数列是等差数列，且，是数列的前项和，则（）

A．

B．

C．

D．

15、设是等差数列的前项和，若，则（）

A．

B．

C．

D．

16、在等差数列中，已知，则等于（）

A．

B．

C．

D．

17、等差数列的前项和为，当，变化时，若是一个定值，那么下列各数中也为定值的是（）

A．

B．

C．

D．

18、在等差数列中，、是方程的两个根，则是（）

A．

B．

C．

D．

19、在等差数列中，，则此数列前项和等于（）

A．

B．

C．

D．

20、已知数列的通项为，若要使此数列的前项和最大，则的值为（）

A．

B．

C．或

D．

21、数列的前项和，则它的通项公式是（）

A．

B．

C．

D．

22、在数列中，，且它的通项公式是关于自然数的一次函数，则它的前项的和为_________．

23、在等差数列中，，则________．

24、在等差数列中，，则_______．

25、若一个等差数列前项的和为，最后项的和为，且所有项的和为，则这个数列有________项．

26、设为等差数列的前项和，，则___________．

27、设等差数列的前项和，若，则公差为________（用数字作答）．

28、求下列数列中的前项和：

①，；②，；③，．

29、在等差数列中，若，求该数列前项和．

30、在等差数列中，已知，公差，求．

等比数列的前n项和说课稿 篇5

各位老师，大家好，今天我要说课的内容是人教版高中数学必修5第二章第五节的《等比数列的前n项和》.我的说课主要分为下面六个过程来进行：教学理念、教材内容分析、教学目标及学情分析、教学的重难点分析、教学方法的分析、教学过程的设计.一、教学理念

新的课程标准明确指出 “数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质．”其含义就是：我们不仅要重视数学的应用价值，更要注重其思维价值和人文价值．

因此，创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、知识的全面发展．本节课力图打破常规，充分体现以学生为本，全方位培养、提高学生素质，实现课程观念、教学方式、学习方式的转变．

二、教材内容分析

在学习《等比数列前n项和公式》之前，学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础.本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点.从高中数学的整体内容来看，《数列》这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也起着决定性的作用.首先：数列有着广泛的实际应用.例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等.其次：数列有着承前启后的作用.数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础.再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材.学习数列要经常观察、分析、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高.三、教学目标及学情分析

作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识.以下是我的教学目标分析和学情分析：

1、教学目标分析

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，依据《课标》我制定了如下的教学目标：

［知识与技能］

理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．

［过程与方法］

通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等 1 数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．

［情感态度与价值观］

通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点；培养学生学习数学的积极性，锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神.2、学情分析

学情分析主要通过以下两方面来展开：

［知识基础］

学生在学习本节内容之前已经学习等差数列，知道等差数列的前n项和的公式由来；熟悉等比数列的通项公式，知道等比性质.［思维水平］

学生具备一定的数学思想方法，能够与等差数列的求和公式的推导过程联系，形成类比迁移，而且在情感上也具备了学习新知识的渴求.但是学生对等比数列的前n项和的推导方法---错位相减法比较陌生，学习思维上存在障碍.并且学生考虑事情缺乏全面性，在推导过程中容易忽略公比q1的情形.四、教学的重难点分析

结合前面的教材分析、三维目标的确定以及学情分析，我总结了总结课的重难点：

教学重点是等比数列前n项和的公式的推导过程以及应用.教学难点是等比数列前n项和的推导过程中“错位相减法”的发现以及运用；不同推导过程所蕴含的思想方法的理解.五、教学方法分析

1、教法

数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此在教学中不仅要让学生“知其然”，还要“知其所以然”，为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进和启发式教学原则，我进行这样的教学设计：在教师的引导下，创设情景，通过开放式问题的设置来启发学生进行思考，在思考中体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法和思想，使之获得内心感受.本节课将借助计算机多媒体辅助教学，采用“多媒体优化组合—激励—发现”式教学模式进行教学.该模式能够将教学过程中的各要素，如教师、学生、教材、教法等进行积极的整合，使其融为一体，创造最佳的教学氛围.主要包括启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价.2、学法

数学作为基础教育的核心学科之一，转变学生的数学学习方式，变学生被动接受式学习为主动参与式学习，不仅有利于提高学生的整体数学素养，也有利于促进学生整体学习方式的转变.在课堂结构上我根据学生的认知层次，设计了(1)创设情景、(2)观察归纳、(3)讨论研究、(4)即时训练、(5)总结反思、(6)任务延续，六个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目的.自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流.3、教学手段

利用多媒体和POWERPOINT软件进行辅助教学.六、教学过程分析

1、创设情境，提出问题

西游记后传之猪八戒的高老庄——话说猪八戒自从西天取经之后，就回到了高老庄，成立了高老庄集团，自己也摇身一变成了总经理，但是好景不长，他的公司因为经营不善出现了资金短缺，于是他便想向师兄孙悟空借钱.孙悟空：没问题！我每天给你投资100万元，连续一个月（30天）猪八戒：师兄你太好了，那„„我何时还你钱？

