平面解析几何解析

平面解析几何解析（精选8篇）

平面解析几何解析 篇1

本人学习了《“平面解析几何”复习教学的目标与设计》的视频，感触很深。授课老师能深入浅出的分析函数与导数高三复习的方法及注意点，并对相关知识的专题内容进行分析，并对体系进行很好整理。在培养学生函数意识、掌握函数的思维方法、学会运用函数思想解决问题方面提出见解。对函数与导数专题蕴含的核心观点、思想和方法进行剖析。通过学习，我认为在今后的数学教学中，要努力做好如下几方面的工作。

 

一、《解析几何》的教育价值

随着时代的发展，人们对数学和数学教育本质的认识在不断地发展、变化与更新，数学已经从单纯的工具演变提升为所有公民所必备的一种精神、一种文化、一种观念、一种思维方式，因此数学教育纯粹向学生传授知识和解题方法的单一化目标正在被包含“文理融合，德智兼顾，完善人格，提高素养”在内的多元化、立体化目标所取代.《解析几何》正是在这些方面显示出非凡的教育价值. 美国应用数学家M·克莱因在他的名著《西方文化中的数学》中指出：“数学是一种精神，一种理性的精神.正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，也正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完美的内涵.”

 《普通高中数学课程标准(实验)》[1]在开头也明确指出：“数学是人类文化的重要组成部分”，“高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析问题、解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用.”

 提到数学的理性精神，不能不说说爱因斯坦震撼人心的论述：“为什么数学比其它一切科学更受到特殊的重视？一个理由是，它的命题是绝对可靠和无可争议的，而其它一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于被新发现的事物推翻的危险之中.”《解析几何》的所有命题就具有“连上帝”都认为“绝对可靠”与“无可争议”的理性特征. 世界文明全方位的进步越来越离不开数学理论、数学技术与数学思维.不仅自然科学与技术依靠着数学，就是社会人文科学也大量应用着数学的理念、方法与思维方式.正如日本著名学者、数学教育家米山国藏所说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业进入社会后，几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学，通常是出校门不到

一、两年就很快忘掉了.然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深铭刻于脑中的数学精神，数学的思维方法、研究方法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们终生受益.”精辟深邃的见解在《解析几何》中得到淋漓尽致的体现. 文[2]说：“数学在人类文明史中一直是一种主要的文化力量.„人类历史上每一个重大事件的背后都有数学的身影：哥白尼的日心说，牛顿的万有引力定律，无线电波的发现，三权分立的政治结构，„等都与数学思想有密切的联系.”  十六、七世纪，许多数学家在思考，能否找到一种可以解决所有数学问题的统一方法.虽然许多数学家没有获得成功，但在长期思索、探寻的过程中孕育着一项超越前人的，数学发展史，乃至科学发展史上划时代、里程碑式的伟大成果，这就是法国数学家笛卡儿创立的《解析几何》. 笛卡儿长期思考用代数方法来研究几何问题.1619年11月10日傍晚，他在朦胧中观察蜘蛛在墙角结网，那纵横交错的蛛丝网络引发了他的灵感，那不正是“用代数方法来研究几何问题”的绝佳工具吗？基于此种构想，平面直角坐标系以及解决几何图形问题的坐标法、解析法应运而生，“数”和“形”神奇地结合了起来，函数、方程实现了视觉化、形象化；曲线与几何图形实现了数量化.点、线和曲线的运动与数量变化融为一体，并达到完美的境界，“动”与“静”的辨证关系被刻画得惟妙惟肖.对此，恩格斯给予了极高的评价：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分立刻成为必要的了.”[3]

 有了平面直角坐标系，在函数的研究中可充分发挥其图像的优势，在方程的研究中又可发挥对应图形的优势，真是数形结合，优势互补，如虎添翼、相得益彰.有了平面直角坐标系，可以将复数a+bi(a，b∈R)表示在平面内，构建出复平面，使复数的研究逐步提升能到一个前所未有的高度.有了平面直角坐标系，随着函数研究的逐步深入，发明了导数，于是推动现代化科学技术发展的微、积分诞生了.有了平面直角坐标系，人们又将平面向量表示成坐标(x，y)，那么平面向量的所有运算都可以实现坐标化，使有关问题的解决变得更加简捷流畅，这是向量研究的重大突破.平面直角坐标系又发展到空间直角坐标系，于是诞生了空间向量、空间解析几何.完全可以说，对大到宇宙天体中各种星球的运行，小到物质的分子原子的结构以及电子运动的研究，都可以归结为对函数及其图像、曲线及其方程的研究，都是以坐标系为重要工具，都与《解析几何》结下了不解之缘.下面的框图以浓缩的方式揭示的就是源于坐标系而发展成的“一棵参天大树”.   

 进入高中的学生，随着知识、技能、思想和阅历的逐渐丰富，思维水平的长足提升，审美意识的开始树立，辨证唯物主义世界观的逐步形成，将实现从幼稚蒙昧的少年“破茧化蛹成蝶”的巨变，在学生整个人生发展的这个非常关键的时期，《解析几何》的教学正是促进学生这种巨变的重要推动力. 数学思维是人的综合素质中最重要的组成部分，广阔性、深刻性、敏捷性、缜密性、创造性、批判性等数学思维的各种特性在《解析几何》中都有极为丰富的背景内容.从《解析几何》中提炼出的各种数学思想可在极大的程度上丰富学生的大脑.从《解析几何》中反映出的数学美是随处可见的，问题是要能去发现、揭示和欣赏，并用这种美激发兴趣，引发思维的创造.数学中充满辨证法，对立统一的法则、矛盾的普遍性与特殊性、偶然性与必然性、矛盾双方在一定条件可以互相转化、量变到质变等哲学基本原理，在《解析几何》中都可以找到大量生动鲜活的实例.教师高瞻远瞩、纵横捭阖，巧妙地将这些内容编织进课堂教学之中，学生在感到赏心悦目、情趣盎然的同时，更会觉得自己的“思维得以运用到最完善的程度”，这是思维与各种能力趋于成熟的标志. 

