全面总结概率论概率论（共10篇）
排列数
例如：
（四）组合（数）：从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数，记作或。
=45 例如：
组合数有性质
（1）例如：，（2）
，（3）
（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生-------（3）A，B，C三事件都不发生--------（5）A，B，C三事件只有一个发生--------
（2）A，B，C三事件都发生-------ABC
（4）A，B，C三事件不全发生---------
（6）A，B，C三事件中至少有一个发生-------A+B+C（1）A，B都发生且C不发生
（2）A与B至少有一个发生而且C不发生
简记AB+AC+BC
简记
（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生）（4）A，B，C中最多有一个发生（5）A，B，C中恰有两个发生（6）A，B，C中至少有两个发生）（7）A，B，C中最多有两个发生
（一）了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式
计算简单的古典概型的概率
（二）知道事件的四种关系
（1）包含：表示事件A发生则事件B必发生
（2）相等：
（3）互斥：与B互斥
（4）对立：A与B对立AB=Φ，且A+B=Ω
（三）知道事件的四种运算
（1）事件的和（并）A+B表示A与B中至少有一个发生 性质：（1）若，则A+B=A（2）且
（2）事件积（交）AB表示A与B都发生，则AB=B∴ΩB=B且
性质：（1）若
（2）
（3）事件的差：A-B表示A发生且B不发生
∴
（4）
性质
，且A-B=A-AB 表示A不发生
（四）运算关系的规律
（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律（AB）C=A（BC）
（3）A（B+C）=AB+AC叫分配律（A+B）（A+C）=A+BC
叫对偶律
（4）
（五）掌握概率的计算公式
（1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）
特别情形①A与B互斥时：P（A+B）=P（A）+P（B）
②A与B独立时：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）
③
推广P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）
（2）
推广：
因为，而，而BA与明显不相容。
特别地，若所以当
，则有AB=A
当事件独立时，P（AB）=P（A）P（B）
P（ABC）=P（A）P（B）P（C）
P（ABCD）=P（A）P（B）P（C）P（D）
与B，A与，与
均独立
性质若A与B独立
（六）熟记全概率公式的条件和结论
若A1，A2，A3是Ω的划分，则有
简单情形
熟记贝叶斯公式
若已知，则
（七）熟记贝努利重复试验概型的计算公式
第二章考核内容小结
（一）知道随机变量的概念，会用分布函数求概率
（1）若X是离散型随机变量，则 P（a （2）若X是连续型随机变量，则 P（a P（a≤x＜b）=F（b）-F（a） °P{X≤b}=F(b).P（a °P{X>b}=1-P{X≤b}=1-F(b) （二）知道离散型随机变量的分布律 会求简单离散型随机变量的分布律和分布函数，且若 则 （三）掌握三种常用的离散型随机变量的分布律 （1）X～（0,1） P（x=k）= （2）X～B（n,p） （3）X～P（λ）P（x=k）= 并且知道泊松分布是二项分布当n很大，p很小的近似值，且λ=np （四）知道连续型随机变量的概率密度概念和性质，概率密度和分布函数的关系及由概率密度求概率的公式。 （1）概率密度f（x）的性质 ①f（x）≥0 ② （2）分布函数和概率密度的关系 （3）分布函数的性质 ①F（x）连续，可导 ②F（－∞）＝0，F（+∞）＝1 ③F（x）是不减函数。（4）概率计算公式： ①P（a ②P（a （五）掌握连续型随机变量的三种分布 （1）X～U（a,b） X～f（x）= X～F（x）=（2）X～E（λ） ①X～f（x）= ②X～F（x）=（3）X～N（0,1） ①X～ ②X～ 性质：Φ（-x）=1-Φ（x）P（a ①X～ ②P（a （六）会用公式法求随机变量X的函数Y＝g（x）的分布函数 （1）离散型 若 且g（x1）,g（x2）, …g（xn）不相同时，有 （2）连续型 若X～fX（x）,y=g（x）单调，有反函数x=h（y）且y的取值范围为（α,β），则随机变 量X的函数Y=g（x）的概率密度为 当α=－∞β=+∞时，则有 简单情形，若Y＝ax+b则有 Y～fY（y）= 在简单情形下会用公式法求Y＝ax+b的概率密度。 （3）重要结论 （i）若X～N（μ,σ2），则有Y＝ax+b时 Y～N（aμ+b,a2σ2） （ii）若X～N（μ,σ2），则有Y＝ 叫X的标准化随机变量。 第三章内容小结 （一）知道二维随机变量的分布函数的概念和性质。（1）（X，Y）～F（X,Y）=P（X≤X,Y≤Y） =P（-∞＜X≤X,-∞＜Y≤Y）（2）F（X,Y）的性质（ⅰ）F（+∞，+∞）=1（ⅱ）F（-∞，Y）=0，F（X，-∞）=0 F（-∞，-∞）=0（3）X～FX（X）=F（X,+ ∞） Y～FY（Y）=F（+∞,Y） （二）离散型二维随机变量（1）（X，Y）的分布律 性质 （2）X的边缘分布 证明 P1·=P11+P12+…P1N，P2·=P21+P22+…P2N，… pm·=pm1+pm2+…pmn （3）Y的分布律 证 P·1=P11+P21+…pm1，P·2=P21+P22+…pm2，… P·N= P1N+P2N+…+pmn （4）X，Y独立的充要条件是： X，Y独立P（X=xi,Y=yj）=P（X=xi）P（Y=yj） （i=1,2,…,M；j=1,2,…,N）判断离散性随机变量X，Y是否独立。 （5）会求 Z=X+Y的分布律 （三）二维连续型随机变量（1）若 已知 f（X,Y）时，会用上式求F（X,Y） 性质 （2） 已知F（X,Y）时，会用上式求f（X,Y） （3）会用公式 求（X，Y）在区域D上取值的概率。 （4）会用公式 分别求X，Y的概率密度（边缘密度）（5）会根据X，Y独立 判断连续型随机变量X，Y的独立性。（6）知道两个重要的二维连续随机变量 ①（X，Y）在D上服从均匀分布 S是D的面积 X，Y独立（7）若X，Y独立，且 则 第四章小结 本章的考核内容是 （一）知道随机变量的期望的定义和计算公式，性质。 （1）离散型： （2）连续型： （3） （4） 期望的性质：（1）E C=C（2）E（kX）=kEX（3）E（X±Y）=EX±EY（4）X,Y独立时，E（XY）＝（EX）（EY） （二）知道方差的概念和计算公式以及方差的性质 ∴X是离散型随机变量时 X是连续型随机变量时 （2）计算公式 （3）性质 ①DC＝0 ② ③D（X±Y）=DX+DY±2E[(X-EX)(Y-EY)] =DX+DY±2Cov(X,Y) ∴X,Y独立X,Y不相关时D(X±Y)=DX+DY Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)] 计算公式Cov(X,Y)=E(XY)－(EX)(EY) 相关系数 定理X，Y独立 X，Y不相关（） 特别情形X，Y正态，则有 X，Y独立X，Y不相关 第五章考核要求 （一）知道切比雪夫不等式 或 并且会用切比雪夫不等式估计事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。 （二）知道贝努利大数定律 其中n是试验次数，m是A发生次数，p是A的概率，它说明试验次数很多时，频率近似于概率。 （三）知道切比雪夫不等式大数定律 它说明在大量试验中，随机变量 （四）知道独立同分布中心极限定理 取值稳定在期望附近。 