孙悟空：咱俩谁跟谁呀！我给你投资的钱就不用还了，你就意思意思，第一天给我1元，第二天给我2元，第三天给我4元，„„以后就每天给我的钱是前一天的两倍，一直给我30天，我们就算两清了，你看如何？

猪八戒：第一天1元换100万元，第二天2元换100万元，„„哇，发财了！猪八戒：猴哥，你可别反悔呀！

孙悟空：那„我们可以签一个合同嘛！说着就起草了一份合同.猪八戒正想签字，可转念一想，发现不对劲了，这猴哥本来就精明，做了生意之后就更精了，他会不会又在耍我？

设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性．故事内容紧扣本节课的主题与重点．

此时我问：同学们，如果你是猪八戒的参谋，你认为他签不签这个合同呢？

设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做，有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处，学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍．同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔.这样引入课题有以下几个好处：

(1)利用学生求知好奇心理，以一个实际问题为切入点，便于调动学生学习本节课的趣味性和积极性.(2)在实际情况下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中.(3)问题内容紧扣本节课教学内容的主题与重点.(4)有利于知识的迁移，使学生明确知识的现实应用性.在我的诱导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快建立起等比数列的数学模型，写

7出猪八戒应付的钱的总数1+2+2+22，并与1001000030=3.010进行比较.2329带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定．

当学生跃跃欲试要求这个数列的和的时候，课题的引入已经水到渠成.我再由特殊到一般、具体到抽象的启示，正式引入课题.2、师生互动，探究问题 2329、2、2、2、、2是什么数列？有何特征？ 在肯定他们的思路后，我接着问：1应归结为什么数学问题呢？

探讨1：设S30=1+2+22+23229，记为(1)式，注意观察每一项的特征，有何联系？(学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

探讨2： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，(1)式两边同乘以2则有，2S30=2+22+23229+230，记为(2)式．比较(1)、(2)两式，你有什么发现？

设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机．

经过比较、研究，学生发现：(1)、(2)两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：S302301．老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么(1)式两边要同乘以2呢？

设计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心．

3、类比联想，解决问题

这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列an的首项为a，公比为q，如何求Sn？这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导．

设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感．

a1a1qn在学生自己探究完成后，我再问：由1qSna1a1q得Sn，这样子对

1qn不对？这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q1时是什么数列？此时）Sn?（这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础．再次追问：结合等比数列的通项公式ana1q，如何把Sn用a1、an、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）

设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用．

4、讨论交流，延伸拓展

在此基础上，我提出：探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？ 我们知道，Sn=a1+a1q+a1q2++a1qn1=a1+q(a1+a1q++a1qn2)那么我们能否利用这个关系而求出Sn呢？

再根据等比数列的定义，能否联想到等比性质

aa2a3a4nq从而求出a1a2a3an1Sn呢？

设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.以上两种方法都可以化归到Sna1qSn1, 这其实就是关于Sn的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.5、变式训练,深化认识

例

1(1)求等比数列1111，，„的前8项和； 24816111163(2)等比数列，，„的前多少项和是？

24816641111(3)求等比数列，，„的第5项到第10项的和；

248161111(4)求等比数列，，„的第2n项中所有偶数项的和；

24816首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结．

设计意图：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识．

6、例题讲解，形成技能

例2 求和Sn1aa2a3an1.设计意图：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想．

7、总结归纳，加深理解

以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结．

设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力．

8、故事结束，首尾呼应 最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出两种方式猪八戒应付的钱分步为3.010和1.0710，显然猪八戒不该签这个合同．

97设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维．

9、课后作业，分层练习

必做： P129练习1、2、3、4； 选做(思考题)：

(1)求和Snx2x23x3nxn.(2)“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？

设计意图：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间．

数学教案－等比数列的前n项和 篇6

教材分析

等差数列的前ｎ项和是数列的重要内容，也是数列研究的基本问题．在现实生活中，等差数列的求和是经常遇到的一类问题．等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前ｎ项和提供了一种重要方法．

教材首先通过具体的事例，探索归纳出等差数列前ｎ项和的求法，接着推广到一般情况，推导出等差数列的前ｎ项和公式．为深化对公式的理解，通过对具体例子的研究，弄清等差数列的前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地运用等差数列的前ｎ项和公式解决问题．这节内容重点是探索掌握等差数列的前ｎ项和公式，并能应用公式解决一些实际问题，难点是前ｎ项和公式推导思路的形成．

教学目标

1.通过等差数列前ｎ项和公式的推导，让学生体验数学公式产生、形成的过程，培养学生抽象概括能力．

2.理解和掌握等差数列的前ｎ项和公式，体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联系，并能用公式解决一些实际问题，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．