二、《解析几何》的教学建议

对《解析几何》教育、教学价值的深刻理解，可使教师形成一种高屋建瓴的磅礴气势，能高瞻远瞩地洞悉整个教材的体系，以便将《解析几何》当作一部“长篇巨著”，然后再将它创编为一集集既相互独立，又有内在联系的“电视连续剧”，设计并实施科学性与艺术性双具的一节节教学精品，以取得最大限度的教育、教学效益.为此，提出《解析几何》教学的一些建议.  1 突出主线 副线交叉 和谐统一

《解析几何》的灵魂是“解析”，即用代数方法研究几何图形的坐标法，这是贯穿于《解析几何》教学的一条主线.但这条主线又与多条副线交叉组合，构成了和谐统一的有机系统.(1)认识并处理好函数及其图像与曲线及其方程的联系与区别.虽然这两者都是以坐标系为纽带，但函数y=f(x)与二元方程F(x，y)=0有着本质的区别.直线x=a与函数y=f(x)的图像最多只能有一个公共点，而直线x=a与方程F(x，y)=0的曲线的公共点却可以超过一个.在一定条件下，曲线方程可以转化为函数.如由方程x2+y2=R2可解得，但这却不能称为函数，只有

与

 才能称为函数.在这里，函数与方程、函数的图像与方程的曲线实现了沟通.在解决有关弦长、图形的面积、直线的斜率、离心率的问题中，常转化为对目标函数的求解与研究.可见函数与《解析几何》结下了不解之缘，函数堪称《解析几何》中的一号副线.(2)一般方程堪称《解析几何》中的二号副线.在研究曲线位置关系的问题中，常转化为对一元二次方程的讨论，判别式△的几种情况、根与系数的关系就成了解决《解析几何》中的“常客”.(3)不等式堪称《解析几何》中的三号副线.不等式的性质、不等式的求解、不等式的证明、均值不等式的应用与《解析几何》的综合问题常处于各级各类考试试卷的把关位置.(4)三角函数堪称《解析几何》中的四号副线.直线倾斜角、直线方程中x、y的系数中常含三角函数、圆的方程x2+y2=R2与椭圆方程 

a＞b＞0)的参数形式 等

都与三角函数有着密切的亲缘关系.(5)平几知识的频繁介入.求动点的轨迹、解决有关图形的问题，常与平几图形联袂，“小小的”平几知识常成为解决大问题的杠杆.直角三角形、等腰直角三角形、平行四边形、线段的中点常在《解析几何》问题中扮演着重要“角色”.(6)《解析几何》的问题常与平面向量的运算、平行、垂直、夹角等携手组成绚丽多姿的综合题.(7)《立体几何》与《解析几何》的综合.近年来发现一些与《立体几何》有关的轨迹问题，是“立体”与“解析”两大几何的联手，值得关注.在高中数学的选修部分，更进一步揭示了圆锥曲线与圆锥的渊源关系，是拓宽学生数学视野、丰富数学手段、发展思维的良机.

 (8)数列知识的介入.虽然这类问题不是太多，但也应值得重视.2 重研究对象，更重数学方法

 从对象看，《解析几何》研究的无非是直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线，但在研究它们的各种性质与解决有关问题的过程更要重

     视数学方法的构建与应用.最重要的、处于核心位置的 数学方法当属坐标法，如右面的 框图所示.以直角坐标系为工具，实现几何条件的代数化，得到曲线(动点的轨迹)的方程，又在直角坐标系中结合方程研究曲线的性质，深入理解这个方法的精髓，所有研究对象的性质将成为显然的几何事实，记忆、掌握与运用就变得十分自然、顺畅. 以坐标法为枢纽，还要辅以若干重要的支线，总结一些另外的典型方法也是十分必要的.(1)设直线l：y=kx+b与曲线 C：F(x，y)=0，常消去y，得到一个关于x的一元二次方程，那么研究直线l与曲线C的位置关系就转化为对这个方程的解的研究.当△＞0时，直线l与曲线C有不同的两个交点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|=

.特别地，当k=1时，|AB|=， =图形中出现了等腰直角三角形. 这就是著名的弦长公式，给长度、面积、最值，特别是求范围等问题的解决提供了方便.但思维不可僵化，有时直线l的方程也可设为x=my+a，则可巧妙地避免对直线的斜率是否存在的繁琐讨论，当然这时的弦长公式就变为|AB|=

.

 类似的结论固然须牢固掌握，但更重要的是要带领学生一起来追寻它们形成的“历史足迹”，重视与突出其推导过程.(2)增强应用圆锥曲线定义的意识.现以椭圆为例.在坐标系xOy中，设定点F1(-c，0)、F2(c，0)，若动点M(x，y)满足|MF|+|MF|=2a(a＞c＞0)①  

 经代数化，得 ②

 则可化得椭圆的标准方程.  椭圆的标准方程又可变形为在将②式化为标准方程的过程中，有一个过度式

③，

  进而可化为 ④

结合图1，那么①②两式以不同的形式展示了椭圆的第一定义，④  式展示的是椭圆的第二定义，③式即，展示的是椭圆

 的另一定义，不妨称之为椭圆的第三定义.由④式还可得|MF2|=a-ex，其中

 的就是椭圆的离心率.这样就将椭圆的三个定义与椭圆的准线、离心

 率、椭圆的焦半径公式融为一体，组成一个完整的知识体系.不过，在③式中，由于x≠±a，所以必须增补点(a，0)与(-a，0)，才能得到一个完整的椭圆.(3)“将几何条件代数化”当然是求动点轨迹的最重要的基本方法，但此外还要总结另外一些典型的方法，如定义法、参数法、反代法.现仅以反代法为例，阐述其基本形式. 设已知曲线C：F(x，y)=0上的一动点P(x0，y0)，Q(x，y)是与P相关的动点，则求点Q的轨迹方程按以下步骤进行：

 1o正代：由已知得F(x0，y0)=0 ①

o

求相关

条件方程组：由P与Q的相关条件得





 3o求反代式：由上述方程组解得用x、y表示x0、y0的反代式 

 4o反代置换：将反代式代入①式，即得Q点的轨迹方程F(h1(x，y)，s1(x，y))=0.(4)曲线的切线越来越受到重视.圆的切线自不必说，其他曲线的切线，一方面可用上面(1)所说的△=0来解决，但更值得关注的是有关抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的切线的问题，常用导数方法来解决.(5)一个典型奇特的方法，即同构式的应用.限于篇幅，这里仅举一例. A、B是抛物线y=x2的上的两个动的动点，O是原点，若OA⊥OB，过O作OH⊥AB于H，求H点的轨迹方程.     设A(t1，)、B(t2，)，由OA⊥OB易得t1t2=-1 ①

.②

③ 以OA为直径的圆的方程是化为

同理，由以OB为直径的圆的方程，得②③两式中，只是t的下标数字不同，其余的结构完全相同，两式一“碰撞”，下标消失，得

 

④

则t1、t2是关于t的方程④的两根，所以t1t2=-(x2+y2)，结合①式，立即得x2+y2=1(x≠0).这就是欲求的H点的轨迹方程.②③两式叫做同构式，从初中到高中，无数问题的解答都可以仰仗同构式的奇特功能.这里展示的是同构式的最单纯的形式，当然还有许多变化，但再复杂的相关问题其基本原理与之是一致的. 