若 记Yn～Fn（x），则有 它说明当n很大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态N（nμ,nσ2）所以，无论n个独立同分布的X1,X2,…Xn服从何种分布，n很大时，X1+X2+…Xn却近似正态N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 若Zn表示n次独立重复事件发生次数，即 Zn～B（n,p）,则有 即Zn近似正态N（np,np（1-p）2）。并会用中心极限定理计算简单应用问题。 第六章章小结 本章的基本要求是 （一）知道总体、样本、简单样本和统计量的概念 （二）知道统计量和s2的下列性质。 E（s2）=σ2 （三）若x的分布函数为F（x），分布函数为f（x），则样本（x1,x2,…xn）的联合分布函数为F（x1）F（x2）…F（xn）样本（x1,x2,…xn）的联合分布密度为f（x1）f（x2）…f（xn），样本（x1,x2,…xn）的概率函数，p（x1,x 2 ,…xn）=p（X=x1）p（X=x2）…p（X=xn）因而顺序统计量x（1），…x（n）中 X（1）的分布函数为1-（1-F（x））n X（n）的分布函数为[F（x）]n （四）掌握正态总体的抽样分布 若X～N（μ，σ2）则有 （1） （2） （3） （4）若 => 当时。 （五）知道样本原点矩与样本中心矩的概念 第七章章小结 本章考核要求为 （一）点估计 （1）知道点估计的概念 （2）会用矩法求总体参数的矩估计值，主要依据是 （3）会用最大似然估计法求总体参数的估计值。 基本方法是由样本x1，x2，x3，…，xn构造一个似然函数或似然函数的对数 L（x1，x2，x3，…，xn，）=P（X=x1）P（X=x2）…P（X=xn）L（x1，x2，x3，…，xn，）=f（x1）f（x2）…f（xn） 。是 然后由ln L（x1，x2，x3，…，xn，）取最大的值时的值为的值，即 L的最大值点。 （二）点估计量的评价标准 （1）若 （2）若 （3）若 就说是的相合估计，则是的无偏估计。都是的无偏估计，且。 就说 有效。 以上三条标准中主要掌握无偏估计和有效估计 （三）区间估计 （1）知道区间估计的概念 （2）会求一个正态总体的参数的置信区间。公式见表7-1 第八章小结 （一）理解假设检验的基本思想，知道假设检验的步骤。 （二）知道两类错误 （三）掌握单个正态总体的均值和方差的检验方法，并会简单应用，这是本章主要重点。 （四）两个正态总体 （1） （2），会检验 第九章小结 本章考核要求： （一）会根据样本（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）求y与x的线性回归方程 其中 关键词：男病 病男 遗传概率 有关遗传病概率的计算是高中生物教学和高考中的重点和难点，学生应掌握该知识每一类题型的解法，所以教师应对易混淆的问题进行总结分类，进而再精讲。比如，有些学生遇到“男孩患病”及“患病男孩”相关概率计算时，往往不清楚何时要乘以1/2，我们必须对此类题型进行解析和总结。 一、常染色体遗传 例1：一对表现型正常的夫妇生下一患白化病的女孩，请问该夫妇：①再生一白化孩子的概率是多少？②再生一男孩白化的概率是多少？③再生一白化男孩的概率是多少？ 解析：白化病为常染色体隐性遗传病，由题意可知该夫妇均为杂合子(Aa)，这里涉及到两种性状：一是肤色，由常染色体基因决定；一是性别，由性染色体决定。由此可知夫妇双方基因型分别为：AaXY,AaXX,其后代性状情况如下表： 表中精卵结合方式共8种，其中既符合“白化”性状，又符合男孩性状的只有aaXY，它占的比例为1/8，即“白化男孩”的概率为1/8；而表中男孩分别为AAXY、AaXY、AaXY、aaXY，其中aaXY为白化，占1/4，即“男孩白化”的概率为1/4。同样的道理可以求得“白化女孩”的概率为1/8，“女孩白化”的概率为1/4。 此题若不考虑性别，则在Aa×Aa婚配方式中，其后代基因型分别为：AA、Aa、aa，其中aa占1/4，即“白化孩子”的概率为1/4。据此可知：男孩白化概率=女孩白化概率=白化孩子概率=1/4；白化男孩概率=白化女孩概率=白化孩子概率×1/2。 总结:常染色体遗传与性别无关（在自然情况下，男女所占的比例为1/2）。男孩患病概率=女孩患病概率=患病孩子（所有可能后代中患病）的概率；患病男孩概率=患病女孩概率=所有后代中患病概率×1/2。 二、伴X遗传 例2：双亲正常，生了一个色盲儿子，这对夫妇再生一个色盲男孩的概率是多大？再生一个男孩色盲的概率是多大？ 解析：根据题意可知双亲基因型分别为XBY、XBXb，后代分别为XBXB、XBXb、XBY、XbY，后代中既符合“色盲”性状，又符合“男孩”的只有XbY，因此色盲男孩的概率为1/4（以全部孩子为研究对象）；而所生男孩的基因型有XBY、XbY，其中XbY为色盲，所以男孩色盲的概率为1/2（以男孩作为研究对象）。 例3:一对患抗维生素D佝偻病的夫妇，婚后生一正常孩子，请问该夫妇:①生患病孩子的概率是多少？②生男孩患病的概率是多少？③生患病男孩的概率是多少？④生女孩患病的概率是多少？⑤生患病女孩的概率是多少？ 解析：抗维生素D佝偻病为伴X显性遗传，与性别有关，对男女影响不同。由题目条件可知该夫妇基因型为XHXh和XHY，根据分离定律可知其所有可能后代中XHXH（患病女孩）∶XHXh（患病女孩）:XHY（患病男孩）∶XhY（正常男孩）=1∶1∶1∶1。故第①问中生患病孩子（以所有子代为研究对象）的概率为3/4。第②问中性别在前，表明性别确定为男孩，只以男孩为研究对象，而该夫妇所生男孩为XHY（患病男孩）∶XhY（正常男孩）=1∶1，故生男孩患病的概率为1/2，此时不要乘以1/2。第③问中性别在后，表明性别不确定，应以所有子代为研究对象，根据上面的比例式不难得到患病男孩占1/4，这里也不要乘以1/2。第④问应只以女孩为研究对象，子代中女孩为XHXH或XHXh，均为患病女孩，故生女孩患病的概率为l，不要乘以1/2。第⑤问应以所有子代为研究对象，由以上比例式可知所有子代中患病女孩占1/2，不要再乘1/2。 总结:伴X遗传与性别有关（即“男女不一定平等”）。男孩（或女孩）患病概率:性别在前，可理解为在男孩（或女孩）中求患病孩子的概率；患病男孩（或女孩）概率:性别在后，可理解为在所有后代中求患病男孩（或女孩）的概率。两种情况都不需要再乘以1/2。 三、两种同为常染色体遗传 例5:已知多指（D）对五指（d）为显性，正常肤色（A）对白化病（a）为显性。一对夫妇男性多指，女性正常，生了一个五指白化男孩。则这对夫妇①再生一男孩两病皆患的概率是多少？②再生一两病皆患男孩的概率是多少？ 解析:两种病均为常染色体遗传。由题意推测这对夫妇的基因型分别为:AaDd和Aadd，然后将两对性状分开考虑Dd×dd→Dd（多指）的概率是1/2；Aa×Aa→aa（白化病）的概率为1/4。第①问中性别在前，只考虑男孩，其两病皆患的概率为患白化概率（1/4）乘以患多指概率（1/2）等于1/8。第②问中性别在后，两病皆患男孩的概率为患白化概率（1/4）乘以患多指概率（1/2）再乘以生男孩的概率（1/2），结果等于1/16。 总结:全部为常染色体遗传的两种病的概率计算，其解题思路和方法基本和第一种类型相同，但要注意的是:性别在后时，性别只考虑一次，然后将它们相乘。 四、两种概率考虑的实质 1、存在的问题 1）．好多概率统计问题在高中学过，还有一部分内容，同学都认为是重复，如：古典概率、期望和方差、抽样等。 2）．记号不统一，高中和大学课本中的记号有很多不一样，这应该说在引起学生注意方面有一定作用，但我们很大部分学生对高中知识记忆深刻，很难改过来，甚至有同学概率统计学完了，还是没改过来，这样势必影响了进一步的学习。 3）.分班问题，四个班级放在一起，文理混搭。其中文科中一个在高中是文科班的，另一个是理科班的，一个有基础一个没有什么基础，在一起无法统一步调。 4）.学生普遍对考查课关注不够，学风问题突出。学时也较紧张，很难在短时间内让学生完全吸收，这也容易使某些同学落下。.在教学方面值得改进的事项 1），首先应该对课堂进行管理，保证听课质量。加强互动教学，列举生活上的例子，让学生能对数学有更现实的感知。 一、题型和比例 1．客观题——填空题(12%)、单项选择题(15%) 2.主观题——计算题(64%)、应用题(9%) 二、考查重点 1.