3.在研究公式的形成过程中，培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法．

任务分析

这节内容主要涉及等差数列的前ｎ项公式及其应用．

对公式的推导，为便于学生理解，采取从特殊到一般的研究方法比较适宜，如从历史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出发，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面引导学生发现等差数列中任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现求等差数列前ｎ项和的一般方法，这样自然地过渡到一般等差数列的求和问题．对等差数列的求和公式，要引导学生认识公式本身的结构特征，弄清前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系．为加深对公式的理解和运用，要强化对实例的教学，并通过对具体实例的分析，引导学生学会解决问题的方法．特别是对实际问题，要引导学生从实际情境中发现等差数列的模型，恰当选择公式．对于等差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联系，可引导学生拓展延伸．

教学设计

一、问题情景

1.在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在老师提出问题：“1＋2＋3＋…＋100＝？”时，很快地就算出了结果．他是怎么算出来的呢？他发现1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050．

2.受高斯算法启发，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和．

3.高斯的方法妙在哪里呢？这种方法能否推广到求一般等差数列的前ｎ项和？

二、建立模型

1.数列的前ｎ项和定义

对于数列｛ａn｝，我们称ａ1＋ａ2＋…＋ａn为数列｛ａn｝的前ｎ项和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn．

2.等差数列的求和公式

（1）如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式？ 对于公差为ｄ的等差数列｛ａn｝：

Sn＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）ｄ］，①

依据高斯算法，将Sn表示为Sn＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］．

②

由此得到等差数列的前ｎ项和公式

小结：这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法．

（2）结合通项公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎样的公式？

（３）两个公式有什么相同点和不同点，各反映了等差数列的什么性质？ 学生讨论后，教师总结：相同点是利用二者求和都须知道首项ａ1和项数ｎ；不同点是前者还须要知道ａn，后者还须要知道ｄ．因此，在应用时要依据已知条件合适地选取公式．公式本身也反映了等差数列的性质：前者反映了等差数列的任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和都等于首、末两项之和，后者反映了等差数的前ｎ项和是关于ｎ的没有常数项的“二次函数”．

三、解释应用 ［例 题］

1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn．

（1）ａ1＝ —4，ａ8＝ —18，ｎ＝8．（2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32．

注：恰当选用公式进行计算．

2.已知一个等差数列｛ａn｝前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前ｎ项和的公式吗？

分析：将已知条件代入等差数列前ｎ项和的公式后，可得到两个关于ａ1与ｄ的关系式，它们都是关于ａ1与ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1与ｄ，从而得到所求前ｎ项和的公式．

解：由题意知

注：（1）教师引导学生认识到等差数列前ｎ项和公式，就是一个关于ａn，ａ1，ｎ或者ａ1，ｎ，ｄ的方程，使学生能把方程思想和前ｎ项和公式相结合，再结合通项公式，对ａ1，ｄ，ｎ，ａn及Sn这五个量知其三便可求其二．

（2）本题的解法还有很多，教学时可鼓励学生探索其他的解法．例如，3.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从20XX年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，20XX年该市用于“校校通”工程的经费500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从20XX年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

教师引学生分析：每年“校校通”工程的经费数构成公差为５０的等差数列．问题实质是求该数列的前10项的和．

解：根据题意，从2001～20XX年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元．所以，可以建立一个等差数列｛ａn｝，表示从20XX年起各年投入的资金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50．

那么，到20XX年（ｎ＝10），投入的资金总额为

答：从2001～20XX年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元． 注：教师引导学生规范应用题的解题步骤．

4.已知数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn＝ｎ2＋

ｎ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

解：根据

由此可知，数列｛ａn｝是一个首项为，公差为2的等差数列．

思考：一般地，数列｛ａn｝前ｎ项和Sn＝Aｎ2＋Bｎ（A≠０），这时｛ａn｝是等差数列吗？为什么？

［练习］

1.一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10ｋｍ／ｈ开始，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．如果测试时间是30ｓ，测试距离是多长？

2.已知数列｛ａn｝的前ｎ项的和为Sn＝

ｎ2＋

ｎ＋4，求这个数列的通项公式．

3.求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素个数，并求这些元素的和．

四、拓展延伸

1.数列｛ａn｝前ｎ项和Sn为Sn＝pn2＋qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ为常数且ｐ≠０），则｛ａn｝成等差数列的条件是什么？

2.已知等差数列5，4，3，…的前ｎ项和为Sn，求使Sn最大的序号ｎ的值．

分析1：等差数列的前ｎ项和公式可以写成Sn＝以看成函数ｙ＝x2＋（ａ1－

ｎ2＋（ａ1－）ｎ，所以Sn可）ｘ（ｘ∈N*）．当ｘ＝ｎ时的函数值．另一方面，容易知道Sn关于ｎ的图像是一条抛物线上的一些点．因此，我们可以利用二次函数来求ｎ的值．

解：由题意知，等差数列5，4，3，…的公差为－，所以

于是，当ｎ取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值．

分析2：因为公差ｄ＝ －＜０，所以此数列为递减数列，如果知道从哪一项开始它后边的项全为负的，而它之前的项是正的或者是零，那么就知道前多少项的和最大了．即使然后从中求出ｎ．