  3 体现学生的“四个主体”

“四个主体”指的是树立学生的主体精神，强化学生的主体意识，确立学生的主体地位，发挥学生的主体作用.弘扬学生的“四个主体”，但决不意味着削弱教师的主导作用，反而对教师的主导作用提出了更高层次的要求.仅举一个课例：《直线的倾斜角和斜率》. 在讲授选择倾斜角的什么三角函数值为直线的斜率时，学生会质疑，为什么不选正弦或余弦，而偏要选正切？教师不可用“这是规定”来搪塞，而要发动学生进行深入的讨论、争辩，教师以平等的身份参与其中，用诙谐幽默的语言进行点拨、启发、诱导和评析. 直线倾斜角的取值范围是，现在分别画出y=sinx、y=cosx、y=tanx在区间上的图像(如图2、3、4)，让它们来个“公开、公平、公正、透明的竞聘”，看到底哪个函数能“胜出”.  y=sinx在区间上的值都是非负的，且对于不同的角，可能有相同的函数值，它失去了“当选”的资格；y=cosx在区间上的值域为-1，1]，且=0，而当倾斜角为时，直线垂直于x轴，此时说“直线的斜率为0”，不合情理，它也不具备“胜出”的条件；可是y=tan在与上分别是增函数，对应于直线斜率从负无穷逐渐增大到0；从0逐渐增大到正无穷，而当垂直于x轴，tan情合理地认定tan 

时，直线

不存在，即直线的斜率不存在，直线就一点也不倾斜了，多么自为直线的斜率.然与和谐！学生哈哈大笑，在笑声中领悟了多方面知识的实质，并达成了共识，合4 优化思维品质是教学的核心内容

数学是思维的科学，数学教学的根本任务就是优化学生的思维品质，所有知识、技能、思想的理解、接受、掌握与运用都有着思维活动的深刻与丰富的背景，所以在《解析几何》教学的始终都要将这个重要目标放在首位. 前文中的所有框图虽然不必向学生讲述，但只有当教师深刻理解后才能做到“底气足”、理直气壮.选择倾斜角的正切函数作为直线的斜率涉及覆盖了众多的知识与技能.体现的是思维广阔性. 关于椭圆的三个定义的讨论，将原本似乎彼此无关的内容纳入到一个体系之中，反映的是思维的深刻性.在不同的问情境中迅速识别、判断与检索，如应用反代法、同构式，是思维敏捷性的体现.在求动点轨迹方程时，需要去掉那些点，补上哪些点，以保证轨迹与方程的完备性与纯粹性，反映的是思维的缜密性.直线方程设为x=my+a、由方程②③判断t1、t2是关于t的方程④的两根，不拘一格、别出心裁，显示的是思维的创造性.检验轨迹和方程是否保证完备性与纯粹性、抛物线等圆锥曲线的定义中的“定点”必须在“定直线外”、椭圆定义中的“定长”必须“大于|F1F1|”等，显示的都是思维的批判性.







  5 用数学的人文精神关怀学生的人文发展

数学虽然是理科，但其中饱含的人文精神对于学生综合素养的提高起着举足轻重的作用.关键是要做到有机结合、潜移默化、润物无声.前文谈到笛卡儿创立了《解析几何》，竟将时间精确到年、月、日与“傍晚”时刻，使这个故事更具震撼力与穿透力.教师还可“借题发挥”：笛卡儿的创造看似偶然， 但必然性包含在偶然性之中，偶然的创造发明是长期殚精竭虑、思索探寻的必然结果.请问笛卡儿是在多大岁数时作出了这项创造？学生会回应：23岁！那么“有志不在年高，无志空长百岁”的箴言则跃然纸上. 恩格斯说：“数学中充满辨证法.”又说：“数学：辨证的辅助工具和表现形式.”[4]，所以文[1]规定了高中数学教育的一项重要目标，那就是树立学生的“辩证唯物主义的世界观.”

 “学生听不懂所讲解的辩证法”，这种担心是多余的，只要你理解透彻了，结合具体鲜活形象的事例，运用通俗浅显的语言，学生是能领会的.如直线l：y=kx+b，若k是变量，b是常量，则直线l就在平面内围绕点(0，1)作旋转运动；若b是变量，k是常量，则直线l就在平面内作斜率为定值的平行移动.这种“动中寓静，变中求定”的特征就是对立统一法则的生动体现. 再如“量变到质变”的基本原理，在《解析几何》中可找到无数生动的事例.点与直线的位置关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、两圆的位置关系、曲线与曲

  线的位置关系，都能深入浅出地揭示这一原理.再如图5，设平面内的一 条定直线l以及l外的一个定点F，平面内的动点P、Q、R到直线l的距

 离分别为PN、QN、RN，若，则P点的轨迹是椭圆；若1，  则Q点的轨迹是抛物线；若，则R点的轨迹是双曲线.量的不断

积累，超越一定的界值，就会发生质的变化，或说飞跃，浅显之中反映的是深刻的道理，且能引发诸多联想.另外，数学美对于情操的熏陶、数学美对于创造思维的诱发、优良的意志品质在解决问题过程的巨大作用、对科学真理不懈的追求与舍命的坚持、为全球人类造福的献身精神，都可以巧妙地融入《解析几何》的教学之中.

平面解析几何解析 篇2

一、求斜率

例1已知直线与抛物线C:相交于A、B两点, F为C的焦点, 若| FA | = 2 | FB | , 则k= .

解: 过A、B分别作抛物线的准线l的垂线, 垂足为M, N, 由已知, | AM | = 2 | BN | , 点B为AP中点. 则| OB | =1/2| AF | , 所以| OB | = | BF | , 故B点, 所以

二、求离心率

例2已知双曲线C的右焦点为F且斜率为31/2的直线交C于A、B两点, 若, 则 C的离心率为 .

解: 设双曲线的右准线为l, 过A、B分别作l垂线, 垂足M, N, 作BD⊥AM于D, 则∠BAD = 60°, , 由双曲线定义得

三、证明恒等式

例3已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, 抛物线C以坐标原点为顶点, 以F2为焦点, 自F1引直线l交曲线C于P, Q两个不同的交点, 点P关于x轴的对称点为M,

( 1) 求曲线C的方程

( 2) 证明:

解: ( 1)

四、定点问题

例4已知定点A ( - 1, 0) , F ( 2, 0) , 定直线l, 不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍. 设点P的轨迹为E, 过点F的直线交E于B、C两点, 直线AB、AC分别交l于点M、N

( Ⅰ) 求E的方程;

( Ⅱ) 试判断以线段MN为直径的圆是否过点F, 并说明理由.