客观题考查各章基本概念。主要包括—— 概率的性质，事件的独立性，概率分布的性质，分布函数的概念，常见分布的数字特征，期望与方差的性质，切比雪夫不等式，未知参数的矩估计，无偏估计，一元线性回归模型的基本概念或主要结论（不含任何理论推导与计算）。 2.主观题考查各章基本内容的理解、计算能力以及解决实际问题的能力。主要包括—— 【关键词】概率模型；等式；不等式；正态分布；广义积分 一、构造概率模型证明恒等式 等式“A=B”的证明，一般方法是“A→B”，“B→A”，“A→C，B→C”三种代数类型，而运用概率论的相关知识，构造适当的概率模型可以较方便地解决看似较难的恒等式的证明，具体的方法是将恒等式经过简单的变形，与一定的概率模型的概率值或期望值相联系，构造概率模型，这样就可以由所构造的概率模型来证明这些等式了，现举例如下： 例1：证明等式 证明：可利用巴纳赫问题来证。设某人带有两盒火柴，每盒火柴有n根，每次取用时，在两盒中任抓一盒，从中抽取一根。设从第一盒中选取为“成功”，从第二盒中选取为“失败”，这种连续的抽取就构成了一串p=1/2的伯努利实验，因为只能选择这两盒火柴，要么第一盒，要么第二盒，也就是要么“成功”，要么“失败”。这时，“当发现第一盒火柴空了，第二盒火柴还有r根”这一事件等价于“从2n-r根火柴中抽取了n个成功”。该事件构成了二项分布b（n；2n-r，1/2）。记“当发现第一盒火柴空了，第二盒还有r根”这一事件为Ar，那么Ar的概率就是因为r取0到n的各事件Ar之并为必然事件，所以，两边同乘以2n，即令n-r=k，则r从0到n，k从n到0，于是，有 ，即 。 二、利用概率知识证明不等式 有些不等式的证明看上去毫无头绪，但如果仔细观察，有些不等式和概率论中的一些知识是有关联的，通过进一步的分析也许就可以用概率论的知识来证明这些不等式。主要会用到概率论中的一些不等式或定理，有些不等式的证明需要构造一个概率密度函数，再利用概率中有关不等式的性质来加以证明。现分别说明如下： （1）利用马尔科夫不等式，柯西施瓦兹不等式，切比雪夫不等式证明。现给出这些不等式，马尔科夫不等式：设ξ是定义在概率空间（Ω，F，P）上的随机变量，f（x）是[0，∞）上非负单调不减函数，则对于任意x>0，有，柯西施瓦兹不等式：设Ci为常数，ξi为随机变量，且则，切比雪夫不等式：若随机变量ξ的方差D（ξ）存在，则对任意ε>0，有。 （2）利用以下这个定理证明一类不等式。 定理：设ξ为（Ω，F，P）上的随机变量，若f（x）为定义在某区间I上的连续的下凸函数，则有f（Eξ）≤Ef（ξ）；若f（x）未定义在某区间I上连续的上凸函数，则有f（Eξ）≥Ef（ξ）（该定理参见[3]）。 （3）通过构造密度函数，运用期望以及一些概率性质来证明一类不等式。 三、利用正态分布计算一类无穷积分 概率论中的正态分布是一个十分重要的分布，应用非常广泛。正态分布的密度函数、期望、方差都可以用积分来表示，大多数情况下是无穷区间广义积分。而反过来，某些收敛的无穷积分就可以利用正态分布的相关概念方便的计算出来。 1.利用正态分布的概率密度计算无穷积分 正态分布的概率密度定义：若随机变量ξ的密度函数由式给出，其中u，δ为已知参数，则称ξ服从正态分布，简称ξ服从正态N（u，δ），记做ξ～N（u，δ2）。概率密度具有规范性，即利用此式就可以计算形如的积分，其中a，b为常数，b>0. 例2：计算广义积分 ① ② 分析：这两个积分用通常数学分析的方法是很难求的这时仔细观察一下就可以发现可以把被积函数看成是两个随机变量的概率密度①可以看做随机变量ξ～N（2，2），②可以看做随机变量ξ～N（0，1），然后将被积函数变形后利用概率密度函数的性质计算该积分。 解： ① ②令 2.利用正态分布的期望定义计算无穷积分 随机变量的期望定义：设ξ为随机变量，其分布函数为则记并称E（ξ）为ξ的数学期望。当ξ为连续型随机变量时，。对于正态分布ξ～N（u，δ2），可以证明Eξ=u，既有：利用这个式子可以较方便地计算型积分，其中a，b为常数，b>0. 这类广义积分一般利用换元法比较麻烦，而把被积函数看做服从某正态分布的随机变量的期望表达式，则很容易求解。 参考文献： [1]魏宗舒等.概率论与数理统计教程.高等教育出版社，2002. [2]周概容.概率论与数理统计.高等教育出版社，1987. [3]陈纪修.数学分析.高等教育出版社，2000. 数学的方向还是比较多的，比如金融，计算机，理科的方向 赞同 参看08年该校硕士招生简章中的专业目录及参考书目，先做到心里有数 09年的在08年7、8月份才能出 每年新的招生简章都是在上一年的研究生招生录取工作结束之后才能公布的 所以不要急 最早也要等到7月份 现在不要急 先按照08的看 一般两三年之内不会有什么变化 即使有 也是在原有基础上 增加或改动一两本参考书的版本 不会有实质性的变动 而且 你如果现在就开始准备考研复习那就算比较早的了 一般从暑假开始复习就可以的 所以这个时期是基础段复习可把精力主要放在英语上 强化英语考研词汇是非常必要的 至于专业课 可以先按08的指定参考书初步复习等新的招生简章出来 再进行有针对性地复习不用担心万一改动了我会不会白白看了 以一个过来人的经验 知识储备的越多越好 名校的试题往往不局限于指定参考书的范围（楼主既然这么问了，这要好好慢慢的回答） 建议楼主考清华的经济学研究生，清华的工科类要强于北大（个人意见）；2，清华现在要考考A版的数学对你的有点好处，但影响不大，复试对你有利。3，清华的专业课考的难都因人而异，初试复试考一样的专业课,包括金融学（含国际金融、证券投资、投资市场、保险精算等，本专业所招人数最多）、国际经贸（研究生阶段叫做世界经济）、西方经济学、财政学、政治经济学专业;报考时可以随意报考自己喜欢的专业，录取时先全院统一录取（按分数高低），再按分数与志愿选择；专业课考的不是很难；（建议楼主去看下金融学基础，复旦大学出版社简称白皮书，或许对你有帮助）4，清华经济就业形势就目前环境下就业非常棒，中国才处于开始阶段，每年毕业生到各大银行、金融机构、保险机构、证券公司、财政货币机关、国家机关及高校任职，待遇非常之高！ 网站，你可以试试去这里看看。在页面中部的对话框输入学校或专业就可以任意查。在这里，你还可以查到任意学校的招生简章，复习指导，网上报名及其它重要信息。全国各校公布分数线的时间也在这里最早发布。你可以试试，相信不会让你失望。。 因你是转专业，再给你一点个人建议吧 一、慎重选择：不要轻易下决定 不断地学习不同领域的知识，是所有有求知欲的人们的美好愿望，然而，这同样会成为朝三暮四的借口。 其实，很多考研人本来就存有逃避现实社会的压力，而选择继续呆在学校的心理;而在跨专业考研的人中，更有许多人根本就没有好好学过原来的专业，甚至从没认真考虑过是否自己适合它，只为了逃避，才选个看起来容易的专业去考。 如果是这样，请先停下来想想自己到底想要什么再说。因为一颗对待生活从不认真的心，是不会因为换了个专业就能有起色的。 如果不是这样，那么，也请三思。就因为一直认真，这次更要谨慎。 首先，考研复习将是艰巨的历程。隔行如隔山——这句古谚将贯穿之后的整个求学过程。自己原来的专业，再不济也学了三四年，耳濡目染，基础知识一定比没学过的扎实，细节也许没钻研，但大的格局和概念、思维方式是存在于脑海中的，即使是每次考前一个月的突击，突击了四年，也不是没有用的。这就是本专业对于外专业的一大优势。反过来，即是跨专业者相对于本专业者的劣势。 复习的时候，要花更多的时间在专业课上，使得基础课很容易就被搁置了，而任何一科的掉队，都会影响整个复习过程的心态和考试结果。 其次，备考中可能出现意想不到的困难。 不熟悉专业试题的答题惯例，会莫名其妙丢掉不该丢的分。而且，笔试通过了，复试中存在的不确定性因素，使跨专业者总是难以拥有“尽在掌握”的自信，而它确实也是难以“尽在掌握”的。 最后，也是最重要的，考上之后三年的研究生生活。 不管是面对基本功扎实的同学们，还是面对有一定要求和标准的导师，还是面对也许让自己一时找不到坐标点的新求学生涯——如何给自己定位，如何重拾自信，如何建立对新专业的“新感情”，如何规划以后的职业和人生，这都是需要付出比别人更多心力去克服的问题。所以，是否要转变方向，换一个专业，需要尖锐严格地审视自身，而不是盲目跟风，可以考虑以下几点： 是否真正热爱将要为之付出心血的新专业? 