点 评

这篇案例从具体的实例出发，引出等差数列的求和问题，在设计上，设计者注意激发学生的学习兴趣和探究欲望，通过等差数列求和公式的探索过程，培养学生观察、探索、发现规律、解决问题的能力．

对例题、练习的安排，这篇案例注意由浅入深，完整，全面．拓展延伸的设计有新意，有深度，符合学生的认识规律，有利于学生理解、掌握这节内容．

数学教案－等比数列的前n项和 篇7

一、对数学材料背景的开发与运用

1.直接借用已有的背景材料

“等比数列前n项和”这一节教材中是用古印度国际象棋的故事作为背景材料的.在教学时, 我们如果直接用这个故事引入新课, 这就形成了引入方案1.

方案1: (用数学史料引入等比数列的前n项和) 国际象棋起源于古代印度, 关于国际象棋有这样一个传说, 国王要奖赏国际象棋的发明者, 对他说:我可以满足你的任何要求.发明者说:请给我棋盘的64个方格上, 第一格放1粒小麦, 第二格放2粒, 第三格放4粒, 往后每一格都是前一格的两倍, 直至第64格.国王令宫廷数学家计算, 结果出来后, 国王大吃一惊.为什么呢?

提出问题:国王应该给发明者多少粒麦粒呢?你认为国王有能力满足发明者的要求吗?

2.开发新的背景材料

教材中的背景材料对于已经预习过教材的学习者来说已经没有什么新鲜可言, 此时的材料对于激发兴趣而言意义已经不大, 有时为了激起学习者的兴趣或者更适合不同层次的学习者学习要求, 可能需要我们开发新的背景材料来形成新的引入方案.

如果借助等比数列的实际应用问题可以形成下面的引入方案2.

方案2: (用一个应用问题引入等比数列求和的概念) 例如, 某制糖厂今年制糖5万吨, 如果平均每年的产量比上一年增加10%, 那么从今年起, 几年内可以使总产量达到30万吨 (保留到个位) .

如果我们依托市场经济背景, 运用学生熟悉的人物编拟故事创造引入方案3, 以趣引思, 也可以激发学生的学习热情.

方案3: (漫画演示) 话说猪八戒自西天取经回到了高老庄, 从高员外手里接下了高老庄集团, 摇身变成了CEO.可好景不长, 便因资金周转不灵而陷入了窘境, 急需大量资金投入, 于是就找孙悟空帮忙.悟空一口答应:“行!我每天投资100万元, 连续一个月 (30天) , 但是有一个条件是:作为回报, 从投资的第一天起你必须返还给我1元, 第二天返还2元, 第三天返还4元……即后一天返还数为前一天的2倍.”八戒听了, 心里打起了小算盘:“第一天:支出1元, 收入100万;第二天:支出2元, 收入100万, 第三天:支出4元, 收入100万元;……哇, 发财了……”心里越想越美……再看看悟空的表情, 心里又嘀咕了:“这猴子老是欺负我, 会不会又在耍我?”

假如你是高老庄集团企划部的高参, 请你帮八戒分析一下, 按照悟空的投资方式, 30天后, 八戒能吸纳多少投资?又该返还给悟空多少钱?

只要我们多思考、多钻研, 就可以开发出适合自己学生的数学背景材料.

二、对数学逻辑知识的开发与运用

对数学逻辑知识的开发和运用有助于学习者的数学逻辑思维能力的培养, 而要培养学习者的数学逻辑思维能力, 就必须把学生组织到对所学数学内容的分析和综合、比较和对照、抽象和概括、判断和推理等思维的过程中来.因此, 我们要善于为学习者提供合适的学习材料和学习条件, 帮助学习者形成数学逻辑思维能力.

等比数列和等差数列有很多相似之处, 我们可以由等差数列的有关性质引出等比数列的前n项和, 于是形成了引入方案4.

方案4: (1) 复习等比数列的通项公式.同时让学生回顾等差数列的通项公式及求和公式.

(2) 与等差数列的性质类比, 提出课题:等比数列的前项和.

注:此方案要求学生对等比数列和等差数列进行比较、对照.这是我们数学学习中常用的数学方法.我们要学会比较相似知识点的异同, 找到不同知识点的联系, 从而使我们的知识结构形成一个逻辑体系.

三、对数学思想方法的开发与运用

本节课中渗透着类比、归纳、分类讨论和错位相减法思想.对这些思想的开发和运用可以形成好的教学方案.

如果把等差数列和等比数列求和公式的推导方法进行类比, 然后从特殊归纳到一般可以得到方案5.

方案5: (1) 与等差数列前n项和公式的推导方法类比, 对等比数列前n项和公式进行推导, 发现这种方法无效.

(2) 引导学生从特殊化入手去发现规律.