“平面解析几何初步”单元自测 篇3

1. 已知点P(a,2)(a＞0)到直线x-y+3=0的距离为1，则a的值为.

2. 已知直线l过定点P(3,3)，且不过第二象限，则直线l的倾斜角的取值范围是.

3. 已知直线x+a2y+1=0与直线(a2+1)x-by+3=0互相垂直，其中a,b∈R，则|ab|的最小值是.

4. 若圆(x+a)2+(y-1)2=a2位于x轴的上方，则实数a的取值范围是.

5. 平行四边形的两邻边所在的直线的方程分别为x+y+1=0和3x-y+4=0，其对角线的交点为(3,3)，则另两边所在的直线的方程分别为.

6. 已知圆(3-x)2+y2=4和直线y=mx交于P，Q两点，O是坐标原点，则OP•OQ 的值为.

7. 在坐标平面上，与点A（1，2）的距离为2，且与点B（-3，5）的距离为3的直线共有条.

8. 直线l1:a1x+b1y=2与直线l2:a2x+b2y=2(a1≠a2)交于点（2，3），则过两点A(a1,b1)，B(a2,b2)的直线的方程为.

9. 集合M={(x,y)|x2+y2≤4}，N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2=r2(r＞0)}，当M∩N=N时，半径r的取值范围是.

10. 若直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0倾斜角为π4,则实数m的值是.

11. 在平面直角坐标系中，纵、横坐标均为整数的点叫做整点，那么满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2＜2的整点(x,y)的个数是.

12. 与圆x2+(y+4)2=8相切，且在两个坐标轴上的截距相等的直线共有条.

13. 圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差为.

14. 已知空间两点P1（x，2，3）和P2（5，4，7）的距离是7，则实数x的值为.

15. 到点P（-2，3）的距离为2，且到点Q（2，6）的距离为3的直线共有条.

B组

16. 在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角边分别平行于两个坐标轴，且两直角边上的中线所在直线的方程分别为y=3x+1和y=mx+2，则实数m的值是.

17. 自点P（2，3）向圆x2+y2=4引切线，则切线的方程为. 

18. 已知圆M：2x2+2y2-8x-8y-1=0,直线l：x+y-9=0，过直线l上的一点A作∠BAC=45°，其中边AB经过圆心M，且点B，C在圆M上，则点A的横坐标的取值范围是.

19. 已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25，直线l:（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).

（1） 证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点；

（2） 求直线l被圆C截得的弦长最小时的l的方程.

20. 如图，过点M（3，0）作直线l，与圆x2+y2=16交于A，B两点，求使得△AOB的面积最大的直线l的方程，并求出这个最大面积.参 考 答 案

1. 2-1

2. π6,π2

3. 2

4. -1＜a＜0或0＜a＜1

5. 3x-y-16=0，x+y-13=0

6. 5

7.3

8. 2x+3y-2=0

9. 0＜r≤2-2

10. 211.1612.3

13. 62

14. 5±29

15. 3

16.12或34

17. x=2或5x-12y+26=0（提示：令所求直线的方程为a（x-2）+b(y-3)=0(a2+b2≠0)，因为该直线与圆x2+y2=4相切，所以|2a+3b|a2+b2=2,即b(5b+12a)=0.）

18. 3≤a≤6(提示：设点A为（a,9-a），过点A作圆M的两条切线，切点分别为P，Q，则∠PAQ≥90°,即∠MAP≥45°,所以AP≤MP,AM≤2MP，可得（a-2）2+(9-a-2)2≤2×172,即a2-9a+18≤0.）

19. （1） 直线l的方程为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0，则由x+y-4=0,2x+y-7=0,得x=3,y=1,所以直线l恒过定点P（3，1）.

又因为圆心C为（1，2），半径r=5,PC=5＜5,所以点P在圆C内，从而直线l与圆C恒相交于两点.

(2) 因为弦长最小时，l⊥PC,又kPC=-12，所以kl=2，所以直线l的方程为2x-y-5=0.

20. 设AB所在直线的方程为x=ky+3，

由x=ky+3,x2+y2=16,得(1+k2)y2+6ky-7=0.

设A(x1,y1)，B(x2,y2)则y1+y2=-6k1+k2,y1y2=-71+k2,

因为S△AOB=S△AOM+S△BOM，

所以S△AOB=12×3|y1-y2|

=32(y1+y2)2-4y1y2

=316k2+7(1+k2)2，

令1+k2=t，则t≥1，则S△AOB=3-9t2+16t≤8,当且仅当t=98,即k=±24时等号成立，

平面解析几何解析 篇4

复数+平面向量+三角函数

一、要点梳理

1、复数的有关概念

（1）复数的概念

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中a,b分别是它的实部和虚部。若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。

（2）复数相等：a+bi=c+dia=c且b=d(a,b,c,d∈R).（3）共轭复数：a+bi与c+di共轭a=c，b=-d(a,b,c,d∈R).。

（4）复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

（5）复数的模

向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模，记为|z|或|a+bi|，即

2、复数的几何意义 复平面内的点Z（a,b）(a,b∈R);（1）复数z=a+bi

平面向量OZ（a,b∈R）（2）复数z=a+bi。

3、复数的运算

（1）复数的加、减、乘、除运算法则

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则

①加法：z1+ z2=（a+bi）+（c+di）=(a+c)+(b+d)i;

②减法：z1-z2=（a+bi）-（c+di）=(a-c)+(b-d)i;

③乘法：z1· z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;④除法：一一对应一一对应z1abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i(cdi0)z2cdi(cdi)(cdi)c2d

2(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1+z2=z2+z1，（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）。

注：任意两个复数不一定能比较大小，只有这两个复数全是实数时才能比较大小。

4.向量的坐标运算

（1）A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB(x2x1,y2y1)

（2）设i,j为x,y轴正向单位向量，若ABxiyj，则记AB(x,y)

xxyyxxyy（3）若a(x1,y1)，b(x2,y2)则ab(1ab(1 2,12)2,12)

a(x1,y1)abx1x2y1y

2aa//b

二、习题精练

x1y

1x1y2x2y1abx1x2y1y20 x2y．（2013年新课标Ⅱ卷）设复数z满足(1i)z2i,则z

A．1i

B．1i

C．1i

D．1i

（A）．（2013年山东）若复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位),则z的共轭复数为（D）