长远来看，这个新领域是否有自己的天赋和性格发挥的空间? 是否可以肯定学习三年之后真能丰富完善自己的知识结构，而不是剃头担子两头塌?最后也是最基本最当前的问题：基础课是否有自身优势?没有优势怎么拨得出更多的时间给专业课的复习? 二、审时度势：了解自己，踏实去做 经过了自我的拷问，还坚定地要跨专业考研的朋友——相信你一定是个头脑清醒、梦想坚定的人。 在此，我们不得不再次强调跨专业考研的理由和标准：第一，热爱;第二，基于对自身才智和优势短处进行全面评估而做出的决定;第三，要自信，更要不怕苦不怕累。 可以举个例子。一个在学校并非不认真对待自己学业的考研人，在经过四年的学习之后，发现仍然不喜欢自己所学的数学专业，而爱好文史哲。如果基础课英语政治还不错，那么他就具备了考虑跨专业考研的最低要求。那么，接下来怎么确定专业呢?首先，看爱好。对新闻传播、考古、文学皆有兴趣，怎么办?一个一个排除。对于新闻，多搜集资料，看作为一个新闻工作者需要什么样的素质，比如，敏锐的新闻感、强烈的争取和参与意识、健康的身体。直面自己的优缺点，如果有敏锐的新闻感，却没有强烈的争取和参与意识，甚至都无法面对需要长时间的工作强度，那么放弃。对于考古，作同样评估;另外，如果这时你的父母亲反对你的考古梦想，请把他们的忧虑考虑进去，一意孤行并不可取，要考虑到家庭的实际情况;并且，父母也是了解你的人，他们对你的性格、天分其实很了解。那么如果你认为父母意见的可接受性大过你对于考古的热忱，考古这一项，也被划去。最后剩下文学，如果经过一系列评估，觉得可行，那么它之下还有很多专业细分，是中国文学还是世界、比较文学，是古代文学还是现当代文学?要根据自己平时看书的偏好、积累的多少、考试试题能否应付等等内在和外在的因素来决定。这些将和下一部分联系起来谈。 这只是一个例子，跨专业的方向转变五花八门，几页纸不可能描述详尽，我们只能通过这个例子，了解一下需要考虑和平衡的各方面因素。 当然，请牢记，内心的热爱和对自己学习能力的自信在选择中最为重要。有了这两点，相 信你的选择会是对你而言最好的选择。这将是一个美丽的决定，决定之后，一定有云开见日的感觉。方向确定了，就朝着那儿毫不回头地走吧。 三、报考准备：眼观六路，耳听八方 让我们直接进入主题。 第一，细分专业和学校，确定报考目标。一定要看自己喜欢哪个城市，既然想借助这次的考研改变现状开始一段新的求学历程，一直想去哪个(或哪些)城市念书就不要将就。圈出大致范围，再找到那里学校的招生简章、专业招生表——网上查找或动用一切关系。特别要注意的是，你有意向的专业是否拒绝跨专业考生。在进行认真细致的对比之下确定两到三个你想去的名校和你喜欢的专业。这一步可以和前面确定城市同时进行，每个人情况不同，自行制定每一步适合自己的计划是必要的，而且能从中得到极大的充实感，总之，它让我们感到：一切都在自己的控制之下。 然后，尽可能地多找一些这几个可选学校可选专业的历年试题，仔细研究，看看哪一类的试题自己更有把握。这一步至关重要，这一步不可省略也不可推后，它将直接影响到以后的考试发挥。经过这一步，学校和细分专业几乎都能定下来了。 这一阶段什么时候进行呢?越早越好。我们不提倡把战线拉得太长，真正有效的复习从4月到次年1月足矣;然而跨专业不同，需要“酝酿”。可以不用过早开始真正的复习，但至少要比别人早两个月到半年开始寻找学校、涉猎与新专业相关的期刊、书籍、寻找对于新专业的亲近感和对于新学校新未来的向往感——这是真正复习开始的前站，用这段时间弥补跨专业的不足，在真正的战役打响时，我们将更加坚定更有信心。 第二，专业课教材到位。前面把工作真正做到细致，4月份到5月份一定要定下最终要考的学校和专业。定下之后，就要相信自己的判断，不要犹疑，快去买专业课教材!按照学校列出的书目买全专业课教材，还要找出一两个能帮上忙师兄师姐、找同学、找亲戚，甚至找网友去打听没有列出的那些。 这里有两个问题：买书和找师兄师姐——自己能买到的书，尽量自己去买，有学校可以邮购，有书店可以搜寻，再不行，去图书馆系统或网上找出这本书的出版社，找到出版社电话，打电话、汇款去邮购。不要一开始就事事麻烦别人，自己能解决的自己找渠道解决。后面有更重要的事去麻烦他们。实在不行了，去找师兄师姐，最重要的是问题要明确。随便说：“我要考你们学校某专业，请帮助我”是没用的。要明确说出你的具体问题，要考哪些书，重点看哪些泛读看哪些，打听到哪里能买到自己却没办法，请他们帮忙——听到这么明确的问题，人人都会乐意帮忙。6月底之前，主要的专业课教材一定要到位。 第三，复习时要注意的问题。 首先，基础课不能偏废。前面说了，基础课要有一定把握，才可能跨专业考研，否则到关键时刻就会感到分身乏术。在主攻专业课时，基础课一天都不能停。可以用早晨、吃午饭前、吃晚饭前以及睡觉前的时间去复习英语：阅读、单词、听力，一个都不能少。如果每天坚持，就是这些边边角角的时间都足够英语的复习准备。政治也一样，最好报一个秋季班，几个月上下来，有老师领着复习，比自己摸索更有效率，大致的知识脉络也会清晰起来了。请相信自己，从初中就开始学的这门课，不会差到哪里去，但也要在心里培养对它的兴趣，一讨厌它、搁置一段日子，一切都晚了;反过来，每天花两个小时，只要坚持，就会既轻松又有成就感。 跨专业考生往往把一腔热情放在专业课上，有意无意地就偏废了基础课，等发觉时间紧迫的时候，回头一看基础课落下一大截，这会大大影响后面冲刺和考试的信心。 其次，专业课复习。11月份报名之前一定要把专业书踏踏实实至少细读一遍。这一遍不要欺骗自己，质量至上，一定要全部弄通弄懂。这样在后面的两个月才会更有底。 笔记一定要做。当11月报名时间来临时，你会发现越来越多的人们讨论起复习进度。那时候本专业考生和别的跨专业考生所做的准备和进度会让你大惊失色——有那么多人准备得那么好!本来就对不熟悉的专业容易产生的“心虚”这个时候会更加强烈，那么回过头总结一下自己的成果，只有实实在在密密麻麻的几本笔记会成为自己的强心剂，数数看，几本笔记，七八万字是少不了的。加上政治英语，你会为自己所做的上10万字的笔记而惊讶的。这是积聚信心、抬头挺胸的重要来源。 四、全力复习：坚持到底，毫不畏惧 首先，研究历年试题，自己划重点。历年试题非常非常重要，报名之前即11月初，一定要把学校相关专业的历年试题弄到手。这需要积极调动网络资源，自己能下载的下载，能买到的去买，最后一招：求助师兄师姐。这时提出的请求也一样要尽可能明确。有一个女生，考某大学某专业，通过同学的同学的姐姐，找到一位师姐，打电话给她：“我知道你们学校图书馆五楼的阅览室有历年试题的专柜，可以借出来复印。请帮忙复印某年到某年某专业的„„”该师姐大惊：“我都不知道有这样一个地方，你怎么知道的?”这个女生慢慢说来，怎么从网上找到该学校专栏讨论、怎么了解到的，师姐大开眼界，兴趣高涨，帮她把相关专业能找到的试题全都复印一通寄去。 接下来就是更仔细地研究试题。只需要一个晚上时间，把历年试题全都摆在桌面，总结规律和重点难点，老师出题的习惯等等。借此可以划出下一步复习的重点(甚至是考试的重点)，不再一律通读，而是有头脑的、有目标的复习。不要怕系内老师改朝换代，再改也有一脉相承的科研风格，掌握了大体，以不变应万变。 划完重点，一股“运筹帷幄”的气势油然而生，趁着这股气势，投入到更深入的复习中去，一定事半功倍。 其次，为考试做准备，掌握专业答题习惯。在剩下的两个月当中，一定要找点时间去学校的自己要考的专业宿舍混混，目的是了解专业答题有什么惯例、有什么特殊要求和需要注意的地方。随便哪个学校都行，自己方便找的、正规的大学就可以;当然，方便的话，最佳选择就是所考学校研一同专业学生宿舍，这样就不仅了解试题情况，还可以挖掘更多这两个月应该注意的问题。 考试的时候，和复习中所强调的一样——一定要自信。要相信自己经过了周密的计划、万全的准备。拿到试卷的时候，要像热爱专业书籍一样热爱它们，冷静的头脑，热情的心灵，一定战无不胜。 最后，就是复试了。关于导师是否要找，各有各的说法，能找到最好，没找过的也不用惴惴不安。相信自己最重要。 其实接到复试通知书的时候，一般都没有更多时间去扩展知识面了，这些是最初就应该做的。这时候跨专业考生常常担心自己的基础不够，再次心虚。那么与其瞎抓一把，不如把以前看过的书拿出来再翻一遍，总有用得上的，做生不如做熟。