如果q=1, 容易得到S1=na1;

如果q≠1, 当n=2时, S2=a1+a2=a1+a1q=a1 (1+q) ;

当n=3时, S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1 (1+q+q2) ,

当n=4时, S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3=a1 (1+q+q2+q3) ,

至此似乎没有使问题简化, 进一步观察, 可以发现:

注:此方案中的特殊化归纳思想的实现需要教师的适时点拨, 变形的时候用到了初中的因式分解的逆用思想, 有一定的难度, 如果没有教师的提示可能大部分学生很难完成.

如果考虑等比数列求和公式的特点:分段函数, 应该分两种情况讨论求和.于是得到方案6.

方案6: (1) 给出两道等比数列求和习题 (一道题目中的等比数列公比为1, 另一个公比不为1) , 让学生思考解答.

(2) 由上面两道题的解答过程, 归纳出等比数列前n项和的求法.

注:此方案要求学生由两个题目的解题过程归纳出等比数列前n项和的求法, 对学生的要求较高.

方案5和方案6都抛弃了有趣的故事背景, 而是采用试误法和归纳法引出课题.这些都是让学生亲自去操作、感知和体会.

《等差数列的前n项和》教学设计 篇8

教学设计

教学内容分析

本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）中第二章的第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．在教学中应注意以下两点：

1．本小节重点是等差数列的前n项和公式．学习中可能遇到的困难是获得推导公式的思路，克服困难的关键是通过具体例子发现一般规律．

2．本小节首先通过高斯算法,发现等差数列任意的第k项与倒数第n+1-k项的和等于首项、末项的和，从而得出求和的一般思路． 等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法． 学生情况分析 在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍． 设计思想

建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据本班学生的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析问题、解决问题的能力，达到了分层教学的目的． 教学目标

1、知识目标

（1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法；（2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和．

2、能力目标 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力．

3、情感目标

通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功． 教学重点和难点

教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；

教学难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得． 教学过程

第一环节 创设情境 引入新课

高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:1+2+„100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10„算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+„+100=5050．”

教师问：“你是如何算出答案的？”

高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；„50+51=101，所以（1＋100）＋（2＋99）＋„„＋（50＋51）=101×50=5050．” 这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．

（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法． 第二环节 推进新课 探究新知 提问：在公差为的等差数列如何求？

中，定义前项和，由前面的大量铺垫，学生容易得出如下过程： ∵

∴ ∴

从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性． 组织学生讨论：在公式1中若将式? 即

此公式要求

（公式2）

必须已知三个条件：

（有时比较有用）．

代入又可得出哪个表达

(公式1)第三环节 应用举例 巩固新知

例1 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的．

解（2）解

练习如何求下列和？

①1+2+3+„+100 =

5050

； ②1+3+5+„+(2n-1)=

③2+4+6+„+2n =

；

．

．

．

例2 等差数列－10，－6，－2，2，„前多少项和是54? 解 设题中的等差数列是，公差为，前n项和为

=54

.，则

=－10，d=－6－（－10）=4，由等差数列前n项和公式，得

解得

n=9或n=－3（舍去）.因此，等差数列的前9项和是54． 练习

已知例3 已知一个等差数列

前10项的和是310，前20项的和是的公式吗？ 1220．由这些条件能确定这个等差数列的前项和分析：将已知条件代入等差数列前项和的公式后，可得到两个关于与的关系式，它们都是关于与的二元一次方程，由此可以求得与，从而得到所求前项和的公式． 解

设等差数列，将它们代入公式

得到 的公差为，由题意可得

解这个关于与的方程组，得到，所以

练习

一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式与前项和公式．

第四环节 课时小结

本节课主要学习了：1.等差数列的前项和公式1：2.等差数列的前项和公式2：

在学习过程中，让学生能够体验倒序相加法的妙处以及能够正确运用等差数列的前n项和的两个公式． 第五环节 布置作业

1．课本P52习题2.3 第2、3、4题． 2．探索题

（1）数列的前项和，求； }（2）若公差为中，到的表达式？

第六环节 教学反思

d(d≠0）的等差数列{

，你能否由题（1）的启发，得

1、合理地对教材进行了个性化处理，挖掘了教材中可探究的因素，促使学生探究、推导．例如，等差数列前n项和的公式一，是通过具体的例子，引到一般的情况，激励学生进行猜想，再进行论证得出；而第二个公式并不象书本上那样直接给出，而是让学生从已知公式中推导得到的．这样处理教材，使学生的思维得到了很大的锻炼．

等比数列前n项和公式教案 篇9

n项和

[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。

1、等比数列的前n项和公式：

当q1时，Sna1(1q)1qn ①

或Sna1anq1q

②

当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.公式的推导方法一：

一般地，设等比数列a1,a2a3,an它的前n项和是

Sna1a2a3an

Sna1a2a3an由 n1aaq1n2n2n1a1qSna1a1qa1qa1q得

23n1na1qqSna1qa1qa1qa1qn(1q)Sna1a1q

∴当q1时，Sna1(1q)1qn ①

或Sna1anq1q

②

当q=1时，Snna1

公式的推导方法二：

有等比数列的定义，a2a1a3a2anan1q

根据等比的性质，有a2a3ana1a2an1Sna1Snanq

即 Sna1Snanq(1q)Sna1anq（结论同上）

围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：

Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)