A．2i

B．2i

C．5i

D．5i

（C）．（2013年广东）若复数z满足iz24i,则在复平面内,z对应的点的坐标是

A.2,4 B．2,4 C．4,2 D．4,2

（B）．（2013年辽宁）复数的Z

模为 i1

CD．2

A．2

B

5．（2013年高考四川）如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是（B）

A．A B．B C．C D．D 6 ．（2013年新课标1）若复数z满足(34i)z|43i|,则z的虚部为

A．

4B．

（D）

C．4 D．

5（B）

7．（2013年浙江）已知i是虚数单位,则(1i)(2i)

A．3i

B．13i

C．33i

D．1i

8.把函数y＝sin2x的图象按向量→a＝(－，－3)平移后，得到函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，||＝62的图象，则和B的值依次为



A．

312



C．3

（B）D．－3

B．，3

9.已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量→p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量→q＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A；

C－3B（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.3→【解】（Ⅰ）∵p、→q共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，则sin2A＝，4又A为锐角，所以sinA＝

3A＝2

3

(π－B)－3B

3C－3B

（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos

213

＝2sin2B＋cos(2B)＝1－cos2B＋sin2B

322

31

＝＋1＝sin(2B－)＋1.226

5

∵B∈(0，)，∴2B－∈(－)，∴2B－＝B＝ymax＝2.2666623

3→10.已知向量→a＝(3sinα,cosα)，→b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且→a⊥b． 2（Ⅰ）求tanα的值；

α（Ⅱ）求cos(＋的值．

23→→→→解：（Ⅰ）∵a⊥b，∴a·b＝0．而→a＝（3sinα，cosα），→b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，→故→a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．

41由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα

314

∵α∈，2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．

223

3α3

（Ⅱ）∵α∈（2π）∈（π）．

2244α1αα5α2

5由tanα，求得tan，tan＝2（舍去）．∴sincos，32222525

ααα25153

∴cos(＝cossinsin＝－

232323525210

→11.设函数f(x)＝→a·b.其中向量→a＝(m，cosx)，→b＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f()＝2.2（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.→解：（Ⅰ）f(x)＝→a·b＝m(1＋sinx)＋cosx，由f(＝2，得m(1＋sin＋cos＝2，解得m＝1.222(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋12sin(x＋)＋1，4

当sin(x＋)＝－1时，f(x)的最小值为12.AA→A

12.已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若→m＝(－，sin)，n＝，222A1→sin，a＝23，且→m·n＝．

（Ⅰ）若△ABC的面积S＝3，求b＋c的值．（Ⅱ）求b＋c的取值范围．

AAAA1→→【解】（Ⅰ）∵m＝(－，sin)，→n＝(cos，sin，且→m·n＝ 22222

AA11

∴－cos2＋sin2，即－cosA＝

2222

2

又A∈(0，π)，∴A＝3

又由S△ABC＝bcsinA＝3，所以bc＝4，2

由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cosb2＋c2＋bc，∴16＝(b＋c)2，故b＋c＝4.bca2

（Ⅱ）由正弦定理得：＝4，又B＋C＝－A＝

sinBsinCsinA32

sin3



∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(B)＝4sin(B)，3332

怎么学好平面几何 篇5

学习几何关键是要能熟练三种语言的转化。

符号语言，图形语言，文字语言。我们根据文字语言和符号语言要能画出草图，转化为图形语言。

在学几何的时候不要识记定理和定义，要理解。

如何理解呢?

关键是要能转化为图形语言，结合图来理解。比如同位角可以看成字母F，内错角可以看为Z，同旁内角可以看为U。比如平行线分线段成比例定理可以看成A形，梯形可以看为x形。垂直可以看成+,同一平面内垂直于同一直线两直线平行，可以看为H，内角和证明可以分割成n-2个三角形。C是BD中点转化为符号语言是BC=DC=1/2BD,或BD=2BC=2DC。角平分线的定义也可以类似类比，这需要对符号图形文字语言的深刻理解。几何中有的关于角度问题比较复杂可以运用希腊字母进行代数运算，避开过于繁杂的等量代换，比如证明垂直，我只要算出交角是90度问题自然解决了。如三角形ABC中，I为内心，角BIC=90+1/2角A，这样的题可以运用字母替代证明较易。只要注意用两次角平分线，以及内角和问题就好办。对于什么如等腰三角形三线合一以及逆定理，角平分线性质和判定都要熟悉文字和图形。结合图形理解定理并运用定理是比较好的学习方法。把文字，符号，图形语言的相互转化犹如英语中的汉译英以及英译汉。

在几何题中主要有这么几类。

证明角相等，线段相等，垂直，平行，比例式，线段和的关系。

下面我提下一般如何证明这几类问题证明角相等可以利用全等，相似的对应角相等，角平分线的定义，同弧所对圆周角相等，同弧所对圆周角等于弦切角，平行线的性质定理，平行四边形的性质定理等。等腰三角形等边对等角。证明线段相等可以运用全等，等角对等边，同弧所对弦相等，中点的性质，切线长定理，垂径定理，平行四边形性质，等腰梯形性质等。证明垂直可以用垂直定义，角度计算，三线合一逆定理，全等，相似的方法以及直径所对圆周角等于90度转化。证明平行可以运用平行线的判定定理，平行于同一直线的两直线平行，同一平面内垂直于同一直线的两直线平行，平行线分线段成比例定理的逆定理。证明比例式可以运用相似三角形对应边成比例。平行线分线段成比例，代数计算等。证明线段和关系一般可以采用一分为二或者合二为一两种方法再结合全等证明，当然如果运用几何方法不好办的时候还可以运用代数计算的方法。

最后说下学习几何还要注意概念要清晰

比如三角形的角平分线，高，中线都是线段，边边角为何不能证全等，垂直于同意直线的两直线平行为何要加同一平面的大前提。没这个前提正方体一个顶点处相交三条棱是两两垂直的。平行线定义为何要有同一平面内永不相交的两直线叫平行线。因为存在异面直线也是用不想交的。还有对过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。这些前提条件。以及对垂线段最短和两点之间线段最短的区分。因为垂线段指的是直线外一点与已知直线的连线段中垂线段最短。而两点之间线段最短，指的是两点之间所有的连线条中线段最短。线条包括弧线，不规则线条等。而前者的对象是线段。所以学习中一定要灵活运用定理定义概念。在做方位角问题中不要把北偏东30度，与60度混淆。北偏东30度就是以北边为始边向东也就是顺时针转30度。学习三种几何变换的时候明确平移，旋转，对称，不改变图形大小和形状。只改变位置。对应边和对应角相等。平移还有对应边平行，旋转和对称没这个性质。