对于某些领域的熟悉或精通，比泛泛而谈更能显出自己的特色。用真诚的微笑和哪怕是使劲鼓才能鼓起的信心和勇气，去直面导师。好歹经过这一年的学习，我们也算复合型人才了，怕什么! 说到这里，整个过程看起来完了——其实没有!拿到录取通知书的时候，是一个开始。 进入研究生阶段的学习，是一个更自主、更专业的学习过程，跨专业学生一踏入这片天地，肯定会受到冲击。不熟悉的领域，老师觉得应该是常识自己却闻所未闻的知识，难以找到的新生活定位„„这些都要有心理准备。建议在5月到8月这段天堂般的生活中也不要忘记看看与专业相关的书籍(并非专业课本)，继续打基础，进入研究生生活根本没有时间给你去打基础。 1、掌握事件间的关系与运算（事件包含、并、交、差、互不相容（互斥）、对立的定义及运算公式） 2、复习古典概型、几何概型及定义。 3、掌握概率的基本运算法则（条件概率、事件独立是相比而言比较新的，好好学习） 4、重点掌握全概率公式、贝叶斯公式，课本上的例题好好看看。 第二章： 1、掌握常见分布的分布函数、分布列（离散）、概率密度（连续）的公式。 2、掌握分布函数、分布列、概率密度的互相推导及计算。 3、掌握随机变量函数的密度计算问题。 第三章： 1、重点掌握二维随机变量联合分布函数与边缘密度函数的关系及相互推导计算。 2、掌握随机变量的独立性（要知道二维正态分布的概率密度函数及独立性判断） 3、重点掌握二维随机变量函数（和、商、最大、最小）的分布函数及概率密度求解。 第四章： 1、掌握期望、方差、协方差、相关系数的定义、性质及简单计算。 2、掌握常见分布的期望、方差结果。（ppt上有结果） 3、重点掌握切比雪夫不等式的计算。 4、重点掌握中心极限定理的计算（比如当n很大的时候二项分布、泊松分布的近似分布都是正态分布，概率可用正态分布概率求解）。 5、了解大数定律。 注： 1、课后题带星号的也要看看，主要看课本例题以及课后题还有平常上课ppt上的内容。 2、不考证明题。 【关键词】概率论与数理统计 教学改革 教学实践 评价方法 概率论与数理统计是理工科院校一门重要的公共基础课。课程的主要内容是初等概率论的基本知识和数理统计的基本方法,是对随机现象的描述和研究。[1]从概率统计学科本身来说,它是一门研究随机现象的科学,它的思想方法与学生以前接触过的任何一门学科均不相同,学生在学习过程中需要改变以往思考方式,因此概率统计一直是学生认为比较困难的课程。[2] 一、对概率论与数理统计课程教学改革几点思考 (一)教学内容从实际案例出发,注重课程的应用性 概率论与数理统计课程的传统教学重视理论的系统性和知识性的传授,学生的主要精力集中在严谨的理论推导与证明上,从而轻视了理论联系实际、把学到的理论知识用到实际中解决实践中问题的学习。[3]由于概率论与数理统计课程的主要应用部分在于数理统计,因此在不影响本课程体系的完整性的条件下,适当地减少、减弱概率论部分的理论性和难度,从直观性、趣味性和易于理解的角度把概率论作为数理统计的基础知识来教学。对概率论与数理统计的主要内容,给学生进行精讲,即给学生讲清知识背景、基本概念、基本原理或公式,以及知识的应用技巧,而对知识结论来龙去脉的冗长理论叙述和繁杂推导和证明过程留给学生利用参考书进行自学了解。在精讲概率论与数理统计主要内容的基础上,重视广泛地从社会、经济、生活中选取应用实例,通过讲解应用实例,教会学生利用所学知识解决概率论与数理统计的一些实际问题 (二)“启发式”教学方法,注重引导和自主学习,培养应用型人才 传统的概率论与数理统计课程教学以知识传授型为主,往往只注意知识的传授,而忽略了学生的自主学习能力。[4]这种模式造成了僵化的、由上而下的教育关系,没有充分调动学生学习的主动性,没有立足于培养学生的学习能力和个性发展,只重视学生知识的积累,忽视学生应用能力发展对于培养应用型和创新型人才是不利的。针对这一现状,我们在注重传授课程内容和应用背景的同时,应多采用“启发式教学”,充分调动学生学习的主动性,布置一些灵活切合教学内容相关的题目,让学生根据自己所学专业的特点,收集和处理数据,利用本课程所学的数理统计方法解决一些实际的问题。在这个过程中,教师要适时给予学生引导,变“教”为“导”,使学生成为解决实际问题的主体,同时,学生的应用能力和创新能力也得到了培养。 (三)评价体系提高学生综合素质 课程改革的关键是教学评价的改革。传统的概率论课程以往只有理论课,没有实验课,这也是导致学生重理论,轻实践的重要原因。依据概率统计实验课的目的,通过探索实验课的考核方法,把概率统计理论课的考核、实验课的考核结合起来,利用对该课程的考核方法来引导学生把本课程学习的重点、方法、内容转变到以概率统计的方法应用上来,提升学生思维能力与解决实际问题能力,以及面对复杂生产与生活问题的适应能力及创新能力。[5]我们将期末总评成绩分成三个部分:(1)平时作业,其中包括基础习题和设计性、实践性习题(20%)。教师给出题目或让学生自己设计题目、调查数据、利用统计方法得出结果并得出一定的结论。(2)结合计算机进行考试,以统计方法的使用及运算内容为主(30%)。(3)实践报告(50%)。学生通过课程的学习和思考,解决实践生活中遇到的问题,并以实践报告的形式提交。 二、概率论与数理统计课程教学的建议 通过几年来的改革实践,概率论与数理统计的教学取得了较显著的效果。充分调动了学生学习的主动性,激发了学生的创造性思维.也锻炼了把学习的课程结合实际、观察生活、发现规律的能力。增加了学生动手能力和应用概率统计方法解决实际问题的能力。问卷调查表明82%的学生对现在的教学方式和考试方法给予肯定,提别是课程应用方面。下面提出笔者对于概率论与数理统计课程教学的建议: (一)生所学专业相结合 概率论与数理统计课程是一门公共基础课,但是对于不同专业,不同领域还是有一定区别的。特别要针对学生所学专业的领域予以教学。案例的选择也要切合专业特点,最后的实践报告也要侧重不同专业领域。这样不但更能提高学生的学习兴趣,对于培养学生在各个本专业的应用能力是有利的。教师应该了解学生所学专业知识,讲课的时候多与他们的专业联系起来。这对于教师来说是很大的挑战,需要我们教师不断补充知识,多学知识,不断扩展知识面,这样才能把概率统计这门课上得更好。 (二)充分利用网络课程、多媒体辅助教学 概率论对学生来说很难,要想让学生学好这门课,教学时以多媒体作为輔助教学效果会更好。多媒体可以包含很丰富的信息,可以通过多媒体来演示一些有趣的试验,通过计算机图形演示、动画模拟、数值运算及文字说明等,形成一个全新的图文结合、数形结合、生动直观的教学环境,从而大大增加教学信息量.提高教学质量。有效地刺激学生的形象思维,避免枯燥无味,增加学生的学习兴趣。网络课程可以打破教学时空的限制,促进教师与学生的交流与互动。在教学内容方面,利用所学习的概率论知识解决实践问题较多,学生在解决问题的过程中,难免遇到自己不能解决的难题,通过网络课程提供的平台,教师和学生之间可以互动,帮助和引导学生解决问题,这有利于培养应用型和创新型人才。 参考文献: [1]王松桂,张忠占等.概率论与数理统计[M].北京:科学出版社2006. 2018考研数学：概率论重点考点归纳 从考试的角度，大家看看历年真题就发现比较明显的规律：概率的题型相对固定，哪考大题哪考小题非常清楚。概率常考大题的地方是：随机变量函数的分布，多维分布(边缘分布和条件分布)，矩估计和极大似然估计。其它知识点考小题，如随机事件与概率，数字特征等。 从学科的角度，概率的知识结构与线性代数不同，不是网状知识结构，而是躺倒的树形结构。第一章随机事件与概率是基础知识，在此基础上可以讨论随机变量，这就是第二章的内容。随机变量之于概率正如矩阵之于线性代数。考生也可以看看考研真题，数 一、数三概率考五道题，这五题的第一句话为“设随机变量X„„”，“设总体X„„”，“设X1，X2，„，Xn为来自X的简单随机样本”，无论“随机变量”、“总体”和“样本”本质上都是随机变量。所以随机变量的理解至关重要。讨论完随机变量之后，讨论其描述方式。分布即为描述随机变量的方式。分布包括三种：分布函数、分布律和概率密度。其中分布函数是通用的描述工具，适用于所有随机变量，分布律只针对离散型随机变量而概率密度只针对连续型随机变量。之后讨论常见的离散型和连续性随机变量，考研范围内需要考生掌握七种常见分布。 