＝a1qSn1＝a1q(Snan)

(1q)Sna1anq（结论同上）

课题: §2.5等比数列的前●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下前一节课所学主要内容： 等比数列的前n项和公式： 当q1时，Sna1(1q)1qnn项和

①

或Sna1anq1q

②

当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②

课 题：数列复习小结

教学过程：

一、本章知识结构

二、知识纲要

(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．

(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．

三、方法总结

1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．

2．等差、等比数列中，a1、an、n、d(q)、Sn “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．

3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．

四、知识精要：

1、数列

[数列的通项公式] an2、等差数列 [等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。[等差数列的判定方法]

1． 定义法：对于数列an，若an1and(常数)，则数列an是等差数列。2．等差中项：对于数列an，若2an1anan2，则数列an是等差数列。[等差数列的通项公式]

如果等差数列an的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为ana1(n1)d。[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。[等差数列的前n项和] 1．Snn(a1an)2a1S1(n1)SnSn1(n2)[数列的前n项和] Sna1a2a3an

2.Snna1n(n1)2d

[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。[等差中项] 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：Aab2或2Aab

[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。[等差数列的性质]

1．等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，公差为d，则有anam(nm)d

2.对于等差数列an，若nmpq，则anamapaq。

3．若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等差数列。

3、等比数列 [等比数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0）。[等比中项] 如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即G2ab。[等比数列的判定方法] 1． 定义法：对于数列an，若an1anq(q0)，则数列an是等比数列。

22．等比中项：对于数列an，若anan2an，则数列an是等比数列。1[等比数列的通项公式]

n1如果等比数列an的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为ana1q。

[等比数列的前n项和] Sna1(1q)1qn(q1)Sna1anq1q(q1)当q1时，Snna1

[等比数列的性质] 1．等比数列任意两项间的关系：anamqnm

2． 对于等比数列an，若nmuv，则anamauav

4．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。如下图所示：

4、数列前n项和（1）重要公式：

123n123n222n(n1)22；

； n(n1)(2n1)612n333[121n(n1)] 2（2）裂项求和：

两种特殊数列前n项和的性质探究 篇10

1. 等差数列前n项和的性质

下面我们先讨论一个简单问题.

问题1如果数列{an}是公差为2的等差数列, 前n项和为Sn, 那么S3, S6-S3, S9-S6成等差数列吗?

结论:S3, S6-S3, S9-S6成等差数列.

现将问题1的结论加以推广, 可得到下面一个性质.

性质1若数列{an}是公差为d (d≠0) 的等差数列, 前n项和为Sn, 则Sm, S2m-Sm, S3m-S2m (给定m∈N+) 也成等差数列.

证明根据等差数列前n项和公式, 得.因为S2m-Sm-Sm= (S3m-S2m) - (S2m-Sm) =m2d为常数, 所以Sm, S2m-Sm, S3m-S2m (m∈N+) 成等差数列.

这一性质也可以根据等差数列的前n项和公式来证明.

上述性质1还可以进一步推广到下面更一般的结论.

性质2若数列{an}是公差为d (d≠0) 的等差数列, 前n项和为Sn, 则Sm, S2m-Sm, …, S (k+1) m-Skm, … (k∈N+) 也成等差数列, 公差为m2d (m为确定的正整数) .

证明设bk=Skm-S (k-1) m, 则bk+1=S (k+1) m-Skm (k∈N+) .根据等差数列前n项和公式, 得.所以, 对任意k∈N+, 都有bk+1-bk=m2d为常数.根据等差数列的定义知, 数列Sm, S2m-Sm, …, S (k+1) m-Skm, … (k∈N+) 是公差为m2d的等差数列.

简评上述探究过程, 充分体现了由特殊到一般的思维规律.在性质2的证明中, 计算bk+1-bk时, S (k+1) m-Skm和Skm-S (k-1) m分别是以akm+1和a (k-1) m+1为首项套用等差数列前n项和公式的, 这样做使运算得到了简化.

2. 等比数列前n项和的性质

在进行“等比数列的前n项和”的教学中, 联想到上述等差数列的前n项和所具有的性质, 通过类比, 提出下面一个问题.

问题2如果数列{an}是公比为2的等比数列, 前n项和为Sn, 那么S3, S6-S3, S9-S6成等比数列吗?

结论S3, S6-S3, S9-S6成等比数列.

将问题2的结论加以推广, 可得到下面一个性质.

性质1若数列{an}是公比为q (q≠1) 的等比数列, 前n项和为Sn, 则Sm, S2m-Sm, S3m-S2m (给定m∈N+) 也成等比数列.

证明根据等比数列的前n项和公式, 得为常数, 所以Sm, S2m-Sm, S3m-S2m (m∈N+) 成等比数列.