2012高考：平面几何证明 篇6

1、（2012全国课标，22）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：

（I）CDBC；

（II）△BCD∽△GBD；

GEFB2、（2012广东，15）如图所示，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足ABC30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA

P

第2题图第3题图

3、（2012江苏，21-A）如图，AB是圆O直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BDDC，连接AC，AE，DE，求证EC。

4、（2012辽宁，22）如图，圆O和圆O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆与C，D两点，连接BD并延长交圆O于点E，证明：

（I）ACBDADAB；（II）ACAE。

5、（2012天津，13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点BD作圆的切线与AC的延长线交于点D，过点C作BD的平行线与圆

相交于E，与AB相交于F，AF3，FB1，EF

CD的长为

3，则线段2AF6、（2012陕西15-B）如图所示，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFBD，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB。

第6题图第7题图

7、（2012湖南，11）如图所示，过点P的直线与圆O相交于A，B两点，若PA1，AB2，PO3，则圆O的半径等于。

8、（2012北京，5）如图所示，ACB90°，CDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则（）

22A、CECBADDBB、CECBADABC、ADABCDD、CEEBCD

AB第8题图

第9题图

9、（2012湖北，15）如图，点D在圆O的弦CD上移动，AB4，连接OD，过D作OD的垂线交圆O于点C，则CD的最大值为。

答案：

1、略

23、略

平面解析几何解析 篇7

高中数学几何知识逐渐由“定性”思维, 向“定量”计算转变. 从直线斜率、直线方程, 到圆、圆锥曲线, 计算量逐步增加, 学习难度逐渐加大. 学生学习过程中, 最重要的部分是学生心理的调整. 教师要积极与学生交流, 加强课堂学习与课后练习之间的联系, 帮助学生熟悉解题思路, 树立学习信心, 及时归纳总结, 提高学习成绩.

一、高中平面解析几何有效教学的基本目标

高中数学经过教学改革后, 现教育大纲对平面解析几何有效教学的基本教学目标规定如下: 使学生学会必要的平面解析几何的基本技能和基础知识, 理解平面解析几何部分的知识构架、概念本质, 体会解题过程中所运用的数学方法和思维策略, 锻炼自主学习能力、团队协作能力和科学探究精神, 体验数学的魅力.

二、高中平面解析几何有效教学策略探索

高中平面解析几何部分的有效教学, 结合实践教学经验分析, 最主要的是, 细化知识点、加大练习量、调整学生解题心理等方面. 教师教学过程中, 第一要做好课前备课, 细化知识点; 第二要渗透解题思路, 帮助学生学习、消化、应用解题方法; 第三要课后巩固反思, 易错点归纳总结. 现就这三个方面, 进行详细论述.

1. 教学课前准备, 有效引导学生

课前准备工作包括教具准备、教学设计两部分, 在教学设计部分, 教师要重点分析教材, 细化知识点, 通过合理的设问等环节引入知识点, 加入恰当的例题, 确保学生能真正理解知识点. 其中设问环节, 面对高中学生应加入更理性的问题, 避免常识性问题出现, 打击学生对新知识的求知积极性.

例如, 学习直线方程一节时, 有教师讲解例题: “直线l过点P ( 4, 3) , 且在x, y轴上的截距相等, 求该直线方程. ”解: 设直线方程y = x + b ( 设问: 为什么设方程时这样来设?) , 代入点P ( 4, 3) ( 设问: 下一步的计算过程是怎样的?) , 然后得出答案: 所以该直线方程为y =x -1.

这样的设问过程太过简单, 根本起不到引发学生深入思考的作用, 对课堂氛围也没有正面的调动作用. 设问应是有疑而问, 由已知的条件让学生能够顺着教师的设问, 进一步深入思考. 这就要求教师在课前准备时, 要认真对待设问, 深入分析知识点之间的联系, 使设问真正能起到引导作用.

2. 渗透学习方法, 各环节学法指导

课堂教学过程中, 不仅要有对教材内容、概念知识的介绍和讲解, 更应该多涉及学习方法的指导. 让学生在学会原理的同时, 能够应用概念解决题目. 如上述通过设问引导的方法, 帮助学生更好地理解解题思路, 学会解题方法. 在学法指导过程中, 应重点介绍解题技巧, 同时增强各环节之间的联系, 增强知识的结构性和连贯性.

例如图所示, 已知点P ( 4, 0) 是圆x2+ y2= 36内的一点, 点A, B是圆上的两个动点, 且满足∠APB =90°, 求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

在这个题目中, 涉及圆的性质、矩形性质, 本题在解答时, 设定点R为AB中点来帮助解答.通过垂径定理, |AR|2= | AO |2- | OR |2= 36 ( x2+ y2) , 再结合圆的性质, 逐步解出x2+ y2= 56.

在这个解题过程中, 关键点是点R设定, 再就是矩形性质的应用 ( 拆开成直角三角形、垂点等) , 然后再结合圆的性质解答. 教师要引导学生学会设定帮助解题的点、线等, 另外加深各个知识点之间的联系, 帮助题目的解答.

另外, 在教学过程中例题讲解部分, 要多加入一些有难度的例题. 通过将难度较大的例题, 分步简化, 让学生自己完成每一步的解答, 教师再将每步联系起来, 完成题目. 通过这样的方式, 既能锻炼学生解题的思路, 又能逐步培养学生的解题信心, 给学生树立一个“每道题目都是由一个个小问题串联起来的”思想.

3. 课后巩固反思, 易错点归纳总结

平面解析几何部分题目, 计算量大, 知识点细, 要提高学生解题的效率和正确率, 必须要做到多做题、会做题. 教师要变身为严师, 时刻督促学生完成课后作业, 尽量多地做题, 并帮助学生总结易错点. 通过学生的解题情况, 集中普遍问题在课堂上进行讲解, 像圆锥曲线的方程求法等, 一直是学生出错较多的内容, 教师要细致讲解, 帮助学生总结, 让学生能在错误中吸取经验. 做到课堂与课后相结合, 增强锻炼, 查漏补缺, 提高学生解题效率.

结语

平面向量题型解析 篇8

一、向量的基本概念与运算问题

例1 已知向量[a=(1,2)]，[b=(-2,-4)]，[|c|=5]，若[(a+b)⋅c=52]，则[a]与[c]的夹角为（ ）

A. 30°B. 60°

C. 120°D. 150°

答案 B.

点拨 有关纯向量的基本概念与运算问题经常出现在选择题与填空题中，主要考查向量的坐标运算、数量积运算、模的运算及几何意义，两向量共线、垂直的充要条件等基本知识.