介绍完一维随机变量之后，推广一下就得到了多维随机变量。多维分布总体上分成三种：联合分布，边缘分布和条件分布。其中每种分布又细分为分布函数、分布律和概率密度。只不过条件分布函数我们不考虑。该章常考大题，常考随机变量函数的分布和边缘分布、条件分布。之后讨论随机变量的独立性。 分布包含着随机变量的全部信息，如果只关心部分信息就要考虑数字特征了。数字特征考小题。把公式性质记清楚，多练习即可。 大数定律和中心极限定理是偏理论的内容，考试要求不高。 随机事件及其概率 （1）排列组合公式 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。 为必然事件，Ø为不可能事件。 不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算 ①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）： 如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：AB，或者AB。AB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率：，（7）概率的公理化定义 设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1，2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件，…有 常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件的概率。 （8）古典概型 1°，2°。 设任一事件，它是由组成的，则有 P(A)= = （9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。 （10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) （11）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P()=1- P(B) （12）条件概率 定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A) （13）乘法公式 乘法公式： 更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 …………。 （14）独立性 ①两个事件的独立性 设事件、满足，则称事件、是相互独立的。 若事件、相互独立，且，则有 若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。 必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。 Ø与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 （15）全概公式 设事件满足 1°两两互不相容，2°，则有。 （16）贝叶斯公式 设事件，…，及满足 1°，…，两两互不相容，>0，1，2，…，2°，则，i=1，2，…n。 此公式即为贝叶斯公式。，（，…，），通常叫先验概率。，（，…，），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 （17）伯努利概型 我们作了次试验，且满足 u 每次试验只有两种可能结果，发生或不发生； u 次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样； u 每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。 用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率。 第二章 随机变量及其分布 （1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：。 显然分布律应满足下列条件： （1），（2）。 （2）连续型随机变量的分布密度 设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有，则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质： 1°。 2°。 （3）离散与连续型随机变量的关系 积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 （4）分布函数 设为随机变量，是任意实数，则函数 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1°； 2° 是单调不减的函数，即时，有； 3°，； 4°，即是右连续的； 5°。 对于离散型随机变量，； 对于连续型随机变量。 （5）八大分布 0-1分布 P(X=1)=p,P(X=0)=q 二项分布 在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数是随机变量，设为，则可能取值为。，其中，则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。 当时，，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 泊松分布 设随机变量的分布律为，，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P()。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。 超几何分布 随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。 几何分布，其中p≥0，q=1-p。 随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。 均匀分布 设随机变量的值只落在[a，b]内，其密度函数在[a，b]上为常数，即 a≤x≤b 其他，则称随机变量在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。 分布函数为 a≤x≤b 0，xb。 当a≤x1 指数分布,0，其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布。 X的分布函数为,x<0。 记住积分公式： 正态分布 设随机变量的密度函数为，其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为。 具有如下性质： 1°的图形是关于对称的； 2° 当时，为最大值； 若，则的分布函数为 。 参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为，分布函数为。 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。 如果~，则~。 （6）分位数 下分位表：； 上分位表：。 （7）函数分布 离散型 已知的分布列为，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。 连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。 第三章 二维随机变量及其分布 （1）联合分布 离散型 如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。 