这一性质也可以根据等比数列前n项和的公式来证明.

上述性质1还可以推广到下面更一般的结论.

性质2若数列{an}是公比为q (q≠1) 的等比数列, 前n项和为Sn, 则Sm, S2m-Sm, …, S (k+1) m-Skm, … (k∈N+) 也成等比数列, 公比为qm (m为确定的正整数) .

简评上述探究过程, 不仅体现了由特殊到一般的思维规律, 而且渗透了类比的思想方法.在性质2的证明中, 计算时, S (k+1) m-Skm和Skm-S (k-1) m分别是以akm+1和a (k-1) m+1为首项套用等比数列前n项和公式的, 这样做可以简化运算.

以上对等差数列与等比数列的前n项和的性质作了一点探究, 但足以说明在平时的教学中, 注意挖掘课本中的例题和习题的潜在知识与内涵, 充分发挥它们在教学中的作用, 有利于培养学生解题的灵活性, 也有利于培养学生的创新思维和数学探究能力.

摘要：本文从简单问题入手, 探讨了等差数列与等比数列的前n项和的性质.教学实践说明在平时的教学中, 注意挖掘课本中的例题和习题的潜在知识与内涵, 充分发挥它们在教学中的作用, 有利于培养学生的创新思维和探究能力.

关键词：等差数列,等比数列,性质,探究

参考文献

[1]单墫主编.普通高中课程标准实验教科书.数学5 (必修) [M].江苏教育出版社, 2005.

数学教案－等比数列的前n项和 篇11

常州市第二中学 季明银

一、教学设计意图：

数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分。现行教材把《数列》放在《函数》之后，非常合理。本节课《等差数列前n项和》，是在学生学习了数列的有关概念的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用，也是培养学生数学能力的良好题材。数列部分历来是高考的重点，每年高考都要对其进行重点考察，不仅选择题填空题每年必考，而且解答题也是重点考察的对象。等差数列作为数列部分的主要内容，也就备受青睐。（1）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。

二、教学目标描述

（1）知识目标： 掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用。

（2）能力目标：通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。

（3）情感目标：（数学文化价值）

公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶；通过公式的运用，树立学生“大众教学”的思想意识。

三、教学过程设计

1、创设问题情景

德国伟大的数学家高斯“神速求和”的故事：小高斯上小学四年级时，一次教师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。（教师观察学生的表情反映，然后将此问题缩小十倍）。

2、师生互动

例1：计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢？小组讨论后，让学生自行发言解答。

拓展1： 1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+......+100=50×101=5050。上面的方法用到等差数列的哪一个性质呢？

数列{an}是等差数列，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.类比：Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成 Sn=an+an-1+......a2+a1

两式相加得2Sn=（a1+an）+(a2+an-1)+......(an+a1)=n(a1+an)Sn=

n个

(I)

如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得Sn=na1+

上面（I）、（II）两个式子称为等差数列的前n项和公式。公式（I）是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式（上底+下底）×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n。引导学生总结：这些公式中出现了几个量？

四、能力提升

I直接代公式（让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式）例

2、计算：

（1）1+2+3+......+n

（2）1+3+5+......+(2n-1)

（3）2+4+6+......+2n

（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

d(II)

例

3、（1）数列{an}是公差d=-2的等差数列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。

拓展2：①数列{an}等差数列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n

拓展3：②若此题不求a1，d而只求S10时，是否一定非来求得a1，d不可呢？引导学生运用等差数列性质，用整体思想考虑求a1+a10的值。

II用整体观点认识Sn公式。

例4，在等差数列{an}，（1）已知a2+a5+a12+a15=36，求S16；（2）已知a6=20，求S11。

五、总结和评估

通过上面例题我们掌握了等差数列前n项和的公式及推导等差数列前n项和公式的方法。在Sn公式有5个变量,已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量（知三求二）.在解题时应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法。注意在运用Sn公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解。已知等式是不能直接求出a1，an和d的，但由等差数列的性质可求a1与an的和，于是这个问题就得到解决。这是整体思想在解数学问题的体现。

六、教后反思

等比数列前n项和的性质 篇12

2.5等比数列前n项和的性质

【使用说明及方法指导】

1、结合问题导学，回归课本48-50页，用红笔勾画出疑惑点，独立完成探究题，总结方法.2、针对预习自学及合作探究找出疑惑点，课上小组讨论交流，答疑解惑.3、带（*）号的2,3,4班可以不做。【学习目标】