例2 在[△ABC]中，[O]为中线[AM]上的一个动点，若[AM=2]，则[OA⋅(OB+OC)]的最小值是.

分析 构造函数是求最值的常用方法，关键是引入合适的变量[x].

解 如图，设[|OA|=x]，则[|OM|=2-x](0≤[x]≤2).

由M为BC的中点，知[OB+OC=2OM]，而

[OA⋅(OB+OC)][=OA⋅2OM=2x(2-x)cos180°]

[=2x2-4x=2(x-1)2-2(0≤x≤2)].

所以当[x=1]时，取最小值–2.

点拨 （1）与平面向量有关的最值问题常常有两种解法，一是利用平面几何性质求解，二是构造函数求解；(2)解平面向量与平面几何综合题要注意：一要利用向量共线、垂直的充要条件及平面向量基本定理求解，二要注意分清三角形内心、重心、外心、垂心、中线、高、角平分线等有关概念,掌握它们的几何性质.

二、与平面向量有关的函数问题

例3 已知向量[m→=(a-sinθ,-12)]，[n→=(12,cosθ)].

（1）当[a=22]，且[m→⊥n→]时，求[sin2θ]的值；

（2）当[a=0]，且[m→]∥[n→]时，求[tanθ]的值.

分析 将向量平行与垂直的充要条件的坐标形式代入，再三角变形.

解 （1）当[a=22]时，[m→=(22-sinθ,-12)]，

[∵][m→⊥n→]， [∴][m→⋅n→=0]，

得[sinθ+cosθ=22]，

两边平方得[1+sin2θ=12]，因此[sin2θ=-12].

（2）当[a=0]时，[m→=(-sinθ,-1)]，

由[m→]∥[n→]，得[sinθcosθ=14,]即[sin2θ=12].

[∵sin2θ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθ1+tan2θ]，

[∴][tanθ=2+3]或 [2-3].

点拨 （1）理解平面向量的平行和垂直关系，并合理转化为三角函数变形求值问题.

（2）向量与函数的综合题也是通过坐标来结合的，我们可以把问题先通过向量的坐标运算转化为代数关系式，再利用函数的单调性、值域，导数等知识实现由已知向未知的过度，进而运用相关知识来求解.

三、平面向量与解析几何的综合问题

例4 已知[F1]、[F]椭圆[x26+y22=1]的两个焦点，过点[F]的直线[BC]交椭圆于[B、C]两点，

（1）[OM=12(OC+OB)]，求点[M]的轨迹方程；

（2）若相应于焦点[F]的准线[l]与[x]轴相交于点[A]，[|OF|=2|FA|]，过点[A]的直线与椭圆相交于[P、Q]两点. 设[AP=λAQ]（[λ>1]），过点[P]且平行于准线[l]的直线与椭圆相交于另一点[M]，证明:[FM=-λFQ].

分析 第一问利用向量相等的充要条件得到坐标的两个方程，消参可得，也可以用设而不求的方法直接得出；第二问方法类似.

解 （1）[(x-1)2+3y2=1].

（2）证明：[AP=(x1-3,  y1),  AQ=(x2-3,  y2)]. 由已知得方程组[x1-3=λ(x2-3),y1=λy2,x216+y212=1,x226+y222=1.]

注意[λ>1]，解得[x2=5λ-12λ].

因为[F(2,  0), M(x1,  -y1)]，

故[FM=(x1-2,  -y1)=(λ(x2-3)+1,  -y1)]

[=(1-λ2,  -y1)=-λ(λ-12λ,  y2)].

而[FQ][=(x2-2,  y2)=(λ-12λ,  y2)]，

所以[FM=-λFQ].

点拨 （1）注意挖掘向量语言中蕴含的几何条件；（2）利用坐标运算将几何转化为代数问题，再用代数方法解决.

四、平面向量在不等式证明中的应用

例5 已知[0

分析 根据左右两边的结构，构造合适的向量使向量不等式[m⋅n≤mn]出现.

证明 设[m=ax,b1-x]，[n=(x,1-x)]，

则[m=a2x+b21-x]， [n=1]，

[m⋅n=a+b.]

由[m⋅n≤mn]，得

[a2x+b21-x≥a+b]，即[a2x+b21-x≥(a+b)2.]

点拨 柯西不等式是选修4-5的内容，而它的向量形式更便于理解和应用.

五、向量在物理中的应用

例6 一条河流的两岸平行，河的宽度[d=]500m，一艘船从[A]处出发到河对岸. 已知船的速度[|v1|=]10km/h，水流的速度[|v2|=]2km/h. 问：（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？

分析 速度是向量，速度的分解满足平行四边形法则. （1）行驶航程最短时，即保证船只在垂直对面的方向上行驶，此时合速度的方向和河岸垂直. （2）行驶时间最短时，即保证其中船的分速度朝向对岸，此时，船只停靠位置在对岸的下游，如图所示.

解 （1）根据题意[v1→+v2→=v→, v2→⊥v→]，

则[|v→|=(v1→)2-(v2→)2=102-22=46.]

则有[t=sv→=50046=12566s.]

（2）[t=sv1→=0.510=0.05h=3分钟.]

点拨 在物理学中，作用力、位移、速度、加速度等物理量都是向量，它们的合成与分解都可用平行四边形法则和三角形法则.

例7 已知力[F]与水平方向的夹角为[30°]（斜向上），[F]的大小为[50N]，[F]拉着一个重[80N]的木块在摩擦因数[μ=0.02]的水平面上运动了[20mm]，问[F]、摩擦力[f]所做的功分别为多少？

分析 “功”是作用力与位移的数量积.

解 设木块的位移为[s]，

则[F⋅s=F•scos30°=50×20×32=5003J,]

[F在竖直方向上的分力的大小为]

[Fsin30°=50×12=25(N),]

[f=(80-25)×0.02=1.1(N)，]

[所以f⋅s=f•scos180°=1.1×20×(-1)=-22(J)]

[即F,f所做的功分别是5003J、-22J]

点拨 用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原成物理问题.

六、以平面向量为载体的数列问题

例8 设[{an}]为首项是–10，公差是2的等差数列，[{bn}]为首项是[-12]，公差是[12]的等差数列，O是原点，向量[OA=(-1,1),OB=(1,1)]，点列{Pn}满足[OPn=an⋅OA+bn⋅OB]([n∈]N*).

（1）证明：[P1，P2，…，Pn]共线；

（2）若点[Pk(k∈N*)]表示点列[{Pn}]中处于第一象限的点，求[k]的值.