设=（X，Y）的所有可能取值为，且事件{=}的概率为pij，称 为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y X y1 y2 … yj … x1 p11 p12 … p1j … x2 p21 p22 … p2j … xi pi1 … … 这里pij具有下面两个性质： （1）pij≥0（i,j=1,2,…）； （2） 连续型 对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a 则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。 分布密度f(x,y)具有下面两个性质： （1） f(x,y)≥0; （2） （2）二维随机变量的本质 （3）联合分布函数 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数 称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。 分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质： （1） （2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即 当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) ≥F(x,y1); （3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即 （4） （5）对于 .（4）离散型与连续型的关系 （5）边缘分布 离散型 X的边缘分布为； Y的边缘分布为。 连续型 X的边缘分布密度为 Y的边缘分布密度为 （6）条件分布 离散型 在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为 在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为 连续型 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为； 在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为 （7）独立性 一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y) 离散型 有零不独立 连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 二维正态分布 ＝0 随机变量的函数 若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则： h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。 特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。 例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。 （8）二维均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y D1 O x 图3.1 y D2 O x 图3.2 y D3 d c O a b x 图3.3 （9）二维正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 其中是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）～N（由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即X～N（但是若X～N（，(X，Y)未必是二维正态分布。 （10）函数分布 Z=X+Y 根据定义计算： 对于连续型，fZ(z)＝ 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（）。 n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。，Z=max,min(X1,X2,…Xn) 若相互独立，其分布函数分别为，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为： 分布 设n个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为 我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W～，其中 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 分布满足可加性：设 则 t分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且 可以证明函数的概率密度为 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。 F分布 设，且X与Y独立，可以证明的概率密度函数为 我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1,n2).第四章 随机变量的数字特征 （1）一维随机变量的数字特征 离散型 连续型 期望 期望就是平均值 设X是离散型随机变量，其分布律为P()＝pk，k=1,2,…,n，（要求绝对收敛） 设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，（要求绝对收敛） 函数的期望 Y=g(X) Y=g(X) 方差 D(X)=E[X-E(X)]2，标准差，矩 ①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 νk=E(Xk)=,k=1,2,….②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即 =，k=1,2,….①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 νk=E(Xk)= k=1,2,….②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即 = k=1,2,….切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式 切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。 （2）期望的性质 （1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X) （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 （3）方差的性质 （1） D(C)=0；E(C)=C （2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X) （3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4） D(X)=E(X2)-E2(X) （5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 （4）常见分布的期望和方差 期望 方差 0-1分布 p 二项分布 np 泊松分布 几何分布 超几何分布 均匀分布 指数分布 正态分布 n 2n t分布 0 (n>2) （5）二维随机变量的数字特征 期望 函数的期望 ＝ ＝ 方差 协方差 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩为X与Y的协方差或相关矩，记为，即 与记号相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为与。 相关系数 对于随机变量X与Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，则称 为X与Y的相关系数，记作（有时可简记为）。 ||≤1，当||=1时，称X与Y完全相关： 完全相关 而当时，称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的： ①； ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵 混合矩 对于随机变量X与Y，如果有存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为；k+l阶混合中心矩记为： （6）协方差的性质 (i) cov (X,Y)=cov (Y,X); (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii) cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）独立和不相关 （i） 若随机变量X与Y相互独立，则；反之不真。 （ii） 若（X，Y）～N（），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。 第五章 大数定律和中心极限定理 （1）大数定律 切比雪夫大数定律 设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi） 特殊情形：若X1，X2，…具有相同的数学期望E（XI）=μ，则上式成为 伯努利大数定律 设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有 伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大数定律 设X1，X2，…，Xn，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有 （2）中心极限定理 列维－林德伯格定理 设随机变量X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：，则随机变量的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。 棣莫弗－拉普拉斯定理 设随机变量为具有参数n,p(0 （3）二项定理 若当，则 超几何分布的极限分布为二项分布。 （4）泊松定理 若当，则 其中k=0，1，2，…，n，…。 二项分布的极限分布为泊松分布。 第六章 样本及抽样分布 （1）数理统计的基本概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。 个体 总体中的每一个单元称为样品（或个体）。 样本 我们把从总体中抽取的部分样品称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 样本函数和统计量 设为总体的一个样本，称 （） 为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（）为一个统计量。 常见统计量及其性质 样本均值 样本方差 样本标准差 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩，，,其中，为二阶中心矩。 （2）正态总体下的四大分布 正态分布 设为来自正态总体的一个样本，则样本函数 t分布 设为来自正态总体的一个样本，则样本函数 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。 设为来自正态总体的一个样本，则样本函数 其中表示自由度为n-1的分布。 F分布 设为来自正态总体的一个样本，而为来自正态总体的一个样本，则样本函数 其中 表示第一自由度为，第二自由度为的F分布。 （3）正态总体下分布的性质 与独立。 第七章 参数估计 （1）点估计 矩估计 设总体X的分布中包含有未知数，则其分布函数可以表成它的k阶原点矩中也包含了未知参数，即。又设为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有 由上面的m个方程中，解出的m个未知参数即为参数（）的矩估计量。 若为的矩估计，为连续函数，则为的矩估计。 极大似然估计 当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为，其中为未知参数。又设为总体的一个样本，称 为样本的似然函数，简记为Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为，则称 为样本的似然函数。 若似然函数在处取到最大值，则称分别为的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。 若为的极大似然估计，为单调函数，则为的极大似然估计。 （2）估计量的评选标准 无偏性 设为未知参数的估计量。若E （）=，则称 为的无偏估计量。 E（）=E（X），E（S2）=D（X） 有效性 设和是未知参数的两个无偏估计量。若，则称有效。 一致性 设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有 则称为的一致估计量（或相合估计量）。 若为的无偏估计，且则为的一致估计。 只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。 （3）区间估计 置信区间和置信度 设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出发，找出两个统计量与，使得区间以的概率包含这个待估参数，即 那么称区间为的置信区间，为该区间的置信度（或置信水平）。 单正态总体的期望和方差的区间估计 设为总体的一个样本，在置信度为下，我们来确定的置信区间。具体步骤如下： （i）选择样本函数； （ii）由置信度，查表找分位数； （iii）导出置信区间。 已知方差，估计均值 （i）选择样本函数 (ii) 查表找分位数 （iii）导出置信区间 未知方差，估计均值 （i）选择样本函数 (ii)查表找分位数 （iii）导出置信区间 方差的区间估计 （i）选择样本函数 （ii）查表找分位数 （iii）导出的置信区间 第八章 假设检验 基本思想 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。 为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。 这里所说的小概率事件就是事件，其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。 基本步骤 假设检验的基本步骤如下： (i) 提出零假设H0； (ii) 选择统计量K； (iii) 对于检验水平α查表找分位数λ； (iv) 由样本值计算统计量之值K； 将进行比较，作出判断：当时否定H0，否则认为H0相容。 两类错误 第一类错误 当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即 P{否定H0|H0为真}=； 此处的α恰好为检验水平。 第二类错误 当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即 P{接受H0|H1为真}=。 两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时，变小，则变大；相反地，变小，则变大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。 在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把α取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把α取得大些。 单正态总体均值和方差的假设检验 条件 零假设 统计量 对应样本 函数分布 否定域 已知 N（0，1） 未知 【全面总结概率论概率论】推荐阅读： 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