1.理解等比数列前n项和的性质，会运用性质解题。2.能用等比数列的知识解决一些综合性问题。【教学重难点】

重点：等比数列前n项和的性质。难点：等比数列的应用。【知识回顾】

等比数列的通项公式：或等比数列n项和公式：或【自学导引】

3、在等比数列an公比为q的前n项和的性质：

等比数列

an

nSnAqA 间隔相等、连续等长的片段和也成等比数列即：sn,s2nsn,s3ns2n,成等比

数列。

注：当 q-1且n为偶数时，sn,s2n

sn,s3ns2n,不是等比数列。

若等比数列的项数为2n，则s偶

s；若项数为2n+1，则奇

s奇-a1

s=。偶

【典型题一】等比数列n项和性质的应用

例

1、在等比数列

an中，s27,s691,求s4的值

变式1：设等比数列

as6n的前n项和为sn，若s3,则s

9s36

例

2、等比数列an共有2n项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求公比q

【巩固训练】

1、一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项为（）

A180B108C75D632、设an是由正数组成的等比数列，sn为其前n项和，已知a2a41,s37,则s5

()

A152B314C33D17

*

3、在公比为整数的等比

42

an中，已知a1a418,a2a412,则a

5a6a7a8

()A480B493C495D498

*

4、已知数列ann的前n项和为sn21,则此数列奇数项的前n项和为()

A1n113(21)B 32n12）C 1322n1D 13

22n2 *

5、已知等比数列

数学教案－等比数列的前n项和 篇13

2.3.3 等比数列前n项和(1)

南京师范大学附属中学

张士民

教学目标：

1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；

2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列前n项和的一些简单问题.．

教学重点：

等比数列的前n项和公式推导与灵活应用公式解决有关问题． 教学难点：

等比数列的前n项和公式的推导．

教学过程

一、问题情境

我们已经学习了等比数列的概念与通项公式，与等差数列类似．下面，我们应该研究什么问题呢？求等比数列前n项和．

问题：如何求一个等比数列前n项和呢？

已知等比数列{an}的第1项a1、公比为q，求该数列的前n项和是Sn，即Sna1a2a3an．

研究问题疏理： 有哪些条件呢？{an}是等比数列是什么意思？anan1q或aa2a3nq． a1a2an1要求什么呢？求该数列的前n项和是Sn是什么意思？用a1、q、n表示Sn．

让我们为难的是什么？项数多，运算次数多，无法算．

如何求呢？请同学们思考．

二、学生活动

老师巡视，请学生上黑板板演．

思路一：错位相减法．

Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1

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2n2n1Sna1a1qa1qa1qa1q得 23n1nqSna1qa1qa1qa1qa1q两式相减得：(1q)Sna1a1qn，a1(1qn)aaq当q1时，Sn 或Sn1n

1q1q当q=1时，Snna1

评：再构造一个等式，两式相减．特点：每一项都是前一项的q倍，原式乘以q后，相当于各项向后移了一位，两式右边有n-1项相同，相减后减少项数．

思路二：

aa2a3nq，a1a2an1等比定理：a2a3anSa1q，即nq

a1a2an1Snan∴(1q)Sna1a1qn, 注：由(1q)Sna1a1qn的左边，(1q)SnSnqSn，可看出需用Sn减去qSn，也可引出错位相减法．

思路三：

Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1=a1(1qq2qn2qn1)

只要求Sn＝1qq2qn2qn1即可．转化 角度一：错位相减法；

角度二：Sn=1qq2qn2qn11q(1qq2qn2)=1+ q Sn-1

Sn 1q(Snqn1)，解出Sn。

评：构造Sn的方程．

三、建构数学：认识理解公式

问：等比数列前n项和公式是什么？公式有什么特点？ 一般地，设等比数列{an}的前n项和是Sn，则

a1(1qn)当q1时，Sn；当q=1时，Snna1．

1qa1(1qn)(q1),S即n1q

na(q1).1（1）公式由两部分构成，且Sn是n的函数；求和时，要判断公比q是否为1；

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（2）a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三个，可求第四个；（3）公式中q的指数是n，与项数对应；

（4）当q1时，可用a1、q、n、an表示Sn，Sn

四、数学运用 1．例题：

例1．求等比数列{an}中，1，求S10； 2（2）已知；a11，ak243，q3，求Sk．

a1anq． 1q（1）已知；a14，q14[1()10]a(1q)10232解：（1）S101； 11q12812aakq12433（2）Sk1364．

1q13注意：公式的选择．

763例2．求等比数列{an}中，S3，S6，求an；

22763解：若q1，则S62S3，与已知S3，S6矛盾，22a1(1q3)7a1(1q6)63

①，S6∴q1，从而S3

②．

1q21q211②÷①得： 1q39，∴q2，由此可得a1，∴an2n12n2．

2210注意：求基本量时，常根据条件列方程求解．消元时，常用两式相除． 在运用等比数列前n项和公式求和时，首先要判断公比q是否为1，然后正确运用公式．若q的取值不确定，则需对q是否取1进行讨论．

1111例3．求数列1,2,3,,nn,的前n项和．

24821111解 Sn(1)(2)(3)(nn)

24821111(123n)(n)

248211(1n)n(n1)22n(n1)11． n122212说明：数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，求解

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时采用分组求和．

练习：

书P52第2，3题．

五、回顾小结

1．等比数列的前n项和公式；

2．用分组求和法求每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和的数列和．

六、课外作业