分析 第一问用向量平行的充要条件即可；第二问用向量的坐标形式求解.

解 （1）[an=-10+(n-1)×2=2n-12,]

[bn=-12+(n-1)×12=12n-1]，

所以[OP1=a1⋅OA+b1⋅OB]

[=-10(-1, 1)+(-12)(1,1)=(192,-212)]，

[OPn=(2n-12)(-1,1)+(12n-1)(1,1)]

[=(-3n2+11,52n-13).]

所以[P1Pn=OPn-OP1=(-32n+32,5n2-52)]

[=n-12(-3,5)=λ][c]，

[λ=n-12,][c=(-3,5)]，故[P1，P2，…，Pn]共线.

（2）因为[Pk=(-32k+11,52k-13)]在第一象限，所以[11-32k>0,52k-13>0⇒515

所以[k=6,7.]

点拨 向量与数列综合要注意与纯数列问题的区别与联系，此类问题可转化为纯数列或纯向量问题讨论，而向量求和须应用向量的坐标运算转化为纵、横坐标构建的数列求和问题.

充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，重视向量的工具作用. 利用向量解题的基本思路有两种，一是几何法：利用向量的加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算解题. 涉及到的向量知识有：（1）向量的坐标表示及加减法，数乘向量；（2）向量的数量积；（3）向量平行，垂直的充要条件；（4）向量的模与夹角；（5）三角形的四心与向量有关的结论. 如果题设中没有向量，则需要有向量的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.

<\192.168.2.51本地磁盘 (e)张骥娜数据飞翔高中生学习·高三 理综 文综 合 2011-9高中生学习·高三 理综 文综 合 2011-9b练习.jpg>[【专题训练五】]

1. 已知[△ABC]的三个顶点[A、B、C]及所在平面内一点[P]满足[PA+PB+PC=AB]，则点[P]与[△ABC]的关系为( )

A. [P]在[△ABC]内部

B. [P]在[△ABC]外部

C. [P]在[AB]边所在直线上

D. [P]在[△ABC]的[AC]边的一个三等分点上

2. 已知向量[OP=(1,1),OP1=(4,-4)]，且[P2]点分有向线段[PP1] 所成的比为－2，则[OP2]的坐标是( )

A. ([-52,32)] B. ([52,-32])

C. （7，－9） D. （9，－7）

3. 设平面上有四个互异的点[A、B、C、D，]已知（[DB+DC-2DA)⋅(AB-AC)=0,]则[△ABC]的形状是( )

A. 直角三角形 B. 等腰三角形

C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

4. 已知[P]是以[F1、F2]为焦点的椭圆[x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）上一点，若[PF1⋅PF2=0]，[tan∠PF1F2=12]，则椭圆的离心率为（ ）

A. [12] B. [23]

C. [13] D. [53]

5. 已知向量[OB=]（2，0），[OC=]（2，2），[CA]=（[2]cosα，[2]sinα），则向量[OA]与[OB]的夹角范围为（ ）

A.[0,π4] B.[π4,5π12] C.[5π12,π2] D.[π12,5π12]

6. 把一个函数图象按向量[a=(π3,-2)]平移后，得到的图象的表达式为[y=sin(x+π6)-2]，则原函数的解析式为 .

7. 已知[M＝(1+cos2x，1)]，[N＝(1，3sin2x+a)][(x，a∈R，a]是常数)，且[y=OM]·[ON] ([O]是坐标原点)（1）求[y]关于[x]的函数关系式[y=f(x)]；

（2）若[x∈[0，π2]]，[f(x)]的最大值为4，求[a]的值，并说明此时[f(x)]的图象可由[y=2sin(x+π6])的图象经过怎样的变换而得到？

8. 已知二次函数[f(x)]对任意[x∈R]，都有[f (1-x)][=f (1+x)]成立，设向量[a=(sinx,2)], [b=(2sinx,12]),[c=(cos2x,1),d=(1,2). ]

（1）分别求[a⋅b]和[c⋅d]的取值范围；

（2）当[x∈[0,π]]时，求不等式[f(a⋅b)>f(c⋅d)]的解集.

9. 已知[i、j]分别是[x]轴，[y]轴方向上的单位向量， [OA1=j,  OA2=10j, 且 An-1An=3AnAn+1]

[(n=2,3,4,⋯). 在射线 y=x, x≥0上从下到上依次有][Bn,n=1,2,3,⋯,OB1=3i+3j,][且Bn-1Bn][=22(n=][2,3,4⋯).]

（1）求[A4A5]；（2）求[OAn]，[OBn]；（3）求四边形[AnAn+1Bn+1Bn]面积的最大值.

10. 如图，四边形[MNPQ]是[⊙C]的内接梯形，[C]是圆心，[C]在[MN]上，向量[CM]与[PN]的夹角为120°，[QC⋅•QM=2.]

（1）求[⊙C]的方程；

（2）求以[M、N]为焦点且过点[P、Q]的椭圆的方程.

11. 如图，已知椭圆[C:6x2+10y2=15m2(m>0)]，经过椭圆[C]的右焦点[F]且斜率为[k(k≠0)]的直线l交椭圆[C]于[A、B]两点，[M]为线段[AB]的中点，设[O]为椭圆的中心，射线[OM]交椭圆于[N]点.

（1）是否存在[k]，使对任意[m>0]，总有[OA+OB=ON]成立？若存在，求出所有[k]的值；

（2）若[OA⋅•OB=-12(m3+4m)]，求实数[k]的取值范围.

12. 设抛物线[y2=2px(p>0)]的焦点为[F]，准线与[x]轴交点为[Q]，过[Q]点的直线[l]交抛物线于[A、B]两点.

（1）直线[l]的斜率为[22]，求证：[FA⋅FB=0].

（2）设直线[FA、FB]的斜率为[kFA]、[kFB]探究[kFB]与[kFA]之间的关系并说明理由.

【参考答案】

1. D 2. C 3. B 4. D 5. D 6. [y=cosx]

7. （1）[f(x) =1+cos2x+3sin2x+a]

（2）将[y=2sin(x+π6])的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，再向上平移2个单位长度可得[f(x)=2sin(2x+π6])+2的图象

8. （1）[a⋅b=2sin2x+1≥1,]

[c⋅d=2cos2x+1≥1 ] （2）[[0,π4)⋃(3π4,π]]

9. （1）[A4A5=13j] （2）[OAn=29-(13)n-42j][OBn][=(2n+1)i][+(2n+1)j] （3）[472]

10. （1）[x2+y2=4] （2）[x24+23+y223=1]

11. （1）存在 （2）[-77≤k≤